1

4. MIARY ROZPROSZENIA

ROZSTEP, ODCHYLENIE STANDARDOWE, PRZECIETNE I CWIARTKOWE

METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA

ZJAZD II i III

10.10.2009
17.10.2009

Miary rozproszenia, czyli miary dyspersji lub zmienności mówią o tym, jak grupa jest do siebie
podobna. Są cztery mierniki rozproszenia cechy: rozstęp, odchylenie standardowe, odchylenie
przeciętne, odchylenie ćwiartkowe.

1. R O Z S T E P - R

Miara ta obrazuje różnice między wartością największą a najmniejszą w badanej zbiorowości, wy-
znaczamy więc jej wartość odejmując od najwyższej, najniższą wartość cechy:

𝑹 = 𝒙

𝒎𝒂𝒙

− 𝒙

𝒎𝒊𝒏

np.

R

1

– Radio Maryja: 1, 1, 4, 6, 8

R

2

– Radio Szatan: 4, 4, 4, 4, 4

R

3

– Radio ZET: 2, 2, 4, 6, 6

R

1

= 8 – 1 = 7 najbardziej zróżnicowane

R

2

= 4 – 4 = 0 niezróżnicowane

R

3

= 6 – 2 = 4 średniozróżnicowane

Określa największą rozbieżność, jaką zaobserwowano wśród wartości badanej cechy. Miara ta
określa zróżnicowanie jednostek na podstawie oceny wartości skrajnych cechy statystycznej. War-
tościom tym mogą odpowiadać niewielkie lub wręcz znikome liczebności. Dlatego też nie jest to
precyzyjna miara zróżnicowania i służy jedynie wstępnej ocenie zmienności zjawiska. Informuje
ona jak bardzo różnią się wartości cechy statystycznej w ogóle.

Rozstęp można również policzyć dla danych pogrupowanych.

2.

O D C H Y L E N I E S T A N D A R D O W E

- s

2

, q

2

Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji.

Wariancja – suma podniesionych do kwadratu odchyleń poszczególnych wyników od średniej,
która to suma podzielona jest przez liczbę elementów zbioru.



wzór dla wariancji w próbie:

𝒔

𝟐

=

∑

𝒊=𝟏

𝒏

∗ (𝒙

𝒊

− 𝒙 )

𝟐

𝑵 − 𝟏

2

4. MIARY ROZPROSZENIA

ROZSTEP, ODCHYLENIE STANDARDOWE, PRZECIETNE I CWIARTKOWE

METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA

ZJAZD II i III

10.10.2009
17.10.2009



wzór dla wariancji w populacji:

𝜹

𝟐

=

∑

𝒊=𝟏

𝒖

∗ (𝒙

𝒊

− 𝒖

)

𝟐

𝑵

Odchylenie standardowe natomiast zapisujemy bez kwadratu, pod pierwiastkiem:

𝒔 =

∑

𝒊=𝟏

𝒏

∗ (𝒙

𝒊

− 𝒙 )

𝟐

𝑵 − 𝟏

𝜹 =

∑

𝒊=𝟏

𝒖

∗ (𝒙

𝒊

− 𝒖

)

𝟐

𝑵

np. w próbie:

𝑠

2

=

(1 − 4)

2

+ (1 − 4)

2

+ (4 − 4)

2

+ (6 − 4)

2

+ (8 − 4)

2

5 − 1

=

38

4

= 9,5

𝑠 = 9,5 = 3,08

Odchylenie jest miarą która podobnie jak odchylenie przeciętne, charakteryzuje przeciętny poziom
odchyleń faktycznych wartości cechy od średniej arytmetycznej. Jest to miara bardziej precyzyjna
niż odchylenie przeciętne.

Współczynnik zmienności V - stosunek bezwzględnej miary odchylenia do średniej arytmetycz-
nej, wyrażony w procentach. Jeżeli współczynnik jest mały to dane są mniej zróżnicowane.

𝑽 =

𝒔
𝒙

𝒍𝒖𝒃 𝑽 =

𝜹
𝒙

s – odchylenie standardowe

x – średnia

W przypadku konieczności porównania rozproszenia dwóch różnych zjawisk należy posłużyć się
współczynnikiem zmienności. Współczynnik zmienności to iloraz odchylenia standardowego i
średniej w danym rozkładzie V=(s/Xsr). Im wyższy jest ten procent, tym większe jest względne
zróżnicowane cechy w rozkładzie. o iloraz odchylenia standardowego i średniej w danym rozkła-
dzie V=(s/Xsr). Współczynnik zmienności wyraża się często procentowo, aby określić, jaki procent
poziomu średniej stano i odchylenia standardowe w rozkładzie. Tego typu badania są szczególnie
przydatne w porównywaniu zróżnicowania takich wielkości jak dochody, wydajność pracy, ab-
sencja w pracy w różnych przedsiębiorstwach lub działach jednego przedsiębiorstwa.

