##########################################################################################
Ogólna teoria względności
P.A. M. Dirac
John Wiley & Sons, Inc 1975
Tłumaczenie rosyjskie Atomizdat 1975
******************************************************************************************
Tłumaczenie : R. Waligóra
Pierwsze tłumaczenie 2006
Ostatnia modyfikacja : 2020-07-10
Tłumaczenie całości książki
******************************************************************************************
Wstęp własny.
Przedstawione tłumaczenie książeczki Diraca, poświęconej Ogólnej Teorii Względności (skrót polski OTW, ang. General Theory of Relativity - GTR, ros. Общая Теория Относительности - ОТО) stanowi lekturę raczej
dla przygotowanego czytelnika - tj. czytelnika na poziome zaawansowanym.
W pierwszej kolejności należałoby znać podstawy mechaniki analitycznej - formalizm Lagrange'a, podstawy klasycznej teorii pola oraz, koniecznie podstawy analizy wektorowej i tensorowej, należy również dysponować podstawową wiedzą z zakresu Szczególnej Teorii względności (skrót polski STW, ang. Special Theory of Relativity - STR, ros. Специалная Теория Относительности - СТО lub również stosowana nazwa :
Частная Теория Относительности )
Autora niniejszej książeczki raczej nie trzeba nikomu przedstawiać - jest (był) on, bowiem powszechnie znanym i uznanym fizykiem teoretykiem (można powiedzieć - teoretykiem przez duże T ).
Wykład OTW niżej prezentowany można zaliczyć do klasycznego „tensorowego” wyłożenia tematu.
Dirac daje w pierwszych rozdziałach pewne przygotowanie matematycznego aparatu (klasyczna algebra i analiza tensorowa) by w końcowych rozdziałach wypełnić ten aparat fizyczną treścią.
Głównym problemem dla niedoświadczonego czytelnika może być swoboda w operowaniu zapisem indeksowym, oraz pomijanie szczegółów prowadzonych rachunków - co jest raczej typowe dla zaawansowanych fizyków teoretyków - po co zadawać sobie trud prowadzenia „elementarnych” rachunków ? )
Wobec powyższego wydaje mi się, że przed niniejszą lekturą należałoby również poznać podstawy OTW zdobywając je przy bardziej „strawniejszych” podręcznikach np. takich chociażby jak :
„Ogólna teoria względności” -- J. Foster , J. D. Nightingale wyd. PWN 1985
Wyłożony aparat matematyczny - rachunek tensorowy na przestrzeniach Riemanna, można przećwiczyć zapoznając się np. z książkami :
„Rachunek tensorowy” - J. L. Synge, A. Schild PWN 1964
„Elementy analizy tensorowej” - Leszek M. Sokołowski ; WUW 2010
R. Waligóra
******************************************************************************************
Spis treści :
Przedmowa redaktora przekładu
Przedsłowie autora
1) Szczególna teoria względności
2) Nie ortogonalne współrzędne kartezjańskie
3) Współrzędne krzywoliniowe
4) Wielkości nie tensorowe
5) Przestrzeń zakrzywiona
6) Przeniesienie równoległe
7) Symbole Christoffela
8) Geodezyjne
9) Własność stacjonarności geodezyjnych
10) Różniczkowanie kowariantne
11) Tensor krzywizny
12) Kryterium płaskiej przestrzeni
13) Tożsamości Bianchi
14) Tensor Ricciego
15) Prawo grawitacji Einsteina
16) Przybliżenie Newtonowskie
17) Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni
18) Rozwiązanie Schwarzschilda
19) Czarne dziury
20) Gęstości tensorowe
21) Twierdzenie Gaussa i Stokesa
22) Współrzędne harmoniczne
23) Pole elektromagnetyczne
24) Modyfikacja równań Einsteina w obecności materii
25) Tensor energii-pędu materii
26) Zasada wariacyjna dla grawitacji
27) Działanie dla ciągłego rozkładu materii
28) Działanie dla pola elektromagnetycznego
29) Działanie dla naładowanej materii
30) Zasada wariacyjna w ogólnym przypadku
31) Pseudo tensor energii-pędu pola grawitacyjnego
32) Jawna postać dla pseudotensora
33) Fale grawitacyjne
34) Polaryzacja fal grawitacyjnych
35) Człon kosmologiczny
******************************************************************************************
Przedmowa redaktora przekładu
Nowa książka jednego z najwybitniejszych fizyków naszych czasów, zagranicznego członka AN ZSSR
P.A.M. Diraca oparta jest na wykładach wygłoszonych przez autora na uniwersytecie stanu Floryda.
Jest ona przeznaczona dla czytelnika rozpoczynającego naukę ogólnej teorii względności OTW Einsteina. Wyróżniającą się stroną tej książki jest zwarte wyłożenie materiału. W ostatnim czasie pojawiło się wiele monografii poświęconych OTW, zawierających oprócz jej kluczowych zagadnień szereg zastosowań np.
w astrofizyce, kosmologii. Na tym tle książkę Diraca można nazwać „matematycznym minimum” dotyczącym OTW.
Wykład zawiera się w ramach tradycyjnej geometrycznej ideologii - teoria grawitacji Einsteina oparta na geometrii przestrzeni Riemanna. Po przeczytaniu tej książki będzie można bez trudu zorientować się w zastosowaniach tej teorii. Metody za pomocą których otrzymano niektóre klasyczne rezultaty jawią się oryginalnymi. W szczególności otrzymano w ogólnej postaci, równania ruchu źródeł o ciągłym rozkładzie pola zewnętrznego, jako następstwa równań Einsteina i równań odpowiadających im pól.
Książkę tą z zainteresowaniem przeczytają również wszyscy ci którzy pracują aktywnie na obszarze OTW, lub są związani z tym tematem. Oni zapewne należycie docenią jej zalety.
Przedsłowie autora
Zgodnie z OTW Einsteina, dla opisania fizycznej rzeczywistości potrzebujemy zakrzywionej przestrzeni.
Żeby zagłębić się lepiej w rozumieniu fizycznych prawidłowości, należy ustanowić prawidłową postać równań koniecznych dla opisania zakrzywionej przestrzeni. Wobec tego należy dobrze rozwinąć złożony matematyczny aparat. Każdy kto chce zrozumieć teorię Einsteina powinien znać szczegóły funkcjonowania tego aparatu.
Książka ta oparta jest na wykładach wygłoszonych na wydziale fizycznym uniwersytetu stanu Floryda.
Materiał wyłożony jest w niej w dostępnej i zwartej formie. Dla jej zrozumienia nie potrzebne jest posiadanie wiadomości wychodzących poza fundamentalne idee szczególnej teorii względności STW, oraz rachunek różniczkowy funkcji pola. To pozwoli czytelnikowi rozwiązującemu zagadnienia OTW pokonać wynikające z niej trudności z minimalną stratą czasu i energii oraz przygotować się na rozwiązywanie o wiele głębszych i specjalnych aspektów tego przedmiotu.
******************************************************************************************
1) Szczególna teoria względności
Dla opisania fizycznej przestrzeni -czasu potrzebne są cztery współrzędne: czas t i trzy współrzędne przestrzenne x, y, z. Przedstawmy je w formie
t = x0, x = x1, y = x2, z = x3
tak więc te cztery współrzędne można zapisać w formie xμ gdzie wskaźnik μ przybiera wartości 0,1, 2, 3.
Indeks μ zapisujemy w górnej pozycji aby uczynić zadość regule równowagi indeksów we wszystkich ogólnych równaniach teorii. Dokładne znaczenie reguły „balansu (równowagi) indeksów” stanie się jasnym nieco później.
Weźmy punkt bliski punktowi rozpatrywanemu czyli xμ, niech jego współrzędne będą dane jako xμ + dxμ. Cztery wielkości dxμ, opisujące przemieszczenie, można rozpatrywać jako składowe wektora.
Prawa STW pozwalają wprowadzić jednorodne liniowe przekształcenie dxμ.
To przekształcenie ma taką postać, aby wielkość
(dx0)2 - (dx1)2 - (dx2)2 - (dx3)2 (1.1)
była inwariantna (wybieramy jednostki w których prędkość światła jest równa : c = 1).
Wszystkie wielkości Aμ, które przy przekształceniu współrzędnych przekształcają się tak jak dxμ, nazywamy wektorem kontrawariantnym. Inwariantną wielkość
(A0)2 - (A1)2 - (A2)2 - (A3)2 = (A, A) (1.2)
można nazwać kwadratem długości wektora. Jeśli mamy drugi kontrawariantny wektor Bμ, to istnieje inwariantny iloczyn skalarny :
A0 B0 - A1 B1 - A2 B2 - A3 B3 = (A, B). (1.3)
Dla wygody takiego zapisu inwariantów wprowadzimy indeksy dolne.
Definiując :
A0 = A0 ; A1 = − A1 ; A2 = − A2 ; A3 = − A3 . (1.4)
Tak więc, wyrażenie w lewej części (1.2) możemy zapisać w postaci : Aμ Aμ, gdzie domyślnie sumujemy dla czterech wartości indeksu μ.
W takich oznaczeniach wzór (1.3) można przedstawić w postaci:
Aμ Bμ lub Aμ Bμ .
Cztery wielkości Aμ wprowadzone za pomocą wyrażeń (1.4) można również rozpatrywać jako składowe wektora. Prawa transformacji tych wielkości przy zmianie współrzędnych niewiele się różnią od praw transformacji Aμ za wyjątkiem znaków. Taki wektor nazywamy wektorem kowariantnym.
Z dwóch kowariantnych wektorów Aμ i Bμ można utworzyć szesnaście wielkości Aμ Bν ( indeks ν, tak jak wszystkie greckie indeksy w tej książce przebiegają wartości 0, 1, 2, 3 ).
Te szesnaście wielkości obrazują składowe tensora drugiego rzędu. Nazywa się je zwykle „iloczynem zewnętrznym” wektorów Aμ Bμ w odróżnieniu od iloczynu skalarnego (1.3) który nazywa się „iloczynem wewnętrznym”.
Tensor Aμ Bν stanowi tensor specjalny, ponieważ jego składowe związane są wzajemnie określonymi zależnościami. Dokonując sumowania wielu tensorów przedstawionych w ten sposób, można otrzymać bardziej ogólniejszy tensor drugiego rzędu, przykładowo :
Tμν = Aμ Bν + A'μ B'ν + A''μ B''ν + ...... (1.5)
Tensor ten charakteryzuje się ważną cechą : przy transformacjach współrzędnych jego składowe przekształcają się tak jak wielkości Aμ Bν. Można obniżyć jeden z indeksów w Tμν przyjmując zasadę obniżania indeksów w każdym członie w prawej części (1.5). Tak otrzymamy : Tμν lub Tμν .
Obniżając oba indeksy otrzymamy wielkość Tμν .
W tensorze Tμν można przyjąć ν = μ, co prowadzi do Tμμ .
Wtedy należy przeprowadzić sumowanie po czterech wartościach μ. W dalszej części książki zawsze kiedy występują dwa powtarzające się indeksy będziemy stosować sumowanie po tych indeksach
(tzn. wykorzystujemy umowę sumacyjną Einsteina - przypis własny).
To znaczy, że stosując się do tej zasady, Tμμ - będzie skalarem tożsamościowo równym Tμμ .
Można kontynuować tą procedurę i przemnożyć więcej niż dwa wektory z różnymi indeksami.
Takim sposobem zbudujemy tensory wyższego rzędu. Jeśli wszystkie mnożone wektory będą kontrawariantne, to otrzymany tensor będzie miał tylko górne indeksy. Jeśli natomiast wektory będą posiadać również dolne indeksy to otrzymamy ogólnie tensor z szeregiem dolnych i szeregiem górnych indeksów.
(tj. tensor mieszany - przypis). Kiedy przyjmiemy, że indeks górny jest równy dolnemu, wtedy zgodnie z przyjęta umową sumujemy po wszystkich wartościach tego indeksu. Indeks ten to tzw. indeks niemy.
Otrzymamy w tym przypadku tensor który będzie miał dwa swobodne (wolne - przypis własny) indeksy mniej w stosunku do tensora wyjściowego.
Taką procedurę nazywamy „zawężaniem tensora”.
Tym sposobem, jeśli wychodzimy od tensora czwartego rzędu Tμνρσ, to zawężając go po indeksach σ i ρ
otrzymamy tensor drugiego rzędu Tμνρρ, który ma tylko szesnaście składowych odpowiadającym czterem znaczeniom indeksów μ i ν.
Dokonując zawężenia jeszcze raz dochodzimy do skalara Tμμρρ składającego się z jednej składowej.
Teraz staje się jaśniejsze wyrażenie o tzw. „balansie indeksów”.
Każdy swobodny indeks pojawia się w równaniach jeden i tylko raz w każdym członie (składowej ) tego równania jako indeks dolny lub górny. Indeks, pojawiający się podwójnie w jednym członie równania jest indeksem niemym i powinien znajdować się jeden raz u góry i jeden raz u dołu składnika.
Taki indeks można zamienić na dowolny inny grecki indeks jeszcze nie wykorzystany w tym członie równania.
Takim sposobem : Tμνρρ = Tμναα . Indeks nie powinien pojawiać się więcej niż dwa razy w jednym członie.
2) Nieortogonalne współrzędne kartezjańskie
Zanim przejdziemy do matematycznego aparatu OTW, wygodnie jest rozpatrzyć pośredni formalizm STW
zapisany w nieortogonalnych współrzędnych kartezjańskich .
Przy przejściu do osi nieortogonalnych każda z wielkości dxμ w wyrażeniu (1.1) okazuje się być liniową funkcją nowych dxμ i forma kwadratowa (1.1) stanowi ogólną formę kwadratową dla nowych dxμ, można ją zapisać w postaci:
gμνdxμdxν (2.1)
gdzie w myśl umowy sumacyjnej sumujemy zarówno po μ jak i po ν.
Współczynniki gμν zależne są od wyboru współrzędnych nieortogonalnych kartezjańskich.
Koniecznie musi zachodzić gμν = gνμ (tj. zakładamy symetrię tensora metrycznego - przypis własny ), tak by rozróżnienie między gμν a gνμ nie miało wpływu na formę (2.1).
W takim przypadku mamy tylko dziesięć niezależnych współczynników gμν.
Przy przekształceniu współrzędnych cztery współczynniki Aμ dowolnego kontrawariantnego wektora przekształcają się tak jak dxμ .
Zatem wielkość gμνAμ Aν będzie inwariantem.
Inwariant, ten jest kwadratem długości wektora Aμ.
Niech Bμ będzie danym drugim kontrawariantnym wektorem, wtedy Aμ + λBμ także będzie wektorem, dla dowolnej wartości liczby λ. Kwadrat jego długości jest dany wzorem :
gμν(Aμ + λBμ) (Aν + λBν) = gμνAμAν + λ(gμνAμBν + gμνAμBν) + λ2gμνBμBν
Wielkość ta powinna być inwariantem przy wszystkich wartościach λ . Stąd wnioskujemy, że współczynniki przy λ0 , λ1 , λ2 są inwariantami. Współczynniki przy λ1 mają postać
gμνAμBν + gμνAνBμ = 2gμνAμBν
ponieważ, w drugim członie lewej części można zamienić miejscami μ i ν oraz wesprzeć się założeniem
gμν = gνμ .
W takim wypadku jasne jest, że gμνAμBν jest inwariantem.
Jest to oczywiście iloczyn skalarny wektorów Aμ i Bν.
Niech g - będzie wyznacznikiem gμν (tj. wyznacznikiem zbudowanym z współczynników tensora metrycznego - przypis własny g = det gμν ).
Wartość g nie powinna być równa zeru, w przeciwnym wypadku cztery osie nie były by liniowo niezależne w czasoprzestrzeni i nie mogłyby być wybrane w charakterze osi układu współrzędnych.
We współrzędnych ortogonalnych kartezjańskich rozpatrzonych w poprzednim rozdziale elementy diagonalne gμν równe są 1, −1, −1, −1, a elementy nie diagonalne są równe zeru.
Tak więc g = − 1.
W nieortogonalnych współrzędnych kartezjańskich g powinno być ujemne, ponieważ nieortogonalne współrzędne mogą być otrzymane z ortogonalnych za pomocą funkcji ciągłych, co skutkuje ciągłą zmianą g , oczywiście wartość g może przechodzić przez wartość zerową.
Określmy wielkość Aμ, będącą wektorem kowariantnym, następującym wzorem :
Aμ = gμνAμ (2.2)
Ponieważ g nie jest zerem, to równanie pozwala wyrazić Aμ przez Aμ.
Ta zależność ma postać :
Aν = gμνAμ (zasada podnoszenia indeksu - przypis własny) (2.3)
Każda składowa gμν jest równa dopełnieniu algebraicznemu odpowiadającej składowej gμν w wyznaczniku macierzy gμν podzielonemu przez g .
Tak więc gμν = gνμ . (symetryczność)
Podstawmy w (2.2) wyrażenie na Aν z (2.3). Żeby nie otrzymać trzech jednakowych indeksów w jednym członie należy zamienić indeks niemy μ w (2.3) na jakikolwiek inny indeks greckim na przykład ρ.
Tak więc, otrzymamy :
Aμ = gμνgνρAρ
To równanie musi być spełnione dla dowolnej czteroskładnikowej wielkości Aμ, zaznaczmy, że :
gμνgνρ = gρμ (2.4)
gdzie
gρμ = 1 dla μ = ρ (2.5)
i
gρμ = 0 dla μ ≠ ρ
Przy pomocy formuły (2.2) można opuścić, dla dowolnego tensora, dany indeks górny; przy pomocy formuły (2.3) można dokonać podniesienia, danego dolnego indeksu. Jeśli określony indeks podniesiemy, a następnie
Opuścimy, to zgodnie z (2.4) i (2.5) dany tensor się nie zmieni.
Zauważmy że w gρμ można prosto dokonać zmiany indeksu μ z indeksem ρ :
gρμ Aμ = A ρ
lub zmiany indeksu ρ na μ :
gρμAρ = Aμ .
