KMiI ATH, B-B

Liczby zespolone

1

Algebra, notatki do wykładu.

Liczby zespolone.

Definicja 1. (Liczba zespolona)
Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych, np. (x, y). Liczby
zespolone oznaczamy krótko przez z, w, s itp. Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy
przez C . Zatem

C

def

=

z = (x, y) : x, y ∈ R .

Definicja 2. (Równość, suma i iloczyn liczb zespolonych)
Niech z

1

= (x

1

, y

1

), z

2

= (x

2

, y

2

) będą liczbami zespolonymi.

1. Równość liczb zespolonych określamy warunkiem:

z

1

= z

2

def

⇐⇒

(

x

1

= x

2

,

y

1

= y

2

.

2. Sumę liczb zespolonych określamy następująco:

z

1

+ z

2

def

= (x

1

+ x

2

, y

1

+ y

2

).

3. Iloczyn liczb zespolonych określamy wzorem:

z

1

· z

2

def

= (x

1

x

2

− y

1

y

2

, x

1

y

2

+ x

2

y

1

).

Uwaga. Iloczyn z · z · . . . · z złożony z n czynników zespolonych oznaczamy tradycyjnie przez
z

n

.

Fakt. (Własności działań w zbiorze liczb zespolonych)
Niech z

1

, z

2

, z

3

będą dowolnymi liczbami zespolonymi. Wtedy:

1. dodawanie i mnożenie liczb zespolonych jest przemienne, tzn.

z

1

+ z

2

= z

2

+ z

1

oraz

z

1

· z

2

= z

2

· z

1

;

2. Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych jest łączne, tzn.

(z

1

+ z

2

) + z

3

= z

1

+ (z

2

+ z

3

)

oraz

(z

1

· z

2

) · z

3

= z

1

· (z

2

· z

3

);

3. dla każdej liczby zespolonej z liczba 0

def

= (0, 0) jest (jedynym) elementem neutralnym

dodawania, tzn. spełnia równość

z + 0 = z;

KMiI ATH, B-B

Liczby zespolone

2

4. dla każdej liczby zespolonej z = (x, y) istnieje dokładnie jedna liczba −z

def

= (−x, −y)

do niej przeciwna, tzn. spełniająca równość

z + (−z) = 0;

5. dla każdej liczby zespolonej z liczba 1

def

= (1, 0) jest elementem neutralnym mnożenia

(jedynym), tzn. spełnia równość

z · 1 = z;

6. dla każdej liczby zespolonej z = (x, y) 6= 0 istnieje dokładnie jedna liczba

1

z

def

= (

x

x

2

+ y

2

,

y

x

2

+ y

2

) do niej odwrotna, tzn. spełniająca równość

z ·

1

z

= 1;

7. mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne (obustronnie – co wynika z przemienności

mnożenia) względem dodawania (wtedy również względem odejmowania, co wynika
z 4), tzn.

z

1

· (z

2

+ z

3

) = z

1

· z

2

+ z

1

· z

3

.

Definicja 3. (Różnica i iloraz liczb zespolonych)

1. Różnicę liczb zespolonych określamy wzorem:

z

1

− z

2

def

= z

1

+ (−z

2

).

2. Iloraz liczb zespolonych określamy wzorem:

z

1

z

2

def

= z

1

·

1

z

2

, o ile z

2

6= 0.

Fakt. (Zbiór liczb rzeczywistych jako podzbiór zbioru liczb zespolonych)
Liczby zespolone postaci (x, 0) można utożsamiać z liczbami rzeczywistymi.

Definicja 4. (Jednostka urojona)
Liczbę zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez i (w elektrotech-
nice często przez j);

i

def

= (0, 1).

Fakt. (Postać algebraiczna liczby zespolonej )
Każdą liczbę zespoloną można jednoznacznie zapisać w postaci:

z = x + iy, gdzie x, y ∈ R .

Definicja 5. (Sprzężenie liczby zespolonej )
Sprzężeniem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczbę z określoną
wzorem:

z

def

= x − iy.

