1

Jadwiga Chudzicka

2

Jadwiga Chudzicka

Całkowanie numeryczne – metoda numeryczna polegająca
na przybliżonym obliczaniu całek oznaczonych.

Proste metody całkowania numerycznego polegają na
przybliżeniu całki za pomocą odpowiedniej sumy ważonej
wartości całkowanej funkcji w kilku punktach. Aby uzyskać
dokładniejsze przybliżenie dzieli się przedział całkowania
na niewielkie fragmenty. Ostateczny wynik jest sumą
oszacowań całek w poszczególnych podprzedziałach.
Najczęściej przedział dzieli się na równe podprzedziały,
ale bardziej wyszukane algorytmy potrafią dostosowywać
krok do szybkości zmienności funkcji.

OPIS METODY

3

Jadwiga Chudzicka

Metoda prostokątów

Metoda ta polega na przybliżeniu całki sumą pól prostokątów
utworzonych przez podział przedziału całkowania na pewną
liczbę równych części.

4

Jadwiga Chudzicka

Prawdopodobnie najprostszym wzorem
jest metoda punktu środkowego

Jeśli funkcja f(x) zmienia się w niewielkim
stopniu w przedziale (x * ,x * + h), reguła
taka da dobre przybliżenie całki.

5

Jadwiga Chudzicka

Przykład – metoda prostokątów

Spróbujmy scałkować funkcję cos(x) na przedziale od 0 do 1.
Ponieważ da się ją scałkować analitycznie, znamy dokładny
wynik i możemy łatwo obliczać błąd przybliżenia różnych
metod całkowania. Z dokładnością do 10 miejsc dziesiętnych
prawidłowy wynik wynosi:

6

Jadwiga Chudzicka

Całkowanie numeryczne za pomocą zasady punktu
środkowego da nam wynik (h = 1 - 0, punkt
środkowy w przedziale [0,1] to ½):

co daje błąd 0,0361115771 (błąd względny 4,3%) –
niewielki jak na tak prostą metodę, jednak oczywiście
niezadowalający do wielu zastosowań.

7

Jadwiga Chudzicka

Żeby uzyskać lepsze przybliżenia możemy
podzielić przedział całkowania na dwie części:

Z błędem bezwzględnym 0,0088296604 lub względnym 1%.

8

Jadwiga Chudzicka

Dzieląc przedział całkowania na więcej fragmentów
możemy uzyskać lepsze przybliżenie:

Liczba części

Wynik

Błąd

bezwzględny względny

1

0,8775825619 0,0361115771 4,29%

2

0,8503006452 0,0088296604 1,05%

4

0,8436663168 0,0021953320 0,26%

8

0,8420190672 0,0005480824 0,07%

9

Jadwiga Chudzicka

Przedstawiony zostanie schemat blokowy metody
prostokątów dla zadania:

Wyznaczyć całkę oznaczoną funkcji f(x) w przedziale [a, b]
z dokładnością do eps.

Opis metody:

Zagadnienie to można rozwiązać jedynie metodami
całkowania numerycznego, ponieważ funkcja podcałkowa
f(x) nie jest wyspecyfikowana.
Rozwiązując metoda prostokątów podzielimy przedział
całkowania na pewną liczbę równych części.

10

Jadwiga Chudzicka

1.

Przybliżenie początkowe jest polem prostokąta o
bokach h = b – a i f(a + h/2), tzn. jeden bok jest
długością przedziału całkowania, a drugi wartością
funkcji podcałkowej w środku tego przedziału.
Zatem przybliżenie początkowe (oznaczymy go przez
S

0

) jest przybliżeniem osiągniętym przy liczbie

podziałów przedziału całkowania n = 1 (pole pod
funkcją podcałkową zastąpione polem jednego
prostokąta).

Algorytm polega na wyznaczeniu ciągu kolejnych
przybliżeń wartości całki w następujący sposób:

11

Jadwiga Chudzicka

2.

Przybliżenie k-te S

k

(k = 1, 2, … , ) wyznaczamy

podwajając liczbę podziałów przedziału całkowania w
stosunku do przybliżenia poprzedniego (k – 1) –szego,
tzn. n’ = 2*n.
Wartość całki przybliżamy sumą pól prostokątów o
bokach:

'

'

n

a

b

h

−

=

i wartości funkcji podcałkowej f(x) w punkcie

2

'

h

x

i

+

, gdzie x

i

– początek odcinka będącego

podstawą i – tego prostokąta.

12

Jadwiga Chudzicka

Przedział całkowania dzielimy na jednakowe części,
dlatego długość jednego z boków jest wspólna dla
wszystkich prostokątów.
W każdym kolejnym przybliżeniu podwajamy liczbę
podziałów, to długość tego boku jest o połowę mniejsza w
stosunku do tej z przybliżenia poprzedniego:

2

'

h

h

=

Przybliżenie k –te można więc wyznaczyć wg wzoru

∑

=

=

n

i

i

k

y

h

S

1

, gdzie y

i

– wartość f. podcałkowej w środku

i-tego przedziału, h –długość przedziału
elementarnego, tzn.

n

a

b

h

−

=

, jeżeli przedział [a, b] został podzielony na
n części.

13

Jadwiga Chudzicka

3.

W sposób opisany w punktach 1. i 2. tworzymy ciąg
kolejnych przybliżeń S

0

, S

1

,

S

2

, … , do momentu, aż

będzie spełniony warunek:

|

S

j

+

1

- S

j

| < eps

Ostatnie przybliżenie S

j

+

1

jest wartością całki z dokładnością

do eps.
W algorytmie w kolejnym k-tym kroku iteracyjnym potrzebna
jest znajomość tylko dwóch sąsiednich przybliżeń S

k - 1

(oznaczenie w schemacie S0) i S

k

(oznaczenie w schemacie

S1) (k = 1,2, … ,).

14

Jadwiga Chudzicka

START

CZYTAJ: a,b,eps

n := 1
h := b - a

n – liczba podziałów
przedziału [a,b]

h – długość przedziału
elementarnego

S0 := h * f(a + h/2)

S0 –przybliżenie
początkowe całki

n := 2 * n
h := h/2
S1 := 0
i := 1
x :+ a + h/2

x – wartość środka
elementarnego
przedziału

i – zmienna potrzebna
przy wyznaczaniu sumy
y

i

dla i = 1, 2, …, n

Str. 2

Str. 1

15

Jadwiga Chudzicka

Str. 2

S1 := S1 + f(x)

wyznaczanie sumy y

i

dla

i = 1, 2, …, n, gdzie y

i

jest wartością funkcji
podcałkowej w środku i-
tego przedziału
elementarnego

i = n

TAK

NIE

x := x + h
i := i + 1

S1 := S1 * h

abs (S1 – S0) >= eps

NIE

Druk: S1

KONIEC

TAK

S0 := S1

Str. 1

wyznaczanie
kolejnego
przybliżenia