1

Jadwiga Chudzicka

2

Jadwiga Chudzicka

Całkowanie numeryczne – metoda numeryczna polegająca 
na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych.

Proste metody całkowania numerycznego polegają na 
przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej 
wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać 
dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania 
na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą 
oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach. 
Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały, 
ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać 
krok do szybkości zmienności funkcji.

OPIS METODY

3

Jadwiga Chudzicka

Metoda prostokątów

Metoda ta polega na przybliżeniu całki sumą pól prostokątów 
utworzonych przez podział przedziału całkowania na pewną 
liczbę równych części.

4

Jadwiga Chudzicka

Prawdopodobnie najprostszym wzorem 
jest metoda punktu środkowego 

Jeśli funkcja f(x) zmienia się w niewielkim 
stopniu w przedziale (x * ,x * + h), reguła 
taka da dobre przybliżenie całki.

5

Jadwiga Chudzicka

Przykład – metoda prostokątów

Spróbujmy scałkować funkcję cos(x) na przedziale od 0 do 1. 
Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny 
wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych 
metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych 
prawidłowy wynik wynosi:

6

Jadwiga Chudzicka

Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu 
środkowego da nam wynik (h = 1 - 0, punkt 
środkowy w przedziale [0,1] to ½):

co daje błąd 0,0361115771 (błąd względny 4,3%) – 
niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście 
niezadowalający do wielu zastosowań.

7

Jadwiga Chudzicka

Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy 
podzielić przedział całkowania na dwie części:

Z błędem bezwzględnym 0,0088296604 lub względnym 1%.

8

Jadwiga Chudzicka

Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów 
możemy uzyskać lepsze przybliżenie:

Liczba części

Wynik

Błąd

bezwzględny względny

1

0,8775825619 0,0361115771 4,29%

2

0,8503006452 0,0088296604 1,05%

4

0,8436663168 0,0021953320 0,26%

8

0,8420190672 0,0005480824 0,07%

9

Jadwiga Chudzicka

Przedstawiony zostanie schemat blokowy metody 
prostokątów dla zadania:

Wyznaczyć całkę oznaczoną funkcji f(x) w przedziale [a, b] 
z dokładnością do eps.

Opis metody:

Zagadnienie to można rozwiązać jedynie metodami 
całkowania numerycznego, ponieważ funkcja podcałkowa 
f(x) nie jest wyspecyfikowana. 
Rozwiązując metoda prostokątów podzielimy przedział 
całkowania na pewną liczbę równych części. 

10

Jadwiga Chudzicka

1.

Przybliżenie początkowe jest polem prostokąta o 
bokach h = b – a  i  f(a  + h/2), tzn. jeden bok jest 
długością przedziału całkowania, a drugi wartością 
funkcji podcałkowej w środku tego przedziału. 
Zatem przybliżenie początkowe (oznaczymy go przez 
S

0

) jest przybliżeniem osiągniętym przy liczbie 

podziałów przedziału całkowania n = 1 (pole pod 
funkcją podcałkową zastąpione polem jednego 
prostokąta).

Algorytm polega na wyznaczeniu ciągu kolejnych 
przybliżeń wartości całki w następujący sposób:

11

Jadwiga Chudzicka

2.

Przybliżenie k-te  S

k

 (k = 1, 2, … , ) wyznaczamy 

podwajając liczbę podziałów przedziału całkowania w 
stosunku do przybliżenia poprzedniego (k – 1) –szego, 
tzn. n’ = 2*n. 
Wartość całki przybliżamy sumą pól prostokątów o 
bokach: 

'

'

n

a

b

h

−

=

i wartości funkcji podcałkowej f(x) w punkcie

 

2

'

h

x

i

+

, gdzie x

i 

– początek odcinka będącego 

podstawą i – tego prostokąta.

12

Jadwiga Chudzicka

Przedział całkowania dzielimy na jednakowe części, 
dlatego długość jednego z boków jest wspólna dla 
wszystkich prostokątów. 
W każdym kolejnym przybliżeniu podwajamy liczbę 
podziałów, to długość tego boku jest o połowę mniejsza w 
stosunku do tej z przybliżenia poprzedniego:

2

'

h

h

=

Przybliżenie k –te można więc wyznaczyć wg wzoru

∑

=

=

n

i

i

k

y

h

S

1

, gdzie y

i

 – wartość f. podcałkowej w środku 

i-tego przedziału, h –długość przedziału 
elementarnego, tzn. 

n

a

b

h

−

=

, jeżeli przedział [a, b] został podzielony na 
n części.

13

Jadwiga Chudzicka

3.

W sposób opisany w punktach 1. i  2. tworzymy ciąg 
kolejnych przybliżeń S

0

, S

1

,

 

S

2

, … ,  do momentu, aż 

będzie spełniony warunek:

|

 

S

j

 

+

 

1 

- S

j 

| < eps

Ostatnie przybliżenie S

j

 

+

 

1  

jest wartością całki z dokładnością 

do eps. 
W algorytmie w kolejnym k-tym kroku iteracyjnym potrzebna 
jest znajomość tylko dwóch sąsiednich przybliżeń S

k - 1 

(oznaczenie w schemacie S0) i S

k 

(oznaczenie w schemacie 

S1) (k = 1,2, … ,).

14

Jadwiga Chudzicka

START

CZYTAJ: a,b,eps

n := 1
h := b - a

n – liczba podziałów 
przedziału [a,b]

h – długość przedziału 
elementarnego

S0 := h * f(a + h/2)

S0 –przybliżenie 
początkowe całki

n := 2 * n
h := h/2
S1 := 0
i := 1
x :+ a + h/2

x – wartość środka 
elementarnego 
przedziału 

i – zmienna potrzebna 
przy wyznaczaniu sumy 
y

i

 dla i = 1, 2, …, n

Str. 2

Str. 1

15

Jadwiga Chudzicka

Str. 2

S1 := S1 + f(x)

wyznaczanie sumy y

i

 dla 

i = 1, 2, …, n, gdzie y

i   

jest wartością funkcji 
podcałkowej w środku i-
tego przedziału 
elementarnego

i = n

TAK

NIE

x := x + h
i := i + 1

S1 := S1 * h

abs (S1 – S0) >= eps

NIE

Druk: S1

KONIEC

TAK

S0 := S1

Str. 1

wyznaczanie 
kolejnego 
przybliżenia