- 1 -

Instalka / Freeware

http://analyticmath.software.informer.com/

Matematyka analityczna

Przekład

Robert Wiśniewski

http://chomikuj.pl/bobwis

Przewodnik szybkiego startu

1. Korzystanie z podstawowej klawiatury programu

Wstawianie wykładnika przyciskiem

Exponent

1. Wpisać główny znak, do którego ma się odnosić wykładnik

2. Kliknąć przycisk

Exponent

. Wstawia to „pusty wykładnik” do podstawowego znaku, który

zostanie wyróżniony na żółto (patrz poniższy przykład).

3. Kursor zostanie automatycznie wstawiony w poprawnym miejscu. Dlatego wystarczy wpisać

tylko sam wykładnik.

Ułamek

Pierwiastek kwadratowy

Indeks dolny i górny

Wykładnik

Nawiasy

Wartość bezwzględna

Indeks dolny

Indeks górny

Ozdobniki znaków

Operatory i znaki

Oczyść

Równość

Stopnie / Radiany

- 2 -

Poniżej pokazano przykład opisany w tych trzech krokach:

Podkreśla się, że „żółte pole” pustego składnika może być traktowane tak jak każdy inny znak.
Zwłaszcza można go usuwać klawiszem Del lub Backspace.

Wskazówki

 Większość przycisków klawiatury aktywowanych lewym kliknięciem myszki można odwrócić

prawym kliknięciem myszki (trzeba ro zrobić przed przesunięciem kursora w inne miejsce).
Aby to zobaczyć, kliknąć lewym klawiszem myszki przycisk

Exponent

, po czym kliknąć ten

przycisk prawym klawiszem myszki. Najpierw zostanie wstawiony wykładnik, a potem usunięty.

 Przyciski indeksów dolnych i górnych, dolnych

Subscript

oraz górnych

Superscript

zachowują

się w podobny sposób jak przycisk wykładnika. Poniżej pokazano przykłady:

Wstawianie indeksu dolnego przyciskiem

Subscript

Wstawianie indeksu górnego przyciskiem

Superscript

Wstawianie indeksu dolnego i górnego przyciskiem

Subscript & Superscript

Wskazówka

 Kowarianty, kontrwarianty i mieszane składowe tensorów można również oznaczać korzystając

odpowiednio z subskryptów i superskryptów.

Przyciski ułamków

Fraction

i pierwiastków kwadratowych

Square Root

Aby wprowadzać te struktury do dokumentu, wystarczy wstawić umieścić kursor w wymaganym
miejscu, po czym kliknąć odpowiedni przycisk.
Pusty ułamek lub pierwiastek kwadratowy (w zależności od klikniętego przycisku) zostanie wstawiony
po prawej stronie kursora. Można teraz wpisywać znaki i inne struktury w żółtych polach. Podkreśla
się, że te żółte pola znikają po wpisaniu jednego znaku lub struktury.

Poniżej pokazano przykłady wstawiania ułamków i pierwiastków kwadratowych

- 3 -

Wstawianie ozdobników znaków przyciskiem

Embellishment

Można dodawać różne ozdobniki do dowolnych znaków nieliczbowych przez umieszczenie kursora po
prawej stronie znaku i kliknięcie wymaganego przycisku, albo przez zaznaczenie znaku za pomocą
myszki i kliknięcie wymaganego przycisku.

Poniższe dwa przykłady pokazują te metody na przykładzie wstawiania daszka nad znakiem x.
Podkreśla się, że aktualnie ozdobniki te wprowadza się tylko do pojedynczego znaku.

Kursor po prawej stronie znaku

Znak zaznaczony myszką

Ozdobnik można usunąć ze znaku przez umieszczenie kursora po prawej stronie ozdobionego znaku
(lub przez zaznaczenie znaku myszką) i kliknięcie odpowiedniego przycisku ozdobnika. Jeśli to nie
działa, można usunąć ozdobiony znak i wprowadzić go ponownie bez ozdobnika.


Wstawianie nawiasów

Brackets

i wartości bezwzględnych

Absolute Value

Każde wyrażenie może zawierać nawiasy okrągłe lub symbol wartości bezwzględnych przez
zaznaczenie wyrażenia myszką i kliknięcie jednego z odpowiednich przycisków.

Oczywiście, symbole dowolnych nawiasów oraz wartości bezwzględnych można również wprowadzać
do dokumentu w prosty sposób za pomocą klawiatury.

