Zagadnienie statyki kratownicy płaskiej

METODY OBLICZENIOWE

Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6

Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

Ewa Pabisek

(1)

Równania MES dla ustrojów prętowych

Wprowadzenie

1

Równania równowagi MES budujemy korzystając z

zasady prac wirtualnych

lub funkcjonału całkowitej energii potencjalnej

Statyczna równowaga między siłami wewnętrznymi i zewnętrznymi jest
zachowana gdy potencjał sprężysty Π osiąga minimum
Π = W

int

− W

ext

Jeśli ciało znajduje się w stanie równowagi to praca wirtualna sił
wewnętrznych jest równa pracy wirtualnej sił zewnętrznych
δW

int

= δW

ext

∀δu

(2)

Równania równowagi

Zasada prac wirtualnych

2

Zasada prac wirtualnych:

δW

int

= δW

ext

∀δu,

Dla zbioru elementów skończonych:

W

int

=

X

e

W

e

int

,

W

ext

=

X

e

W

e

ext

δW

e

int

– praca uogólnionych naprężeń na wariacjach odkształceń δe

δW

e

ext

– praca obciążeń zewnętrznych (i sił bezwładności) na wariacjach

przemieszczeń δu z wnętrza ES oraz oddziaływań węzłowych
sąsiednich elementów na wariacjach węzłowych przemieszczeń.

q = u(2)

2

q = u(1)

1

x=

ξ

L

1

2

L

E, A

1

2

q = v

1

(1)

q = v

3

(2)

q =

2

ϕ

(1)

4

q = ϕ

(2)

x

y, v

L

1

2

q =

(1)

ϕ

3

q =

(2)

ϕ

6

y, v

x, u

q = u

4

(2)

1

(1)

q = u

q =

2

v

(1)

q = v

5

(2)

kratowy ES

belkowy ES

ramowy ES

(3)

Równania równowagi

3

Zmienne dla konstrukcji ramowych

u =



u
v



- wektor przemieszczeń (podstawowe niewiadome)

e =



ε

0

κ



- wektor uogólnionych odkształceń (L · u)

s =



N

M



- wektor uogólnionych naprężeń

p =



p

x

p

y



- wektor intensywności obciążeń rozłożonych

4

Interpolacja wewnątrz elementu

u(x

e

) = N(x

e

)q

e

,

δu = N(x

e

) δq

e

q

e

- stopnie swobody, tzn. przemieszczenia węzłowe

e(x

e

) = L · u(x

e

) =



L · N(x

e

)



q

e

= B(x

e

)q

e

,

δe = B(x

e

)δq

e

s(x

e

) = D e(x

e

) = D B(x

e

)q

e

(4)

Równania równowagi

Zasada prac wirtualnych

δW

e

int

=

Z

l

e

0

δe

T

s dx

e

δW

e

ext

=

Z

l

e

0

δu

T

p dx

e

+ δq

eT

f

e

f

e

- wektor sił przywęzłowych (siły działające na rozważany ES, pochodzące od

elementów z nim połączonych w węzłach)

p

x

p

y

1

f

y

x

3

f

2

f

f

f

5

f

e

e

e

e

e

e

e

e

4

6

(5)

Równania równowagi

5

Po wprowadzeniu związków kinematycznych (δu = N δq

e

, δe = Bδq

e

) oraz

fizycznych (s = DBq) otrzymujemy:

δW

e

int

= δq

eT

Z

l

e

0

B

T

DB dx

e

q

e

= δq

eT

k

e

q

e

k

e

- macierz sztywności ES

δW

e

ext

= δq

e

Z

l

e

0

N

T

p dx

e

+ δq

eT

f

e

= δq

e

z

e

+ f

e

)

z

e

- wektor zastępników od obciążenia ES

Odwołując się do

δW

e

int

= δW

e

ext

∀u

e

, otrzymujemy zasadę prac

wirtualnych zapisaną za pomocą macierzy i wektorów elementowych:

δq

eT

k

e

q

e

= δq

eT

z

e

+ r

e

∀q

e

(1)

(6)

Równanie równowagi ES

δq

eT

k

e

q

e

| {z }

= δq

eT

z

e

+ r

e

|

{z

}

∀q

e

Przyrównując do siebie czynniki przy wektorze wariacji węzłowych przemieszczeń
otrzymujemy:

6

równanie równowagi elementu skończonego

k

e

q

e

= z

e

+ f

e

.

