Obwody Elektryczne i Magnetyczne
®
1
Obwody elektryczne
Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych –
odpowiedź na dowolne wymuszenie
Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski
Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii
Wydział Elektryczny
Politechnika Wrocławska
D-1, 205/1
tel: (071) 320 21 60
fax: (071) 320 20 06
email:
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
®
2
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Liniowość obwodu elektrycznego
Obwód liniowy spełnia zasadę addytywności i zasadę homogeniczności (proporcjonalności,
jednorodności) w stosunku do wielkości wejściowych i wyjściowych.
Zasada addytywności:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2
2
1
2
1
2
i
x t
y t
x t
y t
x t
x t
y t
y t
→
→
+
→
+
Liniowy
Zasada homogeniczności (proporcjonalności):
( )
( )
( )
( )
x t
y t
ax t
ay t
→
→
Liniowy
Stacjonarność obwodu elektrycznego
Obwód nazywamy stacjonarnym, jeśli jego parametry nie ulegają zmianie w czasie, a zatem odpowiedź
nie zależy od chwili pojawienia się wymuszenia. Obwód stacjonarny jest inwariantny względem przyjętej
chwili początkowej.
Stacjonarny
( )
( )
(
)
(
)
x t
y t
x t
y t
τ
τ
→
+
→
+
Przyczynowość obwodu elektrycznego
Obwód nazywamy przyczynowym, jeśli przy braku wymuszenia nie wykazuje odpowiedzi. W obwodzie
przyczynowym skutek(odpowiedź) nie może pojawić się wcześniej od przyczyny (wymuszenia). Każdy
obwód liniowy pasywny musi być przyczynowy.
Przyczynowy
( )
( )
0
0
x t
y t
= →
=
®
3
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Bieżące podsumowanie w zakresie analizy stanu nieustalonego:
Dotychczas w analizie stanu nieustalonego wykorzystywaliśmy metodę klasyczną. Załączanie na napięcie
stałe czy też sinusoidalne tego samego obwodu było dla nas osobnym zagadnieniem, które
rozwiązywaliśmy od początku do końca zgodnie z prawidłami metody klasycznej. Musimy też pamiętać, że
dla tego rodzaju wymuszeń mamy szeroką wiedzę na temat wyznaczania składowej ustalonej, która jest
niezbędną dla określenia końcowej odpowiedzi.
Pytania i problemy następne:
Czy dla obwodów liniowych stacjonarnych (SLS czy LTI) musimy za każdym razem przeprowadzać pełną
analizę stanu nieustalonego jeśli zmienimy np. rodzaj wymuszenia? Czy nie można danej strukturze
obwodu przyporządkować jednoznacznej charakterystyki (lub charakterystyk) na podstawie, której da się
określić szukaną odpowiedź np. dla dowolnego wymuszenia? Znaczenie takiej charakterystyki obwodu,
byłoby tym większe, jeśli wymuszeniem byłby dowolny sygnał, wykraczający poza standardy sygnału
stałego bądź sinusoidalnego.
Sprecyzujmy zagadnienie następująco:
charakterystyki obwodu SLS w relacjach wejście – wyjście, odpowiedź obwodu na dowolne
wymuszenie, przejście sygnału przez obwód.
( )
x t
( )
e t
( )
e t
SLS
( )
x t
( )
y t
WE
WY
dowolna relacja
prądowo-
napięciowa
np.
( )
y t
( )
C
u
t
( )
L
i t
np.
®
4
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1. Sygnały jako funkcje uogólnione
Zanim spróbujemy rozwiązać postawiony problem relacji pomiędzy wejściem a wyjściem obwodu SLS
musimy poszerzyć definicję funkcji, które służyć będą do opisu sygnałów. Zdążyliśmy się już zorientować,
że w stanach nieustalonych nieciągłości typu „skok” w sygnałach napięć czy prądów nie są niczym
nadzwyczajnym, np. napięcie na cewce czy prąd płynący przez kondensator, czy też relacje napięciowo-
prądowe na rezystorze, mogą zmieniać się skokowo. Nawet, w szczególnych idealnych przypadkach,
sygnały zachowawcze tj. prąd płynący przez cewkę oraz napięcie na kondensatorze, mogą utracić swoją
ciągłość.
Wykracza to poza dziedzinę funkcji ciągłych, ponieważ nie możemy określić wartości funkcji punkt po
punkcie, jak to ma miejsce w przypadku „zwyczajnych” funkcji.
Poznajmy zatem dwie dodatkowe funkcje, które w towarzystwie funkcji ciągłych, pozwolą w pełni opisać
sygnały. Jest to tym bardziej istotne, kiedy należy opisać analitycznie (matematycznie wzorem) sygnał
wejściowy i poddać go operacji przejścia przez obwód SLS.
1.1 Skok jednostkowy
Funkcją Heaviside'a (skokiem jednostkowym, funkcją skoku jednostkowego) nazywamy funkcję 1(t)
określoną następująco:
1
t
1(t )
0
( )
dla
dla
1
t
0
t
0
t
0
1
>
⎧
= ⎨
<
⎩
®
5
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
W ogólnym przypadku skok jednostkowy może być przesunięty na osi czasu o wartość t
0
. Stosujemy
wówczas zapis:
1
t
1(t-t
0
)
0
t
0
(
)
dla
dla
0
0
0
1
t
t
t
t
0
t
t
1
>
⎧
−
= ⎨
<
⎩
Wykorzystując skok jednostkowy można w prosty sposób zapisywać sygnały, które posiadają
niejednorodny opis w różnych przedziałach czasowych. W tym celu określa się funkcję spełniającą rolę
okna czasowego w(t):
1
t
0
t
1
w(t)
t
2
( ) (
) (
)
1
2
w t
t
t
t
t
1
1
=
−
−
−
®
6
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykłady wykorzystania funkcji skoku jednostkowego i funkcji okna do zapisu analitycznego
sygnałów:
t
0
x
a
(t)
1
t
0
x
b
(t)
999900e
-3t
2
1(1 - e
-2t
)
4
1
0,9999
( )
(
)
( ) (
)
(
) (
)
2t
b
3t
x t
1 1 e
t
t
2
999900e
t
2
t
4
1
1
1
1
−
−
=
−
−
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
+
−
−
−
⎡
⎤
⎣
⎦
( )
( )
3t
a
x t
e
t
1
−
=
t
0
x
c
(t)
1
4
2
3
5
1
2
3
t
0
x
d
(t)
1
4
2
3
5
1
2
( ) (
) (
) (
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
d
1
2
x
t
2 t
1
t
1
t
2
t
6
t
2
t
4
2
t
4
t
5
1
1
1
1
1
1
=
−
− −
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
−
−
−
−
−
+
⎡
⎤
⎣
⎦
+
−
−
−
⎡
⎤
⎣
⎦
( )
( ) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
c
x t
t
t
1
2
t
1
t
2
3
t
2
t
4
t
4
t
5
1
1
1
1
1
1
1
1
=
−
−
+
− −
−
+
⎡
⎤
⎡
⎤
⎣
⎦
⎣
⎦
+
−
−
−
+
−
−
−
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎣
⎦ ⎣
⎦
®
7
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykłady wykorzystania funkcji skoku jednostkowego i funkcji okna do zapisu analitycznego
sygnałów okresowych:
®
8
Sygnał okresowy możemy zapisać definiując jeden okres
( )
T
x
t
jako
( )
(
)
T
k
x t
x
t
kT
∞
=−∞
=
−
∑
Sygnał piłokształtny
T
x
T
(t)
A
0
t
T
2T
x(t)
A
0
-T
t
( )
( ) (
)
T
A
x
t
t
t
t
T
T
1
1
⎡
⎤
=
−
−
⎣
⎦
( )
(
)
(
) (
) (
)
T
k
1
k
1
A
x t
x t
kT
t
kT
t
kT
t
kT
T
1
1
∞
∞
=−
=−
⎡
⎤
=
−
=
−
−
−
−
⎣
⎦
∑
∑
Sygnał sinusoidalny wyprostowany dwupołówkowo (dwufalowo)
x(t)
1
0
t
3
2
π
2
π
( )
sin 2t
π
[
]
[ ]
2
2 rad s T
s
/
,
π
ω
π
ω
=
=
=
x
T
(t)
1
0
t
2
π
[s]
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
3
2
2
2
k 0
x t
2 t
k
t
k
t
k
1
sin
1
1
π
π
π
=
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
−
−
−
+
⎣
⎦ ⎣
⎦
∑
( )
( ) ( )
(
)
T
2
x t
2t
t
t
sin
1
1
π
⎡
⎤
=
−
−
⎣
⎦
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1.2 Funkcja impulsowa, impuls Diraca - dystrybucja
Kolejną funkcją wykraczająca poza definicje funkcji ciągłych, jest impuls Diraca (dystrybucja). Funkcja
impulsowa jest typowym przedstawicielem funkcji uogólnionych. Definicja impulsu Diraca ma swoje źródła
w aproksymacji skoku jednostkowego i próbie określenia pochodnej ze skoku jednostkowego.