Stosując prawo podniesienia indeksu μ w gμν otrzymamy
gαν = gαμgμν
To zgadza się z (2.4) jeśli przyjmiemy do wiadomości, że zgodnie z symetrią gμν indeksy w gαν można pisać jeden pod drugim. Idąc dalej wedle tej reguły dla indeksu ν otrzymamy :
gαβ = gνβ gαν
Ten rezultat bezpośrednio wynika z (2.5). Prawa podnoszenia i opuszczania indeksów stosujemy dla wszystkich indeksów w :
gμν, gμν, gμν .
3) Współrzędne krzywoliniowe
Obecnie przejdziemy do układów współrzędnych krzywoliniowych. Rozpatrzmy wielkości które znajdują się
w danym punkcie czasoprzestrzeni. Mogą to być wieloskładnikowe wielkości ze składnikami odniesionymi do
osi współrzędnych w danym punkcie.
Jeśli wielkość ta obecna jest we wszystkich punktach przestrzeni nazywamy ją wielkością polową.
Wielkość polową Q (lub jedna z jej składników, jeśli jest ich wiele) można zróżniczkować po danej z czterech współrzędnych. Zapiszmy ten rezultat :
∂Q/∂xμ = Q, μ
Indeks dolny po przecinku, zawsze będzie oznaczał takie różniczkowanie. Indeks μ umieszczony u dołu tak jak ten sam indeks umieszczony u góry w lewej części równości znajduje się w mianowniku.
Zmiana Q przy przejściu od punktu xμ do punktu bliższego xμ + δxμ ma postać :
δQ = Q, μ δxμ (3.1)
Widać, że umowa o balansie indeksów jest wypełniona. Przyjdzie nam w dalszej części przypisywać danemu
punktowi wektory i tensory z współczynnikami odniesionymi do współrzędnych osi w tym punkcie.
Przy transformacjach współrzędnych składniki takich wielkości przekształcają się zgodnie z prawem podanym w poprzednim rozdziale jednak, zależnym od przekształcenia współrzędnych w rozpatrywanym punkcie.
Otrzymamy, jak i poprzednio wielkości gμν i gμν z indeksami dolnymi i górnymi.
Jednak indeksy te nie będą stałe, ale będą się zmieniać od punktu do punktu tj. będą wielkościami polowymi.
Rozpatrzmy rezultat specjalnego przekształcenia współrzędnych. Niech każda z nowych współrzędnych krzywoliniowych x'μ jest funkcją czterech xμ. Wygodnie jest pisać xμ', gdzie przecinek stoi przy indeksie μ a nie przy x. Modyfikując xμ otrzymujemy cztery wielkości δxμ obrazujące wektor kontrawariantny.
Składowe tego wektora w nowych współrzędnych zgodnie z (3.1) mają postać :
δxμ' = (∂xμ'/∂xν) δxν = xμ',ν δxν
Stąd otrzymujemy prawo przekształcenia danego wektora kontrawariantnego Aν :
Aμ' = xμ',ν Aν (3.2)
Przedstawiając nowy wejściowy układ współrzędnych ze zmienionymi indeksami otrzymujemy :
Aλ = xλ',μ'Aμ' (3.3)
Z własności różniczkowania cząstkowego wiadomo, że (zgodnie z oznaczeniami (2.5)) :
(∂xλ/∂xμ')(∂xμ'/∂xν) = gλν
Tak więc
xλ,μ' xμ',ν = gλν (3.4)
To pozwala zobaczyć spójność (3.2) i (3.3), ponieważ podstawienie (3.2) do prawej części (3.3) daje :
xλ,μ' xμ',ν Aν = gλνAν = Aλ
Aby wyjaśnić jak przekształca się wektor kowariantny Bμ zastosujmy warunek inwariantności wielkości
Aν Bμ. Z uwzględnieniem (3.3) zapiszemy to następująco :
Aμ'Bμ' = Aλ Bλ = xλ, μ' Aμ'Bλ'
Ten rezultat powinien być słuszny dla wszystkich czterech wartości Aμ', dlatego przyrównując współczynniki przy Aμ' możemy otrzymać :
Bμ' = xλ, μ'Bλ (3.5)
Formuły (3.2) i (3.5) pozwalają teraz na transformacje dowolnego wektora z daną liczbą indeksów górnych i dolnych. Współczynniki typu : xμ', ν i xλ, μ' za każdym razem powinny być wykorzystywane jednorazowo dla każdego dolnego i górnego indeksu, spełniając umowę o balansie indeksów, przykładowo :
Tα'β'γ' = xα', λ xβ', μ xν, γ' Tγμ ν' (3.6)
Dowolna wielkość przekształcająca się zgodnie z takim prawem jest tensorem. Równość (3.6) można uważać za definicje tensora. Zauważmy, że dla tensora istotna jest symetria lub asymetria względem indeksów typu λ i μ , ta własność zachowana zostaje przy transformacjach współrzędnych. Wzór (3.4) można przepisać w postaci :
xλ, α' xβ', ν gα'β' = gλν
skąd wynika, że gλν jest tensorem .
Dla dowolnych wektorów Aμ i Bν otrzymamy :
gα'β'Aα'Bβ' = gμν AμBν = gμν xμ , α' xν, β' Aα'Bβ'
Ponieważ jest to słuszne dla wszystkich wartości Aα' i Bβ' wnioskujemy że :
gα'β' = gμν xμ ,α' xν,β' (3.7)
Stąd wynika, że gμν jest tensorem. Analogicznie można pokazać że gμν - jest również tensorem.
Wielkości te nazywamy „tensorami podstawowymi” (fundamentalnymi). Dowolną skalarną wielkość polową można uważać za funkcje czterech xμ jak i również funkcje czterech xμ.
Zgodnie z własnościami operacji różniczkowania cząstkowego otrzymamy :
S, μ' = S, λ xλ, μ'
Odpowiednio S, λ przekształca się tak jak Bλ z równania (3.5) i w takim razie różniczka pola skalarnego jest kowariantnym polem wektorowym.
4) Wielkości nie tensorowe
Istnieją wielkości Nμνρ.... - z różnymi górnymi i dolnymi indeksami, które nie są tensorami.
Przy przekształceniu współrzędnych wielkość tensorowa powinna przekształcać się według prawa (3.6).
W przeciwnym przypadku wielkość ta nie jest tensorem. Tensor odznacza się taką własnością, że kiedy wszystkie jego składowe stają się zerami w jakimś jednym układzie współrzędnych, to są one zerami również w innym. Dla wielkości nie będących tensorami taka własność jest nie spełniona.
Indeksy w przypadku wielkości nie tensorowych można podnosić i opuszczać zgodnie z prawami obowiązującymi dla tensorów.
Tak jak np. dla :
gανNμνρ = Nμαρ
Takie zasady jednak nie są w żaden sposób związane z prawami przekształcenia do nowych układów współrzędnych. Przy określaniu wielkości nietensorowych w ten sposób można nie rozróżniać między dolnymi a górnymi indeksami. Tensory i nietensory mogą pojawiać się razem w jednym równaniu.
Balans indeksów jest zachowany zarówno nie tensorów jak i tensorów.
Twierdzenie dotyczące kryterium wielkości tensorowej (twierdzenie ilorazowe)
Niech wielkość Pλμν, taka że AλPλμν będzie tensorem dla danego wektora Aν
W takim przypadku Pλμν będzie tensorem. Żeby to udowodnić wprowadzimy
Qμν = AλPλμν
Zgodnie z powyższym Qμν jest tensorem dlatego :
Qβγ = Qμ'ν'xμ',βxν', γ
Wtedy:
AαPαβγ = Aλ'Pλ'μ'ν'xμ', βxν', γ
Ponieważ Aλ' - jest wektorem, z (3.2) mamy:
Aλ' = Aλxλ', α
W takim razie :
AαPαβγ = Aαxλ',αPλ'μ'ν'xμ',βxν',γ
Ta równość powinna być spełniona dla wszystkich wartości Aα ; w szczególności:
Pαβγ = Pλ'μ'ν' xλ', α xμ',βxν', γ
Widać z tego, że Pαβγ jest tensorem .
Twierdzenie jest słuszne dla wielkości o dowolnej liczbie dolnych i górnych indeksów.
5) Przestrzeń zakrzywiona
Dwuwymiarową, zakrzywioną przestrzeń można sobie wyobrazić jako powierzchnie w przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej. Analogicznie można postąpić w przypadku zakrzywionej czterowymiarowej przestrzeni tj. można ją przedstawić w płaskiej przestrzeni wielowymiarowej. W tym przypadku zakrzywiona przestrzeń nazywa się przestrzenią Riemanna. Mały obszar przestrzeni Riemanna jest bliski przestrzeni płaskiej.
Einstein założył, że fizyczna przestrzeń ma właśnie takie własności i dlatego założył geometrie Riemanna jako podstawę dla teorii grawitacji.
W zakrzywionej przestrzeni nie można wprowadzić systemu współrzędnych prostoliniowych (globalnie - przypis własny). Musimy korzystać ze współrzędnych krzywoliniowych, takiego typu jakie rozpatrywaliśmy w rozdziale 3. Formalizm tego rozdziału możemy zastosować do przestrzeni zakrzywionych ponieważ wszystkie zastosowane tam równania są lokalne co sprawia że są nieczułe na krzywiznę.
Inwariantny interwał ds między punktami xμ i bliskim punktem xμ + dxμ dany jest wyrażeniem postaci (2.1):
gμνdxμdxν
Interwał ds dla czasopodobnych punktów jest rzeczywisty dla przestrzennopodobnych - urojony.
We współrzędnych krzywoliniowych, gμν zadana jest jako funkcja współrzędnych i określa wszystkie inwariantne odległości zatem gμν zadaje metrykę .
Wielkość gμν określa zarówno układ współrzędnych jak i krzywiznę.
6) Przeniesienie równoległe
Niech wektor Aμ będzie zaczepiony w punkcie P. Jeśli przestrzeń jest zakrzywiona pojęcie wektora równoległego zaczepionego w drugim punkcie Q traci sens, łatwo się o tym przekonać na przykładzie zakrzywionej powierzchni dwu wymiarowej „zanurzonej” w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej.
Istnieje jednak w punkcie P' bliskim punktowi P wektor równoległy do wektora Aμ wyznaczony z
dokładnością do członów drugiego rzędu względem odległości między punktami P i P'.
Tak więc można nadać sens operacji przeniesienia równoległego wektora Aμ z punktu P do P' pozostawiającej ten wektor równoległy sam do siebie i nie zmieniającej jego długości. Przy pomocy operacji przeniesienia równoległego można w sposób ciągły przenieś wektor wzdłuż danej trajektorii.
Wybierając tę trajektorię (tor, krzywą - przypis własny) od P do Q otrzymamy wektor w punkcie Q, równoległy w znaczeniu danej wybranej trajektorii wychodzącej z punktu P.
Wybór innej trajektorii może dać zupełnie inny rezultat przeniesienia równoległego. Pojęcie wektora w punkcie Q, równoległego do wektora wejściowego P nie jest pojęciem absolutnym. Jeśli dokonać przeniesienia równoległego z punktu P wzdłuż zamkniętej trajektorii to otrzymamy znów wektor w punkcie P, który ogólnie mówiąc będzie odmienny od wektora początkowego.
Równania dla przeniesienia równoległego wektora można otrzymać zakładając, że nasza czterowymiarowa przestrzeń fizyczna znajduje się w płaskiej przestrzeni o wyższym wymiarze np. N wymiarowej.
Wprowadzimy w tą N-wymiarową przestrzeń współrzędne prostoliniowe : zn (n = 1,2,...,N ).
Współrzędne te mogą być współrzędnymi nieortogonalnymi.
Dla dwóch bliskich punktów istnieje inwariantna odległość :
ds2 = hnmdzndzm (6.1)
gdzie sumowanie po n i po m prowadzimy od 1 do N.
W odróżnieniu od gμν wielkości hnm są stałymi.
Z ich pomocą można dokonać opuszczenia indeksów w n-wymiarowej przestrzeni:
dzn = hnmdzm
Przestrzeń fizyczna obrazowana jest jako czterowymiarowa „powierzchnia” w płaskiej N-wymiarowej
przestrzeni. Każdy punkt xμ tej powierzchni określa pewien punkt yn w N-wymiarowej przestrzeni.
Każda współrzędna yn jest funkcją czterech xμ . Równania powierzchni zadajemy rugując xμ z N funkcji postaci yn (x). Takich równań jest N- 4. Różniczkując yn (x) względem parametrów xμ otrzymujemy:
∂yn (x) / ∂xμ = yn, μ
Dla dwóch bliskich punktów powierzchni różniących się o δxμ otrzymamy:
∂yn = yn,μδxμ (6.2)
Zgodnie z (6.1) kwadrat inwariantnej odległości między tymi punktami ma postać :
δs2 = hnm ∂yn∂ym = hnm yn, μ ym, ν δxμ δxν
Ponieważ hnm - są stałymi to δs2 można zapisać w postaci :
δs2 = yn, μ yn , νδxμ δxν
oprócz tego
δs2 = gμνδxμ δxν
stąd otrzymujemy że :
gμν = yn, μ yn, ν (6.3)
Rozpatrzmy w przestrzeni fizycznej wektor kontrawariantny Aμ umieszczony w punkcie x.
Składowe tego wektora przekształcają się tak jak δxμ z (6.2) i z nich można zbudować odpowiadający im kontrawariantny wektor : An , w N-wymiarowej przestrzeni przekształcający się tak samo jak :
δyn z (6.3)
Wtedy:
An = yn, μAμ (6.4)
Wektor An oczywiście należy do powierzchni.
Przemieśćmy teraz An w sąsiedni punkt powierzchni x + dx, pozostawiając go równoległym do siebie
(to oznacza, że składowe An pozostają nie zmienne). W skutek krzywizny przestrzeni wektor w punkcie x + dx już nie przynależy do powierzchni. Jednak jego rzut na powierzchnię określa pewien wektor który należy do powierzchni.
Dla znalezienia tego rzutu na powierzchnię należy rozłożyć wektor na część tangencjalną (styczną) i normalną,
a następnie część normalną odrzucić :
An = An tan An nor (6.5)
Jeśli oznaczyć jako Kμ, składowe An tan w układzie współrzędnych x, przynależące do powierzchni,
to zgodnie z (6.4) można zapisać :
An tan = Kμ yn, μ(x + dx) (6.6)
gdzie współczynniki yn, μ wzięte są w nowym punkcie x +dx.
Składowa An nor zgodnie ze swoją definicją jest ortogonalna do danego wektora stycznego w punkcie x + dx , zatem jest również ortogonalna do dowolnego wektora określonego w prawej części (6.6), niezależnie od
postaci Kμ. Tak więc :
An nor yn, μ(x + dx) = 0
Jeśli następnie pomnożymy (6.5) przez :
yn,ν(x + dx)
to człon z An nor zniknie i z udziałem (6.3) otrzymamy :
An yn, μ(x + dx) = Kμ yn, μ(x + dx)yn, ν(x + dx) = Kμ gμν(x + dx)
W takim razie, z dokładnością do wielkości pierwszego rzędu względem dx znajdujemy :
Kν (x + dx) = An[ yn, ν(x)+ yn,ν,σdxσ ] = An yn, μ[ yn,ν + yn,ν,σdxσ] = Aν + Aμ yn, μ yn,ν,σdxσ
Ponieważ Kν jest rezultatem przeniesienia równoległego Aν do punktu x + dx , można podstawić :
Kν - Aν = dAν
Tak, więc dAν oznacza zmianę Aν przy przeniesieniu równoległym.
Wtedy otrzymamy :
dAν = Aμ = dAν yn, μ yn,ν,σdxσ (6.7)
7) Symbole Christoffela
Różniczkując (6.3) otrzymujemy (drugi przecinek przy dwukrotnym różniczkowaniu opuszczamy)
gμν, σ = yn, μσ yn, ν + yn, μ yn, νσ = yn, μσ yn, μσ yn,ν + yn, νσ yn, μ (7.1)
ponieważ indeks niemy n , w wyniku stałości hnm można podnieść i opuścić .
Zmieniając miejscami μ i σ w (7.1) otrzymamy :
gσν,μ = yn, σμ yn,ν + yn, νμ yn, σ (7.2)
Przestawiając ν i σ w (7.1) otrzymamy :
gμσ, ν = yn, μν yn, σ + yn, σν yn, μ (7.3)
Teraz dodajmy (7.1) i (7.3) a od wyniku odejmijmy (7.2), następnie podzielmy to przez dwa
W rezultacie otrzymamy :
½ (gμν, σ + gμσ, ν - gνσ, μ ) = yn, νσ yn, μ (7.4)
Zdefiniujmy pewien symbol :
Γμνσ = ½ (gμν, σ + gμσ, ν − gνσ, μ ) (7.5)
Tę wielkość nazywamy symbolem Christoffela pierwszego rzędu.
Jest ona symetryczna względem dwóch ostatnich indeksów.
Symbol Christoffela pierwszego rzędu nie jest tensorem. Z (7.5) bezpośrednio wynika :
Γμνσ + Γνμσ = gμν, σ (7.6)
Teraz jasne jest, że (6.7) można zapisać w postaci :
dAμ = Aμ Γμνσ dxσ (7.7)
To już nie odnosi się do N-wymiarowej przestrzeni, ponieważ symbol Christoffela wyraża się tylko przez tensor metryczny gμν przestrzeni fizycznej. Można pokazać, że długość wektora nie zmienia się przy przeniesieniu równoległym. W istocie :
d(gμνAμ Aν ) = gμνAμ dAν + gμνAν dAμ +Aμ Aν gμν,σdxσ = AνdAν + Aμ dAμ + Aα Aβ gμν,σ dxσ =
= Aν Aμ Γμνσ dxσ + Aμ Aν Γνμσ dxσ + Aα Aβ gαβ,σ dxσ = Aν Aμ gμν,σ dxσ + Aα Aβ gαβ,σ dxσ
(7.8)
Dalej :
gαμ, σ gμν + gαμ gμν, σ = ( gαμ gμν), σ = gαν, σ = 0.
Mnożąc to przez gβν otrzymujemy :
gαβ,σ = − gαμ gβν gμν,σ (7.9)
T pożyteczne wyrażenie matematyczne wyraża pochodną gαβ przez pochodną gμν.
