Egzamin z matematyki dla Ochrony Środowiska II stopieo

Imię i nazwisko:……………………………………………………………………………………………………………………

nr albumu:……………………………………………….

Specjalnośd:……………………………………………………………………………………………………………………………

1. Na odcinku *0,1+ umieszczono losowo i niezależnie dwa punkty x i y. Niech A będzie

zdarzeniem, że x>y+0.5 , natomiast B, że x<0.5 . Czy zdarzenia A i B są niezależne?

2. W rodzinie jest czwórka dzieci. Prawdopodobieostwo, że dziecko jest chłopcem

wynosi 0.51. Wylicz prawdopodobieostwo zdarzenia, że w rodzinie są sami chłopcy,
jeśli wiadomo, że w tej rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec.

3. Wiedząc, że zmienna losowa X ma funkcję gęstości ( ) {

,

wyznacz wartośd parametru a oraz oblicz EX.

4. Przy założeniu, że ciśnienie w komorze spalania silnika rakietowego ma rozkład

normalny wyznacz 99% realizację przedziału ufności dla średniego ciśnienia w
komorze spalania tego silnika, jeżeli dokonano 7 pomiarów ciśnienia otrzymując:
31.85, 31.36, 30.32, 30.90, 31.70, 32.40, 31.60.

5. Wylosowano 120 sztuk pewnego wyrobu wyprodukowanego starą technologią i

otrzymano 12 sztuk wadliwych, a wśród 160 sztuk wyprodukowanych nową
technologią było 20 sztuk wadliwych. Na poziomie istotności =0.05 sprawdź
hipotezę o jednakowych procentach braków przy produkcji obu metodami, wobec
hipotezy, że jakośd produkcji nową technologią jest lepsza.

6. Wykonano 200 serii po 6 niezależnych rzutów monetą i uzyskano następujące wyniki:

Liczba orłów w serii 0 1

2

3

4

5 6

Liczba serii

7 18 45 60 46 19 5

Na poziomie istotności =0.05 zweryfikuj hipotezę, że liczba orłów wyrzuconych w

serii rzutów ma rozkład dwumianowy z prawdopodobieostwem sukcesu p=

.

1

2

3

4

5

6

Suma

Egzamin z matematyki dla Ochrony Środowiska II stopieo

Imię i nazwisko:……………………………………………………………………………………………………………………

nr albumu:……………………………………………….

Specjalnośd:……………………………………………………………………………………………………………………………

1. Z kwadratu [0,1][0,1] wybieramy losowo punkt o współrzędnych (p,q). Oblicz

prawdopodobieostwo, że równanie

będzie miało pierwiastki rzeczywiste.

2. W pierwszej urnie są dwie białe kule i jedna czarna, a w drugiej jedna biała i dwie czarne. Z

pierwszej urny losujemy jedną kulę i przekładamy do drugiej. Następnie z drugiej urny
losujemy dwie kule. Oblicz prawdopodobieostwo, że będą to dwie białe kule.

3. Zysk netto osób prowadzących działalnośd gospodarczą w pewnym regionie jest zmienną

losową X z funkcją gęstości ( ) {

. Wyznacz dystrybuantę tego rozkładu i

oblicz prawdopodobieostwo, że zysk osoby prowadzącej taką działalnośd będzie od 4 do 6.

4. W celu oszacowania średniej wytrzymałości na ściskanie pewnego typu betonu, dokonano 80

niezależnych pomiarów wytrzymałości tego betonu otrzymując wyniki:

Wytrzymałośd

190-194 194-198 198-202 202-206 206-210 210-214

Liczba pomiarów 6

12

26

20

11

5

Wyznacz 99% realizację przedziału ufności dla średniej wytrzymałości na ściskanie tego
betonu.

5. W pewnym instytucie hodowli roślin wysiano 800 ziaren grochu nowej odmiany i

zaobserwowano, że wykiełkowało 728 ziaren. Na poziomie istotności =0.01 zweryfikuj
hipotezę, że siła kiełkowania grochu tej odmiany wynosi 85%, wobec hipotezy, że jest
mniejsza.

6. Przeprowadzono ewidencję awarii urządzeo technicznych w zakładzie produkcyjnym w ciągu

kolejnych 100 dni roboczych, uzyskując wyniki:

Liczba awarii 0

Poniżej 2 Poniżej 3 Poniżej 4

Liczba dni

20 65

95

100

Na poziomie istotności =0.05 zweryfikuj hipotezę, że rozkład liczby awarii jest rozkładem
Poissona (z parametrem = ̅ ).

1

2

3

4

5

6

Suma

Egzamin z matematyki dla Ochrony Środowiska II stopieo

Imię i nazwisko:……………………………………………………………………………………………………………………

nr albumu:……………………………………………….

Specjalnośd:……………………………………………………………………………………………………………………………

1. Na kartce egzaminacyjnej jest 5 pytao i 3 możliwe odpowiedzi na każde z pytao. Zdający

losowo wybiera odpowiedź na każde z pytao. Oblicz prawdopodobieostwo otrzymania 4
poprawnych odpowiedzi.

2. Z odcinka [-1,1+ wybrano losowo i niezależnie dwie liczby x i y. Oblicz prawdopodobieostwo,

że

, jeśli wiadomo, że

.

3. Znajdź wartośd oczekiwaną zmiennej losowej X, o gęstości ( ) {

.

4. Z 400 przebadanych zakładów produkcyjnych danego regionu w pewnym roku 330 zapłaciło

kary umowne za niedotrzymanie umów korporacyjnych. Znajdź 95% realizację przedziału
ufności dla procentu zakładów produkcyjnych w tym regionie w danym roku, które zapłaciły
kary umowne.

5. Zmierzono w dwóch ulach średnice komórek plastrów zbudowanych przez pszczoły . Dla 7

wylosowanych komórek z pierwszego ula otrzymano: 5.36, 5.20, 5.28, 5.16, 5.30, 5.08, 5.23 ,
a dla drugiego ula: 5.15, 5.04, 5.30, 5.22, 5.19, 5.24, 5.12. Na poziomie istotności =0.05
zweryfikuj hipotezę, że odchylenia standardowe średnic komórek plastra są jednakowe,
wobec hipotezy, że są różne.

6. Wykonano 120 rzutów sześcienną kostką do gry otrzymując wyniki:

Liczba oczek

1

2

3

4

5

6

Liczba rzutów 11 30 14 10 33 22

Na poziomie istotności =0.05 zweryfikuj hipotezę, że kostka jest symetryczna (tzn.
prawdopodobieostwo wyrzucenia każdej liczby oczek jest takie samo).

1

2

3

4

5

6

Suma