Za rozwiàzanie

wszystkich zadaƒ

mo˝na otrzymaç

∏àcznie 50 punktów.

PRZYK¸ADOWY ARKUSZ

EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

POZIOM PODSTAWOWY

Czas pracy: 170 minut

Instrukcja dla zdajàcego

1.

Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.

2.

W zadaniach od 1. do 21. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.

3.

Rozwiàzania zadaƒ od 22. do 31. zapisz starannie i czytel-
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu-
mowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.

4.

Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.

5.

Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.

6.

Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.

7.

Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymal-
na liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.

8.

Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.

˚yczymy powodzenia!

ARKUSZ 7

MATURA 2010

Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON

na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà

ZADANIA ZAMKNI¢TE

W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.

Zadanie 1. (1 pkt)

WartoÊç wyra˝enia W

3

3

3

4

$

= -

-

_

`

i

j

pomno˝ono przez 2. WartoÊç tego wyra˝enia:

A. zmniejszy∏a si´ o 3

B. zwi´kszy∏a si´ o 3

C. zmniejszy∏a si´ o 2 D. zwi´kszy∏a si´ o 2

Zadanie 2. (1 pkt)

Liczba x

n

n

2

=

+

jest liczbà ca∏kowità. Liczb naturalnych n spe∏niajàcych warunki zadania:

A. nie ma

B. sà dwie

C. sà trzy

D. jest nieskoƒczenie wiele

Zadanie 3. (1 pkt)

Suma dwóch liczb niewymiernych:
A. mo˝e byç liczbà ca∏kowità

B. nie mo˝e byç liczba ca∏kowità

C. jest zawsze liczbà niewymiernà

D. nie mo˝e byç liczbà wymiernà

Zadanie 4. (1 pkt)

Funkcja okreÊlona wzorem ( )

f x

x

x

x

x

2

0

1

1

0

2

dla

dla

dla

G

=

+

=

=

*

jest:

A. rosnàca

B. malejàca

C. malejàca w zbiorze

, ,

0 1 2

#

-

D. rosnàca w zbiorze

,

, ,

2

1 0 1

-

-

#

-

Zadanie 5. (1 pkt)

Punkt

,

A

a

3

=

`

j

nale˝y do prostej o równaniu

x

y

3

2

3 3

0

-

+

=

. Wynika stàd, ˝e:

A. a

2 3

= -

B. a

2 3

=

C. a

2

3

2

3

3

= -

-

D. a

2

3

2

3

3

=

+

Zadanie 6. (1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiàzaƒ równania x

x

= -

jest:

A.

,

0

3

+

_

i

B.

,0

3

-

`

C.

1

-

# -

D. Q

Zadanie 7. (1 pkt)

JeÊli x

x

x

6

9

3

2

-

+

=

-

, to liczba x mo˝e byç równa:

A. 8

B. 6

C. 4

D. 2

Zadanie 8. (1 pkt)

WartoÊç wielomianu ( )

W x

x

x

x

3

4

3

2

=

-

+

w punkcie a jest równa 12. Wynika stàd, ˝e:

A. a

3

= -

B. a

a

2

2

0

= -

=

C. a

a

a

2

2

3

0

0

=

= -

=

D. a

3

=

Zadanie 9. (1 pkt)

Dana jest funkcja f okreÊlona wzorem ( )

f x

3

x

=

-

. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu

funkcji f wzgl´dem osi OX. Zatem:
A. ( )

g x

3

x

= -

-

B. ( )

g x

3

x

= -

C. ( )

g x

3

x

=

D. ( )

g x

3

2

x

=

-

-

Matematyka. Poziom podstawowy

3

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 10. (1 pkt)

Pierwszy wyraz ciàgu arytmetycznego jest równy 8, a ró˝nica wynosi 7. Wyrazem tego ciàgu jest
liczba:
A. 11

B. 17

C. 43

D. 56

Zadanie 11. (1 pkt)

Dany jest ciàg geometryczny o wyrazie ogólnym a

2

n

n

=

. Liczba wyrazów tego ciàgu mniejszych od

32

jest równa:

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Zadanie 12. (1 pkt)

Ciàg a

n

_ i

o wyrazie ogólnym a

n

1

n

=

jest ciàgiem:

A. rosnàcym

B. malejàcym

C. arytmetycznym

D. geometrycznym

Zadanie 13. (1 pkt)

Ârodkiem okr´gu opisanego na trójkàcie jest punkt przeci´cia si´:
A. dwusiecznych kàtów trójkàta

B. symetralnych boków trójkàta

C. wysokoÊci trójkàta

D. Êrodkowych trójkàta

Zadanie 14. (1 pkt)

Dane sà dwa okr´gi o Êrodkach ,

S S

1

2

i promieniach odpowiednio równych ,

r r

1

2

. JeÊli S S

12

1

2

=

, r

20

1

=

,

r

10

2

=

, to okr´gi:

A. sà styczne zewn´trznie

B. sà styczne wewn´trznie

C. nie majà punktów wspólnych

D. majà dwa punkty wspólne

Zadanie 15. (1 pkt)

Dany jest równoramienny trójkàt ABC o kàcie przy podstawie AB równym 20c. Punkt O jest Êrodkiem
okr´gu wpisanego w ten trójkàt. Przez punkty A i O poprowadzono prostà, która przeci´∏a bok BC
w punkcie D. JeÊli miara kàta ADC jest równa

a, to:

A.