Stąd mamy :
Aα Aβ gαβ, σ = − Aν Aμ gμν, σ
Tak więc wyrażenie (7.8) staje się zerem. W takim razie długość wektora jest niezmienna.
W szczególności, wektor zerowy (tj. wektor o długości zerowej) przy przeniesieniu równoległym pozostaje nadal zerowy. Stałość długości wektora przy przeniesieniu równoległym wynika również z rozważań geometrycznych. Przy rozłożeniu wektora Aμ na składowe styczne i normalne zgodnie z (6.5) składowa normalna jest infinitezymalna i ortogonalna do składowej stycznej.
To znaczy, że długość wektora w pierwszym przybliżeniu równa jest długości jego składowej stycznej.
Stałość długości dowolnego wektora pociąga za sobą stałość iloczynu skalarnego gμνAμ Bν dwóch dowolnych wektorów A i B. Można to pokazać, wykorzystując stałość długości wektora A + λB przy dowolnej wartości parametru λ. Często bywa wygodnie podnieść pierwszy indeks symbolu Christoffela tak aby wyrazić wielkość :
Γμ νσ = gμλΓλνσ
którą nazywamy symbolem Christoffela drugiego rzędu.
Jest on symetryczny względem dwóch dolnych indeksów. Jak wyjaśnialiśmy w rozdziale 4, operacja podniesienia indeksu określona jest również dla wielkości nie tensorowych.
Wzór (7.7) możemy przepisać w postaci :
dAα = Γμ νσ Aαdxσ (7.10)
Jest to standardowy zapis dla składowych kowariantnych.
Wprowadzając drugi wektor Bν otrzymujemy :
d( AαBν) = 0
dAν dBν = − BνdAν = − Bν Γμ νσ Aμdxσ = − Bμ Γν μσ Aνdxσ
Ostatnia równość jest prawdziwa dla dowolnego Aν.
Tak więc :
dBν = − Γν μσ Bμ dxσ (7.11)
Jest to standardowy zapis dla przeniesienia równoległego w składowych kontrawariantnych.
8) Geodezyjne
Niech punkt o współrzędnych zμ porusza się po jakiejkolwiek trajektorii, wtedy zμ będzie funkcją pewnego parametru τ. Zapiszmy :
dzμ /dτ = uμ .
Wektor uμ, zgodnie z powyższym będzie określony w każdym punkcie trajektorii.
Zauważmy, że przy poruszaniu się wzdłuż trajektorii wektor uμ przemieszcza się za pośrednictwem operacji przeniesienia równoległego. Wtedy zadanie punktu początkowego i wartości początkowej wektora uμ określa całą trajektorię. W istocie - najpierw musimy przemieścić punkt początkowy, z zμ do zμ + uμdτ tzn. za pomocą przeniesienia równoległego przenieść w ten nowy punkt wektor uμ, potem znowu przenieść punkt w kierunku zadanym przez nowy wektor uμ itd.
W ten sposób określamy nie tylko trajektorię ale także parametr τ wzdłuż niej.
Trajektoria określona w ten sposób nazywamy - geodezyjną .
Jeśli uμ w punkcie początkowym jest wektorem zerowym to pozostaje on wektorem zerowym we wszystkich innych punktach, w tym przypadku trajektorię nazywamy geodezyjną zerową.
Jeśli u w punkcie początkowym jest wektorem czasopodobnym ( uμ uμ > 0), to pozostaje on czasopodobny we wszystkich innych punktach, a geodezyjną nazywamy czasopodobną.
Odpowiednio, jeśli - uμ w punkcie początkowym jest wektorem przestrzennopodobnym ( uμ uμ < 0), to pozostaje on przestrzennopodobny we wszystkich innych punktach, a geodezyjną nazywamy przestrzennopodobną..
Powróćmy do równania (7.11), podstawmy Bν = uν i
dxσ = dzσ, otrzymujemy równanie geodezyjnej :
dxν / dτ + Γνμσ uμ dzσ/dτ = 0 (8.1)
lub
d2zν / dτ2 + Γνμσ ( dzμ/dτ ) dzσ/dτ = 0 (8.2)
Dla geodezyjnej czasopodobnej można sprowadzić długość wektora początkowego uμ do jedności, mnożąc go przez odpowiedni czynnik. Do tego potrzebna jest tylko zmiana skali τ.
Od teraz wektor uμ zawsze będzie miał długość jednostkową.
Przedstawia on sobą wektor prędkości vμ = dzμ /ds, a parametr τ stanowi odpowiednik czasu s.
Równanie (8.1) przyjmuje postać :
dvν / ds + Γμνσ vμ vσ = 0 (8.3)
a równanie (8.2) postać :
d2zμ / ds2 + Γμνσ ( dzν/ds ) dzσ/ds = 0 (8.4)
Zauważmy, że linia świata cząstek które nie znajdują się pod działaniem jakichkolwiek sił oprócz grawitacyjnych jest geodezyjną czasopodobną Jest to zamiennik pierwszego prawa Newtona.
Równanie (8.4) jest równaniem zadającym przyspieszenie i jest równaniem ruchu. Zauważmy także, że trajektoria linii świetlnej jest geodezyjną zerową. Jest ona zadana równaniem (8.2) z pewnym parametrem τ wzdłuż trajektorii. W tym przypadku nie należy stosować czasu własnego s ponieważ ds jest zerem.
9) Własność stacjonarności geodezyjnych
Geodezyjna, nie będąca zerową odznacza się następującą własnością :
całka ∫ds wzięta wzdłuż odcinka trajektorii o początku w punkcie P i końcu Q przy małych wariacjach trajektorii z ustalonymi punktami granicznymi pozostaje stała.
Przemieśćmy każdy punkt trajektorii o współrzędnych zμ do punktu zμ + δzμ.
Jeśli przemieszczenie wzdłuż trajektorii oznaczymy jako dxμ
ds2 = gμνdxμdxν
to :
2dsδ(ds) = dxμdxνδgμν + gμνdxμ δdxν + gμνdxν δdxμ = dxμ dxνgμν,λδxλ + 2gμλdxμ δdxλ
Oprócz tego :
δdxλ = dδxλ
W takim wypadku ponieważ dxμ = vμds
to:
δ(ds) = [ ½ gμν,λvμ vνδxλ + gμλvμ dδxλ/ds] ds
Zatem :
δ∫ds = ∫δ(ds) = ∫[ ½ gμν,λvμ vνδxλ + gμλvμ dδxλ/ds] ds
Całkując przez części i wykorzystując warunek δxλ = 0 w punktach granicznych P i Q otrzymujemy :
δ∫ds = ∫[ ½ gμν,λvμ vνδxλ − (d/ds) (gμλvμ )] dxλ ds (9.1)
Warunkiem zerowania się (9.1) przy dowolnym δxλ są :
(d/ds) (gμλvμ ) - ½ gμν,λvμ vν = 0 (9.2)
Dalej :
(d/ds) (gμλvμ ) = gμλ dvμ / ds + gμλ ,νvμ vν = gμλ dvμ / ds + ½ ( gλμ ,ν + gλν ,μ) vμ vν
Tak więc warunek (9.2) przyjmuje postać :
gμλ dvμ /ds + Γλμν vμ vν = 0
Mnożąc to równanie przez gλσ możemy zapisać :
dvσ /ds + Γσμν vμ vν = 0
tj. tak jak warunek (8.3) dla geodezyjnej.
Stąd widać ,że dla geodezyjnej wyrażenie (9.1) staje się zerem i ∫ds = const.
I odwrotnie, jeśli ∫ds jest stała można pokazać, że trajektoria jest geodezyjną.
W takim razie, warunek stałości ∫ds można wykorzystać jako określenie geodezyjnej, wykluczając oczywiście przypadek kiedy jest ona zerowa.
10) Różniczkowanie kowariantne
Niech S -będzie polem skalarnym. Wtedy jak było pokazane w rozdziale 3, S,ν - jest wektorem kowariantnym Dalej, niech Aμ - będzie polem wektorowym. Czy jego pochodna - Aμ ,ν jest tensorem ?
Aby odpowiedzieć na to pytanie zobaczmy jak przekształca się Aμ ,ν przy przekształceniach współrzędnych . `W oznaczeniach zgodnych z rozdziałem 3 Aμ przekształca się zgodnie z równaniem (3.5) :
Aμ , = Aρxρ,μ'
I następnie :
Aμ , ν' = (Aρxρ, μ'), ν' = Aρ, σ xσ, ν' xσ, μ' + Aρxρ, μ'ν'
To wyrażenie jest dokładnym prawem przekształcenia tensora - jeśli w prawej części nie występuje ostatni człon. A to oznacza, że - Aμ, ν nie jest tensorem. Można jednak zmodyfikować operacje różniczkowania tak aby otrzymać tensor. Weźmy wektor Aμ w punkcie x i przenieśmy go za pomocą przeniesienia równoległego do punktu x + dx. Przy tej operacji A pozostaje wektorem.
Odejmiemy go od wektora A w punkcie x +dx - różnica także będzie wektorem :
Aμ (x + dx) - [Aμ (x) + Γαμν Aμ dxν] = (Aμ ,ν − Γαμν Aα )dxν
Ta wielkość jest wektorem dla dowolnego wektora dxν, tak więc zgodnie z twierdzeniem ilorazowym (zobacz rozdział 4) współczynnik : Aμ ,ν − Γαμν Aα jest tensorem.
Łatwo sprawdzić bezpośrednio, że przy przekształceniu współrzędnych przekształca się on według prawa tensorowego. To wyrażenie nazywa się pochodną kowariantną Aμ i zapisywane jest w formie :
Aμ : ν = Aμ ,ν − Γαμν Aα (10.1)
Znak „ : ” (dwukropek) przed dolnym indeksem dalej będzie oznaczał pochodną kowariantną, podobnie jak przecinek oznacza zwykłą pochodną (tj. pochodną cząstkową - przypis własny ).
Niech Bμ będzie pewnym drugim wektorem.
Określimy pochodną kowariantną iloczynu wewnętrznego jako:
(Aμ Bν ): σ = Aμ : σ Bν + Aμ Bν : σ (10.2)
Oczywiście, że jest to tensor z trzema indeksami.
Jego jawna postać jest następująca :
(Aμ Bν ): σ = (Aμ , σ − Γαμα Aα )Bν + Aν( Bν : σ − Γανσ Bα ) = (Aμ Bν ), σ − Γαμσ Aα Bν −
− ΓανσAαBα
Niech Tμν - będzie tensorem z dwoma indeksami.
Może on być wyrażony w postaci sumy członów : Aμ Bν tak więc jego kowariantna pochodna przedstawia się następująco :
Tμν : σ = Tμν , σ − Γαμσ Tαν − Γανσ Aμα (10.3)
Tę zasadę można uogólnić dla przypadku pochodnej kowariantnej tensora z dowolną liczbą dolnych indeksów :
Yμν...... : σ = Yμν...... , σ − Γ - człon dla każdego indeksu. (10.4)
W każdym z tych Γ - członów należy spełnić warunek balansów indeksów.
To jest warunek konieczny dla jednoznacznego rozmieszczenia indeksów. Pochodną kowariantną skalara otrzymujemy z ogólnej formuły (10.4) gdzie ilość indeksów Y będzie równa zero :
Y: σ = Y , σ (10.5)
Zastosujmy (10.3) do tensora fundamentalnego gμν .
Z udziałem (7.6) to daje :
gμν : σ = gμν , σ − Γαμσ gαν − Γανσ gμα = gμν , σ − Γνμσ − Γμνσ = 0
W takim wypadku przy różniczkowaniu kowariantnym gμν można rozpatrywać jako stałą.
Wzór (10.2) przedstawia sobą ogólne prawo wykorzystywane przy różniczkowaniu iloczynu.
Zauważmy, że to prawo jest słuszne również dla pochodnej kowariantnej iloczynu skalarnego dwóch wektorów. Wtedy:
(Aμ Bμ ), σ = Aμ : σ Bμ + Aμ Bμ : σ (10.6)
Stąd, zgodnie z (10.5) i (10.1) otrzymujemy:
(Aμ Bμ ), σ = Aμ : σ Bμ + Aμ (Bμ , σ − Γαμσ Bα )
a następnie :
(Aμ, σ Bμ ), σ = Aμ : σ Bμ − Aα Γμασ Bμ
Ponieważ jest to słuszne dla każdego Bμ mamy :
Aμ: σ = Aμ, σ + Γμασ Aα (10.7)
Jest to standardowe wyrażenie dla pochodnej kowariantnej wektora kontrawariantnego. Tutaj też pojawia się symbol Christoffela tak jak w standardowej formule (10.1) dla wektora kowariantnego, jednak ze znakiem plus. Rozkład indeksów jest zgodny z zasadą równowagi indeksów.
Formalizm ten można uogólnić na przypadek kowariantnej pochodnej tensora z daną liczbą dolnych i górnych indeksów. Człon Γ będzie pojawiał się dla każdego indeksu (ze znakiem plus dla indeksu górnego, ze znakiem minus dla dolnego) . Jeśli zawężyć dwa indeksy to odpowiadające im człony Γ skracają się.
Wzór dla pochodnej kowariantnej iloczynu :
(XY) : σ = X : σ Y + X Y : σ (10.8)
jest słuszna dla ogólnego przypadku dowolnych wielkości tensorowych X i Y.
Ponieważ gμα przy różniczkowaniu kowariantnym zachowuje się jak stała, indeksy można podnosić i opuszczać przed różniczkowaniem rezultat będzie taki sam jak by wykonać te operacje po różniczkowaniu.
Pochodna kowariantna dla wielkości nie tensorowych nie ma sensu.
Prawa fizyczne powinny być słuszne we wszystkich rodzajach układów współrzędnych.
To znaczy, że powinny wyrażać się w formie równań tensorowych. Jeśli równania zawierają pochodne wielkości polowych to powinny być to pochodne kowariantne . Równania polowe otrzymujemy zamieniając zwykłe pochodne na pochodne kowariantne.
Na przykład równanie D'Alamberta V = 0 dla pola skalarnego V w kowariantnej formie przyjmuje postać :
gμνV: μ : ν = 0
Stosując (10.1) i (10.5) otrzymujemy:
gμν (V, μ ν − Γαμν V, α ) = 0 (10.9)
Nawet rozpatrując problemy w przestrzeni płaskiej (tj. bez udziału pola grawitacyjnego) i wykorzystując współrzędne krzywoliniowe należy zapisywać równania stosując zapis uwzględniając pochodną kowariantną tak aby zachować ich postać we wszystkich układach współrzędnych.
11) Tensor krzywizny
Ze wzoru dla różniczkowania iloczynu (10.8) widać, że dla iloczynu różniczkowanie kowariantne jest w pełni analogiczne do różniczkowania zwykłego. Istnieje ważna własność zwykłego różniczkowania która odznacza się tym, że przy działaniu dwóch operatorów różniczkowania ich porządek nie ma znaczenia, dla różniczkowania kowariantnego w ogólnym przypadku taka własność nie zachodzi.
Rozpatrzmy pole skalarne S. Z (10.1) otrzymamy
S : μ : ν = S : μ , ν − Γαμν S : α = S , μν − Γαμν S , α (11.1)
Otrzymane wyrażenie jest symetryczne względem indeksów μ i ν tak więc w tym wypadku porządek operatorów różniczkowania kowariantnego nie ma znaczenia.
Teraz podziałajmy dwoma operatorami różniczkowania kowariantnego na wektor Aμ.
Ze wzoru (10.3), gdzie w miejsce Tνσ wstawiamy Aν : σ otrzymujemy:
Aν : ρ : σ = Aν : ρ , σ − Γανσ Aα : ρ − Γαρσ A ν : α = (Aν , ρ − Γανρ Aα ),σ − Γανσ (Aα , ρ − Γβαρ Aβ) − Γαρσ (Aν , α − Γβνα Aβ ) = Aν , ρ , σ , − Γανρ Aα , σ − Γανσ Aα , ρ − ΓαρσA ν , α −
Aβ ( Γβνρ , σ − Γανσ Γβαρ − Γαρσ Γβνα )
Przestawiając indeksy ρ i σ oraz odejmując otrzymane wyrażenie od ostatniego, otrzymujemy:
Aν : ρ : σ − Aν : σ : ρ = AβRβνρσ (11.2)
gdzie
Rβνρσ = Γβνσ,ρ − Γβνρ,σ + Γανσ Γβαρ − Γανρ Γβασ (11.3)
Lewa część (11.2) jest tensorem, tak więc i prawa część (11.2) jest tensorem. Jest to słuszne dla dowolnego wektora Aβ dlatego zgodnie z twierdzeniem ilorazowym (zobacz rozdział 4) Rβνρσ - jest tensorem.
Tensor ten nazywamy tensorem Riemana-Christoffela lub tensorem krzywizny.
Tensor krzywizny charakteryzuje się oczywistą własnością :
Rβνρσ = − Rβνσρ (11.4)
Z (11.3) bezpośrednio wynika, że :
Rβνρσ + Rβρσν + Rβσνρ = 0 (11.5)
Opuścimy indeks β (operacja opuszczenia indeksu - przypis własny), w miejsce pierwszego dolnego indeksu.
To daje :
Rμνρσ = gμβRβνρσ = gμβ Γβνσ,ρ + Γανσ Γμαρ − < ρσ >
gdzie < ρσ > oznacza przedostatnie człony z przestawionymi członami ρ i σ .
Wtedy z (7.6) otrzymujemy:
Rμνρσ = Γμνσ,ρ − gμβ,ρ Γβνσ + Γνβρ Γβμσ − < ρσ > = Γμνσ, ρ − Γνβρ Γβμσ − < ρσ >
Z udziałem (7.5)
Rμνρσ = ½ (gμσ,νρ − gμσ,νρ − gνρ,μσ + gνρ,μσ ) + Γβμσ Γβνρ − Γβμρ Γβνσ (11.6)
Teraz widzimy jeszcze pewne własności symetrii tensora krzywizny, mianowicie :
Rμνρσ = − Rνμρσ (11.7)
oraz
Rμνρσ = Rρσμν = Rσρνμ (11.8)
Rezultatem wszystkich tych własności symetrii jest to że z 256 składowych tensora Rμνρσ niezależnych jest tylko 20 składowych.
