OEiM AiR W02 MetodaKlasyczna cz1

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

®

1


Obwody elektryczne

Wykład 2 – Metoda Klasyczna – część I


Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski

Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii

Wydział Elektryczny

Politechnika Wrocławska

D-1, 205/1

tel: (071) 320 21 60

fax: (071) 320 20 06

email:

tomasz.sikorski@pwr.wroc.pl





background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

®

2

1

Metoda klasyczna – wyznaczanie stanu nieustalonego w dziedzinie czasu (w dziedzinie rzeczywistej) – t>0......................................................................3

1.1

Wprowadzenie .................................................................................................................................................................................................................3

1.2

Równania różniczkowe liniowe – zależności ogólne ......................................................................................................................................................5

1.3

Diagram operacji prowadzących do wyznaczenia odpowiedzi w stanie nieustalonym ................................................................................................10

2

Stan nieustalony w gałęzi RL ................................................................................................................................................................................................11

2.1

Załączanie szeregowej gałęzi RL na napięcie stałe .......................................................................................................................................................11

2.2

Zwarcie w gałęzi szeregowej RL zasilanej początkowo napięciem stałym ..................................................................................................................18

2.3

Załączanie szeregowej gałęzi RL na napięcie sinusoidalne ..........................................................................................................................................23


background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1 Metoda klasyczna – wyznaczanie stanu nieustalonego w

dziedzinie czasu (w dziedzinie rzeczywistej) – t>0

1.1 Wprowadzenie

Metoda klasyczna analizy stanu nieustalonego w obwodzie SLS bazuje na wykorzystaniu związków
różniczkowo-całkowych na elementach obwodu oraz praw Kirchhoffa w zapisie sygnałowym (czasowym).
Dla pojedynczej gałęzi zbudowanej z elementów RLC i źródła napięciowego II prawo Kirchhoffa przyjmie
postać:

u

L

( t)

u

C

( t)

u ( t)

e( t)

i

( t)

u

( t)

( ) ( )

( )

( )

( )

1

di t

u t

i t R

L

i t dt

e t

dt

C

=

+

+

+


Obwód zbudowany z g gałęzi i w węzłów można opisać za pomocą układu równań Kirchhoffa
zawierającergo:

( )

1

0

K

kw

k

i

t

=

=

ƒ

m=w-1 niezależnych równań I Prawa Kirchhoffa,

( )

( )

ln

1

1

0

L

M

mn

l

m

u

t

e

t

=

=

+

=

ƒ

n=g-(w-1) niezależnych równań II Prawa Kirchooffa.

®

3

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

W efekcie otrzymujemy układu Praw Kirchhoffa, który jest układem równań różniczkowo-
całkowych.
Układ ten rozwiązuje się względem jednej wybranej zmiennej tzn. wybranego prądu w gałęzi lub
napięcia na elemencie. Ze względu na zachowawczość oraz definicyjne związki prądowo-
napięciowe oparte na zależnościach różniczkowo-całkowych, przyjęło się rozwiązywać układ
równań ze względu na wybrany prąd płynący przez cewkę lub napięcie na kondensatorze.
Po przekształceniach względem wybranej zmiennej, układ równań zostaje zredukowany do jednego
równania opisującego daną zmienną (np. prąd płynący przez cewkę

( )

L

i t

lub napięcie na

kondensatorze

( )

C

u

t

), które ma charakter RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO LINIOWEGO

ZWYCZAJNEGO O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH, najczęściej NIEJEDNORODNEGO.
W obwodach elektrycznych, rozważania te przeznaczone są do odkrycia charakteru przebiegu

( )

L

i t

lub

( )

C

u

t

, a wreszcie wszystkich pozostałych napięć i prądów w obwodzie, po komutacji,

czyli umownie dla t>t

0

,czy też t>0.

Przykładowy problem:

R

L

E

i

L

(t)

R

t = 0

R

R

i(t)

i

L

(t)

t

( ) ( )

L

L

2 E

i 0

i 0

5 R

+

=

=

?

0

(0+)

(0-)

®

4

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1.2 Równania różniczkowe liniowe – zależności ogólne

Równanie różniczkowe liniowe niejednorodne, rzędu n, o stałych współczynnikach

( )

( )

( )

®

5

( )

( )

. . .

dla

0

1

0

n

n 1

n

n 1

d y t

d

y t

t

a

a

a

a

n

n 1

dy

y t

f t

t

t

dt

dt

dt

+

+

+

+

=

>

Równanie różniczkowe liniowe jednorodne, rzędu n, o stałych współczynnikach

( )

( )

( )

( )

. . .

dla

0

1

0

n

n 1

n

n 1

t

t

t

a

a

a

a

n

n 1

d y

d

y

dy

y t

0

t

t

dt

dt

dt

+

+

+

+

=

>

( )

y t

( )

L

i t

( )

C

u

t

ƒ

reprezentuje np.

lub

.

