Obwody Elektryczne i Magnetyczne

®

1

Obwody elektryczne

Wykład 3 – Metoda Klasyczna – część II

Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski

Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii

Wydział Elektryczny

Politechnika Wrocławska

D-1, 205/1

tel: [phone]

fax: [phone]

email:

[e-mail]

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

®

2

1

Stan nieustalony w gałęzi RC ..................................................................................................................................................................................................4

1.1

Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie stałe.........................................................................................................................................................4

1.2

Rozładowanie kondensatora naładowanego napięciem stałym przez rezystor .............................................................................................................11

1.3

Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie sinusoidalne ..........................................................................................................................................16

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Wyznaczenie odpowiedzi całkowitej jako sumy składowej ustalonej (wymuszonej)

oraz składowej przejściowej (swobodnej)

RORN=RSRN+RORJ

Analiza obwodu w stanie ustalonym przed

komutacją

Warunek początkowy dla t=0-

Warunek początkowy dla t=0+

Dla układów wyższego rzędu warunki początkowe

dla pochodnych dla t=0+

Układ równań Kirchhoffa

Równanie różniczkowe szukanej wielkości

RSRN

składowa ustalona (wymuszona)

Analiza obwodu w stanie ustalonym

po komutacji

RORJ

składowa przejściowa (swobodna)

Wyznaczenie wartości składowej

ustalonej dla t=0+

Dla układów wyższego rzędu

wyznacznie wartości pochodnych

składowej ustalonej w chwili t=0+

Określenie przewidywanej postać

składowej przejściowej na podstawie

wielomianu charakterystycznego

Wyznaczenie wartości składowej

przejściowej w chwili to=+, oraz, dla

ukłądów wyższego rzędu, wartości

pochodnych składowej przejściowej w

chwili t=0+

Wyznaczenie stałych składowej

przejściowej

t<0

t=0-

t=0+

t>0

t->+inf

Historia obwodu

Przyszłość obwodu

®

3

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1 Stan nieustalony w gałęzi RC

1.1 Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie stałe

( )

Jeden element zachowawczy – C
Równanie różniczkowe oprzeć na

( )

c

u t

.

,

e t

E

const

R C

= =

E

R

C

t = 0

u

c

(t)

i(t)

u

R

(t)

Dane:

1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz

wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-

( )

,

C

u

t

0 dla t

0

=

<

( )

c

u 0

0

−

=

2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika sprawdzamy istnienie oczek osobliwych. Nie stwierdzamy oczek zawierających
same kondensatory lub same kondensatory i idealne źródła napięcia, a zatem napięcie na
kondensatorze zachowuje prawo komutacji.

( )

( )

C

C

u

0

u

0

0

+

−

=

=

®

4

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

3. t>0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego

( )

C

u

t

( )

( )

( )

( )

( )

,

C

C

C

du

t

E

Ri t

u

t

gdzie i t

i

t

C

dt

=

+

=

=

( )

( )

C

C

du

t

E

RC

u

t

dt

=

+

E

R

C

t > 0

u

c

(t)

i(t)

u

R

(t)

Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:

( )

( )

C

C

du

t

E

RC

u

t

dt

=

+

Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. napięcie na kondesatorze

( )

C

u

t

w stanie nieustalonym znajdziemy jako:

( )

( )

( )

C

Cu

Cp

RORN

RSRN

RORJ

u

t

u

t

u

t

=

+

⇒

=

+

4.

, analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu) – składowa

ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona)

t

→ +∞

( )

Cu

u

t

Ze względu na stałe wymuszenie E, w stanie ustalonym po komutacji prąd w gałęzi z kondensatorem
będzie równy zeru. Stąd na rezystorze nie zanotujemy napięcia, a rozkład napięć w obwodzie podpowie
jak zwykle II Prawo Kirchoffa

( )

( )

( )

( )

0

u

Cu

Cu

Cu

E

Ri t

u

t

u

t

u

t

E

=

+

= +

→

=

®

5

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

W szczególności wyznaczymy wartość składowej ustalonej w chwili t=0+:

( )

0

Cu

u

E

+

=

5. t>0, składowa przejściowa (swobodna)

( )

Cp

u

t

Równanie jednorodne

( )

( )

0

Cp

Cp

du

t

RC

u

t

dt

+

=

Wielomian charakterystyczny

( )

V

RC

1

λ

λ

=

+

Pierwiastki wielomianu
charakterystycznego

1

RC

1

0

RC

λ

λ

+ = ⇒ = −

stwierdzamy jeden pierwiastek

rzeczywisty

Przewidywana postać składowej
przejściowej

( )

1

,

0

t

t

RC

Cp

u

t

Ae

Ae

dla t

λ

−

=

=

>

W szczególności wartość składowej
ustalonej dla to=0+

( )

0

Cp

u

A

+

=

®

6

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

( )

( )

,

C

Cu

Cp

u

t

u

t

u

t

dla t

0

=

+

>

a zatem również dla t=0+

( )

( )

( )

C

Cu

Cp

u

0

u

0

u

0

0

E

A

A

E

+

+

+

=

+

= + ⇒ = −

Wyznaczenie stałej A i pełnej
postaci składowej przejściowej

Ostatecznie składowa przejściowa:

( )

1

,

0

t

RC

Cp

u

t

Ee

dla t

−

= −

>

6. Ostatecznie napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym jest sumą składowej ustalonej

(wymuszonej) i przejściowej (swobodnej):

( )

( )

( )

,

1

1

t

t

RC

RC

C

Cu

Cp

RORN

RSRN

RORJ

u

t

u

t

u

t

E

Ee

E 1 e

dla t

0

−

−

⎛

⎞

=

+

⇒

=

+

= −

=

−

>

⎜

⎟

⎝

⎠

®

7

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

u

c

(t)

t

E

-E

( )

Cu

u

t

E

=

( )

1

t

RC

Cp

u

t

Ee

−

= −

( )

( )

( )

C

Cu

Cp

u

t

u

t

u

t

=

+

i(t)

t

E

R

( )

1

t

RC

C

E

i

t

e

R

−

=

®

8

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Gdyby padło „niestandardowe” pytanie o przebieg prądu w stanie nieustalonym w obwodzie z
kondensatorem, to po wyznaczeniu napięcia możemy zawsze skorzystać ze związków prądowo-
napięciowych tj.

( )

( )

( )

( )

,

C

C

1

1

1

t

t

t

RC

RC

RC

C

du

t

i t

i

t

C

dt

d

1

E

i

t

C

E

Ee

CEe

e

dla t

0

dt

RC

R

−

−

−

=

=

⎛

⎞

⎛

⎞

=

−

= −

⋅ −

=

>

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Idąc dalej możemy odkryć przebieg napięcia na rezystorze w stanie nieustalonym

( )

( )

,

1

1

t

t

RC

RC

R

E

u

t

Ri t

R

e

Ee

dla t

0

R

−

−

=

=

=

>

I tak otrzymujemy rozkład napięć, a raczej przebiegów napięć w stanie nieustalonym, w analizowanym
obwodzie
Wymuszenie:

( )

,

e t

E dla t

0

=

>

Sprawdzenie: II Prawo Kirchhoffa:

( )

( )

( )

,

R

C

1

1

t

t

RC

RC

e t

u

t

u

t

dla t

0

E

Ee

E

E

E

−

−

=

+

>

=

+ −

=

Rezystor:

( )

,

1

t

RC

R

u

t

Ee

dla t

0

−

=

>

Kondensator:

( )

,

1

t

RC

C

u

t

E

Ee

dla t

0

−

= −

>

®

9

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Dla rozważanego przypadku stała czasowa obwodu

1

RC

τ

λ

= − =

. Stąd wniosek, że szybciej będzie

zanikał stan nieustalony w szeregowej gałęzi RC zawierającej małe rezystancje.

