1

Krzywa zadana równaniem we współrzędnych biegunowych

L :

r = r(ϕ),

ϕ

1

6 ϕ 6 ϕ

2

Przykład

Sprowadzić całkę krzywoliniową

Z

L

f (x, y) dl

do całki oznaczonej, jeżeli łuk gładki L jest dany we współrzędnych biegunowych.

Rozwiązanie

Łuk L we współrzędnych biegunowych opisze się:

L ; x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, ϕ

1

6 ϕ 6 ϕ

2

.

Stąd

x

0

= r

0

(ϕ) cos ϕ − r(ϕ) sin ϕ

y

0

= r

0

(ϕ) sin ϕ + r(ϕ) cos ϕ

i

x

02

= r

02

(ϕ) cos

2

ϕ − 2 r(ϕ)r

0

(ϕ) sin ϕ cos ϕ + r

2

(ϕ) sin

2

ϕ

y

02

= r

02

(ϕ) sin

2

ϕ + 2 r(ϕ)r

0

(ϕ) sin ϕ cos ϕ + r

2

(ϕ) cos

2

ϕ.

Zatem

x

02

+ y

02

= r

02

(ϕ) + r

2

(ϕ).

Policzmy więc całkę krzywoliniową:

Z

L

f (x, y) dl =

ϕ

2

Z

ϕ

1

f ( x(ϕ) , y(ϕ) )

q

x

02

(ϕ) + y

02

(ϕ) dϕ =

2

=

ϕ

2

Z

ϕ

1

f ( r(ϕ) cos ϕ , r(ϕ) sin ϕ )

q

r

2

(ϕ) + r

02

(ϕ) dϕ

Przykład

Oblicz masę kardioidy danej równaniem r = a( 1 + cos ϕ ) dla 0

6 ϕ 6 2π, jeżeli

gęstość masy tej krzywej wynosi %(x, y) =

q

2

√

x

2

+ y

2

.

Rozwiązanie

Ponieważ

L ; x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ, 0 6 ϕ 6 2π,

to gęstośc masy

%(x, y) =

r

2

q

x

2

+ y

2

=

q

2r(ϕ) =

q

2a( 1 + cos ϕ )

i

r

2

= a

2

( 1 + cos ϕ )

2

= a

2



1 + 2 cos ϕ + cos

2

ϕ



r

02

= a

2

sin

2

ϕ,

a tym samym

r

2

+ r

02

= a

2

( 2 + 2 cos ϕ ).

Zatem masa

M =

Z

L

%(x, y) dl =

2π

Z

0

q

2a( 1 + cos ϕ )·

q

a

2

( 2 + 2 cos ϕ ) dϕ = 2a

√

a

2π

Z

0

( 1+cos ϕ ) dϕ = 4πa

√

a.