Poniżej pokazano przykład zamykania w nawiasach wyrażenia a + b + c

Wskazówka

Można znaleźć odpowiadający nawias zamykający przez umieszczenie kursora po lewej lub po prawej
stronie otwartego nawiasu (lub przez zaznaczenie otwartego nawiasu za pomocą myszki) i wciśnięcie
skrótu klawiszowego Ctrl + M (lub przez wybranie polecenia menu Search | Match Bracket).


Przyciski wstawiania operatorów

Operator

i innych znaków

Character

Wystarczy klikać odpowiedni przycisk znaku lub operatora aby go wstawić w miejscu kursora.
Można w ten sposób również wstawiać litery greckie po wybraniu zakładki

Greek

.

Wskazówka

Można łatwo przesuwać kursor poza wykładniki, indeksy, ułamki, itp. korzystając w tym celu z klawiszy
kierunkowych lub za pomocą myszki.

Klawisz Esc na klawiaturze komputera (lub pomarańczowy klawisz

na klawiaturze programu)

może być również stosowany do przesuwania kursora na inny poziom.

- 4 -

Uwagi o zagnieżdżaniu struktur matematycznych

Wyżej omawiane struktury (wykładniki, indeksy, ułamki, pierwiastki, itp.) mogą być ze sobą wzajemnie
zagnieżdżane.

Poniższy przykład sam w sobie nic nie wyraża, ale wskazuje na pewną ideę w jaki sposób ten edytor
pozwala na zagnieżdżanie

Wskazówka

Przy nawigacji po złożonych wyrażeniach matematycznych, czasem łatwiej jest korzystać z klawiszy
kierunkowych niż z myszki.


Przesuwanie kursora poza aktualny poziom za pomocą przycisku

Esc

.

Kliknięcie przycisku

Esc

przesuwa kursor o jeden poziom względem aktualnego położenia wewnątrz

wyrażenia matematycznego. Przy wyrażeniach bardziej skomplikowanych można kilkakrotnie klikać
ten przycisk aż osiągnie wymagany poziom. Podkreśla się, że klawisz Esc na klawiaturze komputera
działa w podobny sposób. Ponadto, kursor można zawsze przesuwać za pomocą myszki.

Poniższy przykład pokazuje jak jedno kliknięcie myszki na przycisku

Esc

powoduje przesunięcie

kursora z wykładnika do głównego poziomu wyrażenia.

Usuwanie i oczyszczanie zawartości ekranu przyciskiem

C

Kliknięcie przycisku

C

gdy żaden tekst nie jest zaznaczony, powoduje oczyszczenie (usunięcie

zawartości ) całego okna edytora.

Tak jak przy każdej edycji, można cofnąć tą operację jeśli jest to konieczne przyciskiem

Undo

znajdującym się w pasku narzędzi.

Kliknięcie przycisku

C

gdy jakiś tekst jest zaznaczony, usuwa tylko zaznaczoną zawartość.

Oczywiście, można do tego celu korzystać również z klawisza Del na klawiaturze.

Obliczanie wyrażeń matematycznych za pomocą przycisku

Equal

Można bardzo łatwo obliczać wprowadzone wyrażenia algebraiczne przez zaznaczenie ich myszką
i kliknięcie przycisku

Equal

. Polecenie to jest również dostępne w menu kontekstowym otwieranym

po kliknięciu zaznaczenia prawym klawiszem myszki.

(patrz rozdział 2 w celu obejrzenia listy funkcji obsługiwanych przez program).

- 5 -

Poniżej zestawiono kilka przykładów obliczania wyrażeń algebraicznych.

Podkreśla się, że ostatni przykład zawierający zmienne, nie może być dokładnie obliczony. W takich
przypadkach program robi tylko to co może i pozostawia resztę zmiennych bez zmian.

Wskazówki

 Istnieją 3 symbole dostępne do mnożenia, z których dwa znajdują się na klawiaturze programu.

Są to symbole iloczynu skalarnego

Dot Product

oraz iloczynu wektorowego

Cross

Product

. Gwiazdka Asterisk (np. 2*3) może być również stosowana do mnożenia skalarów

jeśli jest to wybrane w menu Preferences | Asterisk Mode (ustawienie domyślne).
Oczywiście, nawiasy można również stosować do deklarowania mnożenia.