KMiI ATH, B-B

Liczby zespolone

3

Fakt. (Własności sprzężenia liczb zespolonych)
Niech z, z

1

, z

2

∈ C . Wtedy

1. z

1

+ z

2

= z

1

+ z

2

;

2. z

1

− z

2

= z

1

− z

2

;

3. z

1

· z

2

= z

1

· z

2

;

4.



z

1

z

2



=

z

1

z

2

, o ile z

2

6= 0;

5. z + z = 2Re z;

6. z − z = 2iIm z;

7. (z) = z;

8. Im (z) = −Im (z).

KMiI ATH, B-B

Liczby zespolone

4

Liczby zespolone c.d.

Definicja 6. (Moduł liczby zespolonej )
Modułem liczby zespolonej z = x + iy, gdzie x, y ∈ R, nazywamy liczbę rzeczywistą ozna-
czaną przez |z| i określoną wzorem

|z|

def

=

p

x

2

+ y

2

.

Fakt. (Własności modułu liczby zespolonej )
Niech z, z

1

, z

2

∈ C. Wtedy

1. |z| = |z| = | − z|;

2. z · z = |z|

2

;

3. |z

1

· z

2

| = |z

1

| · |z

2

|;

4.






z

1

z

2






=

|z

1

|

|z

2

|

;

5. |z

1

+ z

2

| 6 |z

1

| + |z

2

|;

6.




|z

1

| − |z

2

|




6 |z

1

− z

2

|;

7. |Re z| 6 |z|,

|Im z| 6 |z|;

8. |Re (z

1

z

2

)| 6 |z

1

||z

2

|.

Definicja 7. (Argument, argument główny liczby zespolonej )
Argumentem liczby zespolonej z = x + iy 6= 0, gdzie x, y ∈ R, nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R
spełniającą układ równań











cos ϕ =

x

|z|

,

sin ϕ =

y

|z|

.

Przyjmujemy, że argumentem liczby zespolonej z = 0 może być każda liczba rzeczywista ϕ.
Argumentem głównym liczby zespolonej z 6= 0 nazywamy ten (jedyny) argument ϕ liczby z,
który spełnia nierówności 0

6 ϕ < 2π. Przyjmiemy, że argumentem głównym zera jest 0.

Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z.

Fakt. (Postać trygonometryczna liczby zespolonej )
Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci

z = r(cos ϕ + i sin ϕ),

gdzie r

> 0 oraz ϕ ∈ R. Liczba r jest wówczas modułem liczby z, a liczba ϕ jednym z jej

argumentów.

Fakt. (Równość liczb zespolonych w postaci trygonometryczej )
Dwie liczby zespolone z

1

= r

1

(cos ϕ

1

+ i sin ϕ

1

), z

2

= r

2

(cos ϕ

2

+ i sin ϕ

2

), gdzie r

1

, r

2

> 0

oraz ϕ

1

, ϕ

2

∈ R, są równe wtedy i tylko wtedy, gdy

(

r

1

= r

2

= 0,

albo

r

1

= r

2

> 0 oraz ϕ

1

= ϕ

2

+ 2kπ dla pewnego k ∈ Z.

Fakt. (Mnożenie, dzielenie, potęgowanie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej )
Niech będą dane liczby zespolone z = r(cos ϕ + i sin ϕ), z

1

= r

1

(cos ϕ

1

+ i sin ϕ

1

), z

2

=

r

2

(cos ϕ

2

+ i sin ϕ

2

), gdzie r, r

1

, r

2

> 0 oraz ϕ, ϕ

1

, ϕ

2

∈ R. Wtedy

KMiI ATH, B-B

Liczby zespolone

5

z

1

· z

2

= r

1

r

2

[cos(ϕ

1

+ ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

+ ϕ

2

)];

z

1

z

2

=

r

1

r

2

 cos(ϕ

1

− ϕ

2

) + i sin(ϕ

1

− ϕ

2

)

, o ile z

2

6= 0;

z

n

= r

n

(cos nϕ + i sin nϕ), gdzie n ∈ N.

Definicja 8. (Pierwiastek z liczby zespolonej )
Pierwiastkiem stopnia n ∈ N z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w
spełniającą równość

w

n

= z.

Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z oznaczamy przez

n

√

z.

Fakt. (Wzór na obliczanie pierwiastków z liczby zespolonej )
Każda liczba zespolona z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r > 0 oraz ϕ ∈ R, ma dokładnie n
pierwiastków stopnia n. Zbiór pierwiastków ma postać

n

√

z = {w

0

, w

1

, . . . , w

n−1

},

gdzie w

k

=

n

√

r



cos

ϕ + 2kπ

n

+ i sin

ϕ + 2kπ

n



dla k = 0, 1, . . . , n − 1.

