Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

1

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych stanowi drugi, obok estymacji,

podstawowy rodzaj wnioskowania statystycznego.

Hipoteza statystyczna to ka de przypuszczenie dotycz ce wielko ci parametru rozkładu

zmiennej losowej w populacji generalnej lub próbnej, albo te postaci tego rozkładu,

uzyskane na podstawie próby losowej.

Wyró nia si dwie grupy hipotez statystycznych:

• parametryczne, zwi zane z warto ciami parametrów,

• nieparametryczne, zwi zane z postaci rozkładów.

Testy parametryczne

Oznaczenia:

Θ - parametr populacji generalnej

T - przypuszczalna (hipotetyczna) warto parametru populacji generalnej

H

0

- hipoteza zerowa o postaci:

H

0

:

Θ = T

co czyta si :

"Stawiamy hipotez zerow głosz c , e warto parametru

Θ

jest równa T"

lub

"Stawiamy hipotez zerow głosz c , e ró nica pomi dzy parametrem

Θ

a jego

ocen T jest statystycznie nieistotna (jest na poziomie zerowym)"

St d nazwa - hipoteza zerowa.

H

1

- hipoteza alternatywna (dla ka dej hipotezy zerowej okre la si hipotez alternatywn ) o

postaciach:

H

1

:

Θ T

H

1

:

Θ > T

H

1

:

Θ < T

Dwie ostatnie postaci hipotezy alternatywnej okre la si jako hipotezy jednostronne.

Postawion hipotez zerow weryfikuje si za pomoc odpowiedniego sprawdzianu zwanego

te testem, który okre la si jako zmienn losow o postaci:

R

0

=

Θ T

wyznaczaj c ró nic , dla której nast pnie buduje si

obszar krytyczny odrzuce hipotezy

zerowej na podstawie warto ci krytycznej

R

αααα

dla danego

poziomu istotno ci

αααα

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

2

Ka d hipotez zerow weryfikuje si z pewnym prawdopodobie stwem pewno ci zwanym

poziomem ufno ci 1-

αααα

.

Odrzucenie hipotezy zerowej H

0

Je eli obliczona na podstawie próby warto sprawdzianu

R znajduje si w obszarze

krytycznym odrzuce , to hipotez zerow

H

0

odrzuca si na korzy hipotezy alternatywnej

H

1

. W przypadku przeciwnym stwierdza si , e dla danego poziomu istotno ci

αααα

nie ma

podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

H

0

.

Procedura post powania dla zweryfikowania parametrycznej hipotezy zerowej H

0

1.

okre li hipotez zerow

H

0

oraz jej alternatyw

H

1

2.

przyj poziom istotno ci

αααα

oraz liczebno próby

3.

okre li rozkład zbiorowo ci generalnej

4.

okre li test dla weryfikacji hipotezy zerowej

H

0

5.

obliczy warto testu na podstawie próby

6.

odczyta z tablic rozkładu danego testu warto krytyczn wyznaczaj c obszar odrzuce

i przyj (lub odrzuci ) hipotez zerow

H

0

Testy dla warto ci redniej populacji

Model I

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ,σ), przy czym σ jest

znane. Na podstawie n-elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :

H

0

:

µ = µ

0

gdzie

µ

0

jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej

(dwustronnej):

H

1

:

µ µ

0

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z próby oblicza si :

1.1.

warto redni

x

1.2.

warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

n

x

u

⋅

−

=

σ

µ

0

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu

istotno ci

α

wyznacza si warto krytyczn u

α/2

, tak by zachodziło:

P(|U|

≥ u

α/2

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

3

|U|

≥ u

α/2

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:

|u|

≥ u

α/2

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|u|

< u

α/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

UWAGA:

Powy szy test jest testem z dwustronnym obszarem krytycznym i stosuje si go tylko dla

dwustronnej hipotezy alternatywnej:

H

1

:

µ µ

0

Przypadek 1

Hipoteza alternatywna H

1

ma posta :

H

1

:

µ < µ

0

W tym przypadku stosuje si test z lewostronnym obszarem krytycznym, okre lonym

nierówno ci :

U

≤ -u

α

przy czym warto u

α

wyznacz si z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego w taki

sposób by była spełniona zale no :

P(U

≤ -u

α

) =

α

Hipotez zerow odrzuca si , je eli wyznaczona z próby warto zmiennej u spełnia

nierówno :

u

≤ -u

α

Przypadek 2

Hipoteza alternatywna H

1

ma posta :

H

1

:

µ > µ

0

W tym przypadku stosuje si test z prawostronnym obszarem krytycznym, okre lonym

nierówno ci :

U

≥ u

α

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

4

przy czym warto u

α

wyznacz si z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego w taki

sposób by była spełniona zale no :

P(U

≥ u

α

) =

α

Hipotez zerow odrzuca si , je eli wyznaczona z próby warto zmiennej u spełnia

nierówno :

u

≥ u

α

Model II

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ,σ), przy czym

odchylenie standardowe w populacji

σ jest nieznane. W oparciu o wyniki małej n-

elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :

H

0

:

µ = µ

0

gdzie

µ

0

jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej

(dwustronnej):

H

1

:

µ µ

0

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z próby oblicza si :

1.1.

warto redni

x

1.2.

odchylenie standardowe s

1.3.

warto statystyki - zmiennej t wg wzoru:

n

s

x

t

⋅

−

=

0

µ

która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o n-1 stopniach

swobody

2.

z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotno ci

α

i dla n-1 stopni swobody

odczytuje si tak warto t

α

, by zachodziło:

P(|T|

≥ t

α

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

|T|

≥ t

α

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto t, e zachodzi:

|t|

≥ t

α

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

5

|t|

< t

α

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Model III

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ,σ) lub dowolny inny, o

redniej

µ i sko czonej i nieznanej wariancji σ. Na podstawie wyników z du ej n-

elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :

H

0

:

µ = µ

0

gdzie

µ

0

jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej

(dwustronnej):

H

1

:

µ µ

0

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z próby oblicza si :

1.1.

warto redni

x

1.2.

odchylenie standardowe s

1.3.

warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

n

s

x

u

⋅

−

=

0

µ

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu

istotno ci

α

wyznacza si warto krytyczn u

α/2

, tak by zachodziło:

P(|U|

≥ u

α/2

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

|U|

≥ u

α/2

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:

|u|

≥ u

α/2

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|u|

< u

α/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

6

Testy dla równo ci rednich dwóch populacji

W zastosowaniach praktycznych cz sto zachodzi potrzeba sprawdzenia hipotez

dotycz cych równo ci warto ci rednich w dwóch populacjach. W zale no ci od tego jak

du y materiał do wiadczalny jest w dyspozycji stosuje si jeden z trzech modeli

Model I

Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady

normalne N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

), przy czym znane s odchylenia standardowe w tych

populacjach

σ

1

i

σ

2

. W oparciu o wyniki dwu niezale nych prób o liczebno ciach

odpowiednio n

1

i n

2

nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:

H

0

:

µ

1

=

µ

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

1

µ

2

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z prób oblicza si :

1.1.

warto ci rednie

1

x

i

2

x

1.2.

warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

2

2

2

1

2

1

2

1

n

n

x

x

u

σ

σ

+

−

=

która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład normalny standaryzowany

N(0,1)

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu

istotno ci

α

wyznacza si warto krytyczn u

α/2

, tak by zachodziło:

P(|U|

≥ u

α/2

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

|U|

≥ u

α/2

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:

|u|

≥ u

α/2

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|u|

< u

α/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

7

Model II

Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady

normalne N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

), przy czym odchylenia standardowe w tych populacjach

σ

1

i

σ

2

nie s znane ale jednakowe tj.

σ

1

=

σ

2

. W oparciu o wyniki dwu niezale nych

małych prób o

liczebno ciach odpowiednio n

1

i n

2

nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:

H

0

:

µ

1

=

µ

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

1

µ

2

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z prób oblicza si :

1.1.

warto ci rednie

1

x

i

2

x

1.2.

wariancje

2

1

s

i

2

2

s

1.3.

warto statystyki - zmiennej t wg wzoru:

+

⋅

−

+

+

−

=

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

2

n

n

n

n

s

n

s

n

x

x

t

która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o (n

1

+n

2

-2)

stopniach swobody

2.

z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotno ci

α

i dla n-1 stopni swobody

odczytuje si tak warto t

α

, by zachodziło:

