Permutacja ciągu (1,…,n)

-ciąg złożony z tych samych liczb lecz w innej kolejności

Permutacja elementarna

– permutacja polegająca na zamianie miejsc dwóch elementów,

np. 1,2,3,4,5,6 → 1,2,6,4,5,3

Złożenie permutacji też jest permutacją.

Permutację nazywamy

permutacją parzystą

jeżeli jest złożeniem parzystej ilości permutacji

elementarnych.

Permutację nazywamy

permutacją nieparzystą

jeżeli jest złożeniem nieparzystej ilości złożeniem

permutacji elementarnych.
Przykład:
(1,2,3,4,5,6) →

(2,6,5,3,1,4)

(

2

,

1

,3,4,5,6)

(1,6,5,3,2,4)

(2,

6

,3,4,5,

1

)

(1,2,5,3,6,4)

(2,6,

5

,4,

3

,1)

(1,2,3,5,6,4)

(2,6,5,

3

,

4

,1)

(1,2,3,4,6,5)

(2,6,5,3,

1

,

4

)

(1,2,3,4,5,6)

Permutacją g ciągu (1,…,n) nazywamy permutacją odwrotną do permutacji f jeżeli złożenie g◦f = f◦g
jest permutacją identycznościową.

Tw.

Jeżeli permutacja f jest parzysta (nieparzysta) to permutacja f

-1

jest parzysta (nieparzysta).

5

1

4

6

3

2

1

2

3

4

5

6

(klocki)
1

2

3

4

5

6

2

6

5

3

1

4

{1, jeżeli (i1,…,i1) jest parzystą permutacją ciągu (1,…,n)
δ(i1,…,in)= {-1, jeżeli ciąg (i1…in) jest nieparzystą permutacją ciągu (1,…,n)
{0, jeżeli ciąg (i1,…,in) nie jest permutacją ciągu (1,…,n)

Df

. Formą wieloliniową antysymetryczną określoną na kolumnach macierzy kwadratowej A wymiary

nxn, która na kolumnach macierzy jednostkowych przyjmuje wartość 1 nazywamy wyznacznikiem a
jej wartość na kolumnach macierzy A nazywamy wyznacznikiem macierzy A i oznaczamy detA lub |A|.

Własności:

1°

det I=1

2° i 3◦ wyznacznik jest liniowy względem każdej kolumny oddzielnie
4°

wyznacznik macierzy zawierającej kolumnę zer wynosi zero.

5°

wyznacznik macierzy, w której 2 kolumny są identyczne wynosi 0

6°

zamiana miejscami dwóch kolumn macierzy skutkuje pomnożeniem wyznacznika
przez -1

7°

do kolumny macierzy można dodać inna kolumnę pomnożoną przez dowolną stałą,
nie zmieniając wyznacznika

8°

=

…

∗ … ∗

det( , … , ) =

∗ … ∗

( , … , )

9°

=

…

∗ … ∗

( , … , ) =

=

∗ … ∗

( , … , ) =

…

∗ … ∗

( , … , )

=

10°

Własności 2°-7° dotyczą także wierszy macierzy.

We wzorze 8° jest

n

n

n!

mnożeń.

Przykłady:
1°

A=a

11

, detA=a

11

2°

A=

, det A = a

11

a

22

-a

21

a

12

3°

A=

, det A = a

11

a

22

a

33

- a

21

a

12

a

33

+ a

21

a

32

a

13

- a

31

a

22

a

13

+ a

31

a

12

a

23

- a

11

a

32

a

23

reguła Sarrusa

(dotyczy tylko wyznaczników 3x3)

Rozwinięcie Laplace’a wyznacznika

(a

1,1

, a

1,2

, … , a

1,n

) (a

1,1

, a

1,2

, … , a

1,n

) (a

1,1

, … , a

1,n-1

, a

1,n

)

(

⋮ ⋮ ⋮ ) ( ⋮ ⋮ ⋮ ) ( ⋮ ⋮ ⋮ )

(a

i-1,1

, a

i-1,2

, … , a

i-1,n

) (a

i-1,1

, a

i-1,2

, … , a

i-1,n

) (a

i-1,1

, … , a

i-1,n-1

, a

i-1,n

)

det (

a

i,1

, a

i,2

, … , a

i,n

) = det(

a

i,1

, 0, …, 0

) + … + det

( 0 , … , 0 , a

i,n

)

=

(a

i+1,1

, a

i+1,2

, … , a

i+1,n

) (a

i+1,1

, a

i+1,,

, … , a

i+1,n

) (a

i+1,1

, … , a

i+1,n-1

, a

i+1,n

)

(

⋮ ⋮ ⋮ ) ( ⋮ ⋮ ⋮ ) ( ⋮ ⋮ ⋮ )

(a

n,1

, a

n,2

, … , a

n,n

) (a

n,1

, a

n,2

, … , a

n,n

) (a

n,1

, … , a

n,n-1

, a

n,n

)

(a

11

, a

12

, … , a

1n

) (a

11

, a

12

, … , a

1n

)

(

⋮ ⋮ ⋮ ) ( ⋮ ⋮ ⋮ )

(a

i-1,1

, a

i-1,2

, … , a

i-1,n

) ( a

i-1,1

, 1 , … , a

i-1,n

)

=a

i1

det( 1 , 0 , … , 0 ) + a

i,n

det( 0 1 ) =

(a

i+1,1

, a

i+1,2

, … , a

i+1,n

) (a

i+1,1

, 1 , … , a

i+1,n

)

(

⋮ ⋮ ⋮ ) ( ⋮ ⋮ ⋮ )

(a

n,1

, a

n,2

, ... , a

n,n

) (a

n,1

, a

n,2

, … , a

n,n

)

(a

11

, … , a

1,j-1

, a

1,j+1

, … , a

1,n

)

(

⋮ ⋮ )

(a

i-1,1

, … , a

i-1,j-1

, a

i-1,j+1

, … , a

i-1,n

)

=

∑

(−1)

(a

i+1,1

, … , a

i+1,j-1

, a

i+1,j+1

, … , a

i+1,n

) =

∑

(−1)

! =

∑

=

(

⋮ ⋮ )

(a

n,1

, … , a

n,j-1

, a

n,j+1

, … , a

n,n

)

↑Minor nr ij

=

∑

=

~dopełnienie algebraiczne element macierzy A