Definicja 9. (Symbol e

iϕ

)

Dla ϕ ∈ R:

e

iϕ def

= cos ϕ + i sin ϕ.

Fakt. (Wzory Eulera)
Niech ϕ ∈ R. Wówczas zachodzą równości:

cos ϕ =

e

iϕ

+ e

−iϕ

2

;

sin ϕ =

e

iϕ

− e

−iϕ

2i

.

Fakt. (Postać wykładnicza liczby zespolonej )
Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci wykładniczej, tj. w postaci

z = re

iϕ

,

gdzie r

> 0 oraz ϕ ∈ R. Liczba r jest tu modułem liczby z, a ϕ jest jej argumentem.

KMiI ATH, B-B

Macierze i wyznaczniki

6

Algebra, notatki do wykładu - macierze.

Macierze

Definicja 10. (Macierzy liczbowej )
Macierzą liczbową rzeczywistą (zespoloną) o wymiarze m × n nazywamy funkcję odwzorowu-
jącą iloczyn kartezjański {1, . . . , m} × {1, . . . , n} w zbiór R (lub odpowiednio C ), co zapisu-
jemy

{1, . . . , m} × {1, . . . , n} 3 (i, k) 7→ a

ik

∈ R (odpowiednio C )

lub też bezpośrednio w postaci tablicy prostokątnej złożonej z mn liczb rzeczywistych (ze-
spolonych) ustawionych w m wierszach i n kolumnach

i − ty wiersz →









a

11

a

12

. . .

a

1k

. . .

a

1n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

i1

a

i2

. . .

a

ik

. . .

a

in

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m1

a

m2

. . . a

mk

. . . a

mn









↑

k − ta kolumna

Uwaga. Macierze będziemy oznaczali dużymi literami alfabetu np. A, B, X itp. lub np.
dla macierzy A także przez [a

ik

]

m×n

albo A

m×n

.

Wymiarem macierzy jest para uporządkowana (m, n) zapisywana jako m×n, której pierwszy
wyraz jest liczbą wierszy macierzy, a drugi oznacza liczbę jej kolumn.

Definicja 11. (Rodzaje macierzy)

1. Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy macierzą

zerową wymiaru m × n i oznaczamy przez 0

m×n

lub przez 0, gdy znamy jej wymiar.

2. Macierz, której liczba liczba wierszy jest równa liczbie kolumn nazywamy macierzą

kwadratową. Liczbę wierszy (kolumn) nazywamy wtedy stopniem macierzy kwadra-
towej. Elementy macierzy, które mają te same numery wiersza i kolumny, tworzą
główną przekątną macierzy.

3. Macierz kwadratową stopnia n

> 2, w której wszystkie elementy stojące nad (pod)

główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą trójkątną dolną (lub odpowiednio
– macierzą trójkątną górną).

4. Macierz kwadratową stopnia n, w której wszystkie elementy nie leżące na głównej

przekątnej są równe 0, nazywamy macierzą diagonalną. Macierz taką oznaczamy często
symbolem diag (a

11

, a

22

, . . . , a

nn

). Gdy wszystkie elementy macierzy diagonalnej leżące

na głównej przekątnej mają tą samą wartość, wówczas macierz diagonalną nazywamy
macierzą skalarną.

5. Macierz skalarną mającą na przekątnej głównej same jedynki, nazywamy macierzą

jednostkową. Macierz jednostkową stopnia n oznaczamy przez I

n

lub przez I, gdy

znamy jej stopień.

KMiI ATH, B-B

Macierze i wyznaczniki

7

Podstawowe działania na macierzach

Definicja 12. (suma i różnica macierzy) Niech A = [a

ij

] i B = [b

ij

] będą macierzami

wymiaru m × n. Sumą (różnicą) macierzy A i B nazywamy macierz C = [c

ij

], której

elementy są określone wzorem

c

ij

def

= a

ij

+ b

ij

(c

ij

def

= a

ij

− b

ij

, odpowiednio)

dla 1

6 i 6 m oraz 1 6 j 6 n. Piszemy wtedy A + B (A − B).