 Liczba miejsc dziesiętnych wyświetlanych we wszystkich obliczeniach numerycznych może być

ustawiona w menu Preferences | Set Decimal Places (minimum i maksimum).
Przykładowo wyrażenie 2

2

daje wynik 4 gdy minimalna liczba miejsc dziesiętnych jest

ustawiona na 0, lub wynik 4,0 gdy minimalna liczba miejsc dziesiętnych jest ustawiona na 1.
Zaleca się korzystanie z ustawienia: max = 4 oraz min = 1.

2. Obliczenia automatyczne

Algebra symboliczna

Korzystanie z algebry symbolicznej jest bardzo proste, ale trzeba pamiętać, że obliczenia te musza
być wykonywane pojedynczo, jedne po drugich.

Program może aktualne wykonywać poniższe obliczenia symboliczne:

 Mnożenie dwóch wyrażeń w nawiasach bez względu na liczbę członów w tych nawiasach:

 Rozwijanie wyrażeń wielomianowych bez względu na liczbę członów w nawiasach dla

dodatnich wykładników potęgowych:

 Wyrażenia trygonometryczne:

- 6 -

W celu wykonania obliczeń symbolicznych na jednym z powyższych wyrażeń algebraicznych,
wystarczy je zaznaczyć myszką i kliknąć przycisk

w lewym górnym rogu okna programu (lub wybrać to polecenie w menu kontekstowym).

Program wyświetli wówczas po prawej stronie tego przycisku listę operacji niezbędnych do wykonania.

Np. dla operacji:

1. Expand the Square (click here) – Rozwiń kwadrat (kliknij tutaj)

2. Evaluate Selected Expression (click here) – Oblicz zaznaczone wyrażenie (kliknij tutaj)

Wystarczy kliknąć wymaganą operację aby ją wykonać.

Gdy program nie może wykonać wybranej operacji, wówczas wyświetli odpowiedni komunikat, np:

Przed rozpoczęciem obliczeń ważne jest zwrócenie uwagi na dostępne dwa tryby obliczeń:
tryb zastępowania

Replace Mode

(domyślny) oraz tryb równości

Equals Mode

. widoczne po prawej

stronie w dolnym pasku zadań programu. Tryby te można zmieniać klikając te przyciski lub za pomocą
menu Preferences. Tryb zastępowania po prostu zastępuje obliczane wyrażenie wynikiem obliczeń,
natomiast tryb równości wstawia znak równości oraz wynik obliczeń po prawej stronie wyrażenia.

Różnice między tymi dwoma trybami objaśniają poniższe przykłady:

Tryb zastępowania

Replace Mode

Tryb równości

Equals Mode

Rozwijanie prostego dwumianu kwadratowego

Podkreśla się, że program może rozwijać wielomiany o dowolnych wykładnikach dodatnich.

(1) Wpisać wyrażenie do edytora

Klawiatura po prawej stronie okna edytora jest
stosowana do dodawania wykładników potęg
(np. kwadratów w tym przykładzie).
Klawiatura ta jest na ogół stosowana do wstawiania
symboli matematycznych i struktur w wyrażeniach
matematycznych

- 7 -

(2) Zaznaczyć myszką obliczane wyrażenie.

Upewnić się czy zaznaczona jest tylko część
obliczanego wyrażenia i pamiętać, że program
może na raz wykonać tylko jedno symboliczne
obliczenie.
Podkreśla się, że w tym przykładzie mamy
zaznaczone tylko wyrażenie (a+b)

2

w celu

rozwinięcia

dwumianu

kwadratowego

bez

dołączania znaku A po lewej stronie.
W razie dołączenia znaku A, program wyświetli

komunikat:

lub

nie zaproponuje opcji rozwijania.

(3) Wykonać obliczenia.

 Kliknąć przycisk

 Kliknąć opcję

Expand the Square

(4a) Rozwiązanie.

Rozwiązanie

to

wyświetlane

jest

w

trybie

zastępowania Replace Mode.

Mnożenie dwóch wyrażeń w nawiasach

Wykonujemy tu podobną serię kroków jak przy
rozwijaniu wielomianu (patrz powyższy przykład).

Korzystamy z myszki do zaznaczenia mnożonych
wyrażeń:

 Kliknąć przycisk

 Kliknąć opcję

Multiply the two brackets

Przy mnożeniu, trzeba również zaznaczać nawiasy.
Program nie mnoży takich wyrażeń jak a(b+c), bo
nie są one wszystkie zamknięte w nawiasach.