12) Kryteria płaskiej przestrzeni
Jeśli przestrzeń jest płaska, to można wybrać prostoliniowy układ współrzędnych, wtedy gμν będzie stałą i odpowiednio Rμνρσ będzie zerem. I odwrotnie jeśli Rμνρσ będzie zerem to można pokazać, że przestrzeń jest płaska. Wektor Aμ zaczepiony w punkcie x przeniesiemy za pomocą przesunięcia równoległego w punkt x + dx. Zatem przenieśliśmy go do punktu x + dx + δx.
Jeśli Rμνρσ - jest zerem, to przy przemieszczeniu Aμ z x - punktu początkowego w punkt x + δx , a zatem w punkt : x + dx + δx, rezultat powinien być identyczny. W takim razie przy przemieszczeniu wektora z jednego punktu do drugiego rezultat nie zależy od trajektorii przemieszczenia.
Przemieszczając za pomocą przesunięcia równoległego wektor początkowy Aμ z punktu x do wszystkich możliwych punktów otrzymujemy pole wektorowe spełniające warunek Aμ : ν = 0 tj.
Aμ ,ν = Γσμν Aσ (12.1)
Czy możliwe jest przedstawienie takiego pola wektorowego w formie gradientu pewnego skalara ?
Podstawmy w (12.1) Aμ = S, μ
Otrzymamy:
S, μν = Γσμν S,σ (12.2)
W skutek symetrii Γσμν względem dolnych indeksów, wyrażenia dla S, μν i S, νμ są jednakowe i równanie (12.2) jest całkowalne. Wybierzmy cztery niezależne skalary, spełniające (12.2) - w charakterze współrzędnych xα', nowego układu współrzędnych.
Wtedy :
xα', μν = Γσμνxα', σ
Zgodnie z prawem transformacyjnym (3.7)
gμλ = gα'β' xα', μ xβ', λ
Różniczkując tą zależność po xν znajdujemy uwzględniając (7.6)
gμλ ,ν − gα'β' , ν xα',μ xβ',λ = gα'β' ( xα',μν xβ',λ + xα',μ xβ',λν ) =
= gα'β' ( Γσμνxα',σ xβ',λ + xα',μ Γσλνxβ',σ ) = gσλ Γσμν + gμσ Γσλν = Γλμν + Γμλν = gμλ , ν
następnie :
gα'β' , ν xα', μ xβ', λ = 0
To znaczy, że :
gα'β' , ν = 0.
W nowym układzie współrzędnych tensor metryczny jest stały.
W takim razie mamy do czynienia z przestrzenią płaską w prostoliniowym układzie współrzędnych.
13) Tożsamości Bianchi
Zanim rozpatrzymy drugą pochodną kowariantną dowolnego tensora , rozpatrzmy tensor będący iloczynem skalarnym (iloczynem zewnętrznym - przypis własny) dowolnych wektorów Aμ i Bτ :
(Aμ Bτ ): ρ : σ = (Aμ : ρ Bτ + Aμ Bτ : ρ ) : σ = Aμ : ρ :σ Bτ + Aμ : ρ Bτ : ρ + Aμ : σ Bτ : ρ + Aμ Bτ : ρ : σ
Teraz zamienimy miejscami ρ i σ i odejmiemy otrzymaną równość od poprzedniej.
Z udziałem (11.2) daje to :
(Aμ Bτ ): ρ : σ - (AμBτ ) : σ : ρ = AαRαμρσ Bτ + Aμ Rατρσ Bα
Dowolny tensor Tμτ można wyrazić jako sumę członów typu Aμ Bτ , wtedy powinien on spełniać równość :
Tμτ : ρ : σ − Tμτ :σ ρ = TατRαμρσ + Tμα Rατρσ (13.1)
Niech Tμτ będzie kowariantną pochodną wektora Aμ : τ , wtedy :
Aμτ : ρ : σ − Aμτ :σ : ρ = Aα : τ Rαμρσ + Aμ : α Rατρσ
Przestawmy cyklicznie indeksy τ, ρ, σ i dodajmy otrzymane trzy równości.
Z lewej części mamy :
Aμ : ρ : σ :τ - Aμ : σ : ρ : τ + cykliczne przestawienie = (AαRαμρσ ) : τ + cykliczne przestawienie =
= Aα : τ Rαμρσ + AαRαμρσ : τ + cykliczne przestawienie. (13.2)
Prawa część daje :
Aα : τ Rαμρσ + cykliczne przestawienie. (13.3)
ponieważ ostatnie człony skracają się (zobacz równość (11.5))
Pierwsze człony w (13.2) i (13.3) skracają się i zostaje :
AαRαμρσ : τ + cykliczne przestawienie. = 0
Czynnik Aα jest obecny we wszystkich członach tego równania i może być odrzucony. W rezultacie mamy:
Rαμρσ : τ + Rαμστ : ρ + Rαμτρ : σ = 0 (13.4)
Jako dopełnienie warunku symetrii z rozdziału 11 tensor krzywizny powinien spełniać te równania różniczkowe Te równania znane są pod nazwą - „tożsamości Bianchi”
14) Tensor Ricciego
Zawęźmy Rμνρσ względem dwóch indeksów. Jeśli zawężenie przeprowadzono względem indeksów dla których przestawienie sprawia, że Rμνρσ jest antysymetryczne to jak się rozumie rezultatem będzie zero.
Jeśli natomiast zawężać Rμνρσ po innych parach indeksów to otrzymamy rezultaty różniące się jeden od drugiego tylko znakiem. Wynika to z własności symetrii (11.4), (11.7), (11.8).
Przeprowadzimy zawężanie względem pierwszego i ostatniego indeksu.
Otrzymamy :
Rμνρμ = Rμρ
Tensor ten nazywamy tensorem Ricciego. Mnożąc (11.8) przez gμσ znajdujemy, że :
Rνρ = Rρν (14.1)
tj. symetryczny tensor Ricciego.
Można zawęzić Rνρ względem ostatnich dwóch indeksów i przedstawić w postaci :
gνρ Rνρ = Rνν = R
Wielkość R - jest skalarem, który nazywa się krzywizną skalarną. Jest ona określona w ten sposób, że dla sfery w przestrzeni trójwymiarowej jest dodatnia, w czym można się upewnić bezpośrednim rachunkiem. Tożsamości Bianchi (13.4) zawierają pięć indeksów. Zawęźmy je dwukrotnie i otrzymamy zależność z jednym swobodnym indeksem. Wprowadźmy w (13.4) τ = α i pomnóżmy przez gμσ :
gμσ (Rαμρσ : α + Rαμστ : ρ + Rαμτρ : σ ) = 0 tj.
(gμσRαμρσ ): α + (gμσRαμσα ): ρ + (gμσRαμαρ ): σ = 0 (14.2)
i dalej :
gμσRαμρσ = gμσgαβRβμρσ = gμρgαβRμβσρ = gαβRβσ = Rασ
W skutek symetrii Rασ można pisać indeksy jeden pod drugim tj. Rασ . Wtedy równanie (14.2) przybiera postać:
Rασ : α + (gμσRμσ ): ρ - R: σ = 0
lub
2Rασ : α - R: σ = 0
co przedstawia sobą tożsamości Bianchi dla tensora Ricciego. Podnosząc indeks σ, możemy zapisać
[Rασ − ½ gσα R]: α = 0 (14.3)
Wyrażenie dla tensora Ricciego, zgodnie z (11.3) w formie jawnej wygląda następująco:
Rμν = Γαμα,ν − Γαμν,α − Γαμν Γβαβ + Γαμβ Γβνβ (14.4)
Pierwszy człon na pierwszy rzut oka wygląda na nie symetryczny względem μ i ν jednak tak jak ostatnie trzy jest on symetryczny. Dowód tego faktu wymaga pewnego omówienia .
Aby zróżniczkować wyznacznik g konieczne jest zróżniczkowanie w nim każdego elementu gλμ i pomnożenie
go przez dopełnienie algebraiczne g gλμ
W takim razie :
g,ν = g gλμ gλμ ,ν (14.5)
Następnie :
Γμνμ = gλμ Γλνα = 1/2gλμ ( gλν ,μ +gλμ ,ν − gμν ,λ ) = 1/2gλμ gλμ ,ν = 1/2g -1 g ,ν = ½ ln(g ), ν (14.6)
Stąd wynika, że pierwszy człon w (14.4) jest symetryczny względem μ. i ν.
15) Prawo grawitacji Einsteina
Do tej pory zawartość książki nosiła czysto matematyczny charakter za wyjątkiem fizycznej uwagi, że trajektoria cząstki jest geodezyjną. Wiele rezultatów wyłożonych w poprzednich rozdziałach było otrzymanych w zeszłym (tj. XIX wieku - przypis własny) wieku i odnosiło się do przestrzeni zakrzywionej dowolnej liczby wymiarów. W przedstawionym formaliźmie liczba wymiarów przestrzeni figuruje tylko o tyle o ile :
gμμ = liczba wymiarów
Einstein założył, że w pustej przestrzeni :
Rμν = 0 (15.1)
W tym zawarte jest prawo grawitacji Einsteina. „Pusta” tutaj oznacza nieobecność materii i brak jakichkolwiek pól fizycznych za wyjątkiem samego pola grawitacyjnego. Obecność pola grawitacyjnego nie narusza pustki. Warunek pustej przestrzeni jest z dobrą dokładnością spełniony dla przestrzeni międzyplanetarnej w systemie Słonecznym i tam można stosować równanie (15.1).
Pusta przestrzeń oczywiście spełnia wyrażenie (15.1). Geodezyjne w pustej przestrzeni są liniami prostymi w takim razie cząstki poruszają się po liniach prostych. W przypadku pustej zakrzywionej przestrzeni prawo Einsteina nakłada ograniczenia na wartość krzywizny. Wraz z założeniem, że planety poruszają się po geodezyjnych daje to pewną informację dotyczącą ich ruchu.
Na pierwszy rzut oka Einsteinowskie prawo grawitacji nie ma nic wspólnego z prawem Newtona. Aby jednak zauważyć analogię należy rozpatrzyć gμν jako potencjały opisujące pole grawitacyjne. W odróżnieniu od jednego Newtonowskiego potencjału w teorii Einsteina jest ich dziesięć. Potencjały te opisują nie tylko pole grawitacyjne ale również układ współrzędnych. Pole grawitacyjne i układ współrzędnych w teorii Einsteina są związane nie rozerwalnie i nie udaje się opisać jednego bez drugiego.
Przy rozpatrywaniu składowych gμν jako potencjałów równanie (15.1) okazuje się być równaniem pola i wygląda jak zwykłe równanie w tym sensie, że jest ono równaniem drugiego rzędu, ponieważ drugie pochodne wchodzą w (14.1) przez symbole Christoffela. Równanie (15.1) odróżnia się jednak od zwykłych równań pola tym, że jest ono nieliniowe - istotnie nieliniowe. Równania Einsteina są nadzwyczaj złożone i znalezienie ich dokładnych rozwiązań jest trudne.
16) Przybliżenie Newtonowskie
Rozpatrzymy statyczne pole grawitacyjne w statycznym układzie współrzędnych.
W takim przypadku gμν jest stałe w czasie tj. gμν 0 = 0.
Dalej dla m= 1,2,3 powinno być spełniony warunek :
gm0 = 0
Odpowiednio mamy :
gm0 = 0 ; g00 = (g00 )-1
i gmn jest macierzą odwrotną względem gmn.
Indeksy łacińskie zawsze przebiegają wartości 1,2,3 .
Stąd znajdujemy, że Γm0n = 0 i stąd również : Γm0n = 0.
Rozpatrzymy cząstkę poruszającą się z prędkością małą w porównaniu z prędkością światła
Wtedy vm jest małą pierwszego rzędu. Zaniedbując wielkości drugiego rzędu otrzymujemy :
g00(v0)2 = 1 (16.1)
Cząstka porusza się po geodezyjnej. Równanie geodezyjnej (8.3) z dokładnością do członów pierwszego rzędu daje :
dvm/ds = − Γm00 (v0)2 = − gmn Γmn00 (v0)2 = ½ gmn g00,n (v0)2
Z dokładnością do członów pierwszego rzędu otrzymamy :
dvm/ds = (dvm/dxμ )(dxμ/ds ) = ( dvm/dx0)v0
Wtedy z udziałem (16.1) zapisujemy :
dvm/dx0 = ½ gmn g00,n (v0)2 = gmn (g00 )½ , n (16.2)
Ponieważ gμν nie zależy od x0 można opuścić indeks m, co daje zależność :
dvm/dx0 = (g00 )½ , m (16.3)
Widać, że cząstka porusza się tak jak gdyby znajdowała się pod działaniem potencjału (g00 )½
Przy otrzymaniu tego wyniku nie wykorzystywaliśmy w żaden sposób równań Einsteina.
Teraz dla porównania teorii Einsteina z Newtonowską uwzględnimy prawo Einsteina dochodząc do określenia równań dla potencjału.
Założymy, że pole grawitacyjne jest polem słabym tak że krzywizna czasoprzestrzeni jest mała. Wtedy można wybrać układ odniesienia dla którego krzywizna osi współrzędnych (dla każdej z osi trzy ustalone współrzędne) jest mała. W tym przypadku gμν w pierwszym przybliżeniu jest stałe, a gμν, σ i wszystkie symbole Christoffela są niewielkie. Równanie Einsteina (15.1) z dokładnością do członów pierwszego rzędu przyjmuje postać (zobacz (14.4))
Γαμα, ν − Γαμν, α = 0
Zawężając i przestawiając (11.6) względem dwóch indeksów ρ i μ, oraz odrzucając człony drugiego rzędu można przekształcić to równanie, do nieco dogodniejszej postaci :
gρσ ( gρσ, μν − gνσ, μρ − gμρ, νσ + gμν, ρσ ) = 0 (16.4)
Wstawmy teraz μ = ν = 0, oraz wykorzystajmy własność niezależności gμν od x0, otrzymamy :
gmn g00, mn = 0 (16.5)
Równanie d'Alamberta (10.9) w przybliżeniu słabego pola przyjmuje postać :
gμν V, μν = 0
W statycznym przypadku to wyrażenie przybiera postać równania Laplace'a :
gmn V, mn = 0
Równanie (16.5) oznacza, że g00 spełnia równanie Laplace'a.
Można wybrać jednostki pomiaru czasu tak aby g00 mało różniło się od jedności.
Wtedy możemy założyć :
g00 = 1 + 2V (16.6)
gdzie V - jest niewielkie.
W tym przypadku (g00 )½ = 1 + V i V jest potencjałem.
Ponieważ V spełnia równanie Laplace'a można go utożsamić z potencjałem newtonowskim, równym - m/r
gdzie m - masa źródła.
Teraz widać, że (16.2) prowadzi do równości :
przyspieszenie = − grad V
Ponieważ diagonalne elementy gmn ≅ −1. To znaczy, że znak przy V był wybrany prawidłowo.
W takim razie prawo Einsteina przechodzi w prawo Newtona , kiedy pole jest słabe i statyczne.
Odpowiednio rezultaty teorii newtonowskiej objaśniające ruchy planet pozostają w mocy.
Przybliżenie statyczności opiera się na fakcie małej w porównaniu z prędkością światła, prędkością ruchu planet Przybliżenie słabego pola jest dobre ponieważ, przestrzeń niewiele różni się od przestrzeni płaskiej.
Rozpatrzmy skalę niektórych wielkości.
Wartość potencjału V na powierzchni Ziemi jest rzędu 10 -9. W takim razie g00 z wzoru (16.6), jest zbliżone do jedności. No jednak i to małe odchylenie g00 od jedności prowadzi do znacznych efektów grawitacyjnych obserwowanych na Ziemi. Jeżeli weźmiemy promień Ziemi rzędu 10 9 cm, to wartość g00,m będzie rzędu
10 -18 [1/cm].
I odpowiednio odchylenie przestrzeni od płaszczyzny będzie skrajnie małe. Jednak aby otrzymać przyspieszenie w polu grawitacyjnym w pobliżu Ziemi należy pomnożyć to odchylenie przez kwadrat prędkości światła, tj. przez 9* 10 20 [cm/sek ] 2. Dlatego przyspieszenie (około 10 3 [cm/sek] ) jest odczuwalne, chociaż samo odchylenie od „płaszczyzny” jest nieskończenie małe, dla tego aby go było można obserwować bezpośrednio.
17) Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni
Rozpatrzmy monochromatyczne promieniowanie atomu w stanie spoczynku znajdującego się w statycznym polu grawitacyjnym. Długość fali światła wypromieniowanego odpowiada określonej wartości Δs.
Ponieważ atom jest w stanie spoczynku w statycznym układzie współrzędnych takich jak rozpatrywano w rozdziale 16 otrzymamy :
Δs2 = g00 (Δx0)2
gdzie Δx0 - okres tj. czas między sąsiednimi maksymalnymi amplitudami odniesiony do wybranego układu współrzędnych.
Przy rozprzestrzenianiu się światła w inną część przestrzeni Δx0 się nie zmienia. Wielkość : Δx0 - nie jest tym samym co okres pewnej linii widmowej atomu , znajdującej się w danym punkcie. Taką rolę spełnia Δs .
W takim wypadku okres zależy od potencjału grawitacyjnego g00 w tym punkcie gdzie światło było wypromieniowane:
Δx0 ∼ ( g00 ) - ½
Czynnik ( g00 ) - ½ opisuje przesunięcie linii widmowej.
W przybliżeniu newtonowskim (16.6) otrzymamy :
Δx0 ∼ 1 − V
Wartość V jest ujemna w obszarze silnego pola grawitacyjnego na przykład na powierzchni Słońca.
Dlatego światło wypromieniowane na Słońcu ma widmo przesunięte w porównaniu z światłem wypromieniowanym na Ziemi, w kierunku czerwonej części widma. Ten efekt można było by obserwować dla światła Słonecznego jeśli by on nie gubił się w efekcie innych mechanizmów fizycznych takich jak efekt Dopplera wynikający z ruchu promieniujących atomów. Grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni jest większe dla światła białych karłów, gdzie w wyniku wysokiej gęstości materii potencjał grawitacyjny na powierzchni gwiazdy jest o wiele większy.
