Za rozwiàzanie
wszystkich zadaƒ
mo˝na otrzymaç
∏àcznie 50 punktów.
PRZYK¸ADOWY ARKUSZ
EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy: 170 minut
Instrukcja dla zdajàcego
1.
Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.
2.
W zadaniach od 1. do 21. sà podane 4 odpowiedzi:
A, B, C, D, z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz
tylko jednà odpowiedê.
3.
Rozwiàzania zadaƒ od 22. do 31. zapisz starannie i czytel-
nie w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozu-
mowania prowadzàcy do ostatecznego wyniku.
4.
Pisz czytelnie. U˝ywaj d∏ugopisu/pióra tylko z czarnym
tuszem/atramentem.
5.
Nie u˝ywaj korektora. B∏´dne zapisy przekreÊl.
6.
Pami´taj, ˝e zapisy w brudnopisie nie podlegajà ocenie.
7.
Obok numeru ka˝dego zadania podana jest maksymal-
na liczba punktów mo˝liwych do uzyskania.
8.
Mo˝esz korzystaç z zestawu wzorów matematycznych,
cyrkla i linijki oraz kalkulatora.
˚yczymy powodzenia!
ARKUSZ 7
MATURA 2010
Arkusz opracowany przez Wydawnictwo Pedagogiczne OPERON
na wzór arkuszy opublikowanych przez Centralnà Komisj´ Egzaminacyjnà
ZADANIA ZAMKNI¢TE
W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jednà poprawnà odpowiedê.
Zadanie 1. (1 pkt)
WartoÊç wyra˝enia W
3
3
3
4
$
= -
-
_
`
i
j
pomno˝ono przez 2. WartoÊç tego wyra˝enia:
A. zmniejszy∏a si´ o 3
B. zwi´kszy∏a si´ o 3
C. zmniejszy∏a si´ o 2 D. zwi´kszy∏a si´ o 2
Zadanie 2. (1 pkt)
Liczba x
n
n
2
=
+
jest liczbà ca∏kowità. Liczb naturalnych n spe∏niajàcych warunki zadania:
A. nie ma
B. sà dwie
C. sà trzy
D. jest nieskoƒczenie wiele
Zadanie 3. (1 pkt)
Suma dwóch liczb niewymiernych:
A. mo˝e byç liczbà ca∏kowità
B. nie mo˝e byç liczba ca∏kowità
C. jest zawsze liczbà niewymiernà
D. nie mo˝e byç liczbà wymiernà
Zadanie 4. (1 pkt)
Funkcja okreÊlona wzorem ( )
f x
x
x
x
x
2
0
1
1
0
2
dla
dla
dla
G
=
+
=
=
*
jest:
A. rosnàca
B. malejàca
C. malejàca w zbiorze
, ,
0 1 2
#
-
D. rosnàca w zbiorze
,
, ,
2
1 0 1
-
-
#
-
Zadanie 5. (1 pkt)
Punkt
,
A
a
3
=
`
j
nale˝y do prostej o równaniu
x
y
3
2
3 3
0
-
+
=
. Wynika stàd, ˝e:
A. a
2 3
= -
B. a
2 3
=
C. a
2
3
2
3
3
= -
-
D. a
2
3
2
3
3
=
+
Zadanie 6. (1 pkt)
Zbiorem wszystkich rozwiàzaƒ równania x
x
= -
jest:
A.
,
0
3
+
_
i
B.
,0
3
-
`
C.
1
-
# -
D. Q
Zadanie 7. (1 pkt)
JeÊli x
x
x
6
9
3
2
-
+
=
-
, to liczba x mo˝e byç równa:
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
Zadanie 8. (1 pkt)
WartoÊç wielomianu ( )
W x
x
x
x
3
4
3
2
=
-
+
w punkcie a jest równa 12. Wynika stàd, ˝e:
A. a
3
= -
B. a
a
2
2
0
= -
=
C. a
a
a
2
2
3
0
0
=
= -
=
D. a
3
=
Zadanie 9. (1 pkt)
Dana jest funkcja f okreÊlona wzorem ( )
f x
3
x
=
-
. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu
funkcji f wzgl´dem osi OX. Zatem:
A. ( )
g x
3
x
= -
-
B. ( )
g x
3
x
= -
C. ( )
g x
3
x
=
D. ( )
g x
3
2
x
=
-
-
Matematyka. Poziom podstawowy
3
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 10. (1 pkt)
Pierwszy wyraz ciàgu arytmetycznego jest równy 8, a ró˝nica wynosi 7. Wyrazem tego ciàgu jest
liczba:
A. 11
B. 17
C. 43
D. 56
Zadanie 11. (1 pkt)
Dany jest ciàg geometryczny o wyrazie ogólnym a
2
n
n
=
. Liczba wyrazów tego ciàgu mniejszych od
32
jest równa:
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
Zadanie 12. (1 pkt)
Ciàg a
n
_ i
o wyrazie ogólnym a
n
1
n
=
jest ciàgiem:
A. rosnàcym
B. malejàcym
C. arytmetycznym
D. geometrycznym
Zadanie 13. (1 pkt)
Ârodkiem okr´gu opisanego na trójkàcie jest punkt przeci´cia si´:
A. dwusiecznych kàtów trójkàta
B. symetralnych boków trójkàta
C. wysokoÊci trójkàta
D. Êrodkowych trójkàta
Zadanie 14. (1 pkt)
Dane sà dwa okr´gi o Êrodkach ,
S S
1
2
i promieniach odpowiednio równych ,
r r
1
2
. JeÊli S S
12
1
2
=
, r
20
1
=
,
r
10
2
=
, to okr´gi:
A. sà styczne zewn´trznie
B. sà styczne wewn´trznie
C. nie majà punktów wspólnych
D. majà dwa punkty wspólne
Zadanie 15. (1 pkt)
Dany jest równoramienny trójkàt ABC o kàcie przy podstawie AB równym 20c. Punkt O jest Êrodkiem
okr´gu wpisanego w ten trójkàt. Przez punkty A i O poprowadzono prostà, która przeci´∏a bok BC
w punkcie D. JeÊli miara kàta ADC jest równa
a, to:
A.
