ni ﬁzycznej nie musi być euklidesowa. Zauważył on, że
możliwe jest budowanie logicznie spójnej i prawidłowej
z matematycznego punktu widzenia geometrii odrzuca-
jąc piąty z

aksjomatów Euklidesa

o prostych równole-

głych. Nigdy jednak nie opublikował swoich przemyśleń
na ten temat uważając, że nie zostaną właściwie zrozu-
miane. Gauss nie odnosił swoich idei do rzeczywistości
ﬁzycznej, a rozwijał je jedynie jako teorie matematycz-
ne.

Za twórcę geometrii nieeuklidesowych uważa się współ-
cześnie

Janosa Bolyai

, który jako pierwszy ogłosił pra-

ce, w których podał przykłady tego rodzaju geometrii.
Poważny wkład do tej dziedziny wniósł

Georg Riemann

konstruując swoją teorię

rozmaitości różniczkowych

Bardzo istotną, choć czysto techniczną rolę otwierają-
cą możliwości budowy OTW Einsteina odegrali Christo-
fel,

Ricci

i inni twórcy

rachunku tensorowego

. Znaczący

wkład należał zwłaszcza do Bianchiego, który udowodnił
tożsamości nazwane jego imieniem.

W życiu codziennym można także zaobserwować geo-
metrie nieeuklidesowe. Na przykład powierzchnia Ziemi
jest

sferą

i jako taka posiada pewną krzywiznę, zaś suma

kątów w trójkątach na globusie jest większa niż 180 stop-
ni. Istnieją także pomiary, w przypadku których można
bezpośrednio wykryć, że geometria czasoprzestrzeni jest
nieeuklidesowa. Przykładem jest

doświadczenie Pounda-

Rebki

(1959), w którym wykryto zmianę długości fali

światła pochodzącego od źródła

kobaltowego

, wznoszą-

cego się przeciwko sile grawitacji na wysokość 22,5 me-
tra, w szybie znajdującym się w Jeﬀerson Physical Labo-
ratory w

Harvard

University. Także

zegary atomowe

satelitach GPS

krążących wokół Ziemi muszą uwzględ-

niać poprawkę związaną z efektami grawitacji. Przykłady
te jednak nie były dostępne w czasach Gaussa i Rieman-
na.

3 RÓWNANIA TEORII

OTW Einsteina

Podstawową ideą teorii względności jest to, że nie może-
my mówić o wielkościach ﬁzycznych takich jak

prędkość

czy

przyspieszenie

, nie określając wcześniej

układu od-

niesienia

, oraz że układ odniesienia deﬁniuje się poprzez

wybór pewnego punktu w czasoprzestrzeni, z którym jest
on związany. Oznacza to, że wszelki ruch określa się i
mierzy względem innych określonych układów odniesie-
nia. W ramach tej teorii, inaczej niż w szczególnej teo-
rii względności, która podawała opis ruchu w inercjal-
nych (nieprzyspieszających) układach odniesienia, opis
ruchu prowadzony jest w dowolnych układach odniesie-
nia, inercjalnych lub nieinercjalnych. Podstawowym za-
łożeniem jest takie sformułowanie praw ﬁzycznych i opi-
su ruchu, aby miały one identyczną postać matematyczną
bez względu na używany do opisu układ odniesienia, stąd
konieczność zastosowania rachunku tensorowego. Jed-
nym z postulatów ogólnej teorii względności jest zasada
równoważności, mówiąca, że nie można (lokalnie) roz-
różnić spadku swobodnego w polu grawitacyjnym od ru-
chu w układzie nieinercjalnym. Z postulatu tego wynika,
że masa bezwładna i grawitacyjna są sobie równoważ-
ne. Dokładniej równość mas: grawitacyjnej i bezwład-
nej określana jest mianem słabej zasady równoważności
(WEP), natomiast pełna zasada równoważności Einsteina
głosi, że wynik dowolnego, lokalnego doświadczenia nie-
grawitacyjnego jest niezależny od prędkości swobodnie
spadającego układu odniesienia i jest zgodny z przewidy-
waniami STW (tzw. lokalna niezmienniczość lorentzow-
ska) i wynik ten jest niezależny od miejsca i czasu (tzw.
lokalna niezmienniczość na położenie). W badaniach wy-
kazano, że ogólna teoria względności jest sprzeczna z

zasadą Macha

OTW mówi, że z daną dokładnością można deﬁnio-
wać jedynie lokalne układy odniesienia, dla skończonych
przedziałów czasu i ograniczonych obszarów w przestrze-
ni. Jest to analogia z rysowaniem map fragmentów po-
wierzchni Ziemi – nie można sporządzić mapy obejmują-
cej całą powierzchnię Ziemi bez deformacji.