Dla porównania, relacje dla stałej czasowej w szeregowym obwodzie RL wskazywały odwrotny kierunek

tj.

L

R

τ

=

, skąd wniosek, że szybciej będzie zanikał stan nieustalony w gałęzi RL zawierającej duże

rezystancje.

u

c

(t)

E

t

τ

1

> τ

2

τ

2

τ

1

R

1

> R

2

C

1

= C

2

τ

1

τ

2

i(t)

t

τ

1

τ

2

τ

1

τ

2

R

1

>

2

2

E
R

1

E
R

τ

1

> τ

2

R

®

10

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1.2 Rozładowanie kondensatora naładowanego napięciem stałym przez rezystor

( )

.

Jeden element zachowawczy – C
Równanie różniczkowe oprzeć na

( )

c

u t

,

e t

E

const

R C

= =

E

R

C

t = 0

u

c

(t)

i(t)

u

R

(t)

Dane:

1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz

wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-

Ze względu na stałe wymuszenie E, w stanie ustalonym przed komutacją prąd w gałęzi z
kondensatorem był równy zeru, a w związku z tym napięcie na rezystorze też miało wartość równą zero.
Jedyne napięcie w oczku oprócz wymuszenia to napięcia na kondensatorze, więc

( )

( )

0

,

0

C

C

E

u

t

u

t

E dla t

= +

→

=

<

( )

c

u 0

E

−

=

2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po przełączeniu łącznika w pozycję zwierającą gałąź RC nie stwierdzamy oczek zawierających same
kondensatory lub same kondensatory i idealne źródła napięcia, a zatem napięcie na kondensatorze
zachowuje prawo komutacji.

( )

( )

C

C

u

0

u

0

E

+

−

=

=

®

11

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

3. t>0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego

( )

C

u

t

( )

( )

( )

( )

( )

0

,

C

C

C

du

t

Ri t

u

t

gdzie i t

i

t

C

dt

=

+

=

=

( )

( )

0

C

C

du

t

RC

u

t

dt

=

+

R

C

u

c

(t)

i(t)

u

R

(t)

t > 0

Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:

( )

( )

0

C

C

du

t

RC

u

t

dt

=

+

Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach. A zatem
szukane rozwiązanie tj. napięcie na kondensatorze

( )

C

u

t

w stanie nieustalonym zawierać będzie

jedynie RORJ tj. składową przejściową (swobodną):

( )

( )

( )

,

,

C

Cp

Cu

RORJ

u

t

u

t

RSRN

0 u

t

0

⇒

=

=

=

Potwierdza to również analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji. Jak widzimy, obwód poprzez
komutację zostaje pozbawiony wymuszenia, a energia pola elektrostatycznego rozładuje się w
zamkniętym obwodzie RC i ostatecznie napięcie na kondensatorze spadnie do zera.

( )

Cu

u

t

0

=

®

12

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

4. t>0, składowa przejściowa (swobodna)

( )

Cp

u

t

Równanie jednorodne

( )

( )

0

Cp

Cp

du

t

RC

u

t

dt

+

=

Wielomian charakterystyczny

( )

V

RC

1

λ

λ

=

+

Pierwiastki wielomianu
charakterystycznego

1

RC

1

0

RC

λ

λ

+ = ⇒ = −

stwierdzamy jeden pierwiastek

rzeczywisty

Przewidywana postać składowej
przejściowej

( )

1

,

0

t

t

RC

Cp

u

t

Ae

Ae

dla t

λ

−

=

=

>

W szczególności wartość składowej
ustalonej dla to=0+

( )

0

Cp

u

A

+

=

( )

( )

,

C

Cp

u

t

u

t

dla t

0

=

>

a zatem również dla t=0+

( )

( )

C

Cp

u

0

u

0

E

A

A

E

+

+

=

= ⇒ =

Wyznaczenie stałej A i pełnej
postaci składowej przejściowej

Ostatecznie składowa przejściowa:

( )