Definicja 13. (Iloczyn macierzy przez liczbę)
Niech A = [a

ij

] będzie macierzą wymiaru m × n oraz niech α będezie liczbą rzeczywistą

(lub zespoloną). Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz B = [b

ij

], której

elementy są określone wzorem

b

ij

def

= αa

ij

dla 1

6 i 6 m oraz 1 6 j 6 n. Piszemy wtedy B = αA.

Fakt. (Własności działań na macierzach)
Niech A, B, C będą dowolnymi macierzami rzeczywistymi (zespolonymi) tego samego wy-
miaru oraz niech α, β będą liczbami rzeczywistymi (zespolonymi). Wtedy

1. A + B = B + A;

2. A + (B + C) = (A + B) + C;

3. A + 0 = 0 + A = A;

4. A + (−A) = 0;

5. α(A + B) = αA + αB;

6. (α + β)A = αA + βA;

7. 1 · A = A;

8. (αβ)A = α(βA).

Definicja 14. (Iloczyn macierzy)
Niech macierz A = [a

ij

] ma wymiar m × n, a macierz B = [b

ij

] wymiar n × k. Iloczynem

macierzy A i B nazywamy macierz C = [c

ij

] wymiaru m × k, której elementy określone są

wzorem

c

ij

def

= a

i1

b

1j

+ a

i2

b

2j

+ . . . + a

in

b

nj

dla 1

6 i 6 m oraz 1 6 j 6 n. Piszemy wtedy C = AB.

Fakt. (Własności iloczynu macierzy)

1. Niech macierz A ma wymiar m × n, a macierze B i C wymiar n × k. Wtedy

A(B + C) = AB + AC.

2. Niech macierze A i B mają wymiar m × n, a macierz C wymiar n × k. Wtedy

(A + B)C = AC + BC.

3. Niech macierz A ma wymiar m × n, a macierz B wymiar n × k oraz niech α będzie

liczbą rzeczywistą (lub zespoloną). Wtedy

A(αB) = (αA)B = α(AB).

KMiI ATH, B-B

Macierze i wyznaczniki

8

4. Niech macierz A ma wymiar m × n, macierz B wymiar n × k, a macierz C wymiar

k × l. Wtedy

(AB)C = A(BC).

5. Niech macierz A ma wymiar m × n. Wtedy

AI

n

= I

m

A = A.

Uwaga. Mnożenie macierzy nie jest przemienne, ponieważ na ogół AB 6= BA.
Zamiast AA . . . A

|

{z

}

n czynników

, gdzie A jest macierzą kwadratową, będziemy pisali A

n

. Za A

0

przyjmu-

jemy macierz jednostkową I (tego samego stopnia, co macierz A).

Definicja 15. (Macierz transponowana)
Niech macierz A ma wymiar m × n. Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy
macierz B = [b

ij

] wymiaru n × m, której elementy są określone wzorem

b

ij

def

= a

ji

,

gdzie 1

6 i 6 n oraz 1 6 j 6 m. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy A

T

.

Fakt. (Własności transpozycji macierzy)

1. Niech A i B będą macierzami wymiaru m × n. Wtedy

(A + B)

T

= A

T

+ B

T

.

2. Niech A będzie macierzą wymiaru m × n oraz niech α będzie liczbą rzeczywistą (ze-

spoloną). Wtedy

(A

T

)

T

= A

oraz

(αA)

T

= αA

T

.

3. Niech A będzie wymiaru m × n, a B macierzą wymiaru n × k. Wtedy

(AB)

T

= B

T

A

T

.

4. Niech A będzie macierzą kwadratową oraz niech n ∈ N . Wtedy

(A

n

)

T

= A

T

n

.

Definicja 16. (Macierz symetryczna i antysymetryczna)
1. Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeśli

A

T

= A.

2. Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną, gdy

A

T

= −A.

KMiI ATH, B-B

Macierze i wyznaczniki

9

Fakt. (Własności macierzy symetrycznych i antysymetrycznych)

1. Niech A będzie macierzą kwadratową. Wtedy

(a) macierz A + A

T

jest symetryczna;

(b) macierz A − A

T

jest antysymetryczna.

2. Niech A będzie macierzą dowolnego wymiaru.

Wtedy macierze AA

T

i A

T

A są

symetryczne.

