Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
1
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych stanowi drugi, obok estymacji,
podstawowy rodzaj wnioskowania statystycznego.
Hipoteza statystyczna to ka de przypuszczenie dotycz ce wielko ci parametru rozkładu
zmiennej losowej w populacji generalnej lub próbnej, albo te postaci tego rozkładu,
uzyskane na podstawie próby losowej.
Wyró nia si dwie grupy hipotez statystycznych:
• parametryczne, zwi zane z warto ciami parametrów,
• nieparametryczne, zwi zane z postaci rozkładów.
Testy parametryczne
Oznaczenia:
Θ - parametr populacji generalnej
T - przypuszczalna (hipotetyczna) warto parametru populacji generalnej
H
0
- hipoteza zerowa o postaci:
H
0
:
Θ = T
co czyta si :
"Stawiamy hipotez zerow głosz c , e warto parametru
Θ
jest równa T"
lub
"Stawiamy hipotez zerow głosz c , e ró nica pomi dzy parametrem
Θ
a jego
ocen T jest statystycznie nieistotna (jest na poziomie zerowym)"
St d nazwa - hipoteza zerowa.
H
1
- hipoteza alternatywna (dla ka dej hipotezy zerowej okre la si hipotez alternatywn ) o
postaciach:
H
1
:
Θ T
H
1
:
Θ > T
H
1
:
Θ < T
Dwie ostatnie postaci hipotezy alternatywnej okre la si jako hipotezy jednostronne.
Postawion hipotez zerow weryfikuje si za pomoc odpowiedniego sprawdzianu zwanego
te testem, który okre la si jako zmienn losow o postaci:
R
0
=
Θ T
wyznaczaj c ró nic , dla której nast pnie buduje si
obszar krytyczny odrzuce hipotezy
zerowej na podstawie warto ci krytycznej
R
αααα
dla danego
poziomu istotno ci
αααα
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
2
Ka d hipotez zerow weryfikuje si z pewnym prawdopodobie stwem pewno ci zwanym
poziomem ufno ci 1-
αααα
.
Odrzucenie hipotezy zerowej H
0
Je eli obliczona na podstawie próby warto sprawdzianu
R znajduje si w obszarze
krytycznym odrzuce , to hipotez zerow
H
0
odrzuca si na korzy hipotezy alternatywnej
H
1
. W przypadku przeciwnym stwierdza si , e dla danego poziomu istotno ci
αααα
nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
H
0
.
Procedura post powania dla zweryfikowania parametrycznej hipotezy zerowej H
0
1.
okre li hipotez zerow
H
0
oraz jej alternatyw
H
1
2.
przyj poziom istotno ci
αααα
oraz liczebno próby
3.
okre li rozkład zbiorowo ci generalnej
4.
okre li test dla weryfikacji hipotezy zerowej
H
0
5.
obliczy warto testu na podstawie próby
6.
odczyta z tablic rozkładu danego testu warto krytyczn wyznaczaj c obszar odrzuce
i przyj (lub odrzuci ) hipotez zerow
H
0
Testy dla warto ci redniej populacji
Model I
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(
µ,σ), przy czym σ jest
znane. Na podstawie n-elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :
H
0
:
µ = µ
0
gdzie
µ
0
jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej
(dwustronnej):
H
1
:
µ µ
0
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z próby oblicza si :
1.1.
warto redni
x
1.2.
warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:
n
x
u
⋅
−
=
σ
µ
0
2.