- 8 -

Algebra symboliczna – Możliwości programu

Na poniższej liście, strzałka

skierowana w prawo oznacza, że program aktualnie rozwija/upraszcza

dane wyrażenie tylko w jednym kierunku od lewej do prawej.

Strzałka

skierowana w dwie strony oznacza, że program może rozwijać/upraszczać wyrażenie

w obu kierunkach.

W celu uogólnienia, poniższe równania zawierają proste litery (a, b, c,..) lub litery z indeksami dolnymi
(a

1

, a

2

, b

2

, b

2

, ..), jednak mają one tylko znaczenie reprezentatywne dla ogólnych wyrażeń, które

można wprowadzać w ich miejsce.

 Mnożenie dwóch wyrażeń w nawiasach bez względu na liczbę członów w tych nawiasach:

 Rozwijanie wyrażeń wielomianowych bez względu na liczbę członów w nawiasach dla

dodatnich wykładników potęgowych:

 Wyrażenia trygonometryczne:

Funkcje aktualnie rozpoznawane przez ten program

Podkreśla się, że odwrotne funkcje trygonometryczne i hiperboliczne można wpisywać (korzystając
dla przykładu z funkcji sinus) jako arcsin(x) lub sin

-1

(x), gdzie -1 w tej drugiej formie można wstawiać

jako indeks górny lub albo jako wykładnik. Pod względem technicznym ta ostania forma jest
niepoprawna, jednak program interpretuje ją prawidłowo.
Aby odróżnić ją od odwrotności, wpisujemy (sin(x)

-1

).

- 9 -

Uwagi o aktualnym edytorze

(Aktualny edytor jest tylko jednowierszowy).

 Wszystkie znaki wstawiane przez użytkownika w wyrażeniach są automatycznie skalowane.

 Edytor ten został utworzony bardzo elastycznie pod względem składni matematycznych

wyrażeń, tak jak je wpisujemy na papierze. Przykładowo, iloczyny członów A oraz sin(x)
można zapisywać w postaci: Asin(x), A*sin(x), (A)sin(x), (A)(sin(x)), etc. W istocie rzeczy,
iloczyn ten można zapisywać na nieskończoną liczbę sposobów, jeśli tylko są one poprawne
pod względem matematycznym, np. [((A))][[(([sin(x)]))]].

 Struktury matematyczne (wykładniki, ułamki, pierwiastki kwadratowe, itp.) można zagnieżdżać

ze sobą praktycznie bez żadnych ograniczeń, co pozwala na tworzenie złożonych wyrażeń
matematycznych.

 Wszystkie funkcje matematyczne obsługują polecenie cofania Undo.

 Poruszanie kursora (myszką lub klawiszami kierunkowymi klawiatury komputera) zapewnia

maksymalną elastyczność przy nawigacji po strukturach matematycznych. Poniższy przykład
pokazuje ruch kursora przy poruszaniu się po serii prostej zmiennej z wykładnikiem:

Podkreśla się, że kursor przesuwa się co jeden znak w dowolnym kierunku

 Program nie pozwala na tworzenie niepoprawnych zaznaczeń i automatycznie je uzupełnia

jeśli uzna je za błędne. Przykładowo, nie można zatrzymać zaznaczania w środku ułamka jeśli
zaznaczanie zaczęło się poza ułamkiem, Jednak pełne zaznaczanie licznika i mianownika jest
dozwolone gdy zaczynamy zaznaczanie wewnątrz tego obszaru,

Ograniczenia aktualnego edytora

 Fakt, że edytor ten jest tylko jednowierszowym, jest wyraźnym ograniczeniem. Pracujemy nad

usunięciem tego ograniczenia w przyszłych wersjach programu.

 Automatycznie skalowane są tylko nawiasy okrągłe i kwadratowe.

3. Wykresy

Wykres jest dostępny po kliknięciu powyższej zakładki

Plot

w lewym dolnym rogu okna programu.

To jest przycisk rysowania wykresu

Plot

.

Aby wykreślić wyrażenie wprowadzone w edytorze, wystarczy je zaznaczyć myszką, po czym kliknąć
jedną z kolorowych zakładek po prawej stronie obszaru wykresu.

Następnie kliknąć przycisk rysowania wykresu

Plot

(pokazany wyżej).

- 10 -

Wykreślone wyrażenie

1

Przycisk

znajduje się na pionowym pasku narzędzi po prawej stronie obszaru wykresu (patrz

poniższy rysunek) lub w menu kontekstowym edytora matematycznego.