18) Rozwiązanie Schwarzschilda
Równania Einsteina dla pustej przestrzeni przedstawiają sobą nadzwyczaj złożone nieliniowe równania, a znalezienie ich dokładnych rozwiązań jest trudnym zadaniem. Jednak w jednym specjalnym przypadku rozwiązanie znajdujemy bez większych trudności - jest to przypadek statycznego, sferycznie symetrycznego pola związanego ze statycznym, sferycznie symetrycznym ciałem.
Warunek statyczności oznacza, że w statycznym układzie współrzędnych g00 nie zależy od czasu x0 lub t, i oprócz tego g0m = 0.
W charakterze statycznego układu współrzędnych można wybrać współrzędne sferyczne
x1 = r , x2 = θ , x3 = ϕ .
Najbardziej ogólne wyrażenie dla ds2 w przypadku symetrii sferycznej ma postać :
ds2 = Uds2 − Vdr2 − Wdr2 (dθ2 + sin2θdϕ2)
gdzie U, V, W zależą tylko od r.
Nienaruszając symetrii sferycznej można zamienić r na dowolną funkcje zależną od r.
Wykorzystamy tą okoliczność dla maksymalnego uproszczenia wyrażenia na ds2.
Dogodnie będzie sprowadzić mnożnik W do jedności. Wtedy ds2 można zapisać następująco :
ds2 = exp(2ν)dt2 - exp(2λ)dr2 − r2dθ2 − r2sin2θdϕ2 (18.1)
gdzie ν. λ zależą tylko od r.
Funkcje ν, λ powinny być wybrane tak aby spełniać równania Einsteina.
Za pomocą (18.1) można wyrazić gμν przez ν i λ :
g00 = exp(2ν); g11 = − exp(2λ);
g22 = − r2 ; g33 = − r2sin2θ ;
gμν = 0 dla μ ≠ ν
Dalej znajdujemy :
g00 = exp(-2ν); g11 = − exp(-2λ);
g22 = − r−2 ; g33 = − r−2 sin−2θ ;
gμν = 0 dla μ ≠ ν
Teraz należy wyrazić przez ν i λ wszystkie symbole Christoffela.
Wiele z nich będzie w takim przypadku zerowymi, a pozostałe przyjmą postać :
Γ100 = ν'exp(2ν - 2λ ); Γ010 = ν';
Γ111 = λ' ; Γ212 = Γ313 = r−1 ;
Γ122 = − r exp( −2λ) ; Γ323 = ctg ( θ );
Γ133 = − r sin2θ exp(− 2λ) ; Γ233 = − sinθ cosθ;
gdzie apostrof oznacza różniczkowanie po r.
Wyrażenia te należy podstawić do (14.4). W rezultacie otrzymamy
R00 = (-ν'' + λ'ν' − ν'2 − 2ν'/r ) exp(2ν − 2λ ) (18.2)
R11 = ν'' − λ'ν' + ν'2 − 2λ'/r ) exp(2ν-2λ ) (18.3)
R22 = ( 1 + rν' − rλ' ) exp(− 2λ) − 1 (18.4)
R33 = R22 sin2 θ ;
(ostatnie składniki Rμν w tym przypadku są tożsamościowo równe zeru)
Zgodnie z prawem grawitacji Einsteina konieczne jest aby te wyrażenia były zerem.
Zerowanie się (18.2) i (18.3) daje :
λ' + ν' = 0
Przy wielkich wartościach r przestrzeń powinna być zbliżona do płaskiej, tak by przy r dążącym do nieskończoności, λ ,ν dążyły do zera
Odpowiednio otrzymamy :
λ + ν = 0
Z faktu zerowania się (18.4) wnioskujemy, że :
(1+ 2rν') exp(2ν) = 1
lub
[ r exp(2ν)]' = 1
Stąd :
r exp(2ν) = r - 2m;
gdzie m - jest stałą całkowania.
Podstawiając ostatnią równość do (18.2) i (18.3) powoduje, że stają się one zerami.
Z tych wyrażeń otrzymujemy wyrażenie dla g00 :
g00 = 1 − 2m/r (18.5)
Dla wielkich wartości r powinno być słuszne Newtonowskie przybliżenie.
Porównanie (18.5) z (16.6) pokazuje że stała całkowania m, która pojawiła się w (18.5) jest niczym innym jak masą ciała będącego źródłem pola grawitacyjnego. Pełne rozwiązanie równań Einsteina ma postać :
ds2 = (1 − 2m/r)dt2 - (1 − 2m/r)−1dr2 − r2dθ2 − r2sin2θdϕ2 (18.6)
Jest ono znane jako rozwiązanie Schwarzschilda i stosuje się je poza ciałem zadającym pole grawitacyjne
tj. w obszarze gdzie nie ma materii. W takim razie to równanie jest słuszne w przybliżeniu poza powierzchnią gwiazdy. Dla ruchu planet wokół Słońca rozwiązanie (18.6) daje małe poprawki do teorii Newtonowskiej.
Są one jednak istotne tylko dla Merkurego - najbliższej planety Słonecznej - i objaśniają odchylenie trajektorii tej planety od trajektorii obliczonej za pomocą teorii Newtona. Ten fakt stał się faktem potwierdzającym słuszność teorii Einsteina.
19) Czarne dziury
Przy r = 2m rozwiązanie (18.6) jest osobliwe, ponieważ dla tego punktu mamy g00 = 0 i g11 = −∞.
Można pokazać, że r = 2m jest minimalnym możliwym promieniem ciała o masie m.
Jednak bliższe rozpatrzenie pokazuje, że sprawa wygląda nieco inaczej. Rozpatrzmy cząstkę spadającą na ciało centralne. Niech jej wektor prędkości jest vμ = dzμ /ds. Załóżmy, że cząstka spada po promieniu tak, że jest
v2 = v3 = 0.
Jej ruch określony jest równaniem geodezyjnej (8.3) :
dv0 / ds = − Γ0μν vμ vν = g00 Γ0μν vμ vν = − g00 g00,1 v0 v1 = − g00 (g00 /ds) v0
Uwzględniając, że g00 = 1/g00 otrzymujemy :
g00 dv0/ds + (d g00 /ds )v0 = 0
scałkowanie tego równania daje wyrażenie :
g00 v0 = k
gdzie k - stała całkowania, która równa jest wielkości g00 w początkowym punkcie trajektorii cząstki.
W rozpatrywanym przypadku otrzymamy jak i przedtem
1 = gμνvμ vν = g00 (v0)2 + g11 (v1)2
Mnożąc to równanie przez g00 oraz wykorzystując zależność g00 g11 = − 1 otrzymane w poprzednim rozdziale, znajdujemy :
k2 − (v1)2 = g00 = 1 - 2m/r
Dla spadającego ciała v1 < 0 i odpowiednio
v1 = − (k2 - 1 + 2m/r)1/2
Tak więc
dt/dr = v0/v1 = − k (1 − 2m/r)−1 (k2 - 1 + 2m/r)½
Niech cząstka znajduje się w pobliżu promienia krytycznego tj. r = 2m + ε, gdzie wielkość ε jest odpowiednio mała, tak że człony ε2 można odrzucić.
Wtedy :
dt/dr = − 2m/ε = − 2m/(r − 2m)
Całkując to wyrażenie otrzymujemy :
t = − 2m [ln(r −2m )] + const.
W takim razie przy t dążącym do 2m, t dąży do nieskończoności tj. dla aby cząstka mogła osiągnąć promień krytyczny 2m potrzebuje nieskończenie wiele czasu.
Załóżmy, że daleki obserwator obserwuje cząstką wykorzystując światło o określonej częstotliwości.
Światło to doznaje przesunięcia grawitacyjnego ku czerwieni opisywanego czynnikiem
g00− ½ = (1 − 2m /r )− ½
Przy osiąganiu przez cząstkę promienia krytycznego ten czynnik dąży do nieskończoności.
Z punktu widzenia dalekiego obserwatora wszystkie procesy fizyczne w cząstce w miarę jak zbliża się ona do promienia krytycznego r = 2m przebiegają coraz wolniej i wolniej.
Rozpatrzmy teraz obserwatora poruszającego się razem z cząstką . Dla niego przyrost czasu jest tożsamy z ds.
W takim razie :
ds/dr = 1/v1 = − (k2 - 1 + 2m/r) ½
Przy r dążącym do 2m wielkość ds/dr dąży do k -1.
Tak więc osiągnięcie przez cząstkę promienia r = 2m zachodzi w skończonym czasie własnym obserwatora. Jeżeli moment osiągnięcia promienia krytycznego przez obserwatora jest skończony to co będzie działo się z nim dalej ?
Wyraźnie, obserwator będzie swobodnie spadał w pustej przestrzeni poruszając się w stronę coraz mniejszych wartości promienia r.
Dla tego aby rozpatrzyć przedłużenie rozwiązania Schwarzschilda dla obszarów r < 2m należy wprowadzić
niestatyczny układ współrzędnych gμν w tym wypadku będący funkcją współrzędnej czasowej.
Zostawimy tak jak poprzednio współrzędne θ i ϕ, a w miejsce t i r wprowadzimy τ i ρ określone wyrażeniami :
τ = t + f(r) ; ρ = t + g(r) (19.1)
gdzie f i g -dowolne funkcje.
Wtedy słuszna będzie następująca równość :
dτ2 - 2m/r dρ2 = (dt + f' dr)2 - 2m/r (dt + g' dr)2 = (1 - 2m/r)dt2 + 2 (f' - 2m/r g')dt dr + (f '2 - 2m/r g'2 )dr2 = (1 - 2m/r)dt2 − (1 - 2m/r) −1 dr2 (19.2)
Równość tą uzyskujemy wprowadzając funkcje f i g które spełniają warunki :
f' = (2m/r)g' (19.3)
(2m/r)g' - f '2 = (1 - 2m/r)− 1 (19.4)
Tutaj apostrof oznacza pochodną po r. Rugując z tych równości f, otrzymujemy :
G' = (r/2m)1/2 (1 - 2m/r) −1 (19.5)
Aby scałkować równanie (19.5) wstawmy r = y2 oraz 2m = a2.
Przy r > 2m będzie zachodzić y > a.
Otrzymujemy :
dg /dy = 2ydg /dr = (2 y4 /a) / ( y2 − a2 )
skąd otrzymamy :
g = (2/3)a y3 + 2ay − a2 ln [(y + a) / (y − a)] (19.6)
W rezultacie z (19.3) i (19.5) otrzymamy :
g' - f ' = (1 − 2m/r)g' = (r /2m)½
Scałkowanie daje rezultat :
(2/3) (1/ sqrt (2m)) r3/2 = g - f = ρ − τ (19.7)
W takim razie
r = μ (ρ − τ)2/3 (19.8)
gdzie
μ = [(3/2) √2m]2/3
Z powyższego wynika, że warunki (19.3) i (19.4) można spełnić.
A to znaczy, że słuszne jest równanie (19.2)
Podstawiając (19.2) do rozwiązania Schwarzschilda (18.6) otrzymujemy :
ds2 = dτ2 - 2m / [ μ (ρ − τ)2/3 ] dϕ2 − μ (ρ − τ)4/3 (dϕ2 + sin2θ dϕ2 ) (19.9)
Promień krytyczny r = 2m zgodnie z (19.7) odpowiada : ρ − τ = 4m/3.
W metryce (19.9) osobliwość się nie pojawia. Ponieważ metrykę (19.9) można jawnie przekształcić w rozwiązanie Schwarzschilda przy pomocy przekształcenia współrzędnych jest ona rozwiązaniem równań Einsteina dla pustej przestrzeni w obszarze r > 2m.
Z faktu nie pojawiania się osobliwości przy r = 2m, oraz z faktu analitycznej ciągłości wnioskujemy, że (19.9) spełnia równania Einsteina również przy r <= 2m.
Metryka (19.9) jest słuszna aż do punktu r = 0 lub ρ − τ = 0
Osobliwość pojawia się przy przejściu od nowych współrzędnych do wejściowych (19.1).
Wprowadźmy więc te nowe współrzędne a osobliwość więcej się nie pojawi.
Widać, że rozwiązanie Schwarzschilda dla pustej przestrzeni zostało przedłużone dla obszarów r < 2m .
Jednak ten obszar jest odseparowany od obszaru r > 2m .
Jak nie trudno sprawdzić dany sygnał, nawet świetlny, potrzebuje nieskończonego czasu aby przejść granicę
r = 2m .
W takim razie obszar r < 2m nie jest dostępny bezpośrednio obserwatorowi zewnętrznemu.
Ten obszar nazywamy „czarną dziurą” ponieważ materialne ciała mogą wpaść do wnętrza sfery o promieniu
r = 2m (w nieskończonym czasie dla obserwatora zewnętrznego) jednak nic nie może wyjść na zewnątrz. Pojawia się pytanie, czy istnieje taki obszar w rzeczywistości ?
Odpowiadając można tylko wskazać, że równania Einsteina taką możliwość dopuszczają (obecnie czarne dziury można obserwować pośrednio - przypis własny).
Masywne gwiazdy mogą zostać ściśnięte do niewielkich rozmiarów, w tym przypadku siły grawitacji są tak silne, że żadna ze znanych sił fizycznych nie może ich zrównoważyć i tym samym następuje dalsze ściśnięcie (kolaps - przypis własny ).
Wygląda na to, że ściśnięcie takiego obiektu powinno prowadzić do pojawienia się czarnej dziury.
Dla oddalonego obserwatora proces ściśnięcia (kolapsu) będzie przebiegał w czasie nieskończonym lecz dla obserwatora związanego z kolapsującą materią czas ten będzie skończony.
20) Gęstości tensorowe
Element czterowymiarowej objętości przy przekształceniu współrzędnych przekształca się według zasady :
dx0'dx1'dx2' dx3' = dx0dx1dx2dx3J (20.1)
gdzie J - jakobian ;
J = ∂( dx0'dx1'dx2' dx3' ) / ∂(dx0dx1dx2dx3) = det xμ', α
Dla skrócenia zapiszemy (20.1) w formie :
d4x' = J d4x (20.2)
Przyjmijmy, że :
gαβ = xμ', α gμ'ν'xν', β
Prawą część tego wyrażenia można rozpatrywać jako iloczyn trzech macierzy w pierwszej macierzy indeks
α oznacza wiersze, μ ` - kolumny, w drugiej macierzy indeks μ' oznacza wiersze, indeks ν' - kolumny,
w trzeciej macierzy indeks ν' oznacza wiersze, indeks β kolumny.
Ten iloczyn jest równy macierzy gαβ z lewej części równości.
Odpowiednia zależność powinna mieć miejsce również dla wyznaczników dlatego :
g = Jg'J lub g = J2g'
Dalej, jeżeli g okaże się ujemnie określoną wielkością można ją wyrazić w formie √−g, gdzie wyrażenie pod pierwiastkiem jest dodatnio określone.
W takim razie :
√−g = J √−g' (20.3)
Niech S będzie pewnym polem skalarnym.
Dla niego S = S'. Wtedy :
∫ S √−g d4x = ∫ S √−g' Jd4x = ∫ S' √−g' d4x'
przy założeniu, że obszar całkowania we współrzędnych x' odpowiada obszarowi całkowania we współrzędnych x.
Odpowiednio otrzymamy :
∫ S √−g d4x = inwariant (20.4)
Wielkość : S √−g, której całka jest inwariantem, nazywamy - gęstością skalarną.
Analogicznie dla danego pola tensorowego Tμν .... wielkość Tμν .... √− można nazwać gęstością tensorową. Kiedy obszar całkowania jest mały ∫Tμν .... √−g d4x jest tensorem.
Kiedy obszar całkowania nie jest mały, to ta całka nie będzie tensorem ponieważ przedstawia on sumę tensorów zadanych w różnych punktach i nie przekształca się zgodnie z jakimkolwiek prostym prawem przy przekształceniu współrzędnych.
Wielkość: √−g , dalej będzie wykorzystywana bardzo często.
Ponieważ :
g−1g ,ν = 2 [√−g ]−1 √−g , ν'
to wzór (14.5) daje :
√−g ,ν' = ½ √−g gλμ gλμ , ν' (20.5)
zatem wzór (14.6) można zapisać w postaci :
Γμνμ √−g = √−g , ν (20.6)
21) Twierdzenie Gaussa i Stokesa
Kowariantna dywergencja Aμ :μ wektora Aμ w jest skalarem.
Można ją zapisać w postaci :
Aμ: μ = Aμ, μ + Γμνμ Aν = Aμ, μ + [√−g ]-1 sqrt(.), ν Aν .
Stąd :
Aμ: μ √−g = ( Aμ √−g ), μ (21.1)
Podstawiając w charakterze S w (20.4) Aμ: μ otrzymamy inwariant:
∫ Aμ: μ √−g d4x = ∫ ( Aμ √−g ), μ d4x
Jeśli całkę bierzemy po ograniczonej (czterowymiarowej) objętości, to prawą część można przekształcić zgodnie z twierdzeniem Gaussa w całkę po (trójwymiarowej) granicznej powierzchni tej objętości.
Przy Aμ: μ = 0 otrzymamy (Aμ √−g ), μ = 0 (21.2)
To prowadzi nas do prawa zachowania a dokładnie do prawa zachowania cieczy, której gęstość ma postać
A0 √−g, a strumień zadany jest trójwymiarowym wektorem Am √−g (m = 1,2,3).
Można scałkować (21.2) względem trójwymiarowej objętości V, przy pewnym ustalonym x0.
W rezultacie otrzymamy:
( ∫ A0 √−g d3x ), 0 = − ∫ ( Am √−g ), m d3x
tj. całkę powierzchniowa po granicy objętości V.
Jeśli nie będziemy uwzględniać strumieni przecinających granicę objętości V, to ∫ A0 √−g d3x będzie stałą.
Tego rezultatu dla wektora Aμ nie należy ogólnie mówiąc przenosić na tensory o większej liczbie indeksów.