10c

=

a

B.

20c

=

a

C.

30c

=

a

D.

40c

=

a

Zadanie 16. (1 pkt)

Stosunek boków prostokàta jest równy :

1 2

. Przekàtna prostokàta tworzy z d∏u˝szym bokiem

prostokàta kàt

a, taki, ˝e:

A. cos

3

3

=

a

B. cos

3

2 3

=

a

C. cos

5

5

=

a

D. cos

5

2 5

=

a

Zadanie 17. (1 pkt)

NierównoÊç x

y

x

y

2

6

10

0

2

2

G

+

-

+

+

przedstawia na p∏aszczyênie:

A. okràg

B. ko∏o

C. punkt

D. zbiór pusty

Zadanie 18. (1 pkt)

Je˝eli obj´toÊç szeÊcianu jest równa 6 6, to przekàtna tego szeÊcianu jest równa:
A. 3 2

B. 2 3

C. 6 3

D. 6 2

4

Zadanie 19. (1 pkt)

Przekrój osiowy sto˝ka jest trójkàtem równoramiennym o stosunku ramienia do podstawy :

3 2

.

Tworzàca sto˝ka tworzy z jego wysokoÊcià kàt

a, taki, ˝e:

A. cos

3

2

=

a

B. cos

3

1

=

a

C. sin

3

1

=

a

D. sin

3

2

=

a

Zadanie 20. (1 pkt)

Prawdopodobieƒstwo, ˝e przy rzucie czterema monetami otrzymamy co najmniej dwa or∏y, jest
równe:

A.

16

3

B.

16

6

C.

16

10

D.

16

11

Zadanie 21. (1 pkt)

Ârednià arytmetycznà liczb , , , , , , ,

3 3 4 4 4 5 5 6

jest liczba:

A. 4

B. ,

4 25

C. ,

4 5

D. ,

8 5

ZADANIA OTWARTE

Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 22. do 31. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod

treÊcià zadania.

Zadanie 22. (2 pkt)

Roz∏ó˝ na czynniki wielomian ( )

W x

x

x

2

7

4

2

=

+

-

.

Matematyka. Poziom podstawowy

5

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 23. (2 pkt)

Odcinek AB jest wysokoÊcià trójkàta równobocznego. Oblicz d∏ugoÊç boku trójkàta, jeÊli wiadomo,
˝e

,

,

,

A

B

3

2

5 2

= -

-

=

_

_

i

i

.

Zadanie 24. (2 pkt)

Wyka˝, ˝e liczba a

4

log 5

2

=

jest liczba ca∏kowità.

6

Zadanie 25. (2 pkt)

Rozwià˝ równanie

x

x

x

x

2

6

2

2

4

-

+

=

-

+ .

Zadanie 26. (2 pkt)

Punkt P le˝y wewnàtrz prostokàta ABCD. Wyka˝, ˝e suma pól trójkàtów APD i BPC jest równa sumie
pól trójkàtów APB i DPC.

Matematyka. Poziom podstawowy

7

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 27. (2 pkt)

Wyka˝, ˝e nie istnieje taka liczba rzeczywista x, aby suma tej liczby i jej odwrotnoÊci by∏a równa 1.

Zadanie 28. (2 pkt)

Tangens kàta nachylenia Êciany bocznej do p∏aszczyzny podstawy ostros∏upa prawid∏owego

czworokàtnego jest równy

3

2. Oblicz tangens nachylenia kraw´dzi bocznej do p∏aszczyzny podstawy

tego ostros∏upa.

8

Zadanie 29. (5 pkt)

Dana jest prosta l o równaniu y

x

3

1

=

-

oraz punkt

,

A

6 2

=

_

i

. Wyznacz punkt B symetryczny do

punktu A wzgl´dem prostej l.

Matematyka. Poziom podstawowy

9

Matematyka. Poziom podstawowy

Zadanie 30. (5 pkt)

Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciàgu arytmetycznego jest równa 42, zaÊ suma
kwadratu wyrazu drugiego i kwadratu wyrazu trzeciego jest równa 185. Wyznacz pierwszy wyraz
i ró˝nic´ tego ciàgu.

10

Zadanie 31. (5 pkt)

Promieƒ okr´gu opisanego na podstawie graniastos∏upa prawid∏owego trójkàtnego ma d∏ugoÊç 4 3.
Pole powierzchni bocznej jest równe 144.
a) Oblicz obj´toÊç tego graniastos∏upa.
b) Oblicz cosinus kàta mi´dzy przekàtnà Êciany bocznej i kraw´dzià podstawy graniastos∏upa.

Matematyka. Poziom podstawowy

11