( )
t
1 ,
ε
(
)
0
ε
>
z parametrem
Funkcję skoku jednostkowego można rozpatrywać jako granicę funkcji
:
( )
( )
0
t
t
1
lim 1 ,
ε
ε
+
→
=
Przykładowe aproksymacje skoku jednostkowego przedstawia poniższy rysunek:
1
t
1(t,
ε
)
0
ε
= 1
ε
= 0.5
ε
= 0.1
5
-5
0.5
1
t
1(t,
ε
)
ε
−ε
( )
1
1
t
t
2
1 ,
arctg
ε
π
ε
⎛ ⎞
= +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
®
9
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
( )
t
1 ,
ε
Różniczkując względem czasu dowolną funkcję aproksymującą skok jednostkowy
otrzymujemy
przebiegi posiadające kształt impulsu, pod którym pole powierzchni (niezależnie od
ε
) równe jest jeden.
Teraz spróbujemy określić pochodne funkcji aproksymującej oraz wpływ parametru
ε
na ich kształt.
Niech:
( )
( )
t
t
t
,
1 ,
ε
ε
∂ ⎡
⎤
=
⎣
⎦
∂
δ
t
δ
(t,
ε
)
0
-3
3
ε
=
0.2
ε
= 1
3
ε
= 0.1
t
δ
(t,
ε
)
0
ε
−ε
2
ε
( )
2
2
1
1
t
1
t
t 2
t
,
arctg
ε
ε
π
ε
π ε
⎧
⎫
∂
⎛ ⎞
=
+
=
⎨
⎬
⎜ ⎟
∂
+
⎝ ⎠
⎩
⎭
δ
( )
(
) (
)
1
t
t
2
,
t
®
10
ε
ε
ε
ε
⎡
⎤
=
+
−
−
⎣
⎦
δ
1
1
Funkcje
( )
t ,
δ ε
spełniają granicznie definicję impulsu Diraca
( )
( )
dla
dla
0
t
0
t
t
0
t
0
lim
,
ε
ε
→ +
∞
=
⎧
=
= ⎨
≠
⎩
δ
δ
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Impuls Diraca stanowi więc dystrybucyjną pochodną skoku jednostkowego. Przypomnijmy, pochodna w
sensie zwykłym, w punkcie nieciągłości I-go rodzaju, jakim jest skok jednostkowy, nie istnieje.
( )
( )
( )
( )
0
0
d
t
t
t
t
t
t
dt
lim
,
lim
,
ε
ε
ε
ε
+
+
→
→
∂
∂ ⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
=
=
=
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
∂
∂
δ
1
1
1
Jednocześnie tak zdefiniowana funkcja impulsu Diraca, wciąż zachowuje właściwość:
( )
t dt
1
∞
−∞
=
∫
δ
Podobnie jak skok jednostkowy impuls Diraca może być przesunięty na osi czasu. Spełnia wówczas
analogiczne:
(
)
(
)
dla
dla
0
0
0
0
t
t
t
t
t
t
dt
1
0
t
t
,
∞
−∞
∞
=
⎧
−
=
−
=
⎨
≠
⎩
∫
δ
δ
Wzajemne relacje pomiędzy skokiem jednostkowym a impulsem Diraca podsumowują zależności:
( )
( )
( )
( )
t
d
t
t
t
d
dt
;
τ τ
−∞
⎡
⎤
=
=
⎣
⎦
∫
δ
1
1
δ
oraz
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
t
d
t
t
t
t
t
t
t d
dt
;
τ
τ
−∞
⎡
⎤
−
=
−
−
=
−
⎣
⎦
∫
δ
1
1
δ
®
11
t
0
2
-3
5
δ
(t-2)
-4
δ
(t+3)
x(t)
( )
(
)
(
)
x t
4
t
3
5
t
2
= −
+
+
−
δ
δ
Impuls Diraca przedstawia się na wykresach
symbolicznie za pomocą odcinka zakończonego
grotem. Wartość impulsu np. -4 oznacza, że "pole"
pod impulsem wynosi -4 (impuls ma w tym przypadku
‘wartość’ ujemną)
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1.3 Różniczkowanie dystrybucyjne
Wprowadzenie funkcji skoku jednostkowego oraz impulsu Diraca daje możliwości opisu znacznie szerszej
klasy sygnałów niż tyko sygnałów ciągłych. Daje też możliwość różniczkowania sygnału oraz
jednoznacznego odtworzenia sygnału z jego pochodnej, co przy pominięciu elementów dystrybucyjnych
nie jest zawsze możliwe. Podobnie więc różniczkowanie dystrybucyjne wnosi większą „ogólność”,
niezbędną często przy zapisie sygnałów.
Niech będzie dana funkcja f(t), która w każdym skończonym przedziale otwartym:
- posiada co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości I-go rodzaju;
- jest różniczkowalna (w zwykłym sensie) – wszędzie poza ww. punktami nieciągłości, tzn. jest
przedziałami funkcją ciągłą f
c
(t).
Wykorzystując skok jednostkowy funkcję tę można zapisać w postaci :
( )
( )
( ) ( ) (
)
k
c
k
k
k
k
f
f t
f
t
f t
f t
t
t
1
Δ
⎡
⎤
=
+
+ −
−
−
⎣
⎦
∑
Pochodną dystrybucyjna, zawierać będzie przedziałami ciągłe pochodne od składników f
c
(t), ale również w
punktach nieciągłości składniki dystrybucyjne w postaci impulsów Diraca o wartościach równych różnicy
prawo- i lewostronnej granicy funkcji w tych punktach.