Rozpatrzmy tensor z dwoma indeksami Yμν. W płaskiej przestrzeni wykorzystując twierdzenie Gaussa można przekształcić ∫ Yμν, ν d4x w całkę powierzchniową, w przestrzeni czterowymiarowej w ogólnym przypadku nie można przekształcić całki objętościowej ∫ Yμν, ν d4x , w powierzchniową.
Wyjątek stanowi antysymetryczny tensor : Fμν = − Fνμ .
W tym przypadku :
Fμν: σ = Fμν: σ + Γμσρ Fρν + Γνσρ Fμρ
Stąd z udziałem (20.6)
Fμν: ν = Fμν, ν + Γμνρ Fρν + Γννρ Fμρ = Fμν, ν + sqrt(.) -1 sqrt(.), ρ Fμρ
Tak więc
Fμν: ν √−g = ( Fμν√−g ), ν (21.3)
Odpowiednio, ∫ Fμν: ν √−g d4x , równe jest całce powierzchniowej i przy warunku Fμν:ν = 0 otrzymujemy prawo zachowania.
Dla tensora symetrycznego Yμν = Yνμ, jeżeli opuścić jeden z indeksów i prowadzić obliczenia z Yμν: ν , to można otrzymać odpowiednie równanie z dodatkowym członem :
Yμν: ν = Yμν, ν − Γαμσ Yαν + Γνσα Yνα
Podstawiając σ = ν oraz wykorzystując (20.6) otrzymamy :
Yμν: ν = Yμν, ν + [ √−g ] -1 √−g, α Yμα Γαμν Yμν
Ponieważ Yαν jest symetryczny, to można z udziałem (7.6) zamienić Γαμν w ostatnim członie wielkością :
½ (Γαμν + Γναμ ) = ½ gαν, μ
W rezultacie można zapisać :
Yμν: ν √−g = ( Yμν √−g ), ν − ½ gαβ, μ Yαβ √−g (21.4)
Dla wektora kowariantnego Aμ mamy wyrażenie :
Aμ: ν − Aν: μ = Aμ: ν − Γρμν Aρ − ( Aν: μ − Γρνμ Aρ ) = Aμ , ν − Aν, μ (21.5)
Rezultat (21.5) można sformułować tak : kowariantna rotacja równa jest zwykłej rotacji.
To sformułowanie jest słuszne tylko dla wektora kowariantnego. Dla wektora kontrawariantnego zgodnie z zasadą balansu indeksów, rotacji przedstawić nie można.
Podstawmy μ = 1, ν = 1. Wtedy otrzymamy :
A1: 2 − A2: 1 = A1: 2 − A2: 1
Scałkujmy tą równość względem pewnej powierzchni x0 = const. x3 = const.
Zgodnie z twierdzeniem Stokesa mamy :
∫ ∫ (A1: 2 − A2: 1)dx1dx2 = ∫ ∫ (A1,2 − A2,1)dx1dx2 = ∫ (A1dx1 + A2dx2 ) (21.6)
gdzie ostatnia całka jest brana po granicy obszaru.
W takim razie otrzymana całka po konturze zamkniętym równa jest strumieniowi przez powierzchnię , ograniczoną tym konturem. Ten rezultat powinien być słuszny nie tylko w układzie współrzędnych w którym równanie rozpatrywanej powierzchni dane jest x0 = const. x3 = const. ,ale również w przypadku ogólnym
tj. w dowolnym układzie współrzędnych.
Aby otrzymać inwariantny sposób zapisu tego rezultatu , wprowadzimy ogólne wyrażenie dla elementu dwuwymiarowej powierzchni. Element powierzchni określony dwoma małymi wektorami kontrawariantnymi
ξμ ζμ , zadany jest tensorem antysymetrycznym drugiego rzędu :
dSμν = ξμ ζμ − ξν ζμ
Jeśli ξμ i ζμ mają postać (0, dx1 ,0,0) i (0, 0, dx2, 0), to dwa składniki dSμν przyjmują następującą postać :
dS12 = dx1dx2 ; dS21 = − dx1dx2
a pozostałe składniki są zerowe. Lewa cześć (21.6) przyjmuje postać :
∫ Aμ : ν dSμν ; prawa część (21.6) jest oczywiście dana :
∫ Aμ dxμ
dlatego otrzymamy :
½ ∫ ∫ (Aμ: ν − Aν: μ ) dSμν = ∫ Aμ dxμ (21.7)
powierzchnia obwód
22) Współrzędne harmoniczne
Równanie a'Alemberta V = 0 dla pola skalarnego V z udziałem (10.9) daje :
gμν (V, μν − ΓαμνV, α ) = 0 (22.1)
W przestrzeni płaskiej w nie ortogonalnym układzie współrzędnych każda z czterech współrzędnych xλ czyni zadość równaniu xλ = 0.
W (22.1) można więc w charakterze V podstawić xλ. W odróżnieniu od V xλ nie jest skalarem, tak więc otrzymane równanie nie będzie tensorem tj. równanie to jest słuszne jedynie w określonych układach współrzędnych.
Nakłada ono więc pewne ograniczenia na możliwe współrzędne.
Jeśli w charakterze V podstawimy xλ, to V należy zastąpić wielkością xλ , α = gλα
Wtedy równanie (22.1) przyjmie postać :
gμν Γλμν = 0 (22.2)
Współrzędne które czynią zadość temu warunkowi nazywamy „współrzędnymi harmonicznymi”.
Aproksymują one współrzędne nieortogonalne z maksymalną dokładnością jaka tylko jest możliwa w zakrzywionej przestrzeni.
Współrzędne te można wykorzystywać w wielu sytuacjach, jednak bardzo często okazuje się to nie możliwe,
nie stanowią one więc tak dogodnego aparatu jak formalizm tensorowy w dowolnym układzie współrzędnych.
Przy rozpatrywaniu fal grawitacyjnych współrzędne harmoniczne okazują się jednak bardzo pożyteczne.
Z (7.9) i (7.6) otrzymamy w dowolnych współrzędnych :
gμν , σ = − gμα gνβ ( Γαβσ + Γβασ ) = − gνβ Γμβσ − gμα Γνασ (22.3)
Stąd z udziałem (20.6) wynika równość :
( gμν √−g ), σ = ( − gνβ Γμβσ − gμα Γνασ + gμν Γβσβ ) (22.4)
Zawężając ją względem dwóch indeksów (zakładamy σ =ν) otrzymujemy :
( gμν √−g ), ν = − gνβ Γμβν √−g (22.5)
Widać, że alternatywna forma zapisu warunku harmoniczności dana jest następująco :
( gμν √−g ), ν = 0 (22.6)
23) Pole elektromagnetyczne
Równania Maxwella w zapisie standardowym mają postać :
E = −(1/c) ∂A/∂t - grad Φ (23.1)
H = rot A (23.2)
(1/c) ∂H/∂t = − rot E (23.3)
div H = 0 (23.4)
(1/c) ∂E/∂t = rot H − 4πj (23.5)
div E = 4πρ (23.6)
Na początku zapiszemy je w czterowymiarowej formie zgodnej ze szczególna teorią względności.
Potencjały A i Φ zobrazowane są przez cztero-wektor k zgodnie z równościami :
k0 = Φ , km = Am , m= 1,2,3
Wprowadźmy :
Fμν = kμ , ν − kν , μ (23.7)
Wtedy zgodnie z (23.1)
E1 = − ∂k1/∂x0 − ∂k0/∂x1 = ∂k1 /∂x0 − ∂k0 /∂x1 = F10 = − F10
I zgodnie z (23.1)
H1 = − ∂k3/∂x2 − ∂k2/∂x3 = ∂k3/∂x2 + ∂k2 /∂x3 = F23 = F23
W takim razie sześć składników tensora antysymetrycznego Fμν określają wielkości polowe E i H.
Z (23.7) wynika , że :
Fμν , σ + Fνσ , μ + Fσμ , ν = 0 (23.8)
To równanie zawiera w sobie równania Maxwella (23.3) i (23.4).
Dalej, z (23.6) mamy :
F0μ , ν = F0m , m = − Fm0 , m = div E = 4πρ (23.9)
Analogicznie z (23.5) otrzymujemy :
F1ν, ν = F10, 0 + F12, 2 + F13, 3 = − ∂E1/∂x0 + ∂H3 /∂x2 − ∂H2 /∂x3 = 4πj1 (23.10)
Gęstość ładunku ρ, oraz prąd jm obrazują cztero-wektor Jμ zgodnie z równościami :
J0 = ρ , Jm = jm
Wtedy (23.9) i (23.10) zostają sprowadzone do jednego równania :
Fμν, ν = 4πJμ (23.11)
I tak przedstawiają się równania Maxwella przepisane w formie czterowymiarowej zgodnej ze STW .
Aby przejść do ogólnej teorii względności należy zapisać równania w formie kowariantnej.
Z udziałem równości (21.5) tensor (23.7) można bezpośrednio uogólnić :
Fμν = kμ : ν − kν: μ
To pozwala określić kowariantne wielkości polowe Fμν.
Dalej otrzymujemy :
Fμν : σ + Fμν, σ − Γαμσ Fαν − Γανσ Fμα
Dokonując przestawienia cyklicznego indeksów μ, ν, σ, oraz dodając otrzymane tym sposobem równania otrzymamy (z udziałem (23.8) ) :
Fμν : σ + Fνσ : μ + Fσμ : ν = Fμν , σ + Fνσ , μ + Fσμ , ν = 0 (23.12)
W rezultacie to równanie Maxwella automatycznie przybiera postać kowariantną.
Pozostaje nam rozpatrzyć równanie (23.11). W ramach OTW jest ono nie słuszne i powinno być zamienione przez równanie w formie kowariantnej.
Fμν : ν = 4πJμ (23.13)
Z równości (21.3) która jest słuszna dla dowolnego antysymetrycznego tensora rzędu drugiego otrzymujemy :
( Fμν √−g ), ν = 4πJμ √−g
Stąd bezpośrednio wynika równość :
( Jμ √−g ), μ = (4π ) -1 ( Fμν √−g ), μν = 0
To równanie, analogiczne do (21.2), przedstawia prawo zachowania „elektryczności”
(tj. ogólne prawa zachowania w elektrodynamice - przypis własny ).
Obecność zakrzywienia przestrzeni nie narusza tego prawa , prawo wypełnione jest dokładnie.
24) Modyfikacja równań Einsteina w obecności materii
Przy braku materii równania Einsteina mają postać :
Rμν = 0 (24.1)
Stąd wynika, że R = 0 w takim razie :
Rμν − ½ gμν R = 0 (24.2)
Jeśli wziąć za wyjściowe równanie (24.2) to drogą zawężania można otrzymać :
R - 2R = 0
i odpowiednio powrócić do (24.1).
W charakterze podstawowych równań dla pustej przestrzeni można wziąć (24.1) jak i (24.2).
W przypadku obecności materii równania te należy koniecznie zmodyfikować.
Załóżmy, że zmodyfikowane równania (24.1) możemy zapiszemy w formie :
Rμν = Xμν (24.3)
a (24.2) przyjmują postać :
Rμν − ½ gμνR = Yμν (24.4)
gdzie Xμν i Yμν - tensory symetryczne drugiego rzędu wyrażające obecność materii.
Teraz widać, że (24.4) - jest bardziej dogodna w zapisie dla dalszych rachunków, ponieważ mają miejsce tożsamości Bianchi, które pokazują, że:
[ Rμν − ½ gμνR ]: ν = 0
Odpowiednio (24.4) pociąga za sobą równość :
Yμν: ν = 0 (24.5)
Dane pole tensorowe Yμν „wytwarzające” materię powinno spełniać powyższy warunek w przeciwnym razie równania (24.4) będą niezgodne.
Dla wygody wprowadzimy w równaniu (24.4) współczynnik : −8π i przepiszemy go w formie
Rμν − ½ gμνR = −8π Yμν (24.6)
W dalszej części będzie pokazane że tensor Yμν, z tym współczynnikiem należy interpretować jako gęstość i strumień energii-pędu (pochodzenia nie grawitacyjnego), przy czym Yμ0 przedstawia sobą gęstość,
a Yμr - strumień.
W przestrzeni płaskiej równanie (24.5) miało by postać :
Yμν: ν = 0
i pociągało by za sobą prawo zachowania energii i pędu. W przestrzeni zakrzywionej energia i pęd zachowane są jedynie w przybliżeniu. Nie spełnienie prawa zachowania, spowodowane jest działaniem pola grawitacyjnego na materię i obecnością energii i pędu własnego pola grawitacyjnego.
25) Tensor energii-pędu materii
Niech będzie dany pewien rozkład materii, prędkość której zmienia się w sposób ciągły od punktu do punktu.
Jeśli oznaczyć zμ jako współrzędną elementu materii, to można wprowadzić wektor prędkości
vμ = dzμ /ds
który podobnie jak wielkości polowe będzie ciągłą funkcją współrzędnych punktu.
Wektor prędkości posiada następujące własności :
gμν vμ vν = 1
0 = ( gμν vμ vν ): σ = gμν ( vμ vν: σ + vμ: σ vν ) = 2gμν vμ vν: σ (25.1)
Stąd :
vν vν: σ = 0 (25.2)
Można wprowadzić pole skalarne ρ takim sposobem aby pole wektorowe ρ vμ określało gęstość i strumień materii tak jak Jμ określa gęstość i strumień ładunku elektrycznego innymi słowami, aby ρvμ √−g było
gęstością, a ρvm √−g - strumieniem.
Konieczny warunek dla zachowania materii ma postać :
(ρvμ √−g ), μ = 0
lub
(ρvμ ) : μ = 0 (25.3)
W rozpatrywanym przypadku gęstość i strumień energii materii będzie miał postać :
ρv0 v0 √−g
i
ρv0 vm √−g
a następujące wielkości będą, odpowiednio gęstość i strumień pędu :
ρvn v0 √−g , ρvn vm √−g
Podstawmy :
Tμν = ρvμ vν (25.4)
Wtedy
Tμν √−g
zawiera gęstość i strumień energii i pędu.
Wielkości tę nazywamy tensorem energii-pędu materii.
Tensor Tμν jest oczywiście tensorem symetrycznym.
Czy można w charakterze członu materialnego w prawej części równań Einsteina (24.6) wykorzystać Tμν ?
Dla tego potrzebne jest aby spełniona była równość:
Tμν: ν = 0
Z (25.4) otrzymamy :
Tμν: ν = ( ρvμ vν ): ν = vμ ( ρvν ) : ν + ρvνvμ : ν
Pierwszy człon w prawej części staje się zerem na mocy prawa zachowania masy (25.3).
Drugi człon znika, jeśli materia porusza się po geodezyjnej, ponieważ w przypadku kiedy zamiast zadać ją tylko na linii świata, vμ określimy ją jako funkcję ciągłą pola, otrzymamy :
dvμ /ds =vμ, ν vν
Wtedy (8.3) przybiera postać :
(vμ , ν + Γμνσ vσ ) vν = 0
lub
vμ : ν vν = 0 (25.5)
Teraz widać, że tensor energii-pędu materii (25.4) z odpowiednik mnożnikiem liczbowym k, można podstawić do równań Einsteina (24.4). Wtedy otrzymujemy:
Rμν − ½ gμνR = kρ vμ vν (25.6)
Określimy teraz wartość współczynnika k. Przejdziemy, śladem metody wyłożonej w rozdziale 16, prowadzącej
do przybliżenia Newtonowskiego.
Zauważmy, że zawężając (25.6) otrzymamy :
− R = kρ
Wtedy (25.6) można zapisać w postaci :
Rμν = kρ [ vμ vν − ½ gμν]
W przybliżeniu słabego pola zgodnie z (16.4) otrzymujemy:
½ gρσ (gρσ , μν − gνσ , μρ − gμρ , μσ + gμν , ρσ ) = kρ [ vμ vν −½ gμν]
Rozpatrzmy pole statyczne, oraz statyczne rozłożenie materii.
W tym przypadku v0 = 1 , vm= 0 .
Zakładając μ = ν = 0, oraz odrzucając człony drugiego rzędu znajdujemy :
− ½ ∇2g00 = ½ kρ
lub z udziałem (16.6):
∇2V = − ½ kρ
Dla tego, aby to było zgodne z równaniem Poissona należy wziąć : k = −8π.
W takim razie równania Einsteina w przypadku poruszającej się materii mają postać :
Rμν − ½ gμνR = −8πρvμ vν (25.7)
Wtedy, Tμν zadane przez (25.4) jest zgodne z Yμν z równania (24.6)
Warunek zachowania masy (25.3) daje :
ρ :μ vμ + ρvμ :μ = 0
odpowiednio otrzymamy :
∂ρ/ds = ( ∂ρ/dxμ )vμ = − ρvμ :μ (25.8)
Warunek ten ustala prawo zmiany ρ wzdłuż linii świata elementu materii.
Przy przejściu od linii świata pewnego elementu do linii świata elementu sąsiedniego zasada (25.8) dopuszcza dowolną zmianę ρ. Znaczy to, że można wybrać tak ρ, aby było równe wszędzie zeru oprócz zbioru linii świata obrazujących rurkę czasoprzestrzenną .
Taki zbiór opisywałby cząstkę o skończonych rozmiarach. Poza cząstką mamy : ρ = 0 i odpowiednio stosujemy równań Einsteina dla pustej przestrzeni.
Zauważmy, że jeśli przyjąć ogólną postać równań pola (25.7), to z nich można wywieść dwa wnioski: zachowanie masy i ruch materii po geodezyjnych.
Przypomnimy że: [Rμν − ½ gμνR ]: ν jest zerem zgodnie z tożsamościami Bianchi, skąd otrzymamy :
(ρvμ vν):ν = 0
lub
vν (ρvμ):ν + ρvν vμ :ν = 0 (25.9)
Pomnóżmy to równanie przez vμ. Drugi człon da zero, co wynika z (25.2) i pozostaje (ρvμ):ν = 0, a to jest zgodne z zasadą zachowania (25.3). Teraz równanie (25.9) prowadzi do równości :
vν vμ:ν = 0 tzn. do równania geodezyjnej.
W takim razie nie trzeba robić założenia, że cząstka porusza się po geodezyjnej. Dla małej cząstki ruch wzdłuż geodezyjnej zapewniony jest przez równania Einsteina dla pustej przestrzeni w obszarze wokół cząstki.