3

4. MIARY ROZPROSZENIA

ROZSTEP, ODCHYLENIE STANDARDOWE, PRZECIETNE I CWIARTKOWE

METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA

ZJAZD II i III

10.10.2009
17.10.2009

3.

O D C H Y L E N I E P R Z E C I E T N E

- O P

Odchylenie przeciętne (dewiata) jest to średnia arytmetyczna bezwzględnych wartości (modułów)
odchyleń wartości faktycznych szeregu od średniej arytmetycznej.

𝑶𝑷 =

∑

𝒊=𝟏

𝒏

∗ 𝒙

𝒊

− 𝒙

𝑵

np. 1, 4, 7, 10, 13

N = 5, 𝑥 = 7

𝑂𝑃 =

1 − 7 + 4 − 7 + 7 − 7 + 10 − 7 + 13 − 7

5

=

6 + 3 + 0 + 3 + 6

5

=

18

5

= 3,6

4 .

O D C H Y L E N I E C W I A R T K O W E

- Q

𝑸 =

𝑸

𝟑

− 𝑸

𝟏

𝟐

Q – kwarty

𝑸 = 𝑸

𝟑

− 𝑸

𝟏

Etapy prowadzenia obliczeń dla odchylenia ćwiartkowego:



znaleźć medianę dla obserwacji,



mediana dzieli obserwację na pół,



obliczyć medianę dla 1 i 2 połówki.

np. mediana parzysta: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

1 punkt:

𝑁

2

=

8
2

= 4

obserwacja

2 punkt:

𝑁

2

+ 1 =

8
2

+ 1 = 5

obserwacja

𝑀

𝑒

=

1 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 + 2 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡

2

=

4 + 5

2

= 4,5

1, 2, 3, 4

1 punkt:

𝑁

2

=

4
2

= 2

obserwacja

4

4. MIARY ROZPROSZENIA

ROZSTEP, ODCHYLENIE STANDARDOWE, PRZECIETNE I CWIARTKOWE

METODY STATYSTYCZNE – CWICZENIA

ZJAZD II i III

10.10.2009
17.10.2009

2 punkt:

𝑁

2

+ 1 =

4
2

+ 1 = 3

obserwacja

𝑀

𝑒

=

1 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 + 2 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡

2

=

2 + 3

2

= 2,5 = 𝑄

1

5, 6, 7, 8

𝑀

𝑒

=

1 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 + 2 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡

2

=

6 + 7

2

= 6,5 = 𝑄

3

𝑄 = 𝑄

3

− 𝑄

1

= 6,5 − 2,5 = 4,0

np. mediana nieparzysta: 1, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 8, 10, 11

𝑀

𝑒

= 7

1, 1, 2, 3, 4, 6

𝑀

𝑒

=

2 + 3

2

= 2,5 = 𝑄

1

6, 7, 8, 8, 10, 11

𝑀

𝑒

=

8 + 8

2

= 8 = 𝑄

3

𝑄 = 𝑄

3

− 𝑄

1

= 8 − 2,5 = 5,5

WYZNACZANIE Q

1

I Q

3

– ĆWICZENIA

np. pozycja Polski: 63, 23, 3, 2, 16, 17, 42

porządkujemy dane: 2 (I), 3 (II), 16 (III), 17 (IV), 23 (V), 42 (VI), 63 (VII) – zbiór nieparzysty

wyznaczamy medianę: 𝑋

𝑒

=

𝑁+1

2

=

7+1

2

= 4 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑤𝑎𝑐𝑗𝑎 czyli 17

dzielimy dane na dwa zbiory: 2, 3, 16, 17 i 17, 23, 42, 63 – zbiory parzyste

wyznaczamy medianę dla obu zbiorów:

1 punkt:

𝑁

2

, 2 punkt:

𝑁

2

+ 1

,

1 punkt:

𝑁

2

=

4
2

= 2

obserwacja czyli 3 i 23

2 punkt:

𝑁

2

+ 1 =

4
2

+ 1 = 3 czyli 16 i 42

wyznaczamy Q

1

i Q

3

: 𝑄 =

1 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡 +2 𝑝𝑢𝑛𝑘𝑡

2

𝑄

1

=

3+16

2

= 9,5 𝑎 𝑄

2

=

23+42

2

= 32,5

obliczamy rozstęp: 𝑄 = 32,5 − 9,5 = 23