Zasady dy-

namiki Newtona

są w ogólnej teorii względności zacho-

wane w lokalnych układach odniesienia. W szczególności
cząstki, na które nie działa żadna siła, poruszają się po li-
niach prostych w lokalnych inercjalnych układach odnie-
sienia. Jednak jeżeli linie te się przedłuży, to nie otrzy-
mujemy linii prostych, lecz krzywe zwane

geodezyjnymi

Dlatego też

pierwsza zasada dynamiki Newtona

zostaje

zastąpiona przez zasadę poruszania się po geodezyjnej.

Odróżniamy

inercjalne układy

odniesienia, w których cia-

ła ﬁzyczne nie zmieniają swojego stanu ruchu, jeżeli nie
oddziałują z żadnym innym ciałem ﬁzycznym, od nieiner-
cjalnych układów odniesienia, w których poruszające się
ciała mają przyspieszenie pochodzące od układu odnie-
sienia. W tych drugich pojawia się pozorna siła wynikają-
ca z przyspieszenia samego układu odniesienia, a nie z od-
działywania z innym ciałem ﬁzycznym. W związku z tym
np. odczuwamy siłę odśrodkową wtedy, gdy samochód,

będący naszym układem odniesienia, skręca. Podobnie
obserwujemy

Efekt Coriolisa

i tzw.

siłę odśrodkową

wte-

dy, gdy układem odniesienia jest ciało będące w

ruchu

obrotowym

(na przykład bąk-zabawka lub

Ziemia

). Za-

sada równoważności w ogólnej teorii względności mówi,
że w układzie lokalnym nie można przeprowadzić do-
świadczenia, dzięki któremu dałoby się odróżnić spadek
swobodny w polu grawitacyjnym od ruchu jednostajne-
go przy braku pola grawitacyjnego. Mówiąc w skrócie,
w układzie odniesienia związanym z ciałem spadającym
swobodnie nie ma grawitacji. Oznacza to, że obserwo-
wana na powierzchni Ziemi grawitacja jest siłą obserwo-
waną w układzie odniesienia związanym z materią na po-
wierzchni, która nie jest “wolna”, lecz na którą oddziałuje
materia z wnętrza Ziemi i sytuacja ta jest analogiczna do
sytuacji w skręcającym samochodzie.

Matematycznie, Einstein modeluje czasoprzestrzeń przy
pomocy czterowymiarowej

pseudoriemannowskiej roz-

maitości

, a z jego

równania pola

wynika, że krzywi-

zna rozmaitości w punkcie jest bezpośrednio związana z

tensorem

napięć-energii w tym punkcie; tensor ten jest

miarą gęstości materii i energii. Krzywizna określa spo-
sób, w jaki materia się porusza, a materia określa sposób,
w jaki przestrzeń się zakrzywia. Równanie pola nie jest
dowiedzione w sposób jednoznaczny i istnieje możliwość
zaproponowania innych modeli, pod warunkiem, że nie
będą stały w sprzeczności z obserwacjami.

Ogólna teoria względności wyróżnia się spośród innych
teorii grawitacji swoją prostotą powiązania materii i
krzywizny, chociaż wciąż nie istnieje teoria uniﬁkacji po-
między ogólną teorią względności a

mechaniką kwanto-

wą

i nie potraﬁmy zastąpić równania pola bardziej ogól-

nym prawem kwantowym. Niewielu ﬁzyków wątpi w to,
że taka

teoria wszystkiego

będzie zawierała w sobie ogól-

ną teorię względności, tak jak ogólna teoria względności
zawiera w sobie prawo powszechnego ciążenia Newtona
w zakresie nierelatywistycznym.

Równanie pola Einsteina zawiera parametr zwany

stałą

kosmologiczną

Λ, która została wprowadzona przez Ein-

steina po to, aby Wszechświat pozostał statyczny (tzn.
nierozszerzający i niezapadający się). Ta próba zakoń-
czyła się niepowodzeniem z dwóch powodów: statyczny
Wszechświat opisywany przez tę teorię byłby niestabilny,
co więcej, obserwacje prowadzone przez

Hubble'a

deka-

dę później pokazały, że nasz Wszechświat nie jest statycz-
ny, lecz się

rozszerza

. Dlatego też zrezygnowano ze stałej

Λ, lecz ostatnie obserwacje

supernowych typu Ia

wskazu-

ją na to, że być może należy ją ponownie wprowadzić do
równań.