10c
=
a
B.
20c
=
a
C.
30c
=
a
D.
40c
=
a
Zadanie 16. (1 pkt)
Stosunek boków prostokàta jest równy :
1 2
. Przekàtna prostokàta tworzy z d∏u˝szym bokiem
prostokàta kàt
a, taki, ˝e:
A. cos
3
3
=
a
B. cos
3
2 3
=
a
C. cos
5
5
=
a
D. cos
5
2 5
=
a
Zadanie 17. (1 pkt)
NierównoÊç x
y
x
y
2
6
10
0
2
2
G
+
-
+
+
przedstawia na p∏aszczyênie:
A. okràg
B. ko∏o
C. punkt
D. zbiór pusty
Zadanie 18. (1 pkt)
Je˝eli obj´toÊç szeÊcianu jest równa 6 6, to przekàtna tego szeÊcianu jest równa:
A. 3 2
B. 2 3
C. 6 3
D. 6 2
4
Zadanie 19. (1 pkt)
Przekrój osiowy sto˝ka jest trójkàtem równoramiennym o stosunku ramienia do podstawy :
3 2
.
Tworzàca sto˝ka tworzy z jego wysokoÊcià kàt
a, taki, ˝e:
A. cos
3
2
=
a
B. cos
3
1
=
a
C. sin
3
1
=
a
D. sin
3
2
=
a
Zadanie 20. (1 pkt)
Prawdopodobieƒstwo, ˝e przy rzucie czterema monetami otrzymamy co najmniej dwa or∏y, jest
równe:
A.
16
3
B.
16
6
C.
16
10
D.
16
11
Zadanie 21. (1 pkt)
Ârednià arytmetycznà liczb , , , , , , ,
3 3 4 4 4 5 5 6
jest liczba:
A. 4
B. ,
4 25
C. ,
4 5
D. ,
8 5
ZADANIA OTWARTE
Rozwiàzania zadaƒ o numerach od 22. do 31. nale˝y zapisaç w wyznaczonych miejscach pod
treÊcià zadania.
Zadanie 22. (2 pkt)
Roz∏ó˝ na czynniki wielomian ( )
W x
x
x
2
7
4
2
=
+
-
.
Matematyka. Poziom podstawowy
5
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 23. (2 pkt)
Odcinek AB jest wysokoÊcià trójkàta równobocznego. Oblicz d∏ugoÊç boku trójkàta, jeÊli wiadomo,
˝e
,
,
,
A
B
3
2
5 2
= -
-
=
_
_
i
i
.
Zadanie 24. (2 pkt)
Wyka˝, ˝e liczba a
4
log 5
2
=
jest liczba ca∏kowità.
6
Zadanie 25. (2 pkt)
Rozwià˝ równanie
x
x
x
x
2
6
2
2
4
-
+
=
-
+ .
Zadanie 26. (2 pkt)
Punkt P le˝y wewnàtrz prostokàta ABCD. Wyka˝, ˝e suma pól trójkàtów APD i BPC jest równa sumie
pól trójkàtów APB i DPC.
Matematyka. Poziom podstawowy
7
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 27. (2 pkt)
Wyka˝, ˝e nie istnieje taka liczba rzeczywista x, aby suma tej liczby i jej odwrotnoÊci by∏a równa 1.
Zadanie 28. (2 pkt)
Tangens kàta nachylenia Êciany bocznej do p∏aszczyzny podstawy ostros∏upa prawid∏owego
czworokàtnego jest równy
3
2. Oblicz tangens nachylenia kraw´dzi bocznej do p∏aszczyzny podstawy
tego ostros∏upa.
8
Zadanie 29. (5 pkt)
Dana jest prosta l o równaniu y
x
3
1
=
-
oraz punkt
,
A
6 2
=
_
i
. Wyznacz punkt B symetryczny do
punktu A wzgl´dem prostej l.
Matematyka. Poziom podstawowy
9
Matematyka. Poziom podstawowy
Zadanie 30. (5 pkt)
Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciàgu arytmetycznego jest równa 42, zaÊ suma
kwadratu wyrazu drugiego i kwadratu wyrazu trzeciego jest równa 185. Wyznacz pierwszy wyraz
i ró˝nic´ tego ciàgu.
10
Zadanie 31. (5 pkt)
Promieƒ okr´gu opisanego na podstawie graniastos∏upa prawid∏owego trójkàtnego ma d∏ugoÊç 4 3.
Pole powierzchni bocznej jest równe 144.
a) Oblicz obj´toÊç tego graniastos∏upa.
b) Oblicz cosinus kàta mi´dzy przekàtnà Êciany bocznej i kraw´dzià podstawy graniastos∏upa.
Matematyka. Poziom podstawowy
11