1

,

0

t

RC

Cp

u

t

Ee

dla t

−

=

>

®

13

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

5. Ostatecznie napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym

( )

( )

,

1

t

RC

C

Cp

RORJ

u

t

u

t

Ee

dla t

0

−

⇒

=

=

>

A prąd w analizowanej szeregowej gałęzi RC:

( )

( )

( )

,

1

1

1

t

t

t

C

RC

RC

RC

C

du

t

d

1

E

i t

i

t

C

C

Ee

CEe

e

dla t

0

dt

dt

RC

R

−

−

−

⎛

⎞

⎛

⎞

=

=

=

=

⋅ −

= −

>

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

t

u (t)

t=0

C

E

( )

( )

( )

,

,

1

t

RC

C

Cp

Cu

u

t

u

t

Ee

dla t

0

u

t

0 dla t

0

−

=

=

>

=

>

-E

R

t

i

C

(t)

t=0

( )

,

1

t

RC

C

E

i

t

e

dla t

0

R

−

= −

>

®

14

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Dla szeregowej gałęzi RC stała czasowa obwodu

1

RC

τ

λ

= − =

. Stąd wniosek, że szybciej będzie

zanikał stan nieustalony w szeregowej gałęzi RC zawierającej małe rezystancje.

τ

2

τ

1

t

E

u

c

(t)

0

C

1

= C

2

R

1

> R

2

τ

1

> τ

2

τ

1

τ

2

t

i(t)

0

τ

2

τ

1

1

R

−Ε

2

R

−Ε

τ

1

τ

2

C

1

= C

2

R

1

> R

2

τ

1

> τ

2

®

15

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

1.3 Załączanie szeregowej gałęzi RC na napięcie sinusoidalne

Dane:

( )

(

)

sin

,

m

®

16

R

C

t = 0

u

C

(t)

i(t)

u

R

(t)

e(t)=E

m

sin(

ω

t+

ψ

e

)

e(t)

e

Jeden element zachowawczy – C
Równanie różniczkowe oprzeć na

( )

c

u t

e t

E

t

R C

=

ω ψ

+

1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz

wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-

Przed komutacją obwód pozostawał bez wymuszenia, w danych brak jest informacji o wstępnym
naładowaniu kondensatora, zatem możemy obwód traktować jako bezenergetyczny:

( )

,

C

u

t

0 dla t

0

=

<

( )

c

u 0

0

−

=

2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika sprawdzamy istnienie oczek osobliwych. Nie stwierdzamy oczek zawierających
same kondensatory lub same kondensatory i idealne źródła napięcia, a zatem napięcie na
kondensatorze zachowuje prawo komutacji.

( )

( )

C

C

u

0

u

0

0

+

−

=

=

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

3. t>0, układ równań Kirchhoffa oraz wyznaczenie równania różniczkowego opisującego

( )

C

u

t

C

t > 0

u

C

(t)

u

R

(t)

e(t)=E

m

sin(

ω

t+

ψ

e

)

e(t)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

,

C

C

C

du

t

e t

Ri t

u

t

gdzie i t

i

t

C

dt

=

+

=

=

(

)

( )

( )

sin

C

m

e

C

du

t

E

t

RC

u

t

dt

ω ψ

+

=

+

Stąd równanie różniczkowe opisujące prąd płynący przez cewkę w stanie nieustalonym, tj. dla t>0:

(

)

( )

( )

sin

C

m

e

C

du

t

E

t

RC

u

t

dt

ω ψ

+

=

+

Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. napięcie na kondesatorze

( )

C

u

t

w stanie nieustalonym znajdziemy jako:

( )

( )

( )

C

Cu

Cp

RORN

RSRN

RORJ

u

t

u

t

u

t

=

+

⇒

=

+

4.

, analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu) – składowa

ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona)

t

→ +∞

( )

Cu

u

t

(

)

sin

m

e

( )

e t

E

t

ω ψ

=

Ze względu na sinusoidalne wymuszenie

+

, w stanie ustalonym po komutacji

nie możemy traktować kondensatora jako „przerwy w obwodzie”, tak jak byłoby to przy wymuszeniu

®

17

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

stałym, ale raczej jako reaktancję. Do wyznaczenia składowej ustalonej

( )

Cu

u

t

możemy zatem

wykorzystać metodę symboliczną:

t

→ +∞

Zapis

symboliczny

-jX

u

C

I

Cu

U

Ru

U

E

R

i(t)

C

u

Cu

(t)

u

Ru

(t)

e(t)=E

m

sin(

ω

t+

ψ

e

)

e(t)

u

R

Wartości rzeczywiste, czasowe

Zapis symboliczny, wektor zespolony, wskaz

(

)

( )

(

)

2

2

2

1

e

e

e

m

j

j

j

u

j

E

E

Ee

E

I

e

e

z

ze

z

R

C

ψ

ψ ϕ

ψ ϕ

ϕ

ω

−

−

=

=

=

=

+

( )

2

2

1

1

,

C

z

R

arctg

C

R

ω

ϕ

ω

⎛

⎞

−

⎜

⎟

=

+

=

⎜

⎟

⎝

⎠

( )

(

)

sin

1

sin

2

Cu

Cum

Cu

m

e

u

t

U

t

E

t

C z

ω ψ

π

ω ψ

ϕ

ω

=

+

=

⎛

⎞

=

+

− −

⎜

⎟

⎝

⎠

Powrót z zapisu

symbolicznego

(

)

2

1

e

j

u

Cu

C

E

U

jX

I

e

c z

π

ψ ϕ

ω

− −

= −

⋅

=

⋅

®

18

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

W szczególności wyznaczymy wartość składowej ustalonej w chwili t=0+:

( )

1

0

sin

2

m

Cu

e

E

u

C z

π

ψ

ϕ

ω

+

⎛

⎞

=

− −

⎜

⎟

⎝

⎠

5. t>0, składowa przejściowa (swobodna)

( )

Cp

u

t

Równanie jednorodne

( )

( )

0

Cp

Cp

du

t

RC

u

t

dt

+

=

Wielomian charakterystyczny

( )

V

RC

1

λ

λ

=

+

Pierwiastki wielomianu
charakterystycznego

1

RC

1

0

RC

λ

λ

+ = ⇒ = −

stwierdzamy jeden pierwiastek

rzeczywisty

Przewidywana postać składowej
przejściowej

( )

1

,

0

t

t

RC

Cp

u

t

Ae

Ae

dla t

λ

−

=

=

>

W szczególności wartość składowej
ustalonej dla to=0+

( )

0

Cp

u

A

+

=

®

19

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

( )

( )

,

C

Cu

Cp

u

t

u

t

u

t

dla t

0

=

+

>

a zatem również dla t=0+

( )

( )

( )

sin

sin

C

Cu

Cp

m

m

e

e

u

0

u

0

u

0

E

E

1

1

0

A

A

C z

2

C z

2

π

π

ψ

ϕ

ψ

ϕ

ω

ω

+

+

+

=

+

⎛

⎞

⎛

⎞

=

− −

+ ⇒ = −

− −

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Wyznaczenie stałej A i
pełnej postaci składowej
przejściowej

Ostatecznie składowa przejściowa:

( )

1

1

sin

,

0

2

t

m

RC

Cp

e

E

u

t

e

dla t

C z

π

ψ

ϕ

ω

−

⎛

⎞

= −

− −

>

⎜

⎟

⎝

⎠

UWAGA:
Proszę zwrócić uwagę, że stała A przy składowej przejściowej nie
zawiera zmiennej czasu t. Jest to wartość funkcji sinusoidalnej w
konkretnej chwili czasowej t=t

0

=0.