3 Równania teorii

Ogólna teoria względności wiąże geometrię czasoprze-
strzeni z rozkładem materii.

Czasoprzestrzeń

jest zbio-

rem punktów (dokładniej rozmaitością różniczkową),

której punktom przyporządkowuje się cztery współrzęd-
ne x

=(x

=ct, x¹, x², x³). Odległość między dwoma punk-

tami o współrzędnych x

i x

+dx

zadaje:

Gdy czasoprzestrzeń jest globalnie płaska – teoria prze-
chodzi w

szczególną teorię względności

. W tym przypad-

ku tensor metryczny

opisuje

czasoprzestrzeń Minkowskiego

. Poczucie lokal-

nej płaskości zakrzywionej czasoprzestrzeni (zasada rów-
noważności) oznacza możliwość przejścia do takiego
układu współrzędnych, by

Pola e

(x) nazywamy polami reperów. Cała informacja

o zakrzywieniu czasoprzestrzeni zawarta jest w tych po-
lach. Z punktu widzenia matematycznego pola reperów
są formami różniczkowymi.

Formy te można przeskalować (lokalna transformacja ce-
chowania), a tensor metryczny nie ulega zmianie

gdzie Λ są macierzami Lorentza tworzącymi

grupę Lo-

rentza

. Linie najkrótsze łączące dwa punkty (

linie geode-

zyjne

) nie są już liniami prostymi. Spełniają one równa-

nie

gdzie Γ jest

symbolem Christoﬀela

W czasoprzestrzeni Minkowskiego wszystkie symbole
Christoﬀela się zerują i linie najkrótsze są prostymi.

Zakrzywienie czasoprzestrzeni określa

tensor krzywizny

μνᵨ i związany z nim

tensor krzywizny Ricciego

oraz

skalar krzywizny Ricciego

R=g

μν

Rμν. Oczywiście

w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego wszystkie te
wielkości są równe zero. Równanie Einsteina opisuje
związek między zakrzywieniem czasoprzestrzeni (grawi-
tacją) opisanym tensorem metrycznym gμν, a rozkładem
materii opisanym tensorem energii-pędu Tμν.

Równanie

Einsteina

można wyprowadzić z ekstremum

całki działa-

nia

dla pola grawitacyjnego. Równanie to ma następującą

postać:

gdzie: Rμν –

tensor krzywizny Ricciego

, R –

, gμν –

, Λ –

, Tμν –

, π –

, c

–

prędkość światła

w próżni, G –

stała grawitacji

. Na-

tomiast gμν opisuje metrykę rozmaitości i jest

tensorem

symetrycznym 4 × 4, ma więc 10 niezależnych składo-
wych. Biorąc pod uwagę dowolność przy wyborze czte-
rech współrzędnych czasoprzestrzennych, liczba nieza-
leżnych równań wynosi 6.

Rozkład

materii

w czasoprzestrzeni opisany jest przez

tensor energii-pędu

gdzie u jest wektorem jednostkowym uμu

=1, ε jest prze-

strzennym rozkładem energii a P rozkładem ciśnienia.

W próżni gdy ε=0 i P=0 rozwiązaniem równań Einste-
ina jest przestrzeń Ricci płaska (Rμν=0, np. przestrzeń
Minkowskiego, ale również rozwiązanie z

metryką Karla

Schwarzschilda

). Jeżeli układ ﬁzyczny opisuje ciało ma-

sywne, a ciśnienie jest niewielkie, wtedy ε=ρc² i źródłem
grawitacji jest tylko rozkład masy ρ. W granicy gdy pręd-

kość światła c dąży do nieskończoności, otrzymujemy
teorię grawitacji

Newtona

4 Potwierdzenie teorii

4.1 Anomalie orbity Merkurego

Przewidywane orbity Merkurego – eliptyczna według teorii New-
tona (czerwona) i rozetowa według teorii Einsteina (niebieska).