z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu
istotno ci
α
wyznacza si warto krytyczn u
α/2
, tak by zachodziło:
P(|U|
≥ u
α/2
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
3
|U|
≥ u
α/2
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:
|u|
≥ u
α/2
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
|u|
< u
α/2
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
UWAGA:
Powy szy test jest testem z dwustronnym obszarem krytycznym i stosuje si go tylko dla
dwustronnej hipotezy alternatywnej:
H
1
:
µ µ
0
Przypadek 1
Hipoteza alternatywna H
1
ma posta :
H
1
:
µ < µ
0
W tym przypadku stosuje si test z lewostronnym obszarem krytycznym, okre lonym
nierówno ci :
U
≤ -u
α
przy czym warto u
α
wyznacz si z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego w taki
sposób by była spełniona zale no :
P(U
≤ -u
α
) =
α
Hipotez zerow odrzuca si , je eli wyznaczona z próby warto zmiennej u spełnia
nierówno :
u
≤ -u
α
Przypadek 2
Hipoteza alternatywna H
1
ma posta :
H
1
:
µ > µ
0
W tym przypadku stosuje si test z prawostronnym obszarem krytycznym, okre lonym
nierówno ci :
U
≥ u
α
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
4
przy czym warto u
α
wyznacz si z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego w taki
sposób by była spełniona zale no :
P(U
≥ u
α
) =
α
Hipotez zerow odrzuca si , je eli wyznaczona z próby warto zmiennej u spełnia
nierówno :
u
≥ u
α
Model II
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(
µ,σ), przy czym
odchylenie standardowe w populacji
σ jest nieznane. W oparciu o wyniki małej n-
elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :
H
0
:
µ = µ
0
gdzie
µ
0
jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej
(dwustronnej):
H
1
:
µ µ
0
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z próby oblicza si :
1.1.
warto redni
x
1.2.
odchylenie standardowe s
1.3.
warto statystyki - zmiennej t wg wzoru:
n
s
x
t
⋅
−
=
0
µ
która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o n-1 stopniach
swobody
2.
z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotno ci
α
i dla n-1 stopni swobody
odczytuje si tak warto t
α
, by zachodziło:
P(|T|
≥ t
α
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
|T|
≥ t
α
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto t, e zachodzi:
|t|
≥ t
α
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
5
|t|
< t
α
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Model III
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(
µ,σ) lub dowolny inny, o
redniej
µ i sko czonej i nieznanej wariancji σ. Na podstawie wyników z du ej n-
elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :
H
0
:
µ = µ
0
gdzie
µ
0
jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej
(dwustronnej):
H
1
:
µ µ
0
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z próby oblicza si :
1.1.
warto redni
x
1.2.
odchylenie standardowe s
1.3.
warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:
n
s
x
u
⋅
−
=
0
µ
2.
z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu
istotno ci
α
wyznacza si warto krytyczn u
α/2
, tak by zachodziło:
P(|U|
≥ u
α/2
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
|U|
≥ u
α/2
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:
|u|
≥ u
α/2
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
|u|
< u
α/2
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
6
Testy dla równo ci rednich dwóch populacji
W zastosowaniach praktycznych cz sto zachodzi potrzeba sprawdzenia hipotez
dotycz cych równo ci warto ci rednich w dwóch populacjach. W zale no ci od tego jak
du y materiał do wiadczalny jest w dyspozycji stosuje si jeden z trzech modeli
Model I
Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady
normalne N(
µ
1
,
σ
1
) i N(
µ
2
,
σ
2
), przy czym znane s odchylenia standardowe w tych
populacjach
σ
1
i
σ
2
. W oparciu o wyniki dwu niezale nych prób o liczebno ciach
odpowiednio n
1
i n
2
nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:
H
0
:
µ
1
=
µ
2
wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):
H
1
:
µ
1
µ
2
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z prób oblicza si :
1.1.
warto ci rednie
1
x
i
2
x
1.2.
warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:
2
2
2
1
2
1
2
1
n
n
x
x
u
σ
σ
+
−
=
która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład normalny standaryzowany
N(0,1)
2.
z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu
istotno ci
α
wyznacza si warto krytyczn u
α/2
, tak by zachodziło:
P(|U|
≥ u
α/2
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
|U|
≥ u
α/2
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:
|u|
≥ u
α/2
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
|u|
< u
α/2
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
7
Model II
Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady
normalne N(
µ
1
,
σ
1
) i N(
µ
2
,
σ
2
), przy czym odchylenia standardowe w tych populacjach
σ
1
i
σ
2
nie s znane ale jednakowe tj.
σ
1
=
σ
2
. W oparciu o wyniki dwu niezale nych
małych prób o
liczebno ciach odpowiednio n
1
i n
2
nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:
H
0
:
µ
1
=
µ
2
wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):
H
1
:
µ
1
µ
2
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z prób oblicza si :
1.1.
warto ci rednie
1
x
i
2
x
1.2.
wariancje
2
1
s
i
2
2
s
1.3.
warto statystyki - zmiennej t wg wzoru:
+
⋅
−
+
+
−
=
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
s
n
s
n
x
x
t
która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o (n
1
+n
2
-2)
stopniach swobody
2.
z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotno ci
α
i dla n-1 stopni swobody
odczytuje si tak warto t
α
, by zachodziło:
P(|T|
≥ t
α
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
|T|
≥ t
α
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto t, e zachodzi:
|t|
≥ t
α
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
|t|
< t
α
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
8
Model III
Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady
normalne N(
µ
1
,
σ
1
) i N(
µ
2
,
σ
2
) lub inne o sko czonych wariancjach
2
1
σ
i
2
2
σ
, które s
nieznane. W oparciu o wyniki dwu niezale nych
du ych prób o liczebno ciach odpowiednio
n
1
i n
2
nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:
H
0
:
µ
1
=
µ
2
wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):
H
1
:
µ
1
µ
2
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z prób oblicza si :
1.1.
warto ci rednie
1
x
i
2
x
1.2.
wariancje
2
1
s
i
2
2
s
1.3.
warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:
2
2
2
1
2
1
2
1
n
s
n
s
x
x
u
+
−
=
która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład normalny standaryzowany
N(0,1)
2.
z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu
istotno ci
α
wyznacza si warto krytyczn u
α/2
, tak by zachodziło:
P(|U|
≥ u
α/2
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
|U|
≥ u
α/2
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:
|u|
≥ u
α/2
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
|u|
< u
α/2
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
9
Test dla wariancji populacji
W praktyce du a wariancja jest niekorzystna, gdy oznacza du niejednorodno
analizowanej cechy, dlatego te przy weryfikacji hipotez dotycz cych wariancji przyjmuje si
jako hipotez alternatywn z obszarem krytycznym prawostronnym.
Model
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(
µ,σ), przy czym
parametry
σ i µ s nieznane. Na podstawie n-elementowej próby zweryfikowa hipotez
zerow :
H
0
:
2
=
2
0
gdzie
2
0
jest konkretn , hipotetyczn warto ci wariancji, wobec hipotezy alternatywnej
(prawostronnej):
H
1
:
2
>
2
0
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z próby oblicza si :
1.1.
wariancj z próby s
2
1.2.
warto zmiennej (statystyki)
χ
2
wg wzoru:
=
−
⋅
=
⋅
−
=
n
i
i
x
x
s
n
1
2
2
0
2
0
2
2
)
(
1
)
1
(
σ
σ
χ
która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład
χ
2
(chi-kwadrat) o (n-1)
stopniach swobody
2.
z tablic rozkładu
χ
2
(chi-kwadrat) dla zało onego poziomu istotno ci
α
i (n-1) stopni
swobody wyznacza si warto krytyczn
2
α
χ
, tak by zachodziło:
(
)
α
=
χ
≥
χ
α
2
2
P
Nierówno :
2
2
α
χ
≥
χ
okre la prawostronny obszar krytyczny odrzuce , tzn. gdy jest spełniona to nale y odrzuci
hipotez zerow H
0
na rzecz hipotezy alternatywnej H
1
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
10
Test dla równo ci wariancji dwóch populacji
W praktyce sytuacja taka pojawia si , gdy zachodzi potrzeba sprawdzania hipotezy o
jednakowym stopniu rozproszenia badanej cechy w dwu populacjach. Zakład si , e badane
populacje maja normalny rozkład analizowanej cechy.
