Podstawy Informatyki 2 rok akad. 2003/2004 mgr in . Paweł Myszkowski

1

Metody całkowania numerycznego

Za pomoc

metod numerycznych mo



na liczy



całki oznaczone dla funkcji, które nie

dadz

si



rozwi

za



w sposób analityczny. Liczenie całek sprowadza si



do

obliczenia pola pod wykresem funkcji.

a) metoda prostok



tów

Mamy dan



funkcj



f(x) oraz przedział

<x

p

,x

k

>

, w którym chcemy policzy



całk



oznaczon



dla tej funkcji. W metodzie prostok



tów korzystamy z definicji całki

oznaczonej Riemanna, w której warto



całki interpretowana jest jako suma pól

obszarów pod wykresem krzywej w zadanym przedziale całkowania

<x

p

,x

k

>

. Sum



t



przybli amy przy pomocy sumy pól odpowiednio dobranych prostok



tów. Sposób

post



powania jest nast



puj



cy:

Przedział całkowania <x

p

,x

k

> dzielimy na n równo odległych punktów

x

1

,x

2

,...,x

n

. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:

dla i = 1,2,...,n

Obliczamy odległo



mi



dzy dwoma s



siednimi punktami - b



dzie to

podstawa ka dego prostok



ta:

Dla ka dego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy warto



funkcji

f(x) w tym punkcie:

f

i

= f(x

i

), dla i = 1,2,...,n

Podstawy Informatyki 2 rok akad. 2003/2004 mgr in . Paweł Myszkowski

2

Obliczamy sum



iloczynów wyznaczonych warto

ci funkcji przez odległo



dx

mi



dzy dwoma s



siednimi punktami - da to sum



pól poszczególnych

prostok



tów ograniczonych wykresem funkcji:

S = f

1

dx + f

2

dx + ... + f

n

dx

a po wyprowadzeniu wspólnego czynnika przed nawias:

S = dx (f

1

+ f

2

+ ... + f

n

)

Otrzymana suma jest przybli on



warto

ci



całki oznaczonej funkcji f(x) w

przedziale <x

p

,x

k

>.

b) metoda trapezów

Opisana w poprzednim podpunkcie metoda prostok



tów nie jest zbyt dokładna,

poniewa pola u ytych w niej prostok



tów le odwzorowuj



pole pod krzyw



.

Du o lepszym rozwi



zaniem jest zastosowanie zamiast nich trapezów o podstawie

dx i bokach równych odpowiednio warto

ci funkcji w punktach kra

cowych..

Sama zasada nie zmienia si



.

Przedział całkowania <x

p

,x

k

> dzielimy na n+1 równo odległych punktów

x

0

,x

1

,x

2

,...,x

n

. Punkty te wyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:

dla i = 0,1,2,...,n

Podstawy Informatyki 2 rok akad. 2003/2004 mgr in . Paweł Myszkowski

3

Obliczamy odległo



mi



dzy dwoma s



siednimi punktami - b



dzie to

podstawa ka dego trapezu:

Dla ka dego wyznaczonego w ten sposób punktu obliczamy warto



funkcji

f(x) w tym punkcie:

dla i = 0,1,2,...,n

f

i

= f(x

i

)

Pole pod wykresem funkcji przybli ane jest polami n trapezów. Pole i-tego
trapezu obliczamy wg wzoru:

dla i=1,2,...,n

Przybli ona warto



całki jest sum



pól wszystkich otrzymanych w ten sposób

trapezów:

s = P

1

+ P

2

+ ... + P

n

czyli

Wyprowadzony na ko

cu wzór jest podstaw



przybli onego wyliczania całki

w metodzie trapezów.