7

gdzie występują następujące macierze i wektory ES

Macierz sztywności liniowej

k

e

=

Z

l

e

0

B

T

D B dx

e

,

Wektor węzłowych zastępników od obciążenia rozłożonego p(x )

z

e

=

Z

l

e

0

N

T

p(x ) dx

e

.

(7)

Równanie równowagi układu

Macierzowe równanie równowagi statycznej całego układu ma postać:

KQ = P + Z + R

gdzie:

K - globalna macierz sztywności układu.

K =

X

e

K

e

,

K

e

= T

eT

k

e

T

e

T – macierz transformacji z układu lokalnego ES do globalnego układu
Q – wektor globalnych przemieszczeń układu,
P – wektor zewnętrznych obciążeń węzłowych
Z – wektor globalnych zastępników obciążeń elementowych

Z =

X

e

Z

e

,

Z

e

= T

eT

z

e

,

R – wektor globalnych reakcji w węzłach podporowych

(8)

Opis elementu kratowego

Definicje zmiennych

p(x)

P

x

Przemieszczenie, odkształcenie i siła przekrojowa w pręcie
rozciąganym/ściskanym

u(x ) = {u(x )}

e(x ) = {ε

0

}

s(x ) = {N(x )}

p = {p(x )}

Związki kinematyczne i fizyczne:

ε

0

=

du

dx

⇒ e = Lu,

L =

h

d

dx

i

N = E A ε

0

⇒ s = De, D = [E A]

(9)

Opis elementu kratowego w układzie lokalnym

Aproksymacja pola przemieszczeń

Liczba lokalnych stopni swobody węzła ES lss

w

= 1, lss

e

= 2.

q = u(2)

2

q = u(1)

1

x=

ξ

L

1

2

L

E, A

wektor przemieszczeń węzła ES:

q

w

(1×1)

= [u

w

]

wektor przemieszczeń ES:

q

e

(2×1)

= [ q

1

, q

2

]

T

= [ u

1

, u

2

]

T

aproksymacja pola przemieszczeń:

u

e

(1×1)

(ξ) = [ u

x

(ξ) ] = N(ξ)q

e

=

(N

1

(ξ), N

2

(ξ)



e



q

e

1

q

e

2



,

ξ

e

= x /l

e

– bezwymiarowa współrzędna

N

1

(ξ), N

2

(ξ) – funkcje kształtu

(10)

Opis elementu kratowego w układzie lokalnym

Aproksymacja pola przemieszczeń

funkcje kształtu:

N

(1×2)

(ξ) =

 N

1

(ξ), N

2

(ξ)

 = (1 − ξ),

ξ



=

ξ

x

L

1

N

2

N

=

ξ

x

L

1.0

1.0

x =

ξ L

u

(2)

u

(1)

1

2

1.0

1.0

u(x)

a)

b)

L

e

(11)

Opis elementu kratowego w układzie lokalnym

Związki kinematyczne i fizyczne

Aproksymacja pola uogólnionych odkształceń:

e

(1×1)

(ξ) = [ε

x

(ξ)] =

du

Ldξ

= L · N(ξ)q

e

= B

(1×2)

(ξ) q

e

(2×1)

Aproksymacja pola uogólnionych naprężeń:

s

(1×1)

(ξ) = N(ξ) = D e(ξ) = D

(1×1)

B

(1×2)

(ξ) q

e

(2×1)

gdzie:

B

(1×2)

(ξ) = L N

(1×2)

=



−1

L

e

,

1

L

e

 ,

D

(1×1)

=



E A



e

(12)

Opis elementu kratowego w układzie lokalnym

Macierze ES w układzie lokalnym

Macierz sztywności ES w układzie lokalnym

k

e

(2×2)

=

Z

L

0

B

T

DB dx

−→

k

e

(2×2)

=

EA

L



1

−1

−1

1



.

Wektor zastępników od obciążenia rozłożonego p(x ) = p = const

x=

ξ L

2

1

L

P

z

2

=

pL

2

z

1

=

pL

2

z

e

(2×1)

=

Z

L

0

N

T

p dx

−→

z

e

(2×1)

=





pL

2

pL

2





(13)

Opis ES kratowego w układzie globalnym

CD aproksymacji

Liczba globalnych stopni swobdy węzła LSS

w

= 2 a elementu LSS

e

= 4

x=

ξ

L

2

q

1

Q = U(1)

1

Q = V(1)

2

Q = U(2)

3

Q = V(2)

4

q

2

1

Y

X

wektor przemieszczeń węzła:

Q

w

(2×1)

= [ U

w

, V

w

]

T

wektor przemieszczeń ES:

Q

e

(4×1)

= [ Q

1

, Q

2

| Q

3

, Q

4

]

T

= [ U

1

, V

1

| U

2

, V

2

]

T

q

w

(2×1)

=



q

1

q

2



e

=



c

s

0

0

0

0

c

s



e







Q

1

Q

2

Q

3

Q

4







e

= T

e

(2×4)

Q

e

(4×1)

Q

e

(4×1)

= T

eT

(4×2)

q

e

(2×1)

.

gdzie: T – macierz transformacji

c = cos(α

e

), c = sin(α

e

)

(14)

Opis elementu kratowego

Macierze ES w układzie globalnym

Macierz szywności ES w układzie globalnym

K

e

(4×4)

= T

eT

(4×2)

k

e

(2×2)

T

e

(2×4)

,

T

e

(2×4)

=



cos(α)

sin(α)

0

0

0

0

cos(α)

sin(α)



.

Ostatecznie macierz sztywności ES w układzie globalnym:

K

e

(4×4)

=

EA

L

e







c

2

sc

−c

2

−sc

sc

s

2

−sc

−s

2

−c

2

−sc

c

2

sc

−sc

−s

2

sc

s

2







e

,

c = cos α

s = sin α.

Wektor zastępników od obciążenia rozłożonego u układzie globalnym

Z

e

(4×1)

= T

eT

(4×2)

z

e

(2×1)

=







z

e

1

c

z

e

1

s

z

e

2

c

z

e

2

s







(15)

MES dla ustrojów prętowych (statyka)

Algorytm metody

1

Dyskretyzacja (numeracja węzłów i elementów, topologia).

2

Obliczenie macierzy sztywności k

e

oraz wektora zastępników od obciązenia

rozłożonego z

e

w układzie lokalnym elementu.

3

Transformacja macierzy do układu globalnego - obliczenie K

e

oraz Z

e

.

4

Agregacja: zbudowanie macierzy sztywności układu K oraz wektora Z.

5

Utworzenie wektora sił skupionyh w węzłach P.

6

Uwzględnienie warunków brzegowych.

7

Rozwiązanie układu równań KQ = P + Z + R czyli wyznaczenie wektora
globalnych przemieszczeń węzłowych Q i reakcji w więzach podporowych R.

8

Powrót do elementu i obliczenie sił przywęzłowych w układzie lokalnym
elementu.

Q −→ Q

e

−→ q

e

−→ f

e

= k

e

q

e

− z

e

lub

Q −→ Q

e

−→ F

e

= K

e

Q

e

− Z

e

−→ f

e

9

sprawdzenie obliczeń (równowagi układu, wybranego podukładu, węzła).

(16)

Statyka kratownicy

Przykład 1: Dane, dyskretyzacja, topologia

2

1

3

1

2

3

1

3

2

NE

wP

wK

X

Y

4 m

3 m

10 kN

Y

X

10 kN/m

2

2

3

3

1

1

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

Q

6

Q

5

Liczba węzłów (LW = 3), liczba elementów (LE = 3)
Liczba stopni swobody węzła (LSSW = 2)
Liczba stopni swobody układu (LSSU = 6).
Dla E = 10GPa, A = 0.001m

2

, l

1

= 3m, l

2

= 5m, l

3

= 4m

Wektor przemieszczeń węzłowych w układzie globalnym:
Q = [Q

1

, Q

2

, Q

3

, Q

4

, Q

5

, Q

6

]

T

= [U

1

, V

1

| U

2

, V

2

| U

3

, V

3

]

T

(17)

Statyka kratownicy

Przykład 1: Macierze sztywności k

e

→ K

e

Macierze szywności ES w układzie globalnym

K

e

dla e = 1, 2, 3

K

e

(4×4)

=

EA

L







c

2

sc

−c

2

−sc

sc

s

2

−sc

−s

2

−c

2

−sc

c

2

sc

−sc

−s

2

sc

s

2







,

c = cos(α)

s = sin(α)

2

1

Y

X

1

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

Element e = 1 :

α

1

= 0

o

, cos(α

1

) = 1.0, sin(α

1

) = 0.0, L

1

= 3.0 m

Q

1

= [ Q

1

, Q

2

, Q

3

, Q

4

]

T

K

1

=







3.333 · 10

3

0

−3.333 · 10

3

0

0

0

0

0

−3.333 · 10

3

0

3.333 · 10

3

0

0

0

0

0







(18)

Statyka kratownicy

Przykład 1: Macierze sztywności k

e

→ K

e

2

3

Y

X

2

Q

3

Q

4

Q

6

Q

5

Element e = 2 : c = (x

2

k

− x

2

p

)/l

e

, s = (y

2

k

− y

2

p

)/l

e

α

2

= 126.87, cos(α

2

) = −0.6, sin(α

2

) = 0.8, L

2

= 5.0 m

Q

2

= [ Q

3

, Q

4

, Q

5

, Q

6

]

T

K

2

=







720

−960

−720

960

−960

1.28 · 10

3

960

1.28 · 10

3

−720

960

720

−960

960

−1.28 · 10

3

−960

1.28 · 10

3







1

3

Y

X

3

Q

1

Q

2

Q

6

Q

5

Element e = 3 :

α

3

= 90, cos(α

3

) = 1.0, sin(α

3

) = 0.0, L

3

= 4.0m

Q

3

= [ Q

1

, Q

2

, Q

5

, Q

6

]

T

K

3

=







0

0

0

0

0

2.5 · 10

3

0

2.5 · 10

3

0

0

0

0

0

−2.5 · 10

3

0

2.5 · 10

3







(19)

Statyka kratownicy

Przykład 1: Agregacja

Globalna macierz sztywności K całego układu kratowego:

2

1

3

1

2

3

1

3

2

NE

wP

wK

Y

X

2

2

3

3

1

1

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

Q

6

Q

5

1

2

2

3

2

3

1

1

K1

=

1

2

3

4

5

6

1

1

2

2

3

4

3

5

6

2

3

1

3

1

2

3

4

5

6

1

1

2

2

3

4

3

5

6

3

4

5

6

3

4

5

6

K2

=

1

2

1

2

K3

=

K =

(20)

Statyka kratownicy

Przykład 1: Agregacja

Globalna macierz sztywności K całego układu kratowego:

2

1

3

1

2

3

1

3

2

NE

wP

wK

Y

X

2

2

3

3

1

1

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

Q

6

Q

5

1

2

2

3

2

3

1

1

K1

=

1

2

3

4

5

6

1

1

2

2

3

4

3

5

6

2

3

1

3

1

2

3

4

5

6

1

1

2

2

3

4

3

5

6

3

4

5

6

3

4

5

6

K2

=

1

2

1

2

K3

=

K =

(21)

Statyka kratownicy

Przykład 1: Agregacja

Globalna macierz sztywności K całego układu kratowego:

2

1

3

1

2

3

1

3

2

NE

wP

wK

Y

X

2

2

3

3

1

1

Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

Q

6

Q

5

1

2

2

3

2

3

1

1

K1

=

1

2

3

4

5

6

1

1

2

2

3

4

3

5

6

2

3

1

3

1

2

3

4

5

6

1

1

2

2

3

4

3

5

6

3

4

5

6

3

4

5

6

K2

=

1

2

1

2

K3

=

K =

(22)

Statyka kratownicy

Globalna macierz sztywności K całego układu kratowego:

K = 10

3











3.333

0

−3.333

0

0

0

0

2.5

0

0

0

−2.5

−3.333

0

4.053

−0.96

−0.72

0.96

0

0

−0.96

1.28

0.96

−1.28

−0.72

0

−0.72

0.96

0.72

−0.96

0

−2.5

0.96

−1.28

−0.96

3.78











.