Model
Rozpatrujemy dwie populacje, w których badana cecha ma odpowiednio rozkład
normalny N(
µ
1
,
σ
1
) i N(
µ
2
,
σ
2
), przy czym parametry tych rozkładów s nieznane. W oparciu o
wyniki dwu niezale nych prób o liczebno ciach odpowiednio n
1
i n
2
nale y sprawdzi
słuszno hipotezy zerowej:
H
0
:
2
1
=
2
2
wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):
H
1
:
2
1
2
2
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z próby oblicza si :
1.1.
wariancje z prób
2
1
s
i
2
2
s
, przy czym musi zachodzi
2
1
s
>
2
2
s
,
1.2.
warto zmiennej (statystyki) F wg wzoru:
2
2
2
1
s
s
F
=
która ma rozkład F-Snedecora z n
1
-1 i n
2
-1 stopniami swobody.
2.
z tablic rozkładu F-Snedecora dla zało onego poziomu istotno ci
α
odczytuje si warto
krytyczn F
α
, tak by zachodziło:
P(F
≥ F
α
) =
α
Nierówno :
F
≥ F
α
okre la prawostronny obszar krytyczny w te cie, tzn.
dla
F
≥ F
α
→ odrzucamy hipotez zerow H
0
na rzecz hipotezy alternatywnej H
1
a dla
F
< F
α
→ przyjmujemy hipotez zerow H
0
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
1
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych stanowi drugi, obok estymacji,
podstawowy rodzaj wnioskowania statystycznego.
Hipoteza statystyczna to ka de przypuszczenie dotycz ce wielko ci parametru rozkładu
zmiennej losowej w populacji generalnej lub próbnej, albo te postaci tego rozkładu,
uzyskane na podstawie próby losowej.
Wyró nia si dwie grupy hipotez statystycznych:
• parametryczne, zwi zane z warto ciami parametrów,
• nieparametryczne, zwi zane z postaci rozkładów.
Testy parametryczne
Oznaczenia:
Θ - parametr populacji generalnej
T - przypuszczalna (hipotetyczna) warto parametru populacji generalnej
H
0
- hipoteza zerowa o postaci:
H
0
:
Θ = T
co czyta si :
"Stawiamy hipotez zerow głosz c , e warto parametru
Θ
jest równa T"
lub
"Stawiamy hipotez zerow głosz c , e ró nica pomi dzy parametrem
Θ
a jego
ocen T jest statystycznie nieistotna (jest na poziomie zerowym)"
St d nazwa - hipoteza zerowa.
H
1
- hipoteza alternatywna (dla ka dej hipotezy zerowej okre la si hipotez alternatywn ) o
postaciach:
H
1
:
Θ T
H
1
:
Θ > T
H
1
:
Θ < T
Dwie ostatnie postaci hipotezy alternatywnej okre la si jako hipotezy jednostronne.
Postawion hipotez zerow weryfikuje si za pomoc odpowiedniego sprawdzianu zwanego
te testem, który okre la si jako zmienn losow o postaci:
R
0
=
Θ T
wyznaczaj c ró nic , dla której nast pnie buduje si
obszar krytyczny odrzuce hipotezy
zerowej na podstawie warto ci krytycznej
R
αααα
dla danego
poziomu istotno ci
αααα
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
2
Ka d hipotez zerow weryfikuje si z pewnym prawdopodobie stwem pewno ci zwanym
poziomem ufno ci 1-
αααα
.
Odrzucenie hipotezy zerowej H
0
Je eli obliczona na podstawie próby warto sprawdzianu
R znajduje si w obszarze
krytycznym odrzuce , to hipotez zerow
H
0
odrzuca si na korzy hipotezy alternatywnej
H
1
. W przypadku przeciwnym stwierdza si , e dla danego poziomu istotno ci
αααα
nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej
H
0
.