( )
( )
(
)
c
k
k
k
d
d
f t
f t
f
t
t
dt
dt
Δ
⎡
⎤
⎡
⎤
=
+
−
⎣
⎦
⎣
⎦
∑
δ
®
12
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykłady różniczkowania dystrybucyjnego:
Przykład 1
Przykład 2
Przykład 3
1
t
0
x
2
(t)
2
1
2
t
0
2
1
( )
2
x
t
′
(
)
t
1
δ
−
(
)
t
2
δ
−
−
1
-1
1
t
0
x
1
(t)
2
1
2
t
0
2
1
( )
1
x′
(
)
t
δ
−1
δ
1
(
)
t
−2
t
1
3
t
x(t)
1
2
3
7
0
1
2
3
t
1
7
0
-1
(
)
2
t
3
−
δ
(
)
t 7
−
−δ
( )
x t
′
1
2
3
t
7
0
(
)
2
t
3
′ −
δ
(
)
t
7
′ −
−δ
( )
x
t
′′
( )
t
δ
(
)
t
1
−
−δ
(
)
t
3
−
−
1
2
δ
(
)
t
7
−
1
2
δ
sygnał
pochodna ciągła
pochodna dystrybucyjna
®
13
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1.4 Działania z udziałem impulsu Diraca
Przypomnijmy, co wiemy już o impulsie Diraca:
( )
( )
1
t
d
t
δ τ τ
−∞
=
∫
( )
( )
1
d
t
t
dt
δ
⎡
⎤ =
⎣
⎦
(
)
(
)
0
0
1
d
t
t
t
t
dt
δ
⎡
⎤
−
=
−
⎣
⎦
(
)
(
)
0
0
1
t
t d
t
t
δ τ
τ
−∞
−
=
−
∫
( )
( )
0
0
1
t dt
t dt
δ
δ
+
−
+∞
−∞
= =
∫
∫
(
)
(
)
0
0
0
0
1
t
t
t
t dt
t
t dt
δ
δ
+
−
+∞
−∞
−
= =
−
∫
∫
Kolejne działania z udziałem impulsu Diraca dotyczą iloczynu z funkcją f(t) z impulsem Diraca
(
)
0
t
t
δ
−
lub
jego pochodną , ogólnie n-tego rzędu
( )
(
)
n
0
t
t
δ
−
:
( )
(
)
( ) (
)
0
0
0
f t
t
t
f t
t
t
−
=
−
δ
δ
( )
(
)
( ) (
)
( ) (
)
0
0
0
0
0
f t
t
t
f t
t
t
f
t
t
t
′
′
′
−
=
−
−
−
δ
δ
δ
( )
(
)
( ) (
)
( ) (
)
( ) (
)
0
0
0
0
0
0
0
f t
t
t
f t
t
t
2 f
t
t
t
f
t
t
t
′′
′′
′
′
′′
−
=
−
−
−
+
−
δ
δ
δ
δ
Ogólnie dla n-tego rzędu pochodnej impulsu Diraca iloczyn da się wyrazić jako:
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
n
n
k
n k
n
0
k
0
0
k 0
f t
t
t
f
t
t
t
−
=
−
=
−
∑
δ
δ
( )
( )
( )
3t
0
e
t
e
t
t
δ
δ
δ
−
−
=
=
Przykład:
®
14
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Charakterystyczną własnością impulsu Diraca, jest tzw. własność filtracyjna, umożliwiająca wyznaczenie
wartości funkcji lub jej pochodnych, za pomocą operacji całkowania. Własność tę otrzymuje się
wykorzystując m.in. omówioną powyżej operację iloczynu funkcji z impulsem Diraca lub jego pochodnymi:
Dla funkcji (sygnału) własność filtracyjna impulsu Diraca wyraża się jako:
( )
(
)
( ) (
)
( ) (
)
( )
0
0
0
0
0
0
f t
t
t dt
f t
t
t dt
f t
t
t dt
t
f
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
−
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
δ
δ
δ
W przypadku pierwszej pochodnej:
( )
(
)
( ) (
)
( )
0
0
0
0
f t
t
t dt
f
t
t
t dt
f
t
∞
∞
−∞
−∞
′
′
′
−
= −
−
= −
∫
∫
δ
δ
W przypadku drugiej pochodnej
( )
(
)
( ) (
)
( ) (
)
( ) (
)
( )
0
0
0
0
0
0
0
0
f t
t
t dt
f t
t
t
2 f
t
t
t
f
t
t
t
dt
f
t
δ
δ
δ
∞
∞
−∞
−∞
′′
′′
′
′
′′
′′
⎡
⎤
−
=
−
−
−
+
−
=
⎣
⎦
∫
∫
δ
Ostatecznie dla dowolnego n własność filtracyjna impulsu Diraca przyjmuje postać:
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
0
n
n
n
0
f
t
1
f t
t
t dt
∞
−∞
= −
−
∫
δ
®
15
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2. Splot – związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu SLS w
dziedzinie czasu
Wprowadzenie pojęcia układu jest pewnym uogólnieniem ze względu na funkcję pełnioną przez dany
obwód elektryczny, a także wypadkową funkcję jednostek zbudowanych z wielu obwodów elektrycznych.
Niezależnie od różnic w interpretacji lub strukturze układów, zawsze można wyróżnić w układzie wejście,
na które wprowadzany jest sygnał wejściowy (tzw. pobudzenie lub wymuszenie) oraz wyjście, z którego
odbierany jest sygnał wyjściowy (tzw. odpowiedź), który następnie może być przekazywany dalej - do
innych układów przetwarzania.
Na przykład dla rozgałęzionego obwodu elektrycznego, w którym występuję kilka źródeł autonomicznych,
dowolnego rodzaju (prądowe, napięciowe), możemy przyjąć wielkości określone przez źródła jako sygnały
wejściowe, natomiast prądy i napięcia w gałęziach obwodu jako sygnały wyjściowe.
Ogólnie, układy więc mogą być traktowane jako wielowymiarowe. Wtedy wejściem jest wektor zawierający
wymuszenia, a wyjściem układu jest wektor odpowiedzi.
Układ, w którym wymuszenie oraz odpowiedź są skalarami nazywamy jednowymiarowym
DEFINICJA:
Relacje pomiędzy wyjściem a wejściem układu SLS oparte są na operacji splotu z wykorzystaniem
®
16
odpowiedzi impulsowej
( )
lub odpowiedzi skokowej
( )
h t
k t
( )
( ) ( )
d
y t
x t
k t
dt
⎡
⎤
=
∗
⎣
⎦
Całka Duhamela
( )
x t
(
SLS
)
y t
( )
h t
WE
WY
( ) ( ) ( )
y t
x t
h t
=
∗
( )
k t
Całka splotowa
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
®
17
UWAGA nowe pojęcia: odpowiedź jednostkowa
, odpowiedź skokowa
( )
k t
( )
h t
, splot ,
∗
wymusznie (wejście), odpowiedź (wyjście).
Choć wymienione pojęcia wprowadzamy po raz pierwszy, okazuje się, że jedno z nich, tj. odpowiedź
jednostkowa nie jest nam zupełnie obca. Bowiem dla układu jednowymiarowego, dla którego sygnałem
wejściowym jest źródło napięcia, poszukiwanie odpowiedzi jednostkowej oznacza analizę obwodu w stanie
nieustalonym przy załączaniu na źródło napięcia stałego 1V w chwili t
0
=0. Określony sygnał wyjściowy, czy
to dowolne napięcie czy prąd w obwodzie, będzie odpowiedzią jednostkową układu.
Przypomnijmy w tym miejscu ideę poszukiwania ogólnego związku pomiędzy wejściem a wyjściem dla
danego układ. Otóż, dla danej struktury układu odpowiedź jednostkową czy impulsową będziemy
wyznaczać tylko raz, traktując te je jako charakterystyki „czasowe” układu. Na ich podstawie korzystając z
operacji splotu możemy wyznaczyć odpowiedź na dowolne wymuszenia i zaoszczędzić pełnych analiz
układu w stanie nieustalonym dla każdego wymuszenia z osobna.
2.1 Odpowiedź jednostkowa i impulsowa układu
SLS
( ) ( )
1
x t
t
=
( ) ( )
y t
k t
=
WE
WY
Odpowiedź jednostkowa
( )
k t
( )
( )
( ) ( )
1
x t
t
k t
y t
=
=
(charakterystyka jednostkowa)
Odpowiedź jednostkowa układu liniowego jest sygnałem wyjściowym układu wywołanym przez sygnał
wejściowy będący skokiem jednostkowym.
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
SLS
( )
( )
x t
t
δ
=
( ) ( )
y t
h t
=
WE
WY
( )
h t
Odpowiedź impulsowa
( )
( )
( ) ( )
x t
t
h t
y t
δ
=
=
(charakterystyka impulsowa)
Odpowiedź impulsowa układu liniowego jest sygnałem wyjściowym układu wywołanym przez sygnał
wejściowy będący impulsem Diraca jednostkowym.
Ponadto pomiędzy odpowiedzią jednostkową i impulsową istnieje wzajemna relacja różniczkowa taka, że:
( )
( )
d
h t
k t
dt
=
Przy czym należy pamiętać, że różniczkowanie to ma sens ogólny, czyli dystrybucyjny.
Przykład wyznaczania odpowiedzi jednostkowej i impulsowej układu
Niech dany będzie układ jak na rysunku, którego sygnałem wyjściowym jest napięcie na kondensatorze.
Do wyznaczenia odpowiedzi jednostkowej możemy posłużyć się analizą obwodu w stanie nieustalonym
przy załączaniu napięcia stałego o wartości E=1V, poszukując napięcia na kondensatorze.
E=1
R
C
t = 0
u
c
(t)
i(t)
u
R
(t)
WE
WY
( )
k t
( )
1 t
R
C
u
c
(t)
i(t)
u
R
(t)
WY
WE
Praktyczna
realizacja
odpowiedzi
jednostkowej
®
18
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Wracając do wykładu 3 przebieg napięcia na kondensatorze w szeregowym obwodzie RC załączanym na
napięcie stałe o wartości E ma postać:
( )
( )
( )
,
1
1
t
t
RC
RC
C
Cu
Cp
RORN
RSRN
RORJ
u
t
u
t
u
t
E
Ee
E 1 e
dla t
0
−
−
⎛
⎞
=
+
⇒
=
+
= −
=
−
>
⎜
⎟
⎝
⎠
Adaptując dla E=1, możemy określić odpowiedź jednostkową
( )
1
1
t
t
RC
RC
k t
1 1e
1 e
dla t
0
,
−
−
⎛
⎞
= −
=
−
>
⎜
⎟
⎝
⎠
Mając wiedzę o wykorzystaniu funkcji jednostkowych w zapisie sygnału, dopisek t>0 możemy zastąpić
formą:
( )
( )
1
t
RC
k t
1 1e
1 t
−
⎛
⎞
=
−
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
Chcąc wyznaczyć odpowiedź impulsową należy dokonać różniczkowania dystrybucyjnego odpowiedzi
jednostkowej, wykorzystując przy tym własność iloczynu funkcji z impulsem Diraca
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
1
1
1
t
t
t
RC
RC
RC
d
d
h t
k t
1 1e
1 t
1 1e
1 t
1 t
1 1e
dt
dt
−
−
−
′
⎡
⎤
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
′
=
=
−
⋅
=
−
⋅
+
⋅ −
=
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎣
⎦
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
1
1
1
t
t
t
0
t
RC
RC
RC
RC
RC
1
1
1
e
1 t
t
1 1e
e
1 t
t
1 1e
e
1 t
RC
RC
RC
δ
δ
−
−
−
−
−
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
=
⋅
+
⋅ −
=
⋅
+
⋅ −
=
⋅
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
®
19
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.2 Operacja splotu
Zanim wykorzystamy operację splotu do wyznaczania odpowiedzi na dowolne wymuszenie przy danej
charakterystyce jednostkowej lub impulsowej musimy poznać prawidła matematyczne rządzące tym
przekształceniem. Określmy je i poznajmy na podstawie dowolnych funkcji
( ) ( )
i
f t
g t
SPLOT – DEFINICJA:
( ) ( )
i
f t
g t
nazywamy funkcję (dystrybucję) określoną za pomocą całki:
Splotem funkcji (dystrybucji)
( )
( ) ( )
( ) (
)
s t
f t
g t
f
g t
d
τ
τ τ
∞
−∞
=
∗
=
−
∫
Operację tworzenia splotu nazywamy splataniem lub mnożeniem splotowym
Do podstawowych własności splotu należą:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
s t
f t
g t
g t
f t
g
f t
d
τ
τ τ
∞
−∞
=
∗
=
∗
=
−
∫
Przemienność
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
s t
f t
g t
h t
f t
g t
h t
f t
g t
h t
⎡
⎤
⎡
⎤
=
∗
∗
=
∗
∗
=
∗
∗
⎣
⎦
⎣
⎦
Łączność
Rozdzielność
względem dodawania i
odejmowania
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
s t
f t
g t
h t
f t
h t
g t
h t
⎡
⎤
=
±
∗
=
∗
±
∗
⎣
⎦
Różniczkowanie splotu
( )
( )
( )
( ) ( )
s t
f t
g t
f
t
g t
′
′
′
=
∗
=
∗
( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
n
n k
k
n
d
f t
g t
f
t g
t
dt
−
⎡
⎤
∗
=
⎣
⎦
,
®
20
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
c.d. własności splotu:
(
)
( )
(
)
( )
(
)
0
0
0
s t
t
f
g t
t
d
f t
g t
t
τ
τ τ
∞
−∞
−
=
− −
=
∗
−
∫
Przesunięcie splotu
(stacjonarność
splotu)
(
)
(
)
( )
0
0
s t
t
f t
t
g t
−
=
−
∗
,
Mnożenie splotu
przez t
( )
( )
( )
( )
( )
t s t
t f t
g t
f t
t g t
⎡
⎤
⎡
⎤
=
∗
+
∗
⎣
⎦
⎣
⎦
Mnożenie splotu
przez funkcję
wykładniczą
( ) ( )
( )
( )
at
at
at
e
f t
g t
e f t
e g t
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤
∗
=
∗
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
at
e
®
21
Splot z impulsem
Diraca
( ) (
)
0
t
t
t
,
δ
δ
−
( ) ( )
( ) (
)
( ) (
)
( ) ( )
( )
( )
( )
f t
t
f t
d
f t
d
f t d
f t
d
f t
τ
τ τ
τ
τ τ
τ
τ
τ τ
∞
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
−∞
∗
=
−
=
−
=
=
=
∫
∫
∫
∫
δ
δ
δ
δ
δ
- jedynka splotowa
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
n
n
n
f t
t
f
t
t
f
t
∗
=
∗
=
δ
δ
( )
(
)
(
)
( )
(
)
0
0
0
f t
t
t
f t
t
t
f t
t
∗
−
=
−
∗
=
−
δ
δ
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.3 SPLOT - wyznaczanie splotu analitycznie – Przypadek dwóch funkcji
prawostronnych:
Rozpatrzmy ogólnie przypadek splotu dwóch funkcji prawostronnych
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
0
0
1
2
f t
f t
t
t
g t
g t
t
t
1
,
1
=
⋅
−
=
⋅
−
których splot zdefiniować można jako:
( )
( ) (
)
( )
(
)
(
)
(
)
0
1
0
2
s t
f
g t
d
f
t g t
t
t
d
1
1
τ
τ τ
τ
τ
τ
τ τ
−
∞
∞
−∞
−∞
=
−
=
−
−
−
∫
∫
Warto zauważyć, że granice całki, ze względu na
τ
, z granic nieoznaczonych możemy ustalić na
oznaczone na podstawie czynników
(
)
1
1
t
τ
−
oraz
(
)
2
1 t
t
τ
− − , przez określenie, zależnych od t, granic
przedziału zmiennej t, w którym iloczyn ich równy jest jeden, tzn. oba są niezerowe.
(
)
(
)
1
, 1
gdy
gdy
1
1
2
2
t
1
t
t
t
1
t
t
τ
τ
τ
τ
=
>
− −
=
−
<
−
Stąd :
(
) (
)
gdy
gdy
lub
1
2
1
2
1
2
1
t
t
t
t
t
t
0
t
t
t
1
1
τ
τ
τ
τ
τ
< < −
⎧
−
− −
= ⎨
<
> −
⎩
A granice nieoznaczone ze względu na istnienie funkcji podcałkowej względem zmiennej całkowania
τ
przejdą w z
(
)
,
−∞ +∞ w
1
2
t t
t
,
−
Ich wzajemne połączenie wyznacza przedział zmiennej t, w którym splot różny jest od zera, czyli
2
t
t
t
. Zapewni to wymnożenie przez skok jednostkowy o początku w punkcie
1
2
t
t
+
®
22
1
> +
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
( )
(
)
( ) (
)
2
0
0
1
t t
1
2
t
s t
t
t
t
f
g t
d
1
τ
τ τ
−
⎡
⎤
=
−
+
−
⎣
⎦
∫
Do zobrazowania powyższego rozumowania możemy wprowadzić pojęcie „stałego” i „ruchomego” okna
względem zmiennej całkowania
τ
. Okno stałe to
(
)
1
t
1
τ
−
. Okno „ruchome” należy rozumieć, jako zależne
od parametru t , a więc
(
)
2
t
t
1
τ
− −
1(
τ
- t
1
)
t - t
2
= t
1
τ
τ
t - t
2
τ
1(t - t
2
-
τ
)
t - t
2
> t
1
t
1
t
1
t - t
2
< t
1
a)
b)
c)
okno stałe
t - t
2
t - t
2
= t
1
przedział całkowania
okno ruchome
1
1
1
®
23
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład wyznaczania odpowiedzi układu RC na wymuszenie wykładnicze:
Dla układu RC opisanego wcześniej charakterystyką jednostkową i impulsową wyznacz odpowiedź na
wymuszenie typu
( )
( )
t
x t
e
1 t
α
−
=
( )
y t
?
=
( )
( )
t
x t
e
1 t
α
−
=
( )
( )
1
t
RC
k t
1 1e
1 t
−
⎛
⎞
=
−
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
R
C
u
c
(t)
i(t)
u
R
(t)
WY
WE
( )
( )
1
t
RC
1
h t
e
1 t
RC
−
⎛
⎞
=
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
Mając daną postać odpowiedzi impulsowej skorzystamy z postaci całki splotowej opisując relację
pomiędzy wejściem a wyjściem:
( ) ( ) ( )
( ) (
)
( )
( )
(
)
1
t
RC
1
y t
x t
h t
x
h t
d
e
1
e
1 t
d
RC
τ
ατ
τ
τ τ
τ
τ τ
∞
∞
−
−
−
−∞
−∞
=
∗
=
−
=
−
=
∫
∫
( )
( ) (
)
( ) (
)
1
1
1
t
t
RC
RC
RC
1
1
e
e
1
1 t
d
e
e
1
1 t
d
RC
RC
α
τ
τ
ατ
τ
τ τ
τ
τ τ
⎛
⎞
∞
∞
−
−
−
−
−
⎜
⎟
−
⎝
⎠
−∞
−∞
=
−
=
−
∫
∫
( )
(
)
gdy
gdy
1
0
t
1
t
0
t
1
, 1
,
τ
τ
τ
τ
τ
=
>
−
=
− >
<
Określamy granice całki splotowej :
®
24
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
( ) (
)
gdy
gdy
lub
1
0
t
t
0
0
t
1
1
τ
τ
τ
τ
τ
< <
⎧
−
= ⎨
<
>
⎩
Określamy niezerowe wartości splotu
t
0
®
25
τ
< <
>
, co względem zmiennej t prowadzi do
0 . Zapewni to
funkcja skoku jednostkowego 1(t)
t
Stąd operację splotu da się wyznaczyć analitycznie jako:
( ) ( ) ( )
( ) (
)
( )
1
1
1
1
t
t
t
RC
RC
RC
RC
0
1
1
y t
x t
h t
e
e
1
1 t
d
e
e
d
1 t
RC
RC
α
τ
α
τ
τ
τ τ
τ
⎛
⎞
⎛
⎞
∞
−
−
−
−
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
−∞
⎡
⎤
=
∗
=
−
=
⋅
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫
( )
1
1
t
t
RC
RC
0
1
1
1
e
e
1 t
1
RC
RC
RC
α
τ
α
⎛
⎞
−
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
⎡
⎤
⎛
⎞
⎢
⎥
⎜
⎟
=
−
⋅
= −
⎢
⎥
⎜
⎟
−
⎝
⎠
⎣
⎦
RC
⋅
( )
1
1
t
t
RC
RC
0
e
e
1 t
RC
1
α
τ
α
⎛
⎞
−
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
⎡
⎤
⎛
⎞
⎢
⎥ ⋅
=
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
( )
( )
1
1
1
1
1
t
t
t
t
t
t
RC
RC
RC
RC
RC
1
1
e
e
1
1 t
e
e
e
e
1 t
1
RC
1
RC
α
α
α
α
⎛
⎞
−
−
−
−
−
⎜
⎟
−
⎝
⎠
⎡
⎤
⎛
⎞
⎡
⎤
⎛
⎞
⎢
⎥
=
−
⋅
=
−
⋅
=
⎜
⎟
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
⎝
⎠
⎣
⎦
( )
1
t
t
RC
1
e
e
1 t
1
RC
α
α
−
−
⎡
⎤
⎛
⎞
=
−
⋅
⎢
⎥
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎢
⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład dla danych :
2 R
1
C
1F
,
,
α
Ω
=
=
=
( )
( )
(
( )
(
)
( )
(
)
( )
2t
t
t
2t
y t
e
e
1 t
e
e
1 t
−
−
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
→
= −
−
⋅
=
−
⋅
⎣
⎦
⎣
⎦
)
( )
2t
x t
e
1 t
−
=
t
h t
e 1 t ;
−
=
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
[p
u]
h
x
y=h*x
®
26
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.4 SPLOT: wyznaczanie splotu z wykorzystaniem jego własności
Nie zawsze konieczne jest wyznaczanie splotu przez sprecyzowanie obszarów całkowania i wykonania
poszczególnych całkowań.
Niekiedy konstrukcja splotu pozwala na wykorzystanie jego podstawowych właściwości:
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) (
)
s t
f t
g t
g t
f t
g
f t
d
τ
τ τ
∞
−∞
=
∗
=
∗
=
−
∫
Przemienność
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
s t
f t
g t
h t
f t
g t
h t
f t
g t
h t
⎡
⎤
⎡
⎤
=
∗
∗
=
∗
∗
=
∗
∗
⎣
⎦
⎣
⎦
Łączność
Rozdzielność
względem dodawania i
odejmowania
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
s t
f t
g t
h t
f t
h t
g t
h t
⎡
⎤
=
±
∗
=
∗
±
∗
⎣
⎦
Różniczkowanie splotu
( )
( )
( )
( ) ( )
s t
f t
g t
f
t
g t
′
′
′
=
∗
=
∗
( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
n
n k
k
n
d
f t
g t
f
t g
t
dt
−
⎡
⎤
∗
=
⎣
⎦
,
(
)
( )
(
)
( )
(
)
0
0
0
s t
t
f
g t
t
d
f t
g t
t
τ
τ τ
∞
−∞
−
=
− −
=
∗
−
∫
(
)
(
)
( )
0
0
s t
t
f t
t
g t
−
=
−
∗
Przesunięcie splotu
(stacjonarność splotu)
,
( )
( )
( )
( )
( )
t s t
t f t
g t
f t
t g t
⎡
⎤
⎡
⎤
=
∗
+
∗
⎣
⎦
⎣
⎦
Mnożenie splotu przez t
Mnożenie splotu przez
funkcję wykładniczą
at
e
( ) ( )
( )
( )
at
at
at
e
f t
g t
e f t
e g t
⎡
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎤
∗
=
∗
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
®
27
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
( ) ( )
( ) (
)
( ) (
)
( ) ( )
( )
( )
( )
f t
t
f t
d
f t
d
f t d
f t
d
f t
τ
τ τ
τ
τ τ
τ
τ
τ τ
∞
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
−∞
∗
=
−
=
−
=
=
=
∫
∫
∫
∫
δ
δ
δ
δ
δ
Splot z impulsem
Diraca
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
n
n
n
f t
t
f
t
t
f
t
∗
=
∗
=
δ
δ
(
)
0
t
t
t
,
δ
δ
−
-
jedynka splotowa
( )
(
)
(
)
( )
(
)
0
0
0
f t
t
t
f t
t
t
f t
t
∗
−
=
−
∗
=
−
δ
δ
Przykład:
Przykłady wykorzystania właściwości splotu:
(
)
(
)
(
) (
) (
)
( )
(
)
2 t 2
2t
t
t
1
e
t
1
t
2
t
2
t
3
e
t
1
1
1
1
1
−
⎡
⎤
⋅
− +
+
∗
−
= − ⋅
− +
−
⎣
⎦
δ
a)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
0
0
0
f t
t
t
f t
t
t
f t
t
∗
−
=
−
∗
=
−
δ
δ
wykorzystana właściwość:
(
) (
) ( ) (
) ( ) (
) ( ) ( ) (
) (
)
( ) (
) (
) (
)
t
2
t
1
t
t
2
t
t
1
t
t
t
1
t
2
t
t
t
1
t
1
t
1
1
1
1
1
1
1
1
1
− ∗
+ =
∗
− ∗
∗
+ =
∗
∗
+ ∗
−
=
=
∗
− = −
−
δ
δ
δ
δ
δ
b)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
0
0
0
f t
t
t
f t
t
t
f t
t
∗
−
=
−
∗
=
−
δ
δ
wykorzystana właściwość
®
28
(
) (
)
(
)
(
)
t
1
t
2
t
1 2
t
1
+ ∗
−
=
+ −
=
−
δ
δ
δ
δ
( ) ( )
( ) (
)
( )
( )
t
0
1 t
1 t
1
1 t
d
d
1 t
t 1 t
τ
τ τ
τ
+∞
−∞
∗
=
−
=
⋅
= ⋅
∫
∫
dodatkowo lokalnie splot
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
( )
(
)
(
)
( )
(
)
0
0
0
f t
t
t
f t
t
t
f t
t
∗
−
=
−
∗
=
−
δ
δ
ponownie wykorzystana właściwość
( ) (
) (
) (
)
t1 t
t
1
t
1 1 t
1
∗
− = −
−
δ
c)
(
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
) (
)
t
2
t
1
t
3
t
2
t
1
t
3
t
2
t
1
t
3
t
5
t
2
1
1
1
1
1
1
′
′
⎡
⎤
+
−
∗
+
= +
− ∗
+
⎣
⎦
= +
− ∗
+
= +
+
δ
( )
( )
( ) ( )
f t
g t
f
t
g t
′
′
∗
=
∗
wykorzystana właściwość
( )
(
)
(
)
( )
(
)
0
0
0
f t
t
t
f t
t
t
f t
t
∗
−
=
−
∗
=
−
δ
δ
oraz
®
29
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.5 SPLOT: wyznaczanie splotu analitycznie – Przypadek funkcji lewostronnej i
prawostronnej:
Rozpatrzmy ogólnie przypadek splotu funkcji lewostronnej i prawostronnej
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
0
0
1
2
f t
f t
t
t
g t
g t
t
t
1
,
1
=
⋅
−
=
⋅
−
Należy zwrócić uwagę na zapis funkcji lewostronnej z wykorzystaniem lewostronnego skoku
jednostkowego:
Prawostronny skok jednostkowy
(
)
Lewostronny skok jednostkowy
(
)
1
t
t
1
−
1
t
t
1
−
τ
t
1
(
)
1
t
t
1
−
τ
t
1
(
)
1
t
t
1
−
vs
Splot funkcji lewostronnej i prawostronnej zdefiniujemy jako:
( )
( ) (
)
( )
(
)
(
)
(
)
0
1
0
2
s t
f
g t
d
f
t
g t
t
t
d
1
1
τ
τ τ
τ
τ
τ
τ
∞
∞
τ
−
−∞
−∞
=
−
=
−
−
−
∫
∫
(
)
1
1 t
τ
−
®
30
Warto zauważyć, że granice całki, ze względu na
τ
, możemy ustalić na podstawie czynników
oraz
(
)
2
1 t
t
τ
− − , przez określenie, zależnych od t, granic przedziału zmiennej
τ
, w którym iloczyn ich równy jest
jeden, tzn. oba są niezerowe.
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
(
)
(
)
gdy
tj.
gdy
1
1
1
2
2
t
1
t
0
t
t
t
1
t
t
1
, 1
τ
τ
τ
τ
τ
−
=
− >
<
− −
=
< −
Stąd dolna granica całkowania pozostaje nieoznaczona, czyli
, zaś górna granica całkowania zależeć
będzie od wzajemnych relacji pomiędzy oraz
−∞
1
t
2
t
t
−
(
) (
)
{
}
gdy
1
2
2
1
t
t
t
1
t
t t
1
1
min
,
τ
τ
τ
−
− −
=
<
−
Granice nieoznaczone ze względu na istnienie funkcji
podcałkowej względem zmiennej całkowania
τ
przejdą z
(
)
,
−
okno stałe
t - t
2
= t
1
τ
τ
t - t
2
τ
t - t
2
> t
1
t
1
t
1
t - t
2
< t
1
a)
b)
c)
t - t
2
t - t
2
= t
1
(
)
1
1
t
τ
−
okno ruchome
(
)
1
2
t
t
τ
− −
w
{
}
2
1
t
t t
,min
,
−∞
−
∞ +∞
, co
ostatecznie zdefiniuje splot w postaci
( )
( ) (
)
{
}
2
1
0
0
t t t
s t
f
g t
d
min
,
τ
τ τ
−
−∞
=
−
∫
Powyższe rozwiązanie możemy zobrazować przez
wprowadzenie pojęcie „stałego” i „ruchomego” okna
względem zmiennej całkowania
τ
. Okno stałe to
lewostronne
(
)
1
t
1
τ
−
. Okno „ruchome” należy
rozumieć, jako zależne od parametru t , a
więc
(
)
2
t
t
1
τ
− −
®
31
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład wyznaczania odpowiedzi układu RC na lewostronne wymuszenie wykładnicze:
Dla układu RC opisanego wcześniej charakterystyką jednostkową i impulsową wyznacz odpowiedź na
wymuszenie lewostronne typu
( )
( )
t
x t
e 1
t
α
=
−
( )
y t
?
=
( )
( )
1
t
RC
k t
1 1e
1 t
−
⎛
⎞
=
−
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
( )
( )
t
x t
e 1
t
α
=
−
R
C
u
c
(t)
i(t)
u
R
(t)
WY
WE
lewostronne
( )
( )
1
t
RC
1
h t
e
1 t
RC
−
⎛
⎞
=
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
R
1
C
1F
,
Ω
=
=
oraz
1
α
=
Dla usprawnienia obliczeń przyjmijmy dane:
( )
(
)
( )
t
k t
1 1e
1 t
−
= −
⋅
( )
y t
?
=
( )
( )
t
x t
e 1
t
=
−
R
C
u
c
(t)
i(t)
u
R
(t)
WY
WE
( )
( )
( )
t
h t
e
1 t
−
=
⋅
lewostronne
®
32
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Mając daną postać odpowiedzi impulsowej skorzystamy z postaci całki splotowej opisując relację
pomiędzy wejściem a wyjściem:
( ) ( ) ( )
( ) (
)
( )
( )
(
)
t
y t
x t
h t
x
h t
d
e 1
e
1 t
d
τ
τ
τ
τ τ
τ
τ τ
∞
∞
− −
−∞
−∞
=
∗
=
−
=
−
−
=
∫
∫
( )
( ) (
)
( ) (
)
t
t
2
e e
1
1 t
d
e
e 1
1 t
d
τ
τ
τ
τ
τ τ
τ
τ τ
∞
∞
− −
−
−∞
−∞
=
−
−
=
−
−
∫
∫
Określamy granice całki splotowej :
( )
(
)
gdy
tj.
gdy
1
0
0
t
1
t
0
t
1
,
, 1
,
τ
τ
τ
τ
τ
τ
− =
− >
<
−
=
− >
<
( ) (
)
{ }
gdy <
t
1
t 0
1
1
,
min ,
τ
τ
τ
−
−
=
Stąd operację splotu da się wyznaczyć analitycznie jako:
( )
{ }
{ }
( )
( )
( )
( )
t 0
t 0
t
2
t
2
t
2t
t
0
t
t
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
y t
e
e d
e
e
e e
t
e e
t
e
t
e
t
min ,
min ,
1
1
1
1
τ
τ
τ
−
−
−
−
−
−∞
−∞
⎡
⎤
=
=
=
− +
=
− +
⎣
⎦
∫
®
33
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład dla danych :
1 R
1
C
1F
,
,
α
Ω
=
=
=
( )
( )
t
( )
( )
t
x t
e 1
t
=
−
( )
( )
( )
t
t
1
1
2
2
y t
e
t
e
t
1
1
−
→
=
− +
h t
e 1 t ;
−
=
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
[p
u]
h
x
y=h*x
®
34
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
2.6 SPLOT: wyznaczanie splotu analitycznie – Przypadek funkcji prawostronnej oraz o
ograniczonym czasie trwania:
Rozpatrzmy ogólnie przypadek splotu dwóch funkcji: prawostronnej i ogranioczonej
( )
( )
(
)
( )
( )
(
) (
)
0
1
0
3
4
f t
f
t
t
t
g t
g
t
t
t
t
t
1
,
1
1
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
=
−
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
Splot funkcji prawostronnej i ograniczonej w czasie zdefiniujemy jako:
( )
( ) (
)
( )
(
)
(
)
(
) (
)
0
1
0
3
4
s t
f
g t
d
f
t g t
t
t
t
t
d
1
1
1
τ
τ τ
τ
τ
τ
τ
τ
τ
∞
∞
−∞
−∞
⎡
⎤
=
−
=
−
−
− − −
− −
⎣
⎦
∫
∫
(
)
1
1
t
τ
−
®
35
Warto zauważyć, że granice całki, ze względu na
τ
, możemy ustalić na podstawie czynników
oraz
(
)
,
(
)
3
1 t
t
τ
− −
4
1 t
t
τ
− − , przez określenie, zależnych od t, granic przedziału zmiennej
τ
, w którym iloczyn
ich równy jest jeden, tzn. oba są niezerowe.
(
)
(
) (
)
gdy
tj.
gdy
3
4
1
1
1
4
3
t
1
t
0
t
t
t
t
t
1
t
t
t
t
1
,
1
1
τ
τ
τ
τ
τ
τ
⎡
⎤
−
=
− >
>
− − −
− −
=
− < < −
⎣
⎦
Realizacja omawianych granic całkowania zależeć będzie od wzajemnych relacji pomiędzy a
oraz
1
t
3
t
t
−
4
t
t
−
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
t
1
t
1
τ
1
τ
τ
1
1
t - t
4
t - t
3
t - t
4
t - t
3
t - t
4
t - t
3
1
okno stałe
(
)
1
1
t
τ
−
okno ruchome
(
) (
)
1
1
3
4
t
t
t
t
τ
τ
− − −
− −
τ
1
3
1
4
t
t
t
t
t
⇒
+ < < +
4
1
1
4
t
t
t
t
t
t
− >
⇒
> +
3
1
1
3
t
t
t
t
t
t
− < ⇒ < +
4
1
t
t
t
− <
3
1
t
t
t
− >
(
)
1
t
1
τ
−
Powyższe rozwiązanie możemy zobrazować
przez wprowadzenie pojęcie „stałego” i
„ruchomego” okna względem zmiennej
całkowania
τ
. Okno stałe to
(
)
1
t
1
τ
−
. Okno
„ruchome” należy rozumieć, jako zależne od
parametru t , a więc
(
) (
)
3
4
t
t
t
t
1
1
τ
τ
⎡
⎤
− −
−
− −
⎣
⎦
Szukany splot będziemy rozważać w dwóch
warunkach tj.
a) kiedy obszar całkowania zawiera część
okna ruchomego znajdującego się w
obrębie okna stałego
b) kiedy obszar całkowania zawiera pełne
okno ruchome znajdujące się w obrębie
okna stałego.
Granice całkowania dla obszaru pierwszego wynoszą
3
1
t
t
t
<
τ
< −
t
t
t
t
t
+ < < +
, przy niezerowych wartościach splotu
4
, realizowanych jako
(
)
(
)
(
)
(
)
1
3
1
4
t
t
t
t
t
t
1
1
⎡
⎤
−
+
−
−
+
⎣
⎦
.
1
3
1
Granice całkowania dla obszaru drugiego wynoszą
3
®
36
4
t
t
t
t
−
τ
< < −
t
t
t
> +
, przy niezerowych wartościach
splotu
4
, realizowanych jako
(
)
(
)
1
4
t
t
t
1
⎡
⎤
−
+
⎣
⎦
.
1
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Ostatecznie wyniki splotu zawierać będzie dwa składniki
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) (
)
(
)
(
)
( ) (
)
3
3
1
4
t t
t t
1
3
1
4
0
0
1
4
0
0
t
t t
s t
t
t
t
t
t
t
f
g
t
d
t
t
t
f
g
t
d
1
1
1
τ
τ τ
τ
τ τ
−
−
−
⎡
⎤
=
−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
⎣
⎦
∫
∫
Przykład wyznaczania odpowiedzi układu RC na ograniczone wymuszenie:
Dla układu RC opisanego wcześniej charakterystyką jednostkową i impulsową wyznacz odpowiedź na
wymuszenie lewostronne typu
( )
(
)
[
]
x t
A 1 t
2
1 t
4
⎡
⎤
=
−
−
−
⎣
⎦
( )
y t
?
=
( )
( )
1
t
RC
k t
1 1e
1 t
−
⎛
⎞
=
−
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
( )
(
)
[
]
x t
A 1 t
2
1 t
4
⎡
⎤
=
−
−
−
⎣
⎦
R
C
u
c
(t)
i(t)
u
R
(t)
WY
WE
( )
( )
1
t
RC
1
h t
e
1 t
RC
−
⎛
⎞
=
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
R
1
C
1F
,
Ω
=
=
1
3
4
t
0 t
2 t
4
,
,
=
=
=
oraz A=1,
Dla usprawnienia obliczeń przyjmijmy dane:
( )
(
)
( )
t
k t
1 1e
1 t
−
= −
⋅
( )
y t
?
=
( )
(
)
[
]
x t
1 t
2
1 t
4
⎡
⎤
=
−
−
−
⎣
⎦
R
®
37
C
u
c
(t)
i(t)
u
R
(t)
( )
( )
( )
t
h t
e
1 t
−
=
⋅
WE
WY
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Mając daną postać odpowiedzi impulsowej skorzystamy z postaci całki splotowej opisując relację
pomiędzy wejściem a wyjściem oraz z właściwości przemienności splotu
( ) ( ) ( )
( ) (
)
( ) (
) (
)
y t
h t
x t
h
x t
d
e 1
1 t
2
1 t
4
d
τ
τ
τ τ
τ
τ
τ
τ
∞
∞
−
−∞
−∞
⎡
⎤
=
∗
=
−
=
− − −
− −
=
⎣
⎦
∫
∫
Obszar 1: operacja splotu obejmuje część wejściowego sygnału
ograniczonego
τ
1
1
τ
( )
1
τ
t
4
−
t
2
−
Nazwijmy częściowy wynik całki splotowej dla omawianego obszaru jako
( )
1
y t
.
- Granice całkowania ze względu na zmienną
τ
:
0
t
2
τ
< < −
- Niezerowe wartości splotu:
t
4
0
2
t
4
t
2
0
− <
⎧
→ < <
⎨ − >
⎩
(
) (
)
t
2
t
4
1
1
⎡
⎤
−
−
−
⎣
⎦
realizowane przez
. Wtedy :
( )
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
( )
(
)
t 2
t 2
1
0
0
t 2
y t
t
2
t
4
e d
t
2
t
4
e
t
2
t
4
e
1
1
1
1
1
1
1
τ
τ
τ
−
−
−
−
− −
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
−
−
= −
−
−
−
=
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
= −
−
−
−
−
⎣
⎦
∫
®
38
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Obszar 2: operacja splotu obejmuje pełen wejściowy sygnał ograniczony
Nazwijmy częściowy wynik całki splotowej dla omawianego obszaru jako
( )
τ
1
τ
1
( )
1
τ
t
4
−
t
2
−
2
y t
.
- Granice całkowania ze względu na zmienną
τ
:
t
4
t
2
τ
− < < −
- Niezerowe wartości splotu:
t
4
0
t
4
t
2
0
− >
⎧
→ >
⎨
− >
⎩
(
)
t
4
1
⎡
⎤
−
⎣
⎦
realizowane przez
. Wtedy :
( )
(
)
(
)
(
)
( )
( )
(
)
t 2
t 2
t 4
t 2
2
t 4
t 4
y
t
t
4
e d
t
4
e
t
4
e
e
1
1
1
τ
τ
τ
−
− −
− −
−
−
−
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
=
−
= −
−
= −
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
∫
( )
( )
( )
1
2
y t
y t
y t
=
+
Ostatecznie splot
( )
(
) (
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
t 2
t 2
t 4
y t
t
2
t
4
e
1
t
4
e
e
1
1
1
− −
− −
− −
⎡
⎤
⎡
⎤
= −
−
−
−
− −
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
®
39
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
R
1
C
1F
,
Ω
=
=
( )
( )
t
h t
e 1 t ;
−
=
1
3
4
t
0 t
2 t
4
,
,
=
=
=
oraz A=1,
Przykład dla danych :
( )
(
)
[
]
x t
1 t
2
1 t
4
⎡
⎤
=
−
−
−
⎣
⎦
( )
(
) (
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
t 2
t 2
t 4
y t
t
2
t
4
e
1
t
4
e
e
1
1
1
− −
− −
− −
⎡
⎤
⎡
⎤
→
= −
−
−
−
− −
−
−
⎣
⎦
⎣
⎦
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t [s]
[p
u]
h
x
y=h*x
®
40
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
OEiM AiR W07 LaplaceiMoperatoro Nieznany
OEiM AiR W05 MetodaKlasyczna cz Nieznany
OEiM AiR W03 MetodaKlasyczna cz Nieznany
OEiM AiR W02 MetodaKlasyczna cz1
OEiM AiR W08 LaplaceiMoperatorowa cz2
OEiM AiR W09 LaplaceiTransmitan Nieznany
OEiM AiR W01 wprowadzenie
odpowiedzi na polimery - polowa, AGH IMIR AiR, S2, PNOM - Podstawy nauki o materiałach
test ergonomia chyba dobre odpowiedzi, Politechnika Łódzka AiR
odpowiedzi na robotykę, AGH WIMIR AiR, Semestr 5, Podstawy Robotyki, egzamin podstawy robotyki, egza
Wstęp do Techniki moje odpowiedzi, Studia AiR PŁ, Wstęp do techniki
więcej podobnych podstron