6. Ostatecznie napięcie na kondensatorze w stanie nieustalonym jest sumą składowej ustalonej

(wymuszonej) i przejściowej (swobodnej):

( )

( )

( )

( )

sin

sin

,

C

Cu

Cp

1

t

m

m

RC

C

e

e

RORN

RSRN

RORJ

u

t

u

t

u

t

E

E

1

1

u

t

t

e

dla t

0

C z

2

C z

2

π

π

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

ω

ω

−

=

+

⎛

⎞

⎛

⎞

=

+

⇒

®

20

=

+

− −

−

− −

>

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Chcąc wyznaczyć pełen rozkład napięć w obwodzie w stanie nieustalonym, na podstawie wyrażenia na

( )

C

u

t

możemy najpierw wyliczyć prąd przepływający przez kondensator:

( )

( )

C

du

t

i t

C

C

dt

=

=

1

ω

⋅

C

cos

m

e

E

t

z

2

π

ω ψ

ϕ

ω

⎛

⎞

+

− −

⋅

⎜

⎟

⎝

⎠

C

+

−

sin

1

t

m

RC

e

E

1

1

e

C z

2

R C

π

ψ

ϕ

ω

−

⎛

⎞

⋅

− −

⋅ −

⎜

⎟

⎝

⎠

sin

m

e

E

t

z

2

π

ω ψ

ϕ

⎛

⎞

=

⎜

⎟

⎝

⎠

=

+

− −

2

π

+

sin

,

1

t

m

RC

e

E

1

e

dla t

0

RC z

2

π

ψ

ϕ

ω

−

⎛

⎞

⎛

⎞

+

− −

>

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Jest to prąd w całej gałęzi szeregowej RC. Stąd napięcie na rezystorze

( )

R

u

t

( )

( )

(

)

sin

m

R

e

E

R

R

u

t

R i t

t

z

ω ψ

ϕ

⋅

= ⋅

=

+

−

+

1

R

ω

⋅

sin

,

1

t

m

RC

e

E

e

dla t

0

z

2

C

π

ψ

ϕ

−

⎛

⎞

− −

>

⎜

⎟

⎝

⎠

Sprawdzenie II Prawa Kirchhoffa:

( )

( )

(

)

( )

sin

sin

1

t

m

m

RC

R

C

e

e

E

R

E

1

e t

u

t

u

t

t

e

z

C z

2

π

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

ω

−

⋅

⎛

⎞

=

+

=

+

−

+

− −

⎜

⎟

⎝

⎠

sin

sin

1

t

m

m

RC

e

e

E

E

1

1

t

e

C z

2

C z

2

π

π

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

ω

ω

−

+

⎛

⎞

⎛

⎞

+

− −

−

− −

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

,dla t

0

>

®

21

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

(

)

2

2 1

0

1

1

1

e t

t

R

C

F

RC

s

π

Ω

τ

=

⋅ ⋅ +

=

=

=

=

sin

,

,

,

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

uc

[V

]

uc - RC: tau=1[s], ku=1.6191, tm=0.4591[s], psie=0[deg]

ucu
ucp
uc=ucu+ucp
e

®

22

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

(

)

2

2 1

0

1

1

1

e t

t

R

C

F

RC

s

π

Ω

τ

=

⋅ ⋅ +

=

=

=

=

sin

,

,

,

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

ur

[V]

ur - RC; tau=1[s]

uru
urp
ur=uru+urp
e

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

i [

A

]

i - RC; tau=1[s]

icu
icp
ic=icu+icp

®

23

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Oceniając pracę obwodu RC załączanego na napięcie sinusoidalne wprowadziliśmy współczynnik udaru
prądowego (przetężenia), jako relacje pomiędzy maksymalną chwilową wartością prądu w stanie
nieustalonym a amplitudą prądu w stanie ustalonym. Współczynnik ten jest miarą przetężenia w obwodzie.
Podobnie próbując ocenić jakościowo miarę wpływu stanu przejściowego w obwodzie RC możemy
zdefiniować tzw. współczynnik udaru napięciowego, określony jako stosunek maksymalnej wartość
napięcia w stanie nieustalonym do wartości maksymalnej (amplitudy) przebiegu ustalonego. Dla zadanych
parametrów obwodu RC oraz amplitudy napięcia zasilającego E

m

, przebieg napięcia w stanie

nieustalonym, a co za tym idzie, możliwe wartości maksymalne, jakie może osiągnąć, zależeć będzie od
momentu komutacji t=t

