Za rozwiàzanie

wszystkich zadaƒ

mo˝na otrzymaç

∏àcznie 50 punktów.

PRZYK¸ADOWY ARKUSZ

EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

Czas pracy: 170 minut

Instrukcja dla zdajàcego

1.

Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.

2.

W zadaniach od 1. do 23. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.

3.

Rozwiàzania zadaƒ od 24. do 32. zapisz starannie i czytel-
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu-
mowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.

4.

Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.

5.

Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.

6.

Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.

7.

Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymal-
na liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.

8.

Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

˚yczymy powodzenia!

ARKUSZ 9

MATURA 2010

Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON

na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà

ZADANIA ZAMKNI¢TE

W zadaniach od 1. do 23. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.

Zadanie 1. (1 pkt)

Liczbà mniejszà od zera jest liczba:

A. 3

2

-

B.

3

2

-

_

i

C.

,

2

1 4142

-

D. ,

3 14 -

r

Zadanie 2. (1 pkt)

Liczba 5

5

4

6

$

jest równa liczbie:

A.

5

24

B. 5

10

C. 5

5

12

D. 5

12

5

Zadanie 3. (1 pkt)

Liczba log log

log

30

3

3

-

_

i

jest równa liczbie:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Zadanie 4. (1 pkt)

Zbiorem rozwiàzaƒ nierównoÊci jest

,

3 11

-

_

i

. NierównoÊç mo˝e mieç postaç:

A.

<

x

4

7

+

B.

<

x

4

7

-

C.

>

x

4

7

+

D.

>

x

4

7

-

Zadanie 5. (1 pkt)

Po roz∏o˝eniu wielomianu ( )

W x

x

x

x

5

3

15

3

2

=

+

-

-

otrzymujemy:

A. ( )

W x

x

x

x

5

3

3

=

-

-

+

_

_

_

i

i

i

B. ( )

W x

x

x

x

5

3

3

=

+

-

+

_

_

_

i

i

i

C. ( )

W x

x

x

x

5

3

3

=

+

-

+

_

`

`

i

j

j

D. ( )

W x

x

x

x

5

3

3

=

-

-

-

_

`

`

i

j

j

Zadanie 6. (1 pkt)

WartoÊç wielomianu ( )

W x

x

x

x

2

2

3

=

-

-

dla x

3

= -

jest równa:

A. 42

-

B. 24

-

C. 12

D. 30

Zadanie 7. (1 pkt)

Po wykonaniu dzia∏aƒ w wyra˝eniu W

x

x

x

x

1

1

=

-

-

+

otrzymamy:

A.

x

1

1
-

B.

x

1

1

-

-

C.

x x

1

1

-

-

_

i

D.

x x

1

1

-

_

i

Zadanie 8. (1 pkt)

Liczba

2

4

3

+

`

j

jest równa:

A. 88

50 2

+

B. 90

48 2

+

C. 72

8 2

+

D. 64

2 2

+

Zadanie 9. (1 pkt)

Najwi´kszà liczbà ca∏kowità nale˝àcà do dziedziny funkcji ( )

f x

x

20

4

=

-

jest:

A. 5

-

B. 4

-

C. 5

D. 6

Matematyka. Poziom podstawowy

3

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 10. (1 pkt)

Pierwiastkami trójmianu kwadratowego y

x

bx

c

2

=

+

+

sà liczby

3

-

_

i

i 5. Wynika stàd, ˝e:

A.

,

b

c

2

15

= -

= -

B.

,

b

c

2

15

=

= -

C.

,

b

c

8

15

= -

= -

D.

,

b

c

8

15

=

=

Zadanie 11. (1 pkt)

Argument funkcji ( )

f x

x

3

8

=

+

wzrasta o 5. Wówczas wartoÊç funkcji wzrasta o:

A. 5

B. 13

C. 15

D. 23

Zadanie 12. (1 pkt)

Dany jest ciàg arytmetyczny

,

,

, ...

11

7

3

-

-

-

_

i

. Czterdziesty wyraz tego ciàgu jest równy:

A. 149

-

B. 145

C. 149

D. 167

Zadanie 13. (1 pkt)

Ciàgiem rosnàcym jest ciàg o wyrazie ogólnym:
A. a

2

n

n

= -

B. a

n

2

3

n

= -

+

C. a

n

2

3

n

=

-

D.

( , )

a

0 2

n

n

=

Zadanie 14. (1 pkt)

Dany jest ciàg geometryczny

, ,

, ...

18 6

2

-

-

_

i

. Wyraz ogólny tego ciàgu to:

A. a

18

3

1

n

n

1

$

=

-

c m

B. a

18

3

1

n

n

1

$

=

-

-

c

m

C. a

18

3

1

n

n

1

$

= -

-

c m

D. a

18

3

1

n

n

1

$

= -

-

-

c

m

Zadanie 15. (1 pkt)

Nie istnieje kàt

a, taki, ˝e:

A. tg

7

8

=

a

B. sin

8

7

=

a

C. sin

7

8

=

a

D. tg

8

7

=

a

Zadanie 16. (1 pkt)

Przyprostokàtna trójkàta prostokàtnego ma d∏ugoÊç 5, a przeciwprostokàtna ma d∏ugoÊç 7. Kàt

a jest

najmniejszym kàtem tego trójkàta. Wówczas:

A. sin

7

5

=

a

B. sin

5

7

=

a

C. sin

7

2 6

=

a

D. sin

5

2 6

=

a

Zadanie 17. (1 pkt)

JeÊli trójkàt prostokàtny jest wpisany w okràg o promieniu 6, a jednym z jego kàtów ostrych jest kàt

60c

=

a

, to pole tego trójkàta jest równe:

A. 18

B. 36

C. 9 3

D. 18 3

Zadanie 18. (1 pkt)

Dany jest trapez równoramienny o podstawach

,

AB CD

. Przed∏u˝enia ramion przecinajà si´ w punkcie

O

. JeÊli

,

,

AB

CD

BC

AD

20

15

6

=

=

=

=

, to:

A. BO

24

=

B. BO

18

=

C.

,

BO

4 5

=

D.

,

BO

10 5

=

Zadanie 19. (1 pkt)

Dany jest kwadrat o przekàtnej 4. Z wierzcho∏ka kwadratu zatoczono ko∏o o promieniu równym
d∏ugoÊci boku kwadratu. Pole figury b´dàcej ró˝nicà kwadratu i ko∏a jest równe:
A. 8

32

-

r

B. 2

8

-

r

C. 8

2

-

r

D. 32

8

-

r

4

Zadanie 20. (1 pkt)

Dla dowolnego trójkàta prawdziwe jest zdanie:
A. Ârodek okr´gu wpisanego w trójkàt to punkt przeci´cia si´ Êrodkowych trójkàta.
B. Ârodek okr´gu wpisanego w trójkàt to punkt przeci´cia si´ dwusiecznych kàtów trójkàta.
C. Ârodek okr´gu opisanego na trójkàcie to punkt przeci´cia si´ dwusiecznych kàtów trójkàta.
D. Ârodek okr´gu opisanego na trójkàcie to punkt przeci´cia si´ wysokoÊci trójkàta.

Zadanie 21. (1 pkt)

Mo˝na zbudowaç trójkàt z odcinków , ,

a b c

, jeÊli:

A.

,

,

a

b

c

4

4

9

=

=

=

B.

,

,

a

b

c

4

5

9

=

=

=

C.

,

,

a

b

c

8

5

4

=

=

=

D.

,

,

a

b

c

8

3

4

=

=

=

Zadanie 22. (1 pkt)

Okràg ma Êrodek

,

S

6 1

= -

_

i

i promieƒ r

4

=

. Równanie tego okr´gu to:

A. x

y

6

1

16

2

2

-

+

+

=

_

_

i

i

B. x

y

6

1

16

2

2

+

+

-

=

_

_

i

i

C. x

y

6

1

4

2

2

-

+

+

=

_

_

i

i

D. x

y

6

1

4

2

2

+

+

-

=

_

_

i

i

Zadanie 23. (1 pkt)

Proste o równaniach :

l

x

y

3

4

1

-

= -

i :

k

x

y

8

6

1

+

=

:

A. sà równoleg∏e

B. sà prostopad∏e

C. przecinajà si´ w punkcie ,

1

1

-

_

i

D. przecinajà si´ w punkcie

,

1

1

-

-

_

i

ZADANIA OTWARTE

Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 24. do 32. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod

treÊcià zadania.

Zadanie 24. (2 pkt)

Oblicz wartoÊç liczby x

5

3

1

3

1

81

3

3

3

2

1

3

1

2

$

=

-

+

-

-

-

.

Matematyka. Poziom podstawowy

5

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 25. (2 pkt)

Dany jest trójkàt prostokàtny o polu 2 3 i kàcie ostrym 30c. Oblicz d∏ugoÊci przyprostokàtnych tego
trójkàta.

Zadanie 26. (2 pkt)

Wyka˝, ˝e liczba

...

3

3

3

3

3

2

3

4

100

+

+

+

+

+

jest podzielna przez 6.

6

Zadanie 27. (2 pkt)

Dany jest trójmian kwadratowy f o wspó∏czynniku 2 przy najwy˝szej pot´dze x. Wierzcho∏ek
paraboli b´dàcej wykresem tego trójmianu ma wspó∏rz´dne

,

W

5

10

=

-

_

i

. Wyznacz (

)

f 15

.

Zadanie 28. (2 pkt)

Wyka˝, ˝e dla ka˝dego kàta ostrego

a prawdziwy jest wzór

sin

sin

cos

cos

tg

3

3

-

-

=

a

a

a

a

a.

Matematyka. Poziom podstawowy

7

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 29. (2 pkt)

Wyka˝, ˝e trójkàt o wierzcho∏kach

,

,

,

,

,

A

B

C

1 2

2

4

4

7

=

= -

-

=

-

_

_

_

i

i

i

jest trójkàtem prostokàtnym.

8

Zadanie 30. (5 pkt)

Turysta przeszed∏ tras´ d∏ugoÊci 24 km ze sta∏à pr´dkoÊcià. Gdyby pr´dkoÊç t´ zwi´kszy∏ o ,

.

1 2

godz

km ,

to t´ samà drog´ przeszed∏by w czasie o 1 godzin´ krótszym. Oblicz rzeczywistà pr´dkoÊç turysty
i czas, w którym przeby∏ tras´.

Matematyka. Poziom podstawowy

9

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 31. (5 pkt)

Dany jest ostros∏up prawid∏owy czworokàtny o kraw´dzi bocznej dwa razy wi´kszej od kraw´dzi
podstawy.
a) Wyznacz cosinus kàta nachylenia Êciany bocznej do p∏aszczyzny podstawy ostros∏upa.
b) Wyznacz d∏ugoÊç kraw´dzi ostros∏upa, tak aby pole jego powierzchni bocznej wynosi∏o 36 15.

10

Zadanie 32. (5 pkt)

W urnie znajdujà si´ kule bia∏e, zielone i czerwone. Kul zielonych jest dwa razy wi´cej ni˝ kul
bia∏ych, a kul czerwonych jest 3 razy wi´cej ni˝ bia∏ych. Wyj´to dwa razy po jednej kuli bez
zwracania. Oblicz liczb´ kul bia∏ych w urnie, jeÊli prawdopodobieƒstwo wylosowania dwóch kul

zielonych jest równe

51

5 .

Matematyka. Poziom podstawowy

11