P(|T|

≥ t

α

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

|T|

≥ t

α

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto t, e zachodzi:

|t|

≥ t

α

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|t|

< t

α

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

8

Model III

Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady

normalne N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

) lub inne o sko czonych wariancjach

2

1

σ

i

2

2

σ

, które s

nieznane. W oparciu o wyniki dwu niezale nych

du ych prób o liczebno ciach odpowiednio

n

1

i n

2

nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:

H

0

:

µ

1

=

µ

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

1

µ

2

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z prób oblicza si :

1.1.

warto ci rednie

1

x

i

2

x

1.2.

wariancje

2

1

s

i

2

2

s

1.3.

warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

2

2

2

1

2

1

2

1

n

s

n

s

x

x

u

+

−

=

która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład normalny standaryzowany

N(0,1)

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu

istotno ci

α

wyznacza si warto krytyczn u

α/2

, tak by zachodziło:

P(|U|

≥ u

α/2

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

|U|

≥ u

α/2

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:

|u|

≥ u

α/2

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|u|

< u

α/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

9

Test dla wariancji populacji

W praktyce du a wariancja jest niekorzystna, gdy oznacza du niejednorodno

analizowanej cechy, dlatego te przy weryfikacji hipotez dotycz cych wariancji przyjmuje si

jako hipotez alternatywn z obszarem krytycznym prawostronnym.

Model

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ,σ), przy czym

parametry

σ i µ s nieznane. Na podstawie n-elementowej próby zweryfikowa hipotez

zerow :

H

0

:

2

=

2

0

gdzie

2

0

jest konkretn , hipotetyczn warto ci wariancji, wobec hipotezy alternatywnej

(prawostronnej):

H

1

:

2

>

2

0

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z próby oblicza si :

1.1.

wariancj z próby s

2

1.2.

warto zmiennej (statystyki)

χ

2

wg wzoru:

=

−

⋅

=

⋅

−

=

n

i

i

x

x

s

n

1

2

2

0

2

0

2

2

)

(

1

)

1

(

σ

σ

χ

która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład

χ

2

(chi-kwadrat) o (n-1)

stopniach swobody

2.

z tablic rozkładu

χ

2

(chi-kwadrat) dla zało onego poziomu istotno ci

α

i (n-1) stopni

swobody wyznacza si warto krytyczn

2

α

χ

, tak by zachodziło:

(

)

α

=

χ

≥

χ

α

2

2

P

Nierówno :

2

2

α

χ

≥

χ

okre la prawostronny obszar krytyczny odrzuce , tzn. gdy jest spełniona to nale y odrzuci

hipotez zerow H

0

na rzecz hipotezy alternatywnej H

1

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

10

Test dla równo ci wariancji dwóch populacji

W praktyce sytuacja taka pojawia si , gdy zachodzi potrzeba sprawdzania hipotezy o

jednakowym stopniu rozproszenia badanej cechy w dwu populacjach. Zakład si , e badane

populacje maja normalny rozkład analizowanej cechy.

Model

Rozpatrujemy dwie populacje, w których badana cecha ma odpowiednio rozkład

normalny N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

), przy czym parametry tych rozkładów s nieznane. W oparciu o

wyniki dwu niezale nych prób o liczebno ciach odpowiednio n

1

i n

2

nale y sprawdzi

słuszno hipotezy zerowej:

H

0

:

2

1

=

2

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

2

1

2

2

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z próby oblicza si :

1.1.

wariancje z prób

2

1

s

i

2

2

s

, przy czym musi zachodzi

2

1

s

>

2

2

s

,

1.2.

warto zmiennej (statystyki) F wg wzoru:

2

2

2

1

s

s

F

=

która ma rozkład F-Snedecora z n

1

-1 i n

2

-1 stopniami swobody.

2.

z tablic rozkładu F-Snedecora dla zało onego poziomu istotno ci

α

odczytuje si warto

krytyczn F

α

, tak by zachodziło:

P(F

≥ F

α

) =

α

Nierówno :

F

≥ F

α

okre la prawostronny obszar krytyczny w te cie, tzn.

dla

F

≥ F

α

→ odrzucamy hipotez zerow H

0

na rzecz hipotezy alternatywnej H

1

a dla

F

< F

α

→ przyjmujemy hipotez zerow H

0

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

1

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych stanowi drugi, obok estymacji,

podstawowy rodzaj wnioskowania statystycznego.