0

oraz fazy początkowej napięcia zasilającego

e

ψ

. Przy przyjęciu chwili załączenia

t=0, będziemy poszukiwać takiej fazy początkowej napięcia zasilającego

m

e

ψ

ψ

=

, przy której napięcie na

kondensatorze w stanie nieustalonym osiągnie wartość największą z możliwych. Z matematycznego
punktu widzenia musimy zatem zbadać ekstrema funkcji

(

)

,

C

e

u

t

ψ

, ze względu na

e

ψ

, czyli miejsca

zerowe pochodnej cząstkowej:

(

)

,

C

e

e

u

t

0

∂

ψ

∂ ψ

=

Dla odnalezionej z powyższego równania fazy początkowej napięcia zasilającego

m

e

ψ

ψ

=

, w następnym

kroku poszukiwać będziemy chwili czasowej t=t

m

dla której

(

)

,

C

e

m

u

t

ψ

ψ

=

osiągnie wartość

maksymalną. To zaś wymaga zbadania ekstremum funkcji ze względu na zmienną czasową:

(

)

,

C

e

u

t

0

t

∂

ψ

∂

=

®

24

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

(

)

(

)

,

,

,

C

e

e

e

m

m

C

e

u

t

0

t

t

u

t

0

t

∂

ψ

∂ ψ

ψ

ψ

∂

ψ

∂

⎧

=

⎪

⎪

⇒

=

=

⎨

⎪

=

⎪⎩

Podstawiając za

( )

C

u

t

:

( )

sin

sin

,

1

t

m

m

RC

C

e

e

E

E

1

1

u

t

t

e

dla t

0

C z

2

C z

2

π

π

ω ψ

ϕ

ψ

ϕ

ω

ω

−

⎛

⎞

⎛

⎞

=

+

− −

−

− −

>

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝

⎠

Otrzymamy:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

,

sin

cos

,

sin

sin

tm

RC

m

e

m

tm

RC

m

e

m

c

e

m

m

m

m

t t

c

e

m

m

m

m

t t

e

u t

E

1

t

e

0

t

Z C

RC

u t

E

t

e

0

Z C

ψ ψ

ψ ψ

∂

ψ

ω

ω

ψ

ϕ

ψ

ϕ

∂

ω

∂

ψ

ω

ψ

ϕ

ψ

ϕ

∂ψ

ω

−

=

=

−

=

=

⎧

⎡

⎤

=

+

−

−

−

=

⎪

⎢

⎥

⎣

⎦

⎪⎪

⎨

⎪

⎡

⎤

=

+

−

−

−

=

⎢

⎥

⎪

⎣

⎦

⎪⎩

®

25

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Przekształcając:

(

)

(

)

(

)

(

)

sin

cos

sin

sin

tm

RC

tm

RC

m

m

m

m

m

m

1

t

e

R C

t

e

ω

ψ

ϕ

ψ

ϕ

ω

ω

ψ

ϕ

ψ

ϕ

−

−

⎧

+

−

=

−

⎪

⎨

⎪

+

−

=

−

⎩

Po podzieleniu stronami:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

cos

sin

sin

cos

m

m

m

m

m

1

1

1

tg

R C

R C

ψ

ϕ

ψ

ϕ

ψ

ϕ

ω

ψ

ϕ

ω

ψ

ϕ

−

−

=

→

=

=

−

−

−

Jednocześnie dla szeregowej gałęzi RC:

( )

( )

1

1

tg

tg

R C

R C

ϕ

ϕ

ω

ω

−

=

→

=

−

(

)

( )

. . .