3. Każdą macierz kwadratową można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy

symetrycznej i antysymetrycznej

A =

1

2

A + A

T

+

1

2

A − A

T

.

KMiI ATH, B-B

Macierze i wyznaczniki

10

Wyznaczniki

Definicja 17. (Wyznacznik macierzy kwadratowej (def. indukcyjna))

Wyznacznikiem

macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy liczbowej

(kwadratowej) A = [a

ij

] przypisuje liczbę detA. Funkcja ta jest określona wzorem induk-

cyjnym:

1.

jeżeli stopień macierzy A wynosi 1, to

det A = a

11

;

2.

jeżeli macierz A jest stopnia n

> 2, to:

det A = (−1)

1+1

a

11

det A

11

+ (−1)

1+2

det A

12

+ . . . + (−1)

1+n

a

1n

det A

1n

gdzie A

ij

oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie i-tego

wiersza i j-tej kolumny.

Wyznacznik macierzy A oznaczamy także przez det

a

ij

 lub |A|, a w rozwiniętej postaci

przez

det









a

11

a

12

. . .

a

1k

. . .

a

1n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

i1

a

i2

. . .

a

ik

. . .

a

in

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m1

a

m2

. . . a

mk

. . . a

mn









lub












a

11

a

12

. . .

a

1k

. . .

a

1n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

i1

a

i2

. . .

a

ik

. . .

a

in

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a

m1

a

m2

. . . a

mk

. . . a

mn












.

Definicja 18. (Dopełnienie algebraiczne)
Niech A =

a

ij

 będzie macierzą kwadratową stopnia n > 2.

Dopełnieniem algebraicznym

elementu a

ij

macierzy A nazywamy liczbę

D

ij

def

= (−1)

i+j

det A

ij

,

gdzie A

ij

oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej

kolumny macierzy A.

Twierdzenie 1. (

Rozwinięcie Laplace’a

wyznacznika)

Niech A =

a

ij

 będzie macierzą kwadratową stopnia n > 2 oraz niech będą ustalone liczby

naturalne i oraz j, gdzie 1

6 i, j 6 n. Wtedy wyznacznik macierzy A można obliczyć ze

wzorów:

1.

det A = a

i1

D

i1

+ a

i2

D

i2

+ · · · + a

in

D

in

.

Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace’a wyznacznika względem i-tego wiersza.

2.

det A = a

1j

D

1j

+ a

2j

D

2j

+ · · · + a

nj

D

nj

.

Wzór ten nazywamy rozwinięciem Laplace’a wyznacznika względem j-tej kolumny.

KMiI ATH, B-B

Macierze i wyznaczniki

11

Własności wyznaczników

Fakt. (Własności wyznaczników )

1. Wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy wyznacznikowi macierzy względem niej

przestawionej (transponowanej)

det A = det A

T

.

2. Wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych jest równy iloczynowi wyznaczników

tych macierzy (tzw.

twierdzenie Cauchy’ego

o wyznaczniku iloczynu macierzy)

det AB = det A · det B.

W szczególności z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że dla n ∈ N mamy

det(A

n

) = (det A)

n

.

3. Wyznacznik zawierający wiersz (kolumnę) złożony z samych zer jest równy 0.

4. Znak wyznacznika zmieni się na przeciwny, jeśli przestawimy między sobą dowolne dwa

wiersze (dwie kolumny) tego wyznacznika.

5. Wyznacznik mający dwa jednakowe wiersze (dwie jednakowe kolumny) jest równy 0.

6. Jeżeli wszystkie elementy pewnego wiersza (lub kolumny) wyznacznika zawierają wspólny

czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik.
Można również postąpić odwrotnie – mnożąc wyznacznik przez dowolną liczbę różną
od zera, należy pomnożyć przez tę liczbę tylko jeden dowolnie wybrany wiersz (albo
tylko jedną dowolnie wybraną kolumnę) wyznacznika.

7. Wyznacznik iloczynu macierzy stopnia n przez liczbę λ jest równy iloczynowi wyz-

nacznika tej macierzy przez λ

n

det(λ · A) = λ

n

· det A.

8. Wyznacznik, w którym elementy pewnego wiersza (kolumny) są sumami dwóch skład-

ników jest równy sumie wyznaczników, w których elementy tego wiersza (kolumny) są
zastąpione tymi składnikami.