Świadectwem przeciw teorii Newtona i jednocześnie
za teorią Einsteina była niezgodność ruchu

Merkurego

Ruch tej planety wykazywał niewielkie odchylenia zna-
ne od drugiej połowy

XIX

stulecia, względem obliczeń

wynikających z newtonowskich praw ruchu i grawitacji.
Anomalia orbity Merkurego jest bardzo niewielka, wy-
nosi 43 sekundy kątowe na każde sto lat. Żadne z propo-
nowanych na gruncie teorii Newtona rozwiązań tego pro-
blemu nie okazało się skuteczne. W roku

1916

Einstein

wyjaśnił ową niezgodność przy pomocy

praw grawitacji

w ogólnej teorii względności

4.2 Ruch światła w zakrzywionej czaso-

przestrzeni

Newton stwierdził w swojej Optyce, że

światło

może ule-

gać wpływowi grawitacji. Na mocy swojej teorii grawita-
cji przyjął on, że światło gwiazdy przechodzące w pobliżu
Słońca na swojej drodze ku Ziemi odchyli się skutkiem

grawitacji

o kąt 0,87

″

. Do zaobserwowania tego zjawi-

ska niezbędne jest wystąpienie

zaćmienia Słońca

. Teoria

Einsteina przewiduje, że odchylenie to będzie dwukrot-
nie większe, czyli 1,74″.

Obserwacje potwierdziły (w granicach

błędu ekspery-

mentalnego

), obliczenia wynikające z teorii Einsteina i

po dziś dzień uważane są za jej kluczowe świadectwo.
Powyższy eksperyment przeprowadzano wielokrotnie,

6 LINKI ZEWNĘTRZNE

przy jednoczesnym uściślaniu wyników pomiaru. Znacz-
nie dokładniejsze pomiary przeprowadzone w latach 70.
przez

, przy obserwacji

, również potwierdziły przewidywania

tej teorii.

Do tej pory nie istnieją dane obserwacyjne mogące pod-
ważyć ogólną teorię względności, choć wiadomo, że na-
wet przy próbach połączenia z mechaniką kwantową,
nie tłumaczy ona obecnego kształtu Wszechświata (patrz

ciemna materia

ciemna energia

Zobacz też

•

współrzędne współporuszające się

•

Gravity Probe B

•

szczególna teoria względności

Linki zewnętrzne

•

Intuicyjne wyjaśnienie równania pola

(

ang.

)

•

Living Reviews in Relativity

– portal poświęcony

ogólnej teorii względności

Text and image sources, contributors, and licenses

7.1

Text

• Ogólna teoria względności Źródło:

https://pl.wikipedia.org/wiki/Og%C3%B3lna_teoria_wzgl%C4%99dno%C5%9Bci?oldid=

45024245

Autorzy: Youandme, Kpjas, Polimerek, Jersz, Beno, Boud, Kakaz, Filemon, Maciek, Stok, Superborsuk, Tawbot, Lzur, Ency,

Olafbot, Robbot, Porkis, Lukas3, K K, WojciechSwiderski, CiaPan, Nova, Kocio, Tsca.bot, Voytek s, Lenka~plwiki, Grubel, AI~plwiki,
Artur Nowak~plwiki, Rentier, Marokl, RManka, Simek, 4C, BartekChom, W2023, Stepa, Chobot, YurikBot, LeonardoRob0t, WarXboT,
DaKa, Airwolf, Joa, MelancholieBot, Kaszkawal, Jakubhal, Dodek, Pedros, PG, Konradek, Grzegorz Dąbrowski, Escarbot, Swayze3,
JAnDbot, Maksim-bot, Turkusowy smok, YarluBot, Soulbot, Michał Rosa, KrzysiekS, Karol007, Romuald Wróblewski, Rei-bot,
Bot-Schafter, Ciacho5, Mpﬁz, Rémih, SashatoBot, VolkovBot, TXiKiBoT, Boleck, Sagi2007, Mjad, SoheiMajin Gotenks, Maikking,
Bukaj, SieBot, Loveless, Wiggles007, Mpn, MastiBot, Szymon Żywicki, Khan Tengri, KamikazeBot, Piter lew, Za Horyzontem, Belfer00,
SilvonenBot, Szczureq, Persino, MystBot, Luckas-bot, Ptbotgourou, Uniwersalista, Aaaba, Xqbot, GhalyBot, Adam Wujtewicz, RibotBOT,
Fizykaa, Wiklol, RedBot, GrouchoBot, EmausBot, ZéroBot, Sławek Borewicz, Manubot, Doctore, MerlIwBot, Marcintomaszewski,
Dexbot, Addbot, Matandun, AndrzeiBOT oraz Anonimowy: 39

7.2

Images

• Plik:Article_icon.svg Źródło:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Article_icon.svg

Licencja: CC BY-SA 3.0 Autorzy:

Praca własna Artysta:

MGalloway (WMF)

(

WMF User Experience Design group

)

• Plik:Einstein1921_by_F_Schmutzer_2.jpg

Źródło: