PROJEKT NR 3 – KOMPUTEROWA METODA PRZEMIESZCZEŃ
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
WYDZIAŁ BUDOWNICTWA I INśYNIERII ŚRODOWISKA
INSTYTUT KONSTRUKCJI BUDOWLANYCH
ZAKŁAD MECHANIKI BUDOWLI
PROJEKT NR 3 – KOMPUTEROWA METODA PRZEMIESZCZEŃ
TEMAT: Dla układu przedstawionego na rysunku obliczyć rozkład sił wewnętrznych, korzystając z
komputerowej metody przemieszczeń.
schemat konstrukcji
Dane:
E=205 GPa
Pręty pionowe (I)
I200
A
I
=33,5 cm
2
EA
I
=686750 kN
I
I
=2140,0 cm
4
EI
I
=4387,0 kNm2
Pręty poziome (II)
I220
A
II
=39,6 cm
2
EA
II
=811800 kN
I
II
=3060,0 cm
4
EI
II
=6273,0 kNm2
Określenie SGN:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Grzegorz Kamyszek KBI 1
1/8
PROJEKT NR 3 – KOMPUTEROWA METODA PRZEMIESZCZEŃ
MACIERZE SZTYWNOŚCI POSZCZEGÓLNYCH PRĘTÓW:
T
K
T
K
T
~
=
Pręt 1 – pręt obustronnie utwierdzony
Macierz sztywności pręta w układzie lokalnym:
196214,3
0
0
-196214,3
0
0
0
1227,8
2148,7
0
-1227,8
2148,7
K`(1)=
0
2148,7
5013,7
0
-2148,7
2506,9
-196214,3
0
0
196214,3
0
0
0
-1227,8
-2148,7
0
1227,8
-2148,7
0
2148,7
2506,9
0
-2148,7
5013,7
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
T=
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
T
T
=
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
1
1227,8
0
2148,7
-1227,8
0
2148,7
0
196214,3
0
0
-196214,3
0
K(1)=
2148,7
0
5013,7
-2148,7
0
2506,9
-1227,8
0
-2148,7
1227,8
0
-2148,7
0
-196214,3
0
0
196214,3
0
2148,7
0
2506,9
-2148,7
0
5013,7
Macierz sztywności pręta w układzie globalnym
Pręt 2 – pręt obustronnie utwierdzony
Macierz sztywności pręta w układzie lokalnym/globalnym:
124892,3
0
0
-124892,3
0
0
0
274,1
890,8
0
-274,1
890,8
K(2)=
0
890,8
3860,3
0
-890,8
1930,2
-124892,3
0
0
124892,3
0
0
0
-274,1
-890,8
0
274,1
-890,8
0
890,8
1930,2
0
-890,8
3860,3
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Grzegorz Kamyszek KBI 1
2/8
dane:
l=
3,5
EI=
4387
EA=
686750
dane:
l=
6,5
EI=
6273
EA=
811800
PROJEKT NR 3 – KOMPUTEROWA METODA PRZEMIESZCZEŃ
Pręt 3 – pręt z przegubem na prawym końcu
Macierz sztywności pręta w układzie lokalnym:
Macierz transformacji jak dla pręta 1
Macierz sztywności pręta w układzie globalnym:
307,0
0
1074,4
-307,0
0
0,0
0
196214,3
0
0
-196214,3
0
K(3)=
1074,4
0
3760,3
-1074,4
0
0,0
-307,0
0
-1074,4
307,0
0
0,0
0
-196214,3
0
0
196214,3
0
0,0
0
0,0
0,0
0
0,0
Pręt 4 – pręt z przegubem na lewym końcu
TABELA POWIĄZAŃ
124892,3
0
0
-124892,3
0
0
0
68,5
0
0
-68,5
445,4
K(4)=
0
0
0
0
0
0
-124892,3
0
0
124892,3
0
0
0
-68,5
0
0
68,5
-445,4
0
445,4
0
0
-445,4
2895,2
Tabela powiązań:
Nr 1 2 3 4 5 6
1
1
2
3
4
5
6
2
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6 10 11 12
4
10 11 13 14 15 16
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Grzegorz Kamyszek KBI 1
3/8
dane:
l=
3,5
EI=
4387
EA=
686750
196214,3
0
0
-196214,3
0
0
0
307,0
1074,4
0
-307,0
0
K`(3)=
0
1074,4
3760,3
0
-1074,4
0
-196214,3
0
0
196214,3
0
0
0
-307,0
-1074,4
0
307,0
0
0
0
0
0
0
0
dane:
l=
6,5
EI=
6273
EA=
811800
PROJEKT NR 3 – KOMPUTEROWA METODA PRZEMIESZCZEŃ
MACIERZ SZTYWNOŚĆI DLA CAŁEGO UKŁADU:
W wierszu 4, 5, 6 i kolumnie 4, 5, 6 naleŜy dodać do siebie macierze 1, 2, 3.
W wierszu 10, 11 i kolumnie 10, 11 naleŜy dodać do siebie macierze 3 i 4.
Obliczenie wektora P:
0
R
P
P
W
−
=
0
=
W
P
-
brak obciąŜenia zewnętrznego
Pręt 1:
)
1
(
~
)
1
(
~
)
1
(
0
~
q
K
R
=
transformacja do układu globalnego
Pręt 2:
)
2
(
~
)
2
(
~
)
2
(
0
~
q
K
R
=
układ nie wymaga transformacji
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Grzegorz Kamyszek KBI 1
4/8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
1227,8
0
2148,7
-1227,8
0
2148,7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
196214,3
0
0
-196214,3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
2148,7
0
5013,7
-2148,7
0
2506,9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
-1227,8
0
-2148,7
126427,1
0
-1074,4
-124892,3
0
0
-307,0
0
0
0
0
0
0
5
0
-196214,3
0
0
392702,7
890,8
0
-274,1
890,8
0
-196214,3
0
0
0
0
0
6
2148,7
0
2506,9
-1074,4
890,8
12634,3
0
-890,8
1930,2
-1074,4
0
0
0
0
0
0
7
0
0
0
-124892,3
0
0
124892,3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
0
0
0
0
-274,1
-890,8
0
274,1
-890,8
0
0
0
0
0
0
0
9
0
0
0
0
890,8
1930,2
0
-890,8
3860,3
0
0
0
0
0
0
0
10
0
0
0
-307,0
0
-1074,4
0
0
0
125199,3
0
0
0
-124892,3
0
0
11
0
0
0
0
-196214,3
0
0
0
0
0
196282,8
0
0
0
-68,5
445,4
12
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-124892,3
0
0
0
124892,3
0
0
15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,0
-68,5
0
0
0
68,5
-445,4
16
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0,0
445,4
0
0
0
-445,4
2895,2
macierz sztywno
ś
ci pr
ę
ta 1
macierz sztywno
ś
ci pr
ę
ta 3
macierz sztywno
ś
ci pr
ę
ta 2
macierz sztywno
ś
ci pr
ę
ta 4
027
,
10
594
,
8
429
,
392
055
,
20
595
,
8
43
,
392
0
0
0
004
,
0
0
002
,
0
)
1
(
~
)
1
(
0
~
−
−
−
−
=
−
−
=
K
R
)
1
(
0
~
0
)
(
R
T
R
T
e
=
027
,
10
43
,
392
594
,
8
055
,
20
43
,
392
595
,
8
)
(
0
−
−
−
−
=
e
R
0
0
892
,
124
0
0
89
,
124
0
0
001
,
0
0
0
0
)
2
(
~
)
2
(
0
~
−
=
=
K
R
)
2
(
0
~
0
)
(
R
R
e
=
PROJEKT NR 3 – KOMPUTEROWA METODA PRZEMIESZCZEŃ
Pręt 3:
)
3
(
~
)
3
(
~
)
3
(
0
~
q
K
R
=
układ nie wymaga transformacji
Pręt 4:
)
4
(
~
)
4
(
~
)
4
(
0
~
q
K
R
=
układ nie wymaga transformacji
Wektor P po agregacji:
7817
,
1
16
2741
,
0
15
0
14
0
13
0
12
2741
,
0
11
0
10
0
9
0
8
89
,
124
7
027
,
10
6
429
,
392
5
297
,
116
4
055
,
20
3
43
,
392
2
595
,
8
1
0
−
−
−
=
−
=
R
P
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Grzegorz Kamyszek KBI 1
5/8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
)
3
(
~
)
3
(
0
~
=
=
K
R
)
3
(
0
~
0
)
(
R
R
e
=
782
,
1
274
,
0
0
0
274
,
0
0
0
004
,
0
0
0
0
0
)
4
(
~
)
4
(
0
~
−
−
=
=
K
R
)
4
(
0
~
0
)
(
R
R
e
=
PROJEKT NR 3 – KOMPUTEROWA METODA PRZEMIESZCZEŃ
Po uwzględnieniu warunków podparcia (wykreśleni wierszy oraz kolumn nr 1, 2, 3, 7, 8, 9, 14, 15, 16 oraz
redukcji prętów 3 i 4 otrzymuję układ:
]
1
5
[
]
1
5
[
]
5
5
[
x
x
x
P
q
K
=
⋅
K
q
P
4
5
6
10
11
4
126427,1
0
-1074,4
-307,0
0
q1
116,2974
5
0
392702,7
890,8
0
-196214,3
q2
392,4286
6
-1074,4
890,8
12634,3
-1074,4
0
*
q3
=
10,02743
10
-307,0
0
-1074,4
125199,3
0
q4
0
11
0
-196214,3
0
0
196282,8
q5
0,274105
Po rozwiązaniu układu otrzymujemy wektor przemieszczeń węzłowych:
001995
,
0
000009
,
0
000733
,
0
001995
,
0
000926
,
0
=
P
Wektory przemieszczeń globalne dla poszczególnych prętów:
pr
ę
t1
pr
ę
t2
pr
ę
t3
pr
ę
t4
q
(1)
q
(2)
q
(3)
q
(4)
0
0,000926
0,000926
0,000009
0
0,001995
0,001995
0,001995
0
0,000733
0,000733
1
0,000926
0
0,000009
0
0,001995
0
0,001995
0
0,000733
0
1
0
Wektory przemieszczeń lokalne dla poszczególnych prętów
)
(
)
(
~
e
e
q
T
q
⋅
=
:
pr
ę
t1
pr
ę
t2
pr
ę
t3
pr
ę
t4
q
~(1)
q
~(2)
q
~(3)
q
~(4)
0
0,000926
-0,001995
0,000009
0
0,001995
0,000926
0,001995
0
0,000733
0,000733
1
-0,00199
0
-0,001995
0
0,000926
0
0,000009
0
0,000733
0
1
0
W macierzy przemieszczeń w pręcie 3 oraz 4 występuje niewiadoma powstała w wyniku redukcji tych
prętów, poniewaŜ nie wpływa ona na dalsze obliczenia moŜna w tym miejscu wpisać dowolna liczbę aby
umoŜliwić dalsze obliczenia w programach kalkulacyjnych. Tu wpisano liczbę 1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Grzegorz Kamyszek KBI 1
6/8
PROJEKT NR 3 – KOMPUTEROWA METODA PRZEMIESZCZEŃ
Wektory reakcji węzłowych:
)
(
0
~
)
(
~
)
(
~
)
(
~
e
e
e
e
R
q
K
R
+
⋅
=
pr
ę
t1
pr
ę
t2
pr
ę
t3
pr
ę
t4
R`1
R`2
R`3
R`4
-1,06
-9,23
0,14
1,07
-8,16
1,20
1,07
-0,14
-20,21
4,60
3,74
0,00
1,06
9,23
-0,14
-1,07
8,16
-1,20
-1,07
0,14
-8,34
3,19
0,00
-0,89
Reakcje więzów:
Kontrola statyczna:
∑
=
+
−
−
=
0
23
,
9
07
,
1
16
,
8
X
∑
=
−
+
−
=
0
14
,
0
20
,
1
06
,
1
Y
∑
=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
+
−
+
−
=
015
,
0
5
,
6
20
,
1
5
,
3
23
,
9
7
07
,
1
5
,
6
14
,
0
89
,
0
19
,
3
21
,
20
1
M
Wykresy sił wewnętrznych:
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Grzegorz Kamyszek KBI 1
7/8
PROJEKT NR 3 – KOMPUTEROWA METODA PRZEMIESZCZEŃ
Kontrola kinematyczna:
∆
−
+
=
⋅
∑
∑∫
∑∫
−
−
−
i
n
n
R
dx
EA
N
N
dx
EI
M
M
V
0
0
1
=
∆
−
+
=
⋅
∑
∑∫
∑∫
−
−
−
i
n
n
R
dx
EA
N
N
dx
EI
M
M
V
0
0
1
[
]
[
]
%
04
,
0
000014
,
0
024
,
0
000005402
,
0
006769
,
0
03075
,
0
]
004
,
0
5
,
6
002
,
0
1
[
1
5
,
3
06
,
1
1
5
,
6
3
1
5
,
6
19
,
3
5
,
0
5
,
6
3
2
5
,
6
61
,
4
5
,
0
1
5
,
6
5
,
3
35
,
8
5
,
0
5
,
6
5
,
3
21
,
20
5
,
0
1
1
1
2
1
≈
−
=
−
+
−
=
⋅
+
⋅
−
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
⋅
−
EA
EI
EI
V
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Grzegorz Kamyszek KBI 1
8/8