26) Zasada wariacyjna dla grawitacji
Wprowadźmy skalar :
I = ∫ R √−g d4x (26.1)
gdzie całkowanie prowadzone jest po określonej czterowymiarowej objętości.
Dodajmy mały przyrost do gμν oznaczony jako δgμν przyrost ten zachowuje gμν, oraz jego pierwsze pochodne na granicy całkowanego elementu objętości.
Wymaganie: δI = 0 przy dowolnych δgμν prowadzi, jak będzie pokazane później, do równań Einsteina dla pustej przestrzeni.
Z (14.4) otrzymamy :
R = gμν Rμν = R* − L
gdzie :
R* = gμν (Γσμσ , ν − Γσμν , σ ) (26.2)
i
L = gμν (Γσμν Γσσρ − Γρμσ Γσνρ ) (26.3)
Skalar I zawiera drugie pochodne gμν ponieważ wchodzą one w R*, jednak te pochodne wchodzą tylko w formie liniowej i odpowiednio można je wykluczyć całkując przez części.
Otrzymamy zatem :
R* √−g = ( gμν Γσμσ √−g ), ν − ( gμν Γσμν √−g ), σ − ( gμν √−g ), ν Γσμσ + ( gμν √−g ), σ Γσμν (26.4)
Dwa pierwsze człony są pochodnymi zupełnymi i dlatego nie dają one wkładu do I.
Tak więc w (26.4) należy zostawić tylko dwa ostatnie człony. Z udziałem (22.5) i (22.4) przyjmują one postać :
gνβ Γμβν Γσμσ √−g + (−2gνβ Γμβσ + gμν Γβσβ ) Γσμν √−g s
Jest to zgodne z 2L√−g z równania (26.3).
W takim razie dla I otrzymujemy wyrażenie :
I = ∫ L√−g d4x
zawierające tylko gμν oraz jego pierwsze pochodne.
Skalar I jest jednorodną formą kwadratową względem pierwszych pochodnych.
Podstawmy £ = L √−g, weźmiemy tę wielkość (z odpowiednik liczbowym czynnikiem, który będzie określony dalej) w charakterze gęstości działania dla pola grawitacyjnego.
Wielkość £ nie jest gęstością skalarną, jednak wygodniej jest na niej prowadzić rachunki niż na wielkości
R √−g będącej gęstością skalarną, ponieważ £ nie zawiera drugich pochodnych gμν .
Zgodnie z dynamiką klasyczną działanie jest całką po czasie, lagranżjanu.
W rozpatrywanym przypadku
I = ∫ £ √−g d4x = ∫ dx0 ∫ £ dx1dx2dx3
tak, że lagranżjanem oczywiście jest :
∫ £ dx1dx2dx3
W takim wypadku £ można rozpatrywać jako gęstość lagranżjanu (w trzech wymiarach) i jako gęstość działania (w czterech wymiarach). Składowe gμν można uważać jako współrzędne dynamiczne, a ich pochodne po czasie jako prędkości. Zauważmy również, że lagranżjan jest niejednorodną kwadratową formą względem prędkości, jak to ogólnie bywa w mechanice klasycznej.
Teraz dokonamy wariacji £. Wykorzystując (20.6) i (22.5) otrzymujemy :
δ( Γαμν Γβαβ gμν √−g ) = Γαμν δ ( Γβαβ gμν √−g ) + Γβαβ gμν sqrt(.) δ Γαμν =
= Γαμν δ( gμν √−g, α ) + Γβαβ δ ( Γαμν gμν √−g ) − Γβαβ Γαμν δ ( gμν √−g ) =
= Γαμν δ( gμν √−g, α ) − Γβαβ δ( gαν √−g ) ,ν − Γβαβ Γαμν δ( gμν √−g ) (26.5)
A zgodnie z (22.3) :
δ( Γβμα Γανβ gμν√−g ) = 2 (δ Γβμα ) Γαμβ gμν √−g + Γβμα Γαμβ δ ( = Γαμν δ ( gμν √−g ) =
= 2 δ( Γβμα gμν √−g ) Γαμβ − Γβμα Γανβ δ ( gμν √−g ) = −δ( gνβ, α √−g ) Γανβ −
− Γβμα Γανβ δ ( gμν √−g ) (26.6)
Odejmując (26.6) od (26.5) znajdujemy:
δ£ = Γαμν δ ( gμν ), α − Γβαβ δ ( gαν √−g ), ν + ( Γβμα Γανβ − Γβαβ Γαμν ) δ ( gνα √−g ) (26.7)
Dwa pierwsze człony różnią się od :
− Γαμν ,α δ ( gμν √−g ) + Γβμβ ,ν δ ( gμν √−g )
o pochodną zupełną.
Stąd otrzymamy:
δI = δ ∫ £ d4x = ∫ Rμν δ ( gμν √−g )d4x (26.8)
gdzie Rμν zadane jest wzorem (14.4).
Przy dowolnym δ gμν wielkości δ( gμν √−g ), także są dowolne i niezależne tak więc żądanie zerowania się (26.8) przywodzi do równań Einsteina w formie (24.1)
Metodą analogiczną do (7.9) można pokazać, ze :
δ gμν = − gμα gνβ δ gαβ (26.9)
Odpowiednio z (20.5) otrzymujemy :
δ sqrt(.) = ½ √−g gαβ δ gαβ (26.10)
W takim razie :
δ ( gμν √−g ) = − [ gμα gνβ − ½ gμν gαβ ] √−g δ gαβ
Wtedy (26.8) można zapisać w innej formie :
δI = − ∫ Rμν (gμα gνβ − ½ gμν gαβ ] √−g δgαβ d4x = − ∫ (Rαβ − ½ gαβR) √−g δgαβ d4x (26.11)
Żądanie zerowania się (26.11) prowadzi do równań Einsteina w postaci (24.2)
27) Działanie dla ciągłego rozkładu materii
Rozpatrzymy ciągły rozkład materii, prędkość której zmienia się w sposób ciągły od punktu do punktu podobnie jak było to zrobione w rozdziale 25. Zapiszemy zasadę wariacyjną dla przypadku materii oddziałującej z polem grawitacyjnym w formie :
δ ( Ig + Im ) = 0 (27.1)
gdzie grawitacyjna część działania Ig zgodna jest z dokładnością do pewnego liczbowego mnożnika k z I z poprzedniego rozdziału, a Im - jest materialna częścią działania która będzie określona w dalszej kolejności.
Warunek (27.1) powinien prowadzić do równań Einsteina w formie (25.7) dla pola grawitacyjnego w obecności materii i do równań geodezyjnej dla ruchu materii.
W dalszej części konieczne będzie zbadanie, jak wpływa na Im dowolna wariacja położenia elementu materii. Rozpatrzenie tego problemu stanie się bardziej jasnym, jeśli najpierw rozpatrzymy czysto kinematyczne wariację bez związku z metryką gμν. W tym przypadku istnieje podstawowa różnica miedzy wektorami
ko- i kontra- wariantnymi, dlatego nie można przechodzić od jednego do drugiego.
Prędkość opisywana jest zależnością współczynników kontrawariantnego wektora uμ i nie może być unormowany bez wprowadzenia metryki.
Dla ciągłego strumienia materii wektor prędkości uμ (z pewnym nie znanym mnożnikiem) zadany jest w każdym punkcie. Można zbudować zgodny z kierunkiem wektora uμ kontrawariantny wektor gęstości ρμ ,
który określa wielkość i prędkość strumienia w postaci:
p0dx1dx2dx3,
równy ilości materii w elemencie objętości : dx1dx2dx3, w określonym momencie czasu, oraz :
p1dx0dx2dx3,
równego ilości materii, która przechodzi przez element powierzchni dx2dx3 przez czas dx0,
Założymy, że ilość materii jest zachowana, wtedy :
pμ, μ = 0 (27.2)
Niech każdy element materii przemieszcza się z punktu zμ do punktu zμ + bμ, gdzie bμ - wielkość mała
Musimy określić jaka będzie wynikowa zmiana pμ w zadanym punkcie x.
Z początku rozpatrzmy przypadek b0 = 0. Zmiana ilości materii znajdującej się w trójwymiarowej objętości V,
równa jest, ze znakiem przeciwnym, ilości materii przechodzącej przez granicę objętości :
δ ∫ v p0dx1dx2dx3 = − ∫ p0brdSr r = 1,2,3
gdzie dSr oznacza element powierzchni ograniczającej objętość V.
Prawą część tej równości można przekształcić zgodnie z twierdzeniem Gaussa, wtedy otrzymamy :
δ p0 = − (p0 br ) , r (27.3)
Teraz rezultat ten należy uogólnić na przypadek b0 ≠ 0 .
Jeśli bμ jest proporcjonalne do pμ to każdy element materii przemieszcza się wzdłuż swojej linii świata i odpowiednio wektor pμ jest nie zmienny. Uogólnienie (27.3) ma oczywistą, następującą postać:
δp0 = (pr b0 - p0 br ), r
ponieważ przy b0 = 0ostatnie równanie to zgodne jest z (27.3) a przy bμ proporcjonalnym do pμ, daje δ p0 = 0
Wzór ten jest słuszny również dla innych składników pμ, tak że końcowy rezultat ma postać :
δpμ = (pν bμ - pμ bν ), ν (27.4)
Przy opisie ciągłego potoku materii, pμ jest podstawową wielkością charakteryzującą która powinna wejść do funkcji działania. Wariacja wielkość pμ powinna być zgodna z formułą (27.4), a zatem po odpowiednim całkowaniu współczynniki przy każdym ze składników bμ powinny być przyrównane do zera.
Takie postępowanie przywodzi nas do równań ruchu materii.
Działanie dla izolowanej cząstki o masie m ma postać :
− m ∫ ds (27.5)
Konieczność wprowadzenia współczynnika -m stanie się jasna jeśli rozpatrzyć przypadek STW dla którego lagranżjan miał by postać pochodnej po czasie od (27.5) tj. :
L = − m ds/dx0 = − m [1 − ( dxr/dx0) dxr/dx0 ] ½
(sumowanie przeprowadzamy po r ; r = 1, 2, 3 ), stąd otrzymujemy wyrażenie dla pędu :
∂L / ∂ (∂xr/dx0 ) = m dxr/dx0 ( 1 − dxn/dx0 dxn/dx0 )−½ = m dxr/ds
Działanie dla ciągłego rozkładu materii otrzymamy zamieniając m w (27.5) wielkością : p0dx1dx2dx3 i całkowaniem :
I m = − m ∫ p0dx1dx2dx3ds (27.6)
Aby zapisać I m w bardziej użytecznej formie wprowadzimy tensor metryczny i zastosujemy formułę :
pμ = ρvμ √−g (27.7)
gdzie ρ - skalar określający gęstość, a vμ - wektor jednostkowy zgodny z kierunkiem uμ .
Otrzymujemy zgodnie z tym :
I m = − ∫ ρ √−g v0dx1dx2dx3ds = − ∫ ρ √−g dx4 (27.8)
gdzie wprowadzono v0ds = dx0
Taka forma zapisu działania nie jest wygodna dla wariacji ponieważ ρ i vμ nie są zmiennymi niezależnymi.
Aby można było wykorzystać formułę (27.4) ρ i vμ powinny być wyrażone przez pμ . Z (27.7) znajdujemy :
(pμ pμ )½ = ρ√−g
Tak więc (27.8) przyjmuje postać :
I m = − ∫ (pμ pμ )½ dx4 (27.9)
Dla określenia wariacji tego wyrażenia wspomożemy się równością :
δ(pμ pμ )½ = ½ (pλ pλ )−½ ( pμ pν δgμν + 2 pμ δpμ ) = ½ ρvμvν √−g δgμν + vμ δpμ
Teraz z zasady wariacyjnej (27.1) po podstawieniu do niej (26.11) pomnożonego przez współczynnik k otrzymujemy :
δ (Ig + Im ) = − ∫ [ k ( Rμν − ½ gμν R ) + ½ ρvμvν ] √−g δgμν d4x − ∫ vμ δpμ dx4 (27.10)
Przyrównując do zera współczynnik przy δgμν oraz wybierając k = (16π )-1 otrzymujemy równania Einsteina (25.7). Ostatni człon (27.10) z udziałem (27.4) i (25.2) daje:
− ∫ vμ ( pν bμ - pμ bν ), ν dx4 = ∫ vμ ,ν ( pν bμ - pμ bν ) dx4 = ∫ (vμ ,ν − vν, μ ) pν bμ dx4 =
= ∫ (vμ : ν − vν : μ ) ρ vν bμ √−g dx4 = ∫ vμ: ν ρ vν bμ √−g dx4 (27.11)
Przyrównując do zera współczynnik przy bμ otrzymujemy równanie geodezyjnej (25.5)
28) Działanie dla pola elektromagnetycznego
Zwykłe wyrażenie dla gęstości działania pola elektromagnetycznego ma postać :
(8π) -1 (E2 − H2 )
Jeśli zapisać je w oznaczeniach czterowymiarowych STW wprowadzonych w rozdziale 23 to otrzymamy :
−(16π) -1Fμν Fμν
To przywodzi nas do następującego wyrażenia dla inwariantnego działania w OTW :
Iem = −(16π) -1 ∫ Fμν Fμν √−g dx4 (28.1)
Należy przyjąć do wiadomości że Fμν = kμ , ν − kν , μ
znaczy to, że Iem jest funkcją tylko gμν oraz pochodnych od potencjałów elektromagnetycznych.
Z początku dokonamy wariacji gμν zostawiając kσ stałe, wtedy Fμν (nie Fμν ) jest również stałe.
Z (26.10) i (26.9) otrzymamy :
δ(Fμν Fμν √−g ) = Fμν Fμν δ√−g + Fμν Fαβ √−g δ(gμα gνβ ) = ½ Fμν Fμν (gρσ √−g δ gρσ -
− 2Fμν Fαβ √−g gμρ gασ gνβ δgρσ
W takim razie :
δ(Fμν Fμν √−g ) = [ ½ Fμν Fμνgρσ - 2Fσν Fσν] √−g δ gρσ = 8Π Eρσ√−g δgρσ (28.2)
gdzie symetryczny tensor Eρσ zdefiniowany zależnością :
4π Eρσ = − Fσν Fσν + ¼ gρσ Fμν Fμν (28.3)
jest tensorem energii-pędu pola elektromagnetycznego.
Zauważmy, że w STW mamy:
4π E00 = E2 - ½ (E2 − H2 ) = ½ (E2 − H2 )
4π E01 = −F02 F12 − F03 F13 = E2H3 − E3H2
tj. E00 opisuje gęstość energii, a E0n jest wektorem Pointynga charakteryzującym natężenie strumienia energii.
Wariacja kμ przy zadanych gαβ z udziałem (21.3) daje :
δ(Fμν Fμν √−g ) = 2Fμν √−g δFμν = 4Fμν √−g δkμ , ν = 4(Fμν √−g δkμ ) , ν − 4(Fμν √−g ), ν δkμ =
= 4 (Fμν √−g δkμ ), ν − 4Fμν : ν √−g δkμ (28.4)
Dodając (28.2), oraz (28.4) i mnożąc rezultat przez −16π otrzymujemy wyrażenie dla pełnej wariacji:
δIem = ∫ [ − ½ Eμν δ gμν + (4π)-1Fμν : μ δkμ ] √−g d4x (28.5)
29) Działanie dla naładowanej materii
W poprzednim rozdziale było rozpatrzone pole elektromagnetyczne w przypadku braku ładunków.
Aby opisać ładunki należy wprowadzić odpowiedni człon w działaniu.
Dla pojedynczej cząstki z ładunkiem e dopełniający człon w działaniu ma postać :
−e ∫ kμ dxμ = −e ∫ kμ vμ ds (29.1)
gdzie całkowanie przeprowadzamy wzdłuż linii świata.
Jeśli cząstka niosąca ładunek jest cząstką punktową, to wynikają pewne trudności związane z tym że jej pole elektromagnetyczne zawiera osobliwość
(ten problem rozważany jest np. w książce W. Pauliego „Teoria względności” - przypis tłumacza)
Te trudności można obejść, jeśli rozpatrzyć w miejsce nośnika punktowego ładunku ciągły rozkład materii. Będziemy opisywać taki rozkład materii w ramach formalizmu rozwiniętego w rozdziale 27, zakładając że każdy element materii jest nośnikiem ładunku.
W kinematycznych zadaniach, figurowała kontrawariantna gęstość wektorowa pμ określająca gęstość i strumień
materii. Teraz należy wprowadzić kontrawariantną gęstość wektorową Jμ określającą gęstość i strumień elektryczności. Te dwa wektory powinny być zgodne co do kierunku.
Przy małych przesunięciach przyrost gęstości wektorowej Jμ zgodnie z (27.4) można zapisać w następującej formie :
δJμ = ( Jν bμ − Jμ bν ) (29.2)
z samym znaczeniem bμ jak w (17.4)
Dla cząstki niosącej ładunek działanie (29.1) w przypadku ciągłego rozkładu naładowanej materii prowadzi (analogicznie do (27.6)) do :
I q = − ∫ J0 kμ vμ dx1dx2dx3ds.
Przy wprowadzaniu metryki zakładamy, zgodnie z (27.7), że :
Jμ = σ vμ √−g (29.3)
gdzie σ - jest funkcją skalarna określająca gęstość ładunku.
Wtedy działanie przyjmuje postać, analogiczną do (27.8) :
I q = − ∫ σ kμvμ √−g dx4 = − ∫ kμ Jμ dx4 (29.4)
W takim razie mamy :
δI q = − ∫ [Jμ δkμ + kμ (Jν bμ − Jμ bν ), ν ] dx4 = ∫ [ −σ vμ √−g δkμ + kμ , ν ( Jν bμ − Jμ bν )] dx4 =
= ∫ σ ( −vμ δkμ + Fμν vνbμ ) √−g dx4 (29.5)
Równania oddziaływania wzajemnego, materii naładowanej z polem grawitacyjnym i elektromagnetycznym wynikają z ogólnej zasady wariacyjnej :
δ (I g + I m + I em + I q ) = 0 (29.6)
Weźmy sumę wyrażeń (29.5), (28.5) i (27.10) zamieniając ostatni człon w (27.10) na (27.11), oraz przyrównując do zera sumę współczynników przy wariacjach δgμν, δkν, bμ.
Jeśli współczynnik przy √−g δgμν pomnożyć przez −16π, to otrzymamy :
Rμν − ½ gμν R + 8π ρvμvν + 8π Eμν = 0 (29.7)
Równanie (29.7) przedstawia sobą równanie Einsteina (24.6) z Yμν złożonym z dwóch członów - tensora energii-pędu materii, oraz tensora energii-pędu pola elektromagnetycznego.
Współczynnik przy √−g δkμ daje:
− σ vμ + (4π) -1Fμν: ν = 0
Z (29.3) widać, że σ vμ jest zgodne z wektorem prądu Jμ w takim razie otrzymamy:
Fμν : ν = (4π) Jμ (29.8)
Równanie (29.8) przedstawia sobą równanie Maxwella (23.13) w przypadku obecności ładunków.
Na koniec, dla współczynnika przy √−g bμ znajdujemy :
ρvμ : ν vμ + σFμν vμ = 0
lub
ρvμ : ν vμ + Fμν Jμ = 0 (29.9)
Drugi człon w (29.9) przedstawia sobą siłę Lorentza, powodującą odchylenie elementu materii od trajektorii
geodezyjnej. Równanie (29.9) wynika z równań (29.7) i (29,8).
Z uwzględnieniem tożsamości Bianchi otrzymujemy :
(ρvμ vν + Eμν ): ν = 0 (29.10)
Dalej zgodnie z (28.3) oraz z wykorzystaniem (23.12) i ((29.8) mamy :
4π Eμν: ν = −FμαFν α : ν − Fμα: ν Fν α + ½ gμν FαβF αβ : ν = − FμαFν α : ν − ½ gμρ Fνσ
(F ρσ : ν − F ρν : σ − F νσ : ρ ) = 4π Fμα Jα
W takim razie (29.10) przyjmuje postać :
vμ(ρvν ): ν + ρ vν vμ: ν + Fμα Jα = 0 (29.11)
Mnożąc (29.11) przez vμ, oraz wykorzystując (25.2) otrzymujemy :
(ρvν ): ν = − Fμαvμ Jα = 0
(uwzględniono tutaj warunek Jα = σvμ wynikający z tego, że Jα i vα powinny być zgodne co do kierunku)
Wtedy pierwszy człon w (29.11) zeruje się i przychodzimy do (29.9) W takim razie równania wynikające z zasady wariacyjnej (29.6) nie są nie zależne co jest wynikiem niezwykłym.
Przyczyny takiego wyniku będziemy rozpatrywać w rozdziale 30.
30) Zasada wariacyjna w przypadku ogólnym
Metodę rozwiniętą w rozdziale 29 można uogólnić na przypadek oddziaływania wzajemnego pola grawitacyjnego z innymi polami oddziałującymi między sobą. Zasadę wariacyjną w ogólnym przypadku można zapisać w postaci:
δ ( Ig + I' ) = 0 (30.1)
gdzie Ig - działanie pola grawitacyjnego omówione powyżej, a I'- działanie dla wszystkich pozostałych pól złożone ze sumy składników - po jednym dla każdego pola.
Wielkim udogodnieniem wykorzystania zasady wariacyjnej jest możliwość łatwego otrzymania poprawnych równań, dowolnych wzajemnie oddziałujących pól. Należy jedynie znaleźć działanie dla każdego z rozpatrywanych pól i dołączyć wszystkie te człony do (30.1)
Działanie pola grawitacyjnego Ig = ∫ L d4x
gdzie L - gęstość lagranżjanu z rozdziału 26 z mnożnikiem (16π )−1
Dla grawitacji Ig mamy :
δIg = ∫ [(∂L /∂gαβ ) δgαβ + (∂L /∂gαβ ,ν ) δgαβ , ν ] d4x = ∫ [∂L /∂gαβ − (∂L /∂gαβ ,ν ), ν ] δgαβ d4x
Rozważania z rozdziału 26 które prowadziły do (26.11) pokazują, że :
∂L /∂gαβ − (∂L /∂gαβ ,ν ), ν = (16π)-1 ( Rαβ − ½ gαβR) √−g (30.2)
Niech ϕn (n =1, 2, 3), oznacza pole wielkości nie grawitacyjnych.
Zakładając, że każda z ϕn jest składową tensora, którego konkretnie własności są nie istotne.
Wielkość I' ma postać całki od gęstości skalarnej :
I' = ∫ L' d4x
gdzie L' - funkcja ϕn i ich pierwszych (możliwe również że wyższych) pochodnych.
Wariacja działania daje następujący rezultat :
δ ( Ig + I' ) = ∫( pμν δgμν + Σn χn δϕn ) √−g d4x (30.3)
gdzie pμν = pνμ , tak jak dany człon zawierający δ (pochodna od wielkości polowej) przy pomocy całkowania przez części można przekształcić w wyrażenie które zawarte jest w (30.3)
W takim razie zasada wariacyjna (30.1) prowadzi do równań pola :
pμν = 0 (30.4)
χn = 0 (30.5)
Teraz pμν składa się z dwóch składników : członu (30.2) zależnego od Ig i członu (oznaczmy go przez Nμν )
tworzącego L'. Oczywiście : Nμν = Nνμ.
Wielkość L' zwykle nie zawiera pochodnych po gμν, w tym przypadku :
Nμν √−g = ∂L' /∂ gμν (30.6)
Teraz równanie (30.4) przyjmuje postać :
Rμν − ½gμνR − (16π) Nμν = 0
A to jest nic innego, jak równanie Einsteina (24.6) z :
Yμν = −2 Nμν (30.7)
Stąd widać jaki wkład w prawą część daje każde z pól w zależności od tego (zgodnie z (30.6)) pod jaką postacią
wchodzi gμν w działanie dla danego pola.
Dla zgodności równań Nμν powinno spełniać równość
Nμν: ν = 0.
Tę własność można w ogólnej postaci wyprowadzić z warunku, że I' jest inwariantne względem przekształceń współrzędnych pozostawiających niezmienioną granicę powierzchni.
Rozpatrzmy przekształcenie współrzędnych typu :
xμ' = xμ + bμ , gdzie bμ jest małe oraz jest funkcją x, będziemy szukać wariacji I' pierwszego rzędu względem bμ. Prawo transformacji dla gμν ma (zgodnie z 3.7) postać :
gμν (x) = xα', μ xβ', ν gα'β'(x') (30.8)
gdzie indeksy z apostrofem stoją przy przekształcanym tensorze.
Niech δgμν oznacza zmianę gμν pierwszego rzędu, nie przy ustalonej wartości pola, a przy ustalonym znaczeniu współrzędnych w których zadano gαβ w ten sposób, że:
gα'β'(x') = gαβ (x') + δgαβ = gαβ (x) + gαβ, σ bσ + δgαβ
Mamy dalej :
xα', μ = ( xα + bα ),μ = gαμ + gα, μ
Tak więc z (30.8) wynika, że :
gμν (x) = ( gαμ + gα, μ ) ( gβν + gβ, ν ) [ gαβ (x) + gαβ , σ bσ + δgαβ ] = gμν (x) + gαβ , σ bσ + δgμν +
+ gμβbβ , ν + gαμbα , μ
I tak :
δgμν = − gμαbα , ν − gναbα , μ − gμν , σbσ
Określimy teraz wariację I' przy takiej właśnie zmianie gμν, pozostałe pola mają w punkcie xμ' takie wartości jak do przekształcenia ich w punkcie xμ. Wykorzystując (30.6) oraz na podstawie twierdzenia wyrażonego formułą (21.4) słuszna dla dowolnego symetrycznego tensora drugiego rzędu znajdujemy :
δI' = ∫ Nμνδgμν √−g d4x = ∫ Nμν( − gμαbα , ν − gναbα , μ − gμν , σbσ ) √−g d4x =
= ∫ [2 (Nαμ √−g ) ,ν − gμν, α Nμν√−g ] bα d4x = 2 ∫ (Nαν: ν bα √−g ) d4x
Inwariantność I' oznacza że wielkość δI' powinna się zerować przy danych wielkościach bα Zgodnie z tym :
Nαν: ν = 0
W skutek tej równość równania pola (30.4) (30.5) nie są niezależne.
31) Pseudo tensor energii-pędu pola grawitacyjnego
Wprowadzimy wielkość t μν zdefiniowaną zależnością :
t μν √−g s = (∂L /∂gαβ ,ν ) gαβ , μ − tgμν L (31.1)
Mamy więc :
(t μν √−g ), ν = (∂L/∂gαβ ,ν ), ν gαβ , μ + ( ∂L/∂ gαβ ,ν ) gαβ , μν − L , μ
I dalej :
L, μ = (∂L /∂gαβ ) gαβ ,μ + ( ∂L/∂gαβ ,ν ) gαβ , νμ
Zgodnie z (30.2) otrzymamy :
(t μν √−g ), ν = [(∂L /∂gαβ ,ν ), ν − ∂L /∂gαβ ] gαβ , μ = (16π )-1 ( Rαβ − ½ gαβR) gαβ , μ √−g
Teraz z pomocą równań pola (24.6) otrzymujemy :
(t μν √−g ), ν = − ½ Yαβ gαβ , μ √−g
w takim razie z (21.4) i warunku Y μν : ν = 0 otrzymamy :
[(t μν + Y μν ) √−g ], ν = 0 (31.2)
Zależności te przywiodły nas do prawa zachowania ,dlatego zachowaną gęstość typu :
(t μν + Y μν ) √−g , należy rozpatrywać w charakterze gęstości energii- pędu.
(Do prawa zachowania (31.2) prowadzi także wyrażenie dla t μν √−g odróżniające się od (31.1) członem postaci ∂ημνα / ∂ xα gdzie ημνα = − ∂ημαν tj. t μν określone jest niejednoznacznie.
W rzeczywistości znane jest wiele wyrażeń dla tej wielkości :
Einsteina, Landaua-Lifszyca, Mollera-Mickewicza - przypis tłumacza )
Jak było pokazane Y μν przedstawia sobą energię-pęd pól nie grawitacyjnych odpowiednio t μν opisuje
energię-pęd pola grawitacyjnego. Jednak t μν nie jest wielkością tensorową.
Równanie (31.1) definiujące t μν można zapisać w postaci :
t μν = ( ∂L /∂gαβ ,ν ) gαβ , μν − g νμ L (31.3)
L tutaj nie jest skalarem, ponieważ przy jego wyprowadzaniu musieliśmy dla wykluczenia drugich pochodnych przekształcać skalar R, który był pierwotnie wybrany w charakterze działania.
Znaczy to, że t μν nie może być tensorem.
Wielkość ta otrzymała nazwę - pseudotensor
( pseudotensor energii-pędu - przypis własny)
Przy znajdowaniu wyrażenia dla energii pola grawitacyjnego nie można spełnić jednocześnie następujących warunków :
po dopisaniu do wielkości t μν innych form energii pełna energia jest zachowana
energia zawarta w określonym (trójwymiarowej) objętości w zadanym momencie czasu nie zależy od wyboru układu współrzędnych
Przychodzimy zatem do wniosku, że energii pola grawitacyjnego, ogólnie mówiąc nie można zlokalizować.
W najlepszym wypadku można wykorzystywać pseudo tensor spełniający tylko warunek 1) .
To daje przybliżoną informacje o energii grawitacyjnej. (przy czym w szczególnych przypadkach informacja ta może być dokładna)
Zapiszmy całkę :
∫( t μ0 + Y μ0 ) √−g dx1dx2dx3 (31.4)
gdzie całkowanie odbywa się względem trójwymiarowej objętości, zawierającej pewien układ fizyczny w danej
chwili czasu.
Można oczekiwać, że jeśli całkowana objętość będzie dążyła do nieskończoności otrzymamy wartość pełnej energii-pędu, przy czym :
a) całka jest zbieżna
b) strumień przez powierzchnię ograniczającą obszar całkowania dąży do zera.
Wtedy z równania (31.2) widać, że wartości całki (31.4) w danym momencie czasu x0 = a, oraz w pewnym innym momencie x0 = b są równe. Mało tego, całka ta nie powinna zależeć od wyboru układu współrzędnych,
tak jak można, nie zmieniając współrzędnych w chwili x0 = a przekształcać je w chwili x0 = b.
W takim razie znaleźliśmy jednoznaczne wyrażenie dla zachowania całkowitej energii i pędu.
Warunki a) i b) konieczne dla zachowania całkowitej energii i pędu dla praktycznych, interesujących nas przypadków są spełnione sporadycznie. Warunki te byłyby spełnione jeśli przestrzeń była by statyczna wewnątrz skończonej czterowymiarowej rurki. Taka sytuacja jest zrealizowana jeśli pewne ciała materialne rozpoczynają ruch w określonym momencie czasu i ruch ten wywołuje perturbacje rozprzestrzeniające się wewnątrz (pewnej rurki czasoprzestrzennej - przypis własny) z prędkością światła. W przypadku zwykłego ruchu układu planetarnego ruch rozpoczął się nieskończenie dawno temu i warunki a), b) nie są spełnione.
Osobnego omówienia wymaga pytanie o energii fal grawitacyjnych, temu problemowi poświęcony jest
rozdział 33.
32) Jawna postać dla pseudotensora
Wzory (31.1) określające t μν można zapisać następująco:
t μν √−g = (∂L /∂qn ,ν ) qn, μ − gνμ L (32.1)
gdzie qn (n =1,2,3 .... 10 ) odpowiada dziesięciu gμν i sumowanie odbywa się po wszystkich znaczeniach n.
Analogicznie (32.1) można przepisać w postaci :
t μν √−g = (∂L /∂Qm ,ν ) Qm, μ − gνμ L (32.2)
gdzie Qm - dowolne dziesięć niezależnych funkcji qn.
Aby to pokazać zauważmy, że :
Qm, σ = (∂Qm/∂qn )qn ,σ
Odpowiednio :
∂L /∂qn ,ν = (∂L /∂Qm ,σ ) (∂Qm, σ /∂qn, ν ) = (∂L /∂Qm ,σ ) (∂Qm /∂qn )gνσ =
= (∂L /∂Qm ,ν) (∂Qm /∂qn)
Wtedy :
(∂L /∂qn ,ν )qn , ν = (∂L/∂Qm ,ν ) (∂Qm /∂qn )qn, ν = (∂L /∂Qm ,ν ) Qm ,μ
skąd wynikają równości (32.1) i (32.2)
Dla otrzymania jawnej postaci t μν dogodnie jest wykorzystać wyrażenie (32.2) i wziąć w charakterze Qm wielkości gμν √.
Teraz można wykorzystać formuły (26.7) z których znajdujemy ( po wprowadzeniu współczynnika 16π ) :
16πδL = ( Γναβ − g βν Γσασ ) δ (gαβ√−g ), ν + s δ (gαβ√−g )
gdzie s - pewien współczynnik.
Odpowiednio :
16πt μν √−g = (Γναβ − g βν Γσασ ) (gαβ√−g ), μ − g μν L (32.3)
33) Fale grawitacyjne
Rozpatrzmy obszar pustej przestrzeni w której pole grawitacyjne jest słabe i gμν jest w przybliżeniu stałe.
Wtedy można stosować równanie (16.4) lub :
gμν ( gμν, ρσ − gμρ ,νσ − gμσ ,νρ − gρσ ,μν ) = 0 (33.1)
Wprowadźmy współrzędne harmoniczne. Warunek (22.2) z opuszczonym indeksem λ daje :
gμν [gρμ, ν − ½ gμν, ρσ ] = 0 (32.2)
Zróżniczkujmy to równanie względem xσ i odrzućmy człony drugiego rzędu.
W rezultacie otrzymamy :
gμν [gμρ, νσ − ½ gμν, ρσ ] = 0 (32.3)
Zamieniając miejscami ρ i σ :
gμν [gμσ, νρ − ½ gμν, ρσ ] = 0 (32.4)
Dodając (33.1), (33.3) i (33.4) :
gμν gρσ, μν = 0
W takim razie każda składowa gρσ spełnia równanie d'Alemberta, rozwiązanie tego równania będzie składać się z fal rozprzestrzeniających się z prędkością światła. To są właśnie fale grawitacyjne.
Rozpatrzmy energię tych fal. W skutek tego że pseudotensor nie jest tensorem nie otrzymamy w ogólnym przypadku jasnego rezultatu nie zależącego od wyboru układu współrzędnych. Jednak w jednym specjalnym przypadku, a mianowicie kiedy wszystkie fale poruszają się w jednym kierunku , można otrzymać „klarowny” rezultat. Jeśli wszystkie fale poruszają się w kierunku osi x3, to układ współrzędnych można wybrać tak aby
gμν zależne było tylko od jednej zmiennej x0 - x3.
Rozpatrzmy bardziej ogólny przypadek kiedy wszystkie składniki gμν są funkcjami jednej zmiennej lσxσ , gdzie lσ - stałe, spełniające warunek gρσ lρlσ = 0
(odrzucając zmienną część gρσ ).
Wtedy otrzymamy :
gμν , σ = uμν lσ (35.5)
gdzie uμν - pochodna gμν po lσxσ
Oczywiście mamy :
uμν = uνμ
Z warunku harmoniczności (33.2) wynika, że :
gμν uμρ lν = ½ gμν uμν lρ = ½ u lρ
gdzie u = uμμ.
Równość tę można zapisać w postaci :
uνρlν = ½ u lρ (33.6)
lub
[uμν − ˝ gμν u ] lν = 0 (33.7)
Z (33.5) znajdujemy :
Γρμσ = ˝ (uρμ lσ + uρσ lμ − uμσ lρ )
Wyrażenie dla L (26.3) we współrzędnych harmonicznych prowadzi do następującej równości:
L = − gμν Γρμσ Γσνρ = − ¼ gμν(uρμlσ + uρσlμ − uμσlρ)( uσμlρ + uσρlν − uνρlσ )
Po przemnożeniu wyrażeń w nawiasach otrzymamy dziewięć członów, jednak nie trudno pokazać, że każdy
z nich jest równy zeru zgodnie z (33.6