Procedura post powania dla zweryfikowania parametrycznej hipotezy zerowej H
0
1.
okre li hipotez zerow
H
0
oraz jej alternatyw
H
1
2.
przyj poziom istotno ci
αααα
oraz liczebno próby
3.
okre li rozkład zbiorowo ci generalnej
4.
okre li test dla weryfikacji hipotezy zerowej
H
0
5.
obliczy warto testu na podstawie próby
6.
odczyta z tablic rozkładu danego testu warto krytyczn wyznaczaj c obszar odrzuce
i przyj (lub odrzuci ) hipotez zerow
H
0
Testy dla warto ci redniej populacji
Model I
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(
µ,σ), przy czym σ jest
znane. Na podstawie n-elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :
H
0
:
µ = µ
0
gdzie
µ
0
jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej
(dwustronnej):
H
1
:
µ µ
0
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z próby oblicza si :
1.1.
warto redni
x
1.2.
warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:
n
x
u
⋅
−
=
σ
µ
0
2.
z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu
istotno ci
α
wyznacza si warto krytyczn u
α/2
, tak by zachodziło:
P(|U|
≥ u
α/2
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
3
|U|
≥ u
α/2
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:
|u|
≥ u
α/2
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
|u|
< u
α/2
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
UWAGA:
Powy szy test jest testem z dwustronnym obszarem krytycznym i stosuje si go tylko dla
dwustronnej hipotezy alternatywnej:
H
1
:
µ µ
0
Przypadek 1
Hipoteza alternatywna H
1
ma posta :
H
1
:
µ < µ
0
W tym przypadku stosuje si test z lewostronnym obszarem krytycznym, okre lonym
nierówno ci :
U
≤ -u
α
przy czym warto u
α
wyznacz si z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego w taki
sposób by była spełniona zale no :
P(U
≤ -u
α
) =
α
Hipotez zerow odrzuca si , je eli wyznaczona z próby warto zmiennej u spełnia
nierówno :
u
≤ -u
α
Przypadek 2
Hipoteza alternatywna H
1
ma posta :
H
1
:
µ > µ
0
W tym przypadku stosuje si test z prawostronnym obszarem krytycznym, okre lonym
nierówno ci :
U
≥ u
α
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
4
przy czym warto u
α
wyznacz si z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego w taki
sposób by była spełniona zale no :
P(U
≥ u
α
) =
α
Hipotez zerow odrzuca si , je eli wyznaczona z próby warto zmiennej u spełnia
nierówno :
u
≥ u
α
Model II
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(
µ,σ), przy czym
odchylenie standardowe w populacji
σ jest nieznane. W oparciu o wyniki małej n-
elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :
H
0
:
µ = µ
0
gdzie
µ
0
jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej
(dwustronnej):
H
1
:
µ µ
0
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z próby oblicza si :
1.1.
warto redni
x
1.2.
odchylenie standardowe s
1.3.
warto statystyki - zmiennej t wg wzoru:
n
s
x
t
⋅
−
=
0
µ
która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o n-1 stopniach
swobody
2.
z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotno ci
α
i dla n-1 stopni swobody
odczytuje si tak warto t
α
, by zachodziło:
P(|T|
≥ t
α
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
|T|
≥ t
α
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto t, e zachodzi:
|t|
≥ t
α
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
5
|t|
< t
α
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Model III
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(
µ,σ) lub dowolny inny, o
redniej
µ i sko czonej i nieznanej wariancji σ. Na podstawie wyników z du ej n-
elementowej próby zweryfikowa hipotez zerow :
H
0
:
µ = µ
0
gdzie
µ
0
jest konkretn , hipotetyczn warto ci redniej, wobec hipotezy alternatywnej
(dwustronnej):
H
1
:
µ µ
0
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z próby oblicza si :
1.1.
warto redni
x
1.2.
odchylenie standardowe s
1.3.
warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:
n
s
x
u
⋅
−
=
0
µ
2.
z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu
istotno ci
α
wyznacza si warto krytyczn u
α/2
, tak by zachodziło:
P(|U|
≥ u
α/2
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
|U|
≥ u
α/2
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:
|u|
≥ u
α/2
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
|u|
< u
α/2
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
6
Testy dla równo ci rednich dwóch populacji
W zastosowaniach praktycznych cz sto zachodzi potrzeba sprawdzenia hipotez
dotycz cych równo ci warto ci rednich w dwóch populacjach. W zale no ci od tego jak
du y materiał do wiadczalny jest w dyspozycji stosuje si jeden z trzech modeli
Model I
Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady
normalne N(
µ
1
,
σ
1
) i N(
µ
2
,
σ
2
), przy czym znane s odchylenia standardowe w tych
populacjach
σ
1
i
σ
2
. W oparciu o wyniki dwu niezale nych prób o liczebno ciach
odpowiednio n
1
i n
2
nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:
H
0
:
µ
1
=
µ
2
wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):
H
1
:
µ
1
µ
2
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z prób oblicza si :
1.1.
warto ci rednie
1
x
i
2
x
1.2.
warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:
2
2
2
1
2
1
2
1
n
n
x
x
u
σ
σ
+
−
=
która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład normalny standaryzowany
N(0,1)
2.
z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu
istotno ci
α
wyznacza si warto krytyczn u
α/2
, tak by zachodziło:
P(|U|
≥ u
α/2
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
|U|
≥ u
α/2
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:
|u|
≥ u
α/2
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
|u|
< u
α/2
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
7
Model II
Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady
normalne N(
µ
1
,
σ
1
) i N(
µ
2
,
σ
2
), przy czym odchylenia standardowe w tych populacjach
σ
1
i
σ
2
nie s znane ale jednakowe tj.
σ
1
=
σ
2
. W oparciu o wyniki dwu niezale nych
małych prób o
liczebno ciach odpowiednio n
1
i n
2
nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:
H
0
:
µ
1
=
µ
2
wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):
H
1
:
µ
1
µ
2
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z prób oblicza si :
1.1.
warto ci rednie
1
x
i
2
x
1.2.
wariancje
2
1
s
i
2
2
s
1.3.
warto statystyki - zmiennej t wg wzoru:
+
⋅
−
+
+
−
=
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
n
n
n
n
s
n
s
n
x
x
t
która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład t-Studenta o (n
1
+n
2
-2)
stopniach swobody
2.
z tablic rozkładu t-Studenta, dla ustalonego poziomu istotno ci
α
i dla n-1 stopni swobody
odczytuje si tak warto t
α
, by zachodziło:
P(|T|
≥ t
α
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
|T|
≥ t
α
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto t, e zachodzi:
|t|
≥ t
α
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
|t|
< t
α
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
8
Model III
Badamy dwie populacje generalne w których analizowane parametry maj rozkłady
normalne N(
µ
1
,
σ
1
) i N(
µ
2
,
σ
2
) lub inne o sko czonych wariancjach
2
1
σ
i
2
2
σ
, które s
nieznane. W oparciu o wyniki dwu niezale nych
du ych prób o liczebno ciach odpowiednio
n
1
i n
2
nale y sprawdzi słuszno hipotezy zerowej:
H
0
:
µ
1
=
µ
2
wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):
H
1
:
µ
1
µ
2
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z prób oblicza si :
1.1.
warto ci rednie
1
x
i
2
x
1.2.
wariancje
2
1
s
i
2
2
s
1.3.
warto zmiennej standaryzowanej U wg wzoru:
2
2
2
1
2
1
2
1
n
s
n
s
x
x
u
+
−
=
która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład normalny standaryzowany
N(0,1)
2.
z tablic rozkładu normalnego standaryzowanego N(0,1), dla zało onego poziomu
istotno ci
α
wyznacza si warto krytyczn u
α/2
, tak by zachodziło:
P(|U|
≥ u
α/2
) =
α
Obszar krytyczny testu okre lony jest zale no ci :
|U|
≥ u
α/2
tzn. e gdy z próby otrzymamy tak warto u, e zachodzi:
|u|
≥ u
α/2
to hipotez zerow H
0
odrzucamy. W przypadku przeciwnym, gdy zachodzi:
|u|
< u
α/2
nie ma podstaw do odrzucenia H
0
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
9
Test dla wariancji populacji
W praktyce du a wariancja jest niekorzystna, gdy oznacza du niejednorodno
analizowanej cechy, dlatego te przy weryfikacji hipotez dotycz cych wariancji przyjmuje si
jako hipotez alternatywn z obszarem krytycznym prawostronnym.
Model
Badana cecha w populacji generalnej ma rozkład normalny N(
µ,σ), przy czym
parametry
σ i µ s nieznane. Na podstawie n-elementowej próby zweryfikowa hipotez
zerow :
H
0
:
2
=
2
0
gdzie
2
0
jest konkretn , hipotetyczn warto ci wariancji, wobec hipotezy alternatywnej
(prawostronnej):
H
1
:
2
>
2
0
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z próby oblicza si :
1.1.
wariancj z próby s
2
1.2.
warto zmiennej (statystyki)
χ
2
wg wzoru:
=
−
⋅
=
⋅
−
=
n
i
i
x
x
s
n
1
2
2
0
2
0
2
2
)
(
1
)
1
(
σ
σ
χ
która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozkład
χ
2
(chi-kwadrat) o (n-1)
stopniach swobody
2.
z tablic rozkładu
χ
2
(chi-kwadrat) dla zało onego poziomu istotno ci
α
i (n-1) stopni
swobody wyznacza si warto krytyczn
2
α
χ
, tak by zachodziło:
(
)
α
=
χ
≥
χ
α
2
2
P
Nierówno :
2
2
α
χ
≥
χ
okre la prawostronny obszar krytyczny odrzuce , tzn. gdy jest spełniona to nale y odrzuci
hipotez zerow H
0
na rzecz hipotezy alternatywnej H
1
.
Statystyka matematyczna
Weryfikacja hipotez...
Materiały dydaktyczne
opracował dr in . W. Sitek
10
Test dla równo ci wariancji dwóch populacji
W praktyce sytuacja taka pojawia si , gdy zachodzi potrzeba sprawdzania hipotezy o
jednakowym stopniu rozproszenia badanej cechy w dwu populacjach. Zakład si , e badane
populacje maja normalny rozkład analizowanej cechy.
Model
Rozpatrujemy dwie populacje, w których badana cecha ma odpowiednio rozkład
normalny N(
µ
1
,
σ
1
) i N(
µ
2
,
σ
2
), przy czym parametry tych rozkładów s nieznane. W oparciu o
wyniki dwu niezale nych prób o liczebno ciach odpowiednio n
1
i n
2
nale y sprawdzi
słuszno hipotezy zerowej:
H
0
:
2
1
=
2
2
wobec hipotezy alternatywnej (dwustronnej):
H
1
:
2
1
2
2
Test dla hipotezy zerowej jest nast puj cy:
1.
na podstawie wyników z próby oblicza si :
1.1.
wariancje z prób
2
1
s
i
2
2
s
, przy czym musi zachodzi
2
1
s
>
2
2
s
,
1.2.
warto zmiennej (statystyki) F wg wzoru:
2
2
2
1
s
s
F
=
która ma rozkład F-Snedecora z n
1
-1 i n
2
-1 stopniami swobody.
2.
z tablic rozkładu F-Snedecora dla zało onego poziomu istotno ci
α
odczytuje si warto
krytyczn F
α
, tak by zachodziło:
P(F
≥ F
α
) =
α
Nierówno :
F
≥ F
α
okre la prawostronny obszar krytyczny w te cie, tzn.
dla
F
≥ F
α
→ odrzucamy hipotez zerow H
0
na rzecz hipotezy alternatywnej H
1
a dla
F
< F
α
→ przyjmujemy hipotez zerow H
0