Wektor węzłowych zastępników obciązeń elementowych Z

3

2

Y

X

p=10

2

Z

3

Z

4

Z

6

Z

5

z

2

1

x

2

z

2

2

z

2

=

"

−

pL

2

2

−

pL

2

2

#

→ Z

2

= T

2T

z

2

=







15

−20

15

−20







Globalny wektor węzłowych zastępników Z =











0
0

15

−20

15

−20











(23)

Statyka kratownicy

Wektor obciążeń węzłowych P

2

1

3

X

Y

4 m

3 m

10 kN

Y

X

2

3

1

P

1

P

2

P

3

P

4

P

6

= −10

P

5

P = [ 0, 0, 0, 0, 0, −10 ]

(24)

Statyka kratownicy

X

Y

10 kN

K

Q

P + Z + R

Układ równań MES:

KQ = P + Z + R

Niewiadome:

Q = {0, 0, Q

3

, 0, 0, Q

6

}

R = {R

1

, R

2

, 0, R

4

, R

5

, 0}

10

3











3.333

0

−3.333

0

0

0

0

2.5

0

0

0

−2.5

−3.333

0

4.053

−0.96

−0.72

0.96

0

0

−0.96

1.28

0.96

−1.28

−0.72

0

−0.72

0.96

0.72

−0.96

0

−2.5

0.96

−1.28

−0.96

3.78





















0
0

Q

3

0
0

Q

6











=











0 + R

1

0 + R

2

15 + R

3

−20 + 0

15 + R

5

−30 + 0











(25)

Statyka kratownicy

Po uwzględnieniu warunków brzegowych:

Q

1

= 0.0

,

Q

2

= 0.0

,

Q

4

= 0.0

,

Q

5

= 0.0

10

3











3.333

0

−3.333

0

0

0

0

2.5

0

0

0

−2.5

−3.333

0

4.053

−0.96

−0.72

0.96

0

0

−0.96

1.28

0.96

−1.28

−0.72

0

−0.72

0.96

0.72

−0.96

0

−2.5

0.96

−1.28

−0.96

3.78





















Q

1

Q

2

Q

3

Q

4

Q

5

Q

6











=












0 + R

1

0 + R

2

15 +0

−20 + R

4

15 + R

5

-30+0












otrzymujemy układ:

10

3



4.053

0.96

0.96

3.78

 

Q

3

Q

6



=



15

−30



Po jego rozwiązaniu mamy: Q

3

= 5.938 · 10

−3

m,

Q

6

= −9.444 · 10

−3

m

Pełny wektor przemieszczeń:

Q = [0.0, 0.0 | 5.938 · 10

−3

0.0 | 0.0, −9.444 · 10

−3

]

T

(26)

Statyka kratownicy

Wyznaczenie niewiadomych

Q

6

= −9.444 10

−3

Q

4

= 5.938 10

−3

10

R

1

= −19.79

R

4

= 26.39

R

2

= 23.61

R

5

= −10.21

10

Pełny wektor przemieszczeń:

Q =











0.0
0.0
0.0

5.938 · 10

−3

0.0

−9.444 · 10

−3











Wektor reakcji oblicza sie ze wzoru:

R = K Q − P

Dla analizowanej kratownicy reakcje wynoszą:

R =











−19.79

23.61

0.0

26.39

−10.21

0.0











(27)

Statyka kratownicy

Powrót do elementu. Wyznaczenie sił przywęzłowych

Siły przywęzłowe
w układach lokalnym ES

17.01

32.99

23.61

−23.61

−19.79

19.79

x

2

x

3

x

1

Element 1

Q

1

=







Q

1

Q

2

Q

3

Q

4







,

f

1

= T

1

(K

1

Q

1

)

f

1

=



−19.79

19.79



Element 2

Q

2

=







Q

3

Q

4

Q

5

Q

6







,

f

2

= T

2

(K

2

Q

2

)

f

2

=



32.99
17.01



Element 3

Q

3

=







Q

1

Q

2

Q

5

Q

6







,

f

3

= T

3

(K

3

Q

3

)

f

3

=



23.61

−23.61



(28)

Dziękuję za uwagę

(29)