ƒ

Stałe współczynniki

0

są kombinacją liniową parametrów RLC.

1

,

,...,

n

n

a a

a

( )

ƒ

Funkcja

f t

jest związana z wymuszeniami, czyli napięciami i prądami źródłowymi.

ƒ

Rząd n równania zależy od liczby elementów zachowawczych (LC) oraz od struktury obwodu po

komutacji.


( )

y t

Poszukiwane

jest rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego. Z teorii równań różniczkowych

liniowych, rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego (RORN) można odnaleźć jako sumę rozwiązania
szczególnego równania niejednorodnego (RSRN) oraz rozwiązania ogólnego równania jednorodnego
(RORJ).

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

W obwodach elektrycznych zamiast określenia "rozwiązanie szczególne" używa się zwykle: "składowa
wymuszona" lub "składowa ustalona"-

( )

u

y t

, natomiast zamiast - "rozwiązanie ogólne równania

jednorodnego" stosuje się określenie - "składowa przejściowa"

( )

p

y

t

lub ogólniej "składowa swobodna".

( )

( )

( )

u

p

RORN

RSRN

RORJ

y t

y t

y

t

=

+

=

+

( )

u

y t

ƒ

RSRN, składowa wymuszona, składowa ustalona

W obwodach elektrycznych, w których wymuszenia mają przebiegi stałe lub sinusoidalne, jako
rozwiązanie szczególne przyjmuje się zazwyczaj rozwiązanie w stanie ustalonym po komutacji (tj.
dla

t

→ +∞

). Rozwiązanie to może być wyznaczone przy wykorzystaniu ogólnych metod

rozwiązywania obwodów, w tym metody symbolicznej. Wymaga to przeprowadzenia klasycznej
analizy obwodu o strukturze po komutacji, w stanie ustalonym.

( )

p

y

t

ƒ

RORJ, składowa przejściowa, składowa swobodna

Składowa przejściową, jako rozwiązanie ogólne równania jednorodnego, odnaleźć można
wykorzystując

wielomian charakterystyczny (równanie charakterystyczne)

( )

0

n

n 1

V

a

a

a

a

λ

λ

λ

λ

1

n

n 1

=

+

+

+

+

, który powstaje przez zastąpienie różniczek liniowym

parametrem

λ

:

( )

( )

( )

( )

. . .

dla

0

1

0

1

0

n

n 1

p

p

p

n

n 1

p

n

n 1

n

n 1

n

n 1

d y

t

d

y

t

dy

t

a

a

a

a y

t

0

t

t

dt

dt

dt

a

a

a

a

0

λ

λ

λ

+

+

+

+

=

>

+

+

+

+

=

®

6

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

®

7

Poszukujemy pierwiastków wielomianu charakterystycznego

i

λ

tj.

( )

i

V

0 i

1 2

r

λ

=

=

,

, ,

,

.

Pierwiastki wielomianu charakterystycznego mogą być wielokrotne, przy czym suma krotności
poszczególnych pierwiastków musi być równa rzędowi równania:

r

i

i 1

n

n

=

=

, n - krotność i-tego pierwiastka, n – rząd równania.

i

( )

ip

y

t

Rozwiązanie

odpowiadające i-temu pierwiastkowi charakterystycznemu, zależy od wartości

i

λ

oraz od jego krotności, co ogólnie można zapisać następująco (przewidywana postać składowej

przejściowej):

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

0

0

i

i

i

i

0

0

1

2

i

n 1

t t

t t

t t

ip

i

i

in

y

t

A e

A

t

t e

A

t

t

e

i

1 2

r

λ

λ

λ

=

+

+ +

=

,

, ,

,

Ostatecznie składową przejściową wyznaczamy jako sumę wszystkich składników przejściowych w
zależności od liczby pierwiastków równania charakterystycznego

i

1 2

r

=

, ,

,

oraz ich krotności

i

k

1 2

n

=

, ,

,

( )

(

)

(

)

dla

i

i

0

0

n

r

k 1

t t

p

ik

0

i 1 k 1

y

t

A

t

t

e

t

t

λ

=

=

=

>

∑∑






background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Przykłady przewidywanej postaci składowej przejściowej dla t

0

=0 w zależności od

pierwiastków wielomianu charakterystycznego

i

λ

( )

jeden pierwiastek
rzeczywisty

1

λ

®

8

1

t

p

11

y

t

A e

t

0

λ

=

>

,

( )