Hipoteza statystyczna to ka de przypuszczenie dotycz ce wielko ci parametru rozkładu

zmiennej losowej w populacji generalnej lub próbnej, albo te postaci tego rozkładu,

uzyskane na podstawie próby losowej.

Wyró nia si dwie grupy hipotez statystycznych:

• parametryczne, zwi zane z warto ciami parametrów,

• nieparametryczne, zwi zane z postaci rozkładów.

Testy parametryczne

Oznaczenia:

Θ - parametr populacji generalnej

T - przypuszczalna (hipotetyczna) warto parametru populacji generalnej

H

0

- hipoteza zerowa o postaci:

H

0

:

Θ = T

co czyta si :

"Stawiamy hipotez zerow głosz c , e warto parametru

Θ

jest równa T"

lub

"Stawiamy hipotez zerow głosz c , e ró nica pomi dzy parametrem

Θ

a jego

ocen T jest statystycznie nieistotna (jest na poziomie zerowym)"

St d nazwa - hipoteza zerowa.

H

1

- hipoteza alternatywna (dla ka dej hipotezy zerowej okre la si hipotez alternatywn ) o

postaciach:

H

1

:

Θ T

H

1

:

Θ > T

H

1

:

Θ < T

Dwie ostatnie postaci hipotezy alternatywnej okre la si jako hipotezy jednostronne.

Postawion hipotez zerow weryfikuje si za pomoc odpowiedniego sprawdzianu zwanego

te testem, który okre la si jako zmienn losow o postaci:

R

0

=

Θ T

wyznaczaj c ró nic , dla której nast pnie buduje si

obszar krytyczny odrzuce hipotezy

zerowej na podstawie warto ci krytycznej

R

αααα

dla danego

poziomu istotno ci

αααα

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

2

Ka d hipotez zerow weryfikuje si z pewnym prawdopodobie stwem pewno ci zwanym

poziomem ufno ci 1-

αααα

.

Odrzucenie hipotezy zerowej H

0

Je eli obliczona na podstawie próby warto sprawdzianu

R znajduje si w obszarze

krytycznym odrzuce , to hipotez zerow

H

0

odrzuca si na korzy hipotezy alternatywnej

H

1

. W przypadku przeciwnym stwierdza si , e dla danego poziomu istotno ci

αααα

nie ma

podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

H

0

.

Procedura post powania dla zweryfikowania parametrycznej hipotezy zerowej H

0

1.

okre li hipotez zerow

H

0

oraz jej alternatyw

H

1

2.

przyj poziom istotno ci

αααα

oraz liczebno próby

3.

okre li rozkład zbiorowo ci generalnej

4.

okre li test dla weryfikacji hipotezy zerowej

H

0

5.

obliczy warto testu na podstawie próby

6.

odczyta z tablic rozkładu danego testu warto krytyczn wyznaczaj c obszar odrzuce

i przyj (lub odrzuci ) hipotez zerow

H

0

Testy dla warto ci redniej populacji

Model I

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ,σ), przy czym σ jest

znane. Na podstawie n-elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :

H

0

:

µ = µ

0

gdzie

µ

0

jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej

(dwustronnej):

H

1

:

µ µ

0

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z próby oblicza si :

1.1.

warto redni

x

1.2.

warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

n

x

u

⋅

−

=

σ

µ

0

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu

istotno ci

α

wyznacza si warto krytyczn u

α/2

, tak by zachodziło:

P(|U|

≥ u

α/2

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

3

|U|

≥ u

α/2

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:

|u|

≥ u

α/2

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|u|

< u

α/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

UWAGA:

Powy szy test jest testem z dwustronnym obszarem krytycznym i stosuje si go tylko dla

dwustronnej hipotezy alternatywnej:

H

1

:

µ µ

0

Przypadek 1

Hipoteza alternatywna H

1

ma posta :

H

1

:

µ < µ

0

W tym przypadku stosuje si test z lewostronnym obszarem krytycznym, okre lonym

nierówno ci :

U

≤ -u

α

przy czym warto u

α

wyznacz si z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego w taki

sposób by była spełniona zale no :

P(U

≤ -u

α

) =

α

Hipotez zerow odrzuca si , je eli wyznaczona z próby warto zmiennej u spełnia

nierówno :

u

≤ -u

α

Przypadek 2

Hipoteza alternatywna H

1

ma posta :

H

1

:

µ > µ

0

W tym przypadku stosuje si test z prawostronnym obszarem krytycznym, okre lonym

nierówno ci :

U

≥ u

α

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

4

przy czym warto u

α

wyznacz si z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego w taki

sposób by była spełniona zale no :

P(U

≥ u

α

) =

α

Hipotez zerow odrzuca si , je eli wyznaczona z próby warto zmiennej u spełnia

nierówno :

u

≥ u

α

Model II

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ,σ), przy czym

odchylenie standardowe w populacji

σ jest nieznane. W oparciu o wyniki małej n-

elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :

H

0

:

µ = µ

0

gdzie

µ

0

jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej

(dwustronnej):

H

1

:

µ µ

0

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z próby oblicza si :

1.1.

warto redni

x

1.2.

odchylenie standardowe s

1.3.

warto statystyki - zmiennej t wg wzoru:

n

s

x

t

⋅

−

=

0

µ

która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o n-1 stopniach

swobody

2.

z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotno ci

α

i dla n-1 stopni swobody

odczytuje si tak warto t

α

, by zachodziło:

P(|T|

≥ t

α

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

|T|

≥ t

α

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto t, e zachodzi:

|t|

≥ t

α

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

5

|t|

< t

α

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Model III

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ,σ) lub dowolny inny, o

redniej

µ i sko czonej i nieznanej wariancji σ. Na podstawie wyników z du ej n-

elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :

H

0

:

µ = µ

0

gdzie

µ

0

jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej

(dwustronnej):

H

1

:

µ µ

0

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z próby oblicza si :

1.1.

warto redni

x

1.2.

odchylenie standardowe s

1.3.

warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

n

s

x

u

⋅

−

=

0

µ

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu

istotno ci

α

wyznacza si warto krytyczn u

α/2

, tak by zachodziło:

P(|U|

≥ u

α/2

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

|U|

≥ u

α/2

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:

|u|

≥ u

α/2

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|u|

< u

α/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

6

Testy dla równo ci rednich dwóch populacji

W zastosowaniach praktycznych cz sto zachodzi potrzeba sprawdzenia hipotez

dotycz cych równo ci warto ci rednich w dwóch populacjach. W zale no ci od tego jak

du y materiał do wiadczalny jest w dyspozycji stosuje si jeden z trzech modeli

Model I

Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady

normalne N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

), przy czym znane s odchylenia standardowe w tych

populacjach

σ

1

i

σ

2

. W oparciu o wyniki dwu niezale nych prób o liczebno ciach

odpowiednio n

1

i n

2

nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:

H

0

:

µ

1

=

µ

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

1

µ

2

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z prób oblicza si :

1.1.

warto ci rednie

1

x

i

2

x

1.2.

warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

2

2

2

1

2

1

2

1

n

n

x

x

u

σ

σ

+

−

=

która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład normalny standaryzowany

N(0,1)

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu

istotno ci

α

wyznacza si warto krytyczn u

α/2

, tak by zachodziło:

P(|U|

≥ u

α/2

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

|U|

≥ u

α/2

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:

|u|

≥ u

α/2

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|u|

< u

α/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

7

Model II

Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady

normalne N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

), przy czym odchylenia standardowe w tych populacjach

σ

1

i

σ

2

nie s znane ale jednakowe tj.

σ

1

=

σ

2

. W oparciu o wyniki dwu niezale nych

małych prób o

liczebno ciach odpowiednio n

1

i n

2

nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:

H

0

:

µ

1

=

µ

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

1

µ

2

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z prób oblicza si :

1.1.

warto ci rednie

1

x

i

2

x

1.2.

wariancje

2

1

s

i

2

2

s

1.3.

warto statystyki - zmiennej t wg wzoru:

+

⋅

−

+

+

−

=

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

2

n

n

n

n

s

n

s

n

x

x

t

która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o (n

1

+n

2

-2)

stopniach swobody

2.

z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotno ci

α

i dla n-1 stopni swobody

odczytuje si tak warto t

α

, by zachodziło:

P(|T|

≥ t

α

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

|T|

≥ t

α

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto t, e zachodzi:

|t|

≥ t

α

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|t|

< t

α

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

8

Model III

Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady

normalne N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

) lub inne o sko czonych wariancjach

2

1

σ

i

2

2

σ

, które s

nieznane. W oparciu o wyniki dwu niezale nych

du ych prób o liczebno ciach odpowiednio

n

1

i n

2

nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:

H

0

:

µ

1

=

µ

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

µ

1

µ

2

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z prób oblicza si :

1.1.

warto ci rednie

1

x

i

2

x

1.2.

wariancje

2

1

s

i

2

2

s

1.3.

warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:

2

2

2

1

2

1

2

1

n

s

n

s

x

x

u

+

−

=

która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład normalny standaryzowany

N(0,1)

2.

z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu

istotno ci

α

wyznacza si warto krytyczn u

α/2

, tak by zachodziło:

P(|U|

≥ u

α/2

) =

α

Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :

|U|

≥ u

α/2

tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:

|u|

≥ u

α/2

to hipotez zerow H

0

odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:

|u|

< u

α/2

nie ma podstaw do odrzucenia H

0

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

9

Test dla wariancji populacji

W praktyce du a wariancja jest niekorzystna, gdy oznacza du niejednorodno

analizowanej cechy, dlatego te przy weryfikacji hipotez dotycz cych wariancji przyjmuje si

jako hipotez alternatywn z obszarem krytycznym prawostronnym.

Model

Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(

µ,σ), przy czym

parametry

σ i µ s nieznane. Na podstawie n-elementowej próby zweryfikowa hipotez

zerow :

H

0

:

2

=

2

0

gdzie

2

0

jest konkretn , hipotetyczn warto ci wariancji, wobec hipotezy alternatywnej

(prawostronnej):

H

1

:

2

>

2

0

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z próby oblicza si :

1.1.

wariancj z próby s

2

1.2.

warto zmiennej (statystyki)

χ

2

wg wzoru:

=

−

⋅

=

⋅

−

=

n

i

i

x

x

s

n

1

2

2

0

2

0

2

2

)

(

1

)

1

(

σ

σ

χ

która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład

χ

2

(chi-kwadrat) o (n-1)

stopniach swobody

2.

z tablic rozkładu

χ

2

(chi-kwadrat) dla zało onego poziomu istotno ci

α

i (n-1) stopni

swobody wyznacza si warto krytyczn

2

α

χ

, tak by zachodziło:

(

)

α

=

χ

≥

χ

α

2

2

P

Nierówno :

2

2

α

χ

≥

χ

okre la prawostronny obszar krytyczny odrzuce , tzn. gdy jest spełniona to nale y odrzuci

hipotez zerow H

0

na rzecz hipotezy alternatywnej H

1

.

Statystyka matematyczna

Weryfikacja hipotez...

Materiały dydaktyczne

opracował dr in . W. Sitek

10

Test dla równo ci wariancji dwóch populacji

W praktyce sytuacja taka pojawia si , gdy zachodzi potrzeba sprawdzania hipotezy o

jednakowym stopniu rozproszenia badanej cechy w dwu populacjach. Zakład si , e badane

populacje maja normalny rozkład analizowanej cechy.

Model

Rozpatrujemy dwie populacje, w których badana cecha ma odpowiednio rozkład

normalny N(

µ

1

,

σ

1

) i N(

µ

2

,

σ

2

), przy czym parametry tych rozkładów s nieznane. W oparciu o

wyniki dwu niezale nych prób o liczebno ciach odpowiednio n

1

i n

2

nale y sprawdzi

słuszno hipotezy zerowej:

H

0

:

2

1

=

2

2

wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):

H

1

:

2

1

2

2

Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:

1.

na podstawie wyników z próby oblicza si :

1.1.

wariancje z prób

2

1

s

i

2

2

s

, przy czym musi zachodzi

2

1

s

>

2

2

s

,

1.2.

warto zmiennej (statystyki) F wg wzoru:

2

2

2

1

s

s

F

=

która ma rozkład F-Snedecora z n

1

-1 i n

2

-1 stopniami swobody.

2.

z tablic rozkładu F-Snedecora dla zało onego poziomu istotno ci

α

odczytuje si warto

krytyczn F

α

, tak by zachodziło:

P(F

≥ F

α

) =

α

Nierówno :

F

≥ F

α

okre la prawostronny obszar krytyczny w te cie, tzn.

dla

F

≥ F

α

→ odrzucamy hipotez zerow H

0

na rzecz hipotezy alternatywnej H

1

a dla

F

< F

α

→ przyjmujemy hipotez zerow H

0