9. Wartość wyznacznika nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnego wiersza (kolumny)

dodamy odpowiadające im elementy innego wiersza (kolumny) tego wyznacznika pom-
nożone przez dowolną liczbę.

KMiI ATH, B-B

Macierze i wyznaczniki

12

Macierz odwrotna

Definicja 19. (Macierz odwrotna)
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n.

Macierzą odwrotną

do macierzy A nazy-

wamy macierz oznaczaną przez A

−1

, która spełnia warunek

AA

−1

= A

−1

A = I

n

,

gdzie I

n

jest macierzą jednostkową stopnia n.

Uwaga. Jeżeli macierz A ma macierz odwrotną, to nazywamy ją

odwracalną

. Jest wtedy

det A 6= 0. Macierz odwrotna jest określona jednoznacznie.

Definicja 20. (Macierz osobliwa, macierz nieosobliwa)
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą

osobliwą

, gdy

det A = 0.

W przeciwnym przypadku mówimy, że macierz A jest

nieosobliwa

.

Theorem 1. (Wzór na obliczanie macierzy odwrotnej)

1. Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
2. Jeżeli macierz A = [a

ij

] stopnia n jest nieosobliwa, to

A

−1

=

1

det A








D

11

D

12

. . .

D

1n

D

21

D

22

. . .

D

2n

..

.

..

.

. ..

..

.

D

n1

D

n2

. . . D

nn








T

,

gdzie D

ij

oznaczają dopełnienia algebraiczne elementów a

ij

macierzy A.

Uwaga. Macierz [D

ij

] oznaczamy symbolem A

D

i nazywamy

macierzą dopełnień algebra-

icznych

. Zatem

A

−1

=

1

det A

A

D

T

.

W szczególności, jeśli macierz

 a b

c d



jest nieosobliwa, to

 a b

c d



−1

=

1

ad − bc



d

−b

−c

a



.

Uwaga. Z definicji macierzy odwrotnej i z twierdzenia Cauchy’ego wynika, że

det(A

−1

) = (det A)

−1

.

Stąd własność (2) wyznaczników (drugi wzór) jest prawdziwa dla n ∈ Z, gdy macierz jest
odwracalna.

KMiI ATH, B-B

Układy równań liniowych

13

Układy równań liniowych

Definicja 21. (Układ równań liniowych, rozwiązanie układu równań)

Układem

m równań liniowych z n niewiadomymi x

1

, x

2

, . . . , x

n

, gdzie m, n ∈ N, nazywamy

układ równań postaci:



















a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ . . . + a

1n

x

n

=

b

1

,

a

21

x

1

+ a

22

x

2

+ . . . + a

2n

x

n

=

b

2

,

..

.

..

.

. ..

..

.

..

.

a

n1

x

1

+ a

n2

x

2

+ . . . + a

nn

x

n

= b

m

,

gdzie a

ij

oraz b

i

są liczbami rzeczywistymi (zespolonymi) dla 1

6 i 6 m oraz 1 6 j 6 n.

Rozwiązaniem

układu równań liniowych nazywamy ciąg (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) liczb rzeczywistych

(zespolonych) spełniających ten układ. Układ równań, który nie ma rozwiązania, nazywamy
układem

sprzecznym

.

Uwaga. Powyższy układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzowej

AX = B,

gdzie

A

def

=








a

11

a

12

. . .

a

1n

a

21

a

22

. . .

a

2n

..

.

..

.

. ..

..

.

a

m1

a

m2

. . . a

mn








,

X

def

=








x

1

x

2

..

.

x

n








,

B

def

=








b

1

b

2

..

.

b

m








.

Macierz A nazywamy

macierzą główną

układu równań liniowych, macierz X

macierzą

(

kolumną

)

niewiadomych

, a B

macierzą

(

kolumną

)

wyrazów wolnych

.

Definicja 22. (Układ jednorodny, układ niejednorodny)
Układ równań liniowych postaci

AX = 0,

gdzie A jest macierzą wymiaru m × n, natomiast 0 jest macierzą zerową o wymiarze m × 1,
nazywamy układem

jednorodnym

. Układ równań liniowych postaci

AX = B,

gdzie B jest macierzą niezerową, nazywamy układem

niejednorodnym

.