WAŻNE:

 Parametry wykreślanego wyrażenia mają automatycznie przypisywane wartości.

 Realna siłą modułu matematyki analitycznej jest fakt, że może on wykreślać wyrażenia

zawierające do 8 parametrów.

 W powyższym przykładzie, tworzony jest wykres 2cos(kx + 

m

) funkcji y względem x, a więc

dlatego zarówno k jak i 

m

są traktowane jako parametry tego wyrażenia. Moduł tworzenia

wykresów ustawia automatycznie te parametry (zwykle nadając im wartość 1,0) i wyświetla
suwaki do zmiany tych parametrów. Moduł tworzenia wykresów wykonuje to do 8 parametrów
bez wzglądu na ich położenie w wyrażeniu.

 Parametry wewnątrz wykreślanego wyrażenia mogą być wstawiane literami łacińskimi lub

greckimi dostępnymi w klawiaturze programu oraz mogą zawierać indeksy górne lub dolne.
Ponadto, mogą mieć one ozdobniki w postaci daszków, beleczek, itp.

 Moduł tworzenia wykresów definiuje parametry jako zmienne nie będące jednak zmiennymi

zależnymi i niezależnymi. Wykreślane zmienne można ustawać w menu Plot i są widoczne na
dole okna programu odpowiednio jako Vert. Var: oraz Horiz. Var: (domyślnie y i x).

Obszar wykresu – Etykiety

1

W omawianej wersji programu, wykresy z parametrami nie są wykreślane (przypis tłumacza).

Zaznaczono to wyrażenie i kliknięto przycisk wykresu

Zakładki kolorów wykresu

Wykreślane wyrażenie

Główna oś pionowa

Zakładka wykresu

Przycisk wykresu

Główna oś pozioma

Usuwanie wykresu

z zaznaczonym kolorem

Usuwanie wszystkich

wykresów

Powiększanie oraz

pomniejszanie

- 11 -

Co trzeba wiedzieć o module tworzenia wykresów

– Przycisk

Plot

tworzenia wykresu. Zaznaczyć wyrażenie przeznaczone do wykreślania, po

czym kliknąć jedną z 8 zakładek kolorów po prawej stronie obszaru wykresu i kliknąć przycisk

Plot

.

– Przycisk

Clr

usuwania wykresu z aktywną zakładką koloru. Przykładowo, gdy zaznaczona

jest zakładka #2 (niebieska), kliknięcie przycisku

Clr

usuwa tylko ten wykres. Program zawsze

wymaga potwierdzenia decyzji usuwania.

– Przycisk

All

usuwania wszystkich wykresów. Tu również program wymaga potwierdzenia

decyzji usuwania.

– Pole tekstowe wyświetlające aktualną zmienną niezależną (poziomą).

Można ją zmienić za pomocą menu Plot | Change Horizontal Plotting Variable, lub przez podwójne
kliknięcie w tym polu tekstowym.
Uwaga: Istnieje podobne pole tekstowe wyświetlające aktualną zmienną zależną (pionową).

– Interwał głównej działki osi (1 lub ) – Istnieją dwa takie pola. Jeden dla osi

poziomej i drugi dla osi pionowej. Interwał  jest przydatny dla wykresów funkcji trygonometrycznych.

– Pole zakresu. Każda zakładka koloru wykresu ma
swój własny zakres (domyślnie -7,0  x  7,0), który
można zmienić przez podwójne kliknięcie w niebieskiej
części tego pola lub kliknięcie przycisku na dole pola
zakresu. W otworzonym okienku dialogowym można
wybrać nowy zakres.

Kliknięcie lewym klawiszem myszki w obszarze wykresu
otwiera

okienko

dialogowe

współrzędnych

wykresu

pozwalające na sprawdzenie współrzędnych (x,y) wykresu
mającego zaznaczoną zakładkę koloru.

czy

– Każde z powyższych zaznaczeń wykresu jest dopuszczalne.

Nie trzeba specyfikować zmiennej osi pionowej wykresu (domyślnie y) przy wykreślaniu funkcji jawnie
zdefiniowanych Explicite takich jak y = f(x).


Wyrażenia domniemane Implicite np. takie jak x

2

-y

2

=1

Można również wykreślać wyrażenia domniemane np. takie jak x

2

- y

2

= 1, jednak tworzenie takich

wykresów trwa nieco dłużej.