tg

tg

,

,

m

m

m

k

k

k

0

1

ψ

ϕ

ϕ

ψ

ϕ

ϕ

π

ψ

π

−

=

−

− = − +

=

=

±

WNIOSEK: Największe wartości udaru napięciowego na kondensatorze w obwodzie RC możliwe są,
kiedy komutacja nastąpi dokładnie w chwili przejścia napięcia zasilającego przez zero.
Na przykład dla

e

m

0

0

ψ

ψ

π

=

= ⋅ =

napięcie na kondensatorze wyniesie:

( )

(

)

( )

cos

cos

t

RC

m

c

e

E

u t

t

Z C

ω ϕ

ϕ

ω

−

⎡

⎤

= −

−

−

⋅

⎣

⎦

®

26

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

Przy czym t

m

spełnia równanie:

(

)

( )

sin

sin

tm

RC

m

t

e

ω

ϕ

ϕ

−

−

= −

Ostatecznie:

( )

(

)

( )

max

cos

cos

tm

RC

m

m

c

c

m

m

0

e

E

u

u t

t

Z C

ψ

ω

ϕ

ϕ

ω

−

=

⎡

⎤

=

= −

−

−

⋅

=

⎢

⎥

⎣

⎦

(

)

( ) (

)

( )

( )

( ) (

)

( ) (

)

(

)

( )

sin

cos

cos

sin

sin

sin

cos

cos

sin

sin

sin

m

m

m

m

m

m

m

cm

t

E

t

Z C

t

E

t

t

U

Z C

ω

ϕ

ω

ϕ

φ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ϕ

ω

ϕ

ω

φ

ϕ

⎡

⎤

−

=

−

+

=

⎢

⎥

⎣

⎦

=

−

+

−

=

⎡

⎤

⎣

⎦

Stąd można określić współczynnik udaru napięciowego:

(

)

( )

(

)

( )

(

)

max

sin

sin

ctg

sin

sin

2

2

2

2

m

c

u

m

m

c m

t

u

k

1 R

C

t

1

t

U

ω

ω

ω

ϕ

ω

ϕ

=

= −

=

+

=

+

⋅

®

27

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

( )

(

)

0

2

2 1

1

1

1

e t

t

R

C

F

®

28

1 6191

0 4 91

5

u

m

k

RC

s

π

Ω

τ

=

⋅ ⋅ +

t

s

=

=

=

=

sin

,

,

=

=

.

,

.

( )

(

)

2

2 1

2

1 07

1

1

1

62

0 723

u

m

e t

t

R

k

s

F

s

t

C

RC

π

Ω

τ

π

=

⋅ ⋅ +

=

=

=

=

=

=

.

,

,

.

sin

,

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

uc

[V]

uc - RC: tau=1[s], ku=1.6191, tm=0.4591[s], psie=0[deg]

ucu
ucp
uc=ucu+ucp
e

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-0.5

0

0.5

1

t [s]

uc

[V]

uc - RC: tau=1[s], ku=1.0762, tm=0.723[s], psie=90[deg]

ucu
ucp
uc=ucu+ucp
e

Obwody Elektryczne i Magnetyczne

®

29

UWAGA:

ƒ

Odrębnym zagadnieniem praktycznym jest pojęcie przepięć w obwodach elektrycznych;

bezpośrednich i pośrednich – powstałych na skutek zjawisk atmosferycznych, uderzeń pioruna, bądź
łączeniowych.

ƒ

Bliższe omawianemu zagadnieniu udaru napięciowego są zjawiska przepięć łączeniowych w

obwodach elektrycznych. W tym jednak przypadku zjawisko przepięć rozpatruje się przy udziale
indukcyjności L i pojemności C, a wiec w ogólności układów RLC, nie tylko RC lub RL.

W skrócie:
zjawisko udaru prądowego – układy RL
zjawisko udaru napięciowego – układy RC
zjawisko udaru prądowego, napięciowego oraz przepięcia łączeniowe, oscylacje prądu – układy RLC.