Uwaga. Macierz zerowa (odpowiedniego wymiaru) jest zawsze rozwiązaniem układu jed-
norodnego. Ponadto układ jednorodny może (ale nie musi) mieć rozwiązania niezerowe.

KMiI ATH, B-B

Układy równań liniowych

14

Układy Cramera

Definicja 23. (Układ Cramera)

Układem Cramera

nazywamy układ równań liniowych

AX = B,

w którym A jest macierzą kwadratową nieosobliwą.

Twierdzenie 2. (Wzór Cramera)
Układ Cramera AX = B ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to jest określone
wzorami

x

1

=

det A

1

det A

,

x

2

=

det A

2

det A

, . . . , x

n

=

det A

n

det A

,

zwanymi wzorami Cramera. We wzorach tych n oznacza stopień macierzy A, natomiast
A

j

dla 1

6 j 6 n oznacza macierz A, w której j-tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów

wolnych B.

Fakt. (Metoda macierzy odwrotnej )
Rozwiązanie układu Cramera AX = B jest określone wzorem

X = A

−1

B.

Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera–Capellego

Definicja 24. (Minor macierzy)

Minorem

stopnia k ∈ N macierzy A

m×n

nazywamy wyznacznik utworzony z elementów

tej macierzy położonych na przecięciu dowolnie wybranych k kolumn i k wierszy, gdzie
k 6 min{m, n}.

Definicja 25. (Rząd macierzy)

Rzędem macierzy

nazywamy największy stopień jej niezerowego minora. Przyjmujemy, że

rząd każdej macierzy zerowej jest równy 0. Rząd macierzy A oznaczamy przez rz(A).

Fakt. (Własności rzędu macierzy)
1. Rząd macierzy nieosobliwej jest równy jej stopniowi.
2. rz (A

T

) = rz (A).

Twierdzenie 3. (Operacje elementarne nie zmieniające rzędu macierzy)
Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, gdy:
1. zamienimy miejscami dwa wiersze (lub dwie kolumny);
2. dowolny wiersz (kolumnę) pomnożymy przez liczbę różną od zera;
3. do dowolnie wybranego wiersza (kolumny) dodamy dowolny inny wiersz (odpowiednio –
kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę.

Twierdzenie 4. (Kroneckera – Capellego)
Układ równań liniowych AX = B ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy A
jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej [A|B] tego układu;

rz A = rz [A|B].

KMiI ATH, B-B

Układy równań liniowych

15

Fakt. (O liczbie rozwiązań układu równań liniowych)
Niech AX = B będzie układem równań liniowych z n niewiadomymi. Wówczas
1. jeżeli rz A 6= rz [A|B], to układ nie ma rozwiązania (jest sprzeczny);
2. jeżeli rz A = rz [A|B] = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest

oznaczony

);

3. jeżeli rz A = rz [A|B] = r < n, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od
n − r parametrów (jest

nieoznaczony

).

Definicja 26. (Równoważność układów równań liniowych)
Niech A, A

0

, B, B

0

będą macierzami o wymiarach odpowiednio m × n, k × n, m × l, k × l.

Ponadto niech

X =








x

1

x

2

..

.

x

n








,

X

0

=








x

0
1

x

0
2

..

.

x

0
n








będą macierzami niewiadomych, przy czym (x

0
1

, x

0
2

, . . . , x

0
n

) jest permutacją ciągu (x

1

, x

2

, . . . , x

n

).

Mówimy, że układy równań liniowych

AX = B

i

A

0

X

0

= B

0

są

równoważne

, jeżeli zbiory ich rozwiązań są identyczne.

Fakt. (Równoważne przekształcanie układów równań)
Poniższe operacje na wierszach macierzy rozszerzonej [A|B] układu równań liniowych
AX = B przekształcają go na układ równoważny.

1. zamiana między sobą wierszy;

2. pomnożenie dowolnego wiersza przez niezerową stałą;

3. dodanie do wszystkich wyrazów dowolnie ustalonego wiersza odpowiadających im wy-

razów dowolnie wybranego innego wiersza pomnożonych przez dowolną stałą;

4. skreślenie wiersza złożonego z samych zer;

5. skreślenie jednego z dwóch wierszy równych lub proporcjonalnych.