1

2

t

t

p

11

21

dwa różne pierwiastki
rzeczywiste,

0

Δ

>

1

2

λ λ

,

y

t

A e

A e

t

0

λ

λ

=

+

>

,

jeden rzeczywisty
pierwiastek podwójny

0

Δ

=

1

k

1 2

λ

,

( )

,

=

1

1

t

t

p

11

12

y

t

A e

A te

t

0

λ

λ

+

>

,

=

dwa pierwiastki
zespolone sprzężone

0

Δ

<

1

2

1

λ

= *

( )

1

2

t

t

p

11

21

λ
λ

y

t

A e

A e

t

0

λ

λ

+

>

,

=



UWAGA:

ik

A

Do wyznaczenia stałych

konieczna jest znajomość warunków początkowych,

obejmujących również wartość składowej ustalonej w chwili t=t

0+

. W zależności od rzędu

równania n mogą być również wymagane warunki początkowe dla pochodnych.




background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Przykłady wymagań dla warunków początkowych t

0

=0+ w zależności od rzędu równania

różniczkowego n

( )

y 0

+

( )

u

y 0

+

®

9

n=1 jeden

pierwiastek

rzeczywisty

1

λ

dwa różne
pierwiastki
rzeczywiste,

0

Δ

>

1

2

λ λ

,

jeden
rzeczywisty
pierwiastek
podwójny

0

Δ

=

1

k

1 2

λ

=

,

,

( )

( )

+

n=2

jeden zespolony
pierwiastek
sprzężony

0

Δ

<

1

2

1

λ
λ

λ

= *

( )

dy 0

y 0

dt

+

,

( )

u

u

dy 0

y 0

dt

+

+

,



UWAGA: KOŃCOWE ROZWIĄZANIE:

( )

( )

( )

u

p

RORJ

y t

y t

y

t

RORN

RSRN

=

+

=

+

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1.3 Diagram operacji prowadzących do wyznaczenia odpowiedzi w stanie nieustalonym

®

10

Wyznaczenie odpowiedzi całkowitej jako sumy składowej ustalonej (wymuszonej)

oraz składowej przejściowej (swobodnej)

RORN=RSRN+RORJ

Analiza obwodu w stanie ustalonym przed

komutacją

Warunek początkowy dla t=0-

Warunek początkowy dla t=0+

Dla układów wyższego rzędu warunki początkowe

dla pochodnych dla t=0+

Układ równań Kirchhoffa

Równanie różniczkowe szukanej wielkości

RSRN

składowa ustalona (wymuszona)

Analiza obwodu w stanie ustalonym

po komutacji

RORJ

składowa przejściowa (swobodna)

Wyznaczenie wartości składowej

ustalonej dla t=0+

Dla układów wyższego rzędu

wyznacznie wartości pochodnych

składowej ustalonej w chwili t=0+

Określenie przewidywanej postać

składowej przejściowej na podstawie

wielomianu charakterystycznego

Wyznaczenie wartości składowej

przejściowej w chwili to=+, oraz, dla

ukłądów wyższego rzędu, wartości

pochodnych składowej przejściowej w

chwili t=0+

Wyznaczenie stałych składowej

przejściowej

t<0

Historia obwodu

t=0-

t=0+

Przyszłość obwodu

t>0

t->+inf

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

2 Stan nieustalony w gałęzi RL

2.1 Załączanie szeregowej gałęzi RL na napięcie stałe

( )

Jeden element zachowawczy – L

.

,

e t

E

const

R L

= =

Równanie różniczkowe oprzeć na

( )

Dane:

L

i t

1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz

wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-

( )

L

i t

0

=

( )

L

i 0

0

=

2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika sprawdzamy istnienie węzłów osobliwych. Gałąź z E nie zawiera elementów
indukcyjnych - nie stwierdzamy węzła osobliwego, a zatem prąd na cewce zachowuje prawa komutacji.

( ) ( )

L

L

i 0

i 0

0

+

=

=




®

11

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

L

i t

3. t>=0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego

( )

( )

( )

( )

L

L

L

i t

i t

di t

E

L

Ri t

dt

=

=

+

Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:

( )

( )

L

L

di t

E

L

Ri t

dt

=

+

Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. prąd

( )

L

i t

w stanie nieustalonym znajdziemy jako:

( )

( )

( )

L

Lu

Lp

RORN

RSRN

RORJ

i

t

i

t

i

t

=

+

=

+

4.

, analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu) – składowa

ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona)

t

→ +∞

( )

Lu

i

t

W stanie ustalonym po komutacji napięcie na cewce będzie równe zeru, ze względu na stałe
wymuszenie E. Obwód będzie miał charakter czysto-rezystancyjny. Równania opisujące obwód przyjmą
postać:

( )

( )

( )

( )

u

u

L

Lu

Lu

i t

i

t

E

i

t

R

E

Ri

t

=

=

=

⎪⎩

®

12

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

W szczególności wyznaczymy wartość składowej ustalonej w chwili t=0+:

( )

0

Lu

E

i

R

+

=

( )

Lp

i

t

5. t>0, składowa przejściowa (swobodna)

( )

( )

0

Lp

Lp

di

t

L

Ri

t

dt

+

=

Równanie jednorodne

( )

V

L

R

λ

λ

=

+

Wielomian charakterystyczny

R

L

R

0

L

λ

λ

+ = ⇒ = −

Pierwiastki wielomianu
charakterystycznego

stwierdzamy jeden pierwiastek

rzeczywisty

( )

,

0

R

t

t

L

Lp

i

t

Ae

Ae

dla t

λ

=

=

>

Przewidywana postać składowej
przejściowej

( )

0

Lp

i

A

+

=

W szczególności wartość składowej
ustalonej dla to=0+







®

13

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

( )

( )

L

Lu

Lp

i

t

i

t

i

t

dla t

0

=

+

>

,

a zatem również dla t=0+

( )

( )

( )

L

Lu

Lp

i 0

i

0

i

0

E

E

0

A

A

R

R

+

+

+

=

+

= + ⇒ = −

Wyznaczenie stałej A i pełnej
postaci składowej przejściowej

Ostatecznie składowa przejściowa:

( )

,

0

R

t

t

L

Lp

E

i

t

Ae

e

dla t

R

λ

=

>

6. Ostatecznie prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym jest sumą składowej ustalonej

(wymuszonej) i przejściowej (swobodnej):

( )

( )

( )

R

t

L

L

Lu

Lp

E

E

RORN

RSRN

RORJ

i

t

i

t

i

t

e

dla t

0

R

R

=

+

=

+

= −

>

,


Sprawdźmy rozwiązanie ze względu na zachowanie ciągłości prądu przy przejściu ze stanu ustalonego
przed komutacją do stanu przejściowego czyli w t=0

+

.

Wiemy z początkowych rozważań, że układ przed komutacją nie był zasilany i spełnił prawa komutacji
czyli:

( ) ( )

L

L

i 0

i 0

0

+

=

=

( )

R

t

L

L

t 0

E

E

i t

e

0

R

R

=

= −

=

Sprawdzone

Teraz wstawmy do rozwiązania t=0 na

®

14

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

L

u

t

Dodatkowo chcąc wyznaczyć napięcie na cewce

w stanie nieustalonym możemy wykorzystać

wyznaczony prąd

( )

L

i t

oraz ogólną zależność różniczkową:

( )

( )

R

R

R

t

t

t

L

L

L

L

L

di t

E

E

E

R

u

t

L

L

e

L

e

Ee

dla t

0

dt

R

R

R

L

=

=

= −

⋅ −

=

>

'

,

i(t)

t

τ

E

R

t=0

( )

R

t

L

L

E

E

i

t

e

dla t

0

R

R

= −

>

,

( )

Lu

i

t

( )

Lp

i

t

-E

R

L

t

τ

u

L

(t)

E

t=0

( )

,

R

t

L

L

u

t

Ee

dla t

0

=

>


Zwróć uwagę, że prąd płynący przez cewkę zachowuje ciągłość, natomiast napięcie na cewce w
pierwszej fazie przejścia do stanu nieustalonego reaguje skokiem jednostkowym.

®

15

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne


Komentarz:
Szybkość zanikania składowej przejściowej zależy od elementów RLC obwodu. Parametrem,
który opisuje czas (w sekundach) zanikania składowej przejściowej jest stała czasowa

τ

, którą

wyznaczyć możemy jako odwrotność pierwiastka wielomianu charakterystycznego ze znakiem
przeciwnym:

1

τ

λ

= −

Stała czasowa

τ

określa czas([s]), po którym wartość bezwzględna składowej przejściowej,

wyrażona w procentach składowej ustalonej, malej e razy.

®

16

Udział składowej przejściowej w czasie w zależności od stałej czasowej

τ

Czas[s] 0 1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

5

τ

6

τ

7

τ

100[%]

p

u

i

i

100 36.78 13.53 4.98 1.83 0.674 0.428 0.091








background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Dla rozważanego przypadku obwodu szeregowego RL

L

R

τ

=

. Stąd wniosek, że szybciej będzie zanikał

stan nieustalony w gałęzi RL zawierającej duże rezystancje.

i(t)

t

τ

2

τ

1

τ

1

>

τ

2

τ

1

τ

2

L

1

= L

2

R

1

< R

2

E

R

2

E

R

1

L

t

τ

2

τ

1

R

1

< R

2

τ

1

> τ

2

τ

1

τ

2

u

L

(t)

E

L

1

= L

2

®

17

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

2.2 Zwarcie w gałęzi szeregowej RL zasilanej początkowo napięciem stałym

( )

.

Jeden element zachowawczy – L

,

e t

E

const

R L

= =

R

L

t = 0

u

L

(t)

i(t)

u

R

(t)

E

L

Równanie różniczkowe oprzeć na

( )

Dane:

L

i t

1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz

wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-

( )

L

E

i

t

R

=

( )

L

E

i 0

R

=

2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika nie stwierdzamy węzła osobliwego, a zatem prąd na cewce zachowuje prawa
komutacji.

( ) ( )

L

L

E

i 0

i 0

R

+

=

=

®

18

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

L

i

t

3. t>=0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego

R

t > 0

u

L

(t)

u

R

(t)

E

L

( )

( )

0

L

L

di

t

L

Ri

t

dt

=

+

Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:

( )

( )

0

L

L

di

t

L

Ri

t

dt

=

+

Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. prąd

( )

L

i t

w stanie nieustalonym zawierał będzie jedynie RORJ, czyli składową

przejściową:

( )

( )

( )

L

Lp

Lu

RORJ

i

t

i

t

RSRN

i

t

0

=

=

=

( )

Lu

i

t

W takim przypadku nie jest konieczne wyznaczanie składowej ustalonej

. Jednakże, wskazaną

praktyką jest przyjrzeć się pracy obwodu w stanie ustalonym po komutacji. Zauważymy, że obwód
pozostaje po komutacji bez wymuszenia. A zatem w stanie ustalonym po komutacji, tj. po rozładowaniu
energii cewki przez rezystor, prąd płynący przez cewkę osiągnie wartość zero.

®

19

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

Lp

i

t

4. t>0, składowa przejściowa (swobodna)

( )

( )

0

Lp

Lp

di

t

L

Ri

t

dt

+

=

Równanie jednorodne

( )

V

L

R

λ

λ

=

+

Wielomian charakterystyczny

R

L

R

0

L

λ

λ

+ = ⇒ = −

Pierwiastki wielomianu
charakterystycznego

stwierdzamy jeden pierwiastek

rzeczywisty

( )

,

0

R

t

t

L

Lp

i

t

Ae

Ae

dla t

λ

=

=

>

Przewidywana postać składowej
przejściowej

( )

0

Lp

i

A

+

=

W szczególności wartość składowej
ustalonej dla to=0+

( )

( )

L

Lp

i

t

i

t

dla t

0

=

>

,

a zatem również dla t=0+

( )

( )

L

Lp

E

i 0

i

0

A

R

+

+

=

=

Wyznaczenie stałej A i pełnej
postaci składowej przejściowej

Ostatecznie składowa przejściowa:

( )

,

0

R

t

t

L

Lp

E

E

i

t

e

e

dla t

R

R

λ

=

=

>


®

20

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

5. Ostatecznie prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym składa się jedynie ze składowej

przejściowej (swobodnej):

( )

( )

R

t

L

L

Lp

E

RORJ

i

t

i

t

e

dla t

0

R

=

=

>

,

( )

L

u

t

Chcąc wyznaczyć napięcie na cewce

w stanie nieustalonym możemy wykorzystać wyznaczony

prąd

( )

L

i t

oraz ogólną zależność różniczkową:

( )

( )

R

R

R

t

t

t

L

L

L

L

L

di t

E

E

R

u

t

L

L

e

L

e

Ee

dla t

0

dt

R

R

L

=

=

=

⋅ −

= −

>

'

,

t

i(t)

E

R

t=0

L

( )

( )

( )

R

t

L

L

Lp

Lu

E

i

t

i

t

e

dla t

0

R

i

t

0

=

=

>

=

,

t

u

L

(t)

t=0

-E

( )

R

t

L

L

u

t

Ee

dla t

0

= −

>

,

Zwróć uwagę, że prąd płynący przez cewkę zachowuje ciągłość, natomiast napięcie na cewce w
pierwszej fazie przejścia do stanu nieustalonego reaguje skokiem jednostkowym.

®

21

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne


Dla rozważanego przypadku RL

L

R

τ

=

. Stąd wniosek, że szybciej będzie zanikał stan nieustalony w

gałęzi RL zawierającej duże rezystancje.

t

i

L

(t)

t=0

τ

1

τ

2

E

R

1

E

R

2

L

1

= L

2

R

1

< R

2

τ

1

> τ

2

τ

1

τ

2

t

u(t)

L

1

= L

2

R

1

< R

2

τ

1

> τ

2

t=0

L

τ

1

τ

2

τ

1

τ

2

-E

®

22

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

2.3 Załączanie szeregowej gałęzi RL na napięcie sinusoidalne

Jeden element zachowawczy – L

Dane:

( )

R

L

t = 0

i(t)

u (t)

u

L

(t)

L

R

( )

(

)

sin

m

e

e t

E

t

ω ψ

=

+

(

)

sin

,

m

®

23

e

Równanie różniczkowe oprzeć na

( )

e t

E

t

R L

ω ψ

=

+

L

i t

1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz

wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-

( )

L

i t

0

=

( )

L

i 0

0

=

2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika nie stwierdzamy węzła osobliwego, a zatem prąd na cewce zachowuje prawa
komutacji.

( ) ( )

L

L

i 0

i 0

0

+

=

=




background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

L

i

t

3. t>=0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczanie równania różniczkowego opisującego

R

L

t > 0

i(t)

u (t)

u

L

(t)

L

R

( )

(

)

sin

m

e

e t

E

t

ω ψ

=

+

(

)

( )

( )

sin

L

m

e

L

di

t

E

t

L

Ri

t

dt

ω ψ

+

=

+

Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:

(

)

( )

( )

sin

L

m

e

L

di

t

E

t

L

Ri

t

dt

ω ψ

+

=

+

Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. prąd

( )

L

i t

w stanie nieustalonym znajdziemy jako:

( )

( )

( )

L

Lu

Lp

RORN

RSRN

RORJ

i

t

i

t

i

t

=

+

=

+

4.

, analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu) – składowa

ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona)

t

→ +∞

( )

Lu

i

t

W stanie ustalonym po komutacji napięcie i prąd w obwodzie, ze względu na sinusoidalne wymuszenie

( )

(

)

sin

e

E

t

e t

m

ω ψ

=

+

, będą miały charakter sinusoidalny, a obwód może być traktowany jako

impedancyjny, a ściśle rzecz biorąc rezystancyjno-indukcyjny. Równania opisujące obwód przyjmą
postać:

(

)

(

)

(

)

sin

sin

sin

m

e

Lum

Lu

Rum

Ru

E

t

U

t

U

t

ω ψ

ω ψ

ω ψ

+

=

+

+

+

®

24

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

(

)

sin

Lu

Lum

iu

i

t

I

t

ω ψ

=

+

Przy prądzie o charakterze:

UWAGA: Przy tego rodzaju wymuszeniu nie możemy traktować cewki jako „przewodu”.
Zmiennemu w czasie sinusoidalnemu sygnałowi prądu odpowie wyindukowane sinusoidalne
napięcie na cewce indukcyjnej. Do rozwiązania tego „lokalnego” problemu możemy wykorzystać
analizę obwodu z wykorzystaniem metody symbolicznej.

R

L

i (t)

u

(t)

u

Lu

(t)

Lu

Ru

( )

(

)

sin

m

e

e t

E

t

ω ψ

=

+

t

→ +∞

Zapis

symboliczny

R

jX

Lu

L

I

Lu

U

Ru

U

E

Wartości rzeczywiste, czasowe

Zapis symboliczny, wektor zespolony, wskaz

(

)

( )

(

)

2

2

2

e

e

e

m

j

j

j

Lu

j

E

E

Ee

E

I

e

e

z

ze

z

R

L

ψ

ψ ϕ

ψ ϕ

ϕ

ω

=

=

=

=

+

( )

2

2

,

L

z

R

L

arctg

R

ω

ω

ϕ

=

+

=

( )

(

)

(

)

sin

sin

Lu

Lum

iu

m

e

i

t

I

t

E

t

z

ω ψ

ω ψ

ϕ

=

+

=

=

+

Powrót z zapisu

symbolicznego

®

25

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne


W szczególności wyznaczymy wartość składowej ustalonej w chwili t=0+:

( )

(

)

0

sin

m

Lu

e

E

i

z

ψ

ϕ

+

=

( )

Lp

i

t

5. t>0, składowa przejściowa (swobodna)

( )

( )

0

Lp

Lp

di

t

L

Ri

t

dt

+

=

Równanie jednorodne

( )

V

L

R

λ

λ

=

+

Wielomian charakterystyczny

R

L

R

0

L

λ

λ

+ = ⇒ = −

Pierwiastki wielomianu
charakterystycznego

stwierdzamy jeden pierwiastek

rzeczywisty

( )

,

0

R

t

t

L

Lp

i

t

Ae

Ae

dla t

λ

=

=

>

Przewidywana postać składowej
przejściowej

( )

0

Lp

i

A

+

=

W szczególności wartość składowej
ustalonej dla to=0+




®

26

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

( )

( )

L

Lu

Lp

i

t

i

t

i

t

dla t

0

=

+

>

,

a zatem również dla t=0+

( )

( )

( )

(

)

(

)

L

Lu

Lp

m

m

e

e

i 0

i

0

i

0

E

E

0

A

A

z

z

ψ

ϕ

ψ

ϕ

+

+

+

=

+

=

+ ⇒ = −

sin

sin

Wyznaczenie stałej A i pełnej
postaci składowej przejściowej

Ostatecznie składowa przejściowa:

( )

(

)

sin

,

0

R

t

m

L

Lp

e

E

i

t

e

dla t

z

ψ

ϕ

= −

>

6. odpowiedź: prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym jako suma składowej ustalonej

(wymuszonej) i przejściowej (swobodnej):

( )

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

L

Lu

Lp

R

t

m

m

L

e

e

R

t

m

L

e

e

RORN

RSRN

RORJ

i

t

i

t

i

t

E

E

t

e

z

z

E

t

e

dla t

0

z

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

=

+

=

+

=

=

+

=

=

+

>

sin

sin

sin

sin

,




®

27

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Chcąc wyznaczyć pełen rozkład napięć w obwodzie w stanie nieustalonym, na podstawie wyrażenia na

( )

L

i

t

możemy wyznaczyć napięcie na cewce w stanie nieustalonym:

( )

( )

(

)

(

)

R

t

L

m

m

L

L

e

e

di t

E

E

u

t

L

L

t

R

e

dla t

0

2

dt

z

z

π

ω

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

=

=

+

− +

+ ⋅

>

sin

sin

,

( )

L

i t

( )

R

u

t

jest prądem w całej gałęzi szeregowej RL. Stąd napięcie na rezystorze

Prąd

( )

( )

(

)

(

)

R

t

m

m

L

R

e

e

E

E

u

t

R i t

R

t

R

e

dla t

0

z

z

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

= ⋅

=

+

>

sin

sin

,

Sprawdzenie II Prawa Kirchhoffa:

( )

( )

( )

(

)

(

)

R

t

m

m

L

R

L

e

e

E

E

e t

u

t

u

t

R

t

R

e

z

z

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

=

+

=

+

sin

sin

(

)

(

)

R

t

m

m

L

e

e

E

E

L

t

R

e

2

z

z

π

ω

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

+

+

+

− +

+ ⋅

sin

sin

dla t

0

>

,








®

28

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

(

)

2

2 1

0

1

1

1

e t

t

R

L

H

L

R

s

π

Ω

τ

=

⋅ ⋅ +

=

=

=

=

sin

,

,

,

/

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

iL

[

A

],

e [V

]

iL - RL: tau=1[s], ki=1.6191, tm=0.4591[s], psie=0[deg]

iLu
iLp
iL=iLu+iLp
e



®

29

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

(

)

2

2 1

0

1

1

1

e t

t

R

L

H

L

R

s

π

Ω

τ

=

⋅ ⋅ +

=

=

=

=

sin

,

,

,

/

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

uL

,e

[

V

]

uL - RL; tau=1[s]

uLu
uLp
uL=uLu+uLp
e

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

ur

,e

[V]

ur - RL; tau=1[s]

uru
urp
ur=uru+urp
e


®

30

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne


Ważnym czynnikiem w analizowanym obwodzie jest (z praktycznego punktu widzenia) tzw. współczynnik
udaru prądowego (współczynnik przetężenia)
, określony jako stosunek maksymalnej wartość prądu w
stanie przejściowym do wartości maksymalnej (amplitudy) przebiegu ustalonego.
Dla zadanych parametrów obwodu RL oraz amplitudy napięcia zasilającego E

m

, przebieg prądu w stanie

nieustalonym, a co za tym idzie, możliwe wartości maksymalne, jakie może osiągnąć, zależeć będzie od
momentu komutacji t=t

e

ψ

0

oraz fazy początkowej napięcia zasilającego

. Przy przyjęciu chwili

załączenia t=0, będziemy poszukiwać takiej fazy początkowej napięcia zasilającego

m

e

ψ

ψ

=

, przy

której prąd w stanie nieustalonym osiągnie wartość największą z możliwych. Z matematycznego
punktu widzenia musimy zatem zbadać ekstrema funkcji

(

)

,

L

e

i t

ψ

, ze względu na

e

ψ

, czyli miejsca

zerowe pochodnej cząstkowej:

(

)

,

L

e

e

i

t

0

ψ

∂ ψ

=

Dla odnalezionej z powyższego równania fazy początkowej napięcia zasilającego, w następnym kroku
poszukiwać będziemy chwili czasowej t=t

®

31

m

dla której

(

)

,

L

e

m

i t

ψ

ψ

=

osiągnie wartość maksymalną. To

zaś wymaga zbadania ekstremum funkcji ze względu na zmienną czasową:

(

)

,

L

e

i

t

0

t

ψ

=

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

(

)

(

)

,

,

,

L

e

e

m

m

L

e

e

i

t

0

t

t

t

i

t

0

ψ

ψ

ψ

ψ

∂ ψ

=

=

=

=

⎪⎩

( )

L

i t

Podstawiając za

:

( )

(

)

(

)

sin

sin

,

R

t

m

L

L

e

e

E

i t

t

e

dla t

0

z

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

=

+

=

>


Otrzymamy:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

,

cos

sin

,

cos

cos

R

m

L

m

m

m

e

m

R

m

L

m

m

m

e

m

t

L

e

m

m

t t

t

L

e

m

m

t t

e

i t

E

R

t

e

0

t

Z

L

i t

E

t

e

0

Z

ψ ψ

ψ ψ

ψ

ω

ω

ψ

ϕ

ψ

ϕ

ψ

ω

ψ

ϕ

ψ

ϕ

∂ ψ

=

=

=

=

=

+

+

=

⎪⎪

=

+

=

⎪⎩



®

32

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Przekształcając:

(

)

(

)

(

)

(

)

cos

sin

cos

cos

R

m

L

m

m

R

m

L

m

m

t

m

t

m

R

t

e

L

t

e

ω

ω

ψ

ϕ

ψ

ϕ

ω

ψ

ϕ

ψ

ϕ

+

= −

+

=

Po podzieleniu stronami oraz wykorzystaniu własności trygonometrycznych funkcji tangens:

(

)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

m

m

m

m

R

L

tg

tg

tg

tg

tg

tg

L

R

ω

ω

ψ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ϕ

= −

⇒ −

=

⇒ −

=

=

. . .

. . .

,

,

,

,

,

,

m

m

k

k

0

1

k

k

0

1

ψ

ϕ

ϕ

π

ψ

π

− = − +

=

±

=

=

±

WNIOSEK: Największe wartości przetężenia w obwodzie możliwe są, kiedy komutacja nastąpi
dokładnie w chwili przejścia napięcia zasilającego przez zero.
Na przykład dla

e

m

0

0

ψ

ψ

π

=

= ⋅ =

prąd w obwodzie:

( )

(

)

( )

sin

sin

R

L

e

t

m

L

0

e

E

i

t

t

Z

ψ

ω

ϕ

ϕ

=

=

+

spełnia równanie:

Przy czym t

m

( )

(

)

( )

tg

cos

cos

tm

R

m

L

t

m

t

e

e

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

=

=

Ostatecznie:

®

33

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

(

)

( )

(

)

( )

( )

(

) ( )

(

) ( )

(

)

max

cos

sin

sin

cos

sin

cos

cos

sin

sin

cos

m

m

m

m

m

m

m

m

t

E

i

t

Z

E

E

t

t

t

Z

R

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

=

+

=

=

+

=

Stąd można określić współczynnik udaru prądowego (przetężenia):

(

)

(

)

( )

(

)

max

sin

sin

tg

sin

2

2

L

i

m

m

m

Lm

i

Z

L

k

t

1

t

1

t

I

R

R

ω

ω

ω

ϕ

ω

=

=

=

+

=

+














®

34

background image

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

(

)

2

2 1

2

1 0762

0 7

1

1

2

1

3

i

m

e t

t

R

k

t

s

L

H

L

R

s

π

Ω

τ

π

=

⋅ ⋅ +

=

=

=

=

=

=

.

,

,

,

.

sin

/

( )

(

)

0

2

1

1

1

1

2

e t

t

R

L

H

L

R

s

π

Ω

τ

=

⋅ ⋅ +

=

=

=

=

sin

,

,

/

, t

0

=0

, t

0

=0

1 6191

0 4 1

9

5

i

m

k

t

s

=

=

.

,

.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

iL

[A],

e

[

V

]

iL - RL: tau=1[s], ki=1.6191, tm=0.4591[s], psie=0[deg]

iLu
iLp
iL=iLu+iLp
e

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

iL

[A],

e

[

V

]

iL - RL: tau=1[s], ki=1.0762, tm=0.723[s], psie=90[deg]

iLu
iLp
iL=iLu+iLp
e


®

35


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
OEiM AiR W05 MetodaKlasyczna cz Nieznany
OEiM AiR W03 MetodaKlasyczna cz Nieznany
OEiM AiR W07 LaplaceiMoperatoro Nieznany
OEiM AiR W06 SLS odpowiedz
Hipoterapia to metoda cz1, jazda konna+hipoterapia
OEiM AiR W08 LaplaceiMoperatorowa cz2
OEiM AiR W09 LaplaceiTransmitan Nieznany
OEiM AiR W01 wprowadzenie
DIELEKTRYKI cz1 AIR
metoda interakcyjna cz1
Metoda RK sprawko, Automatyka i robotyka air pwr, VI SEMESTR, Metody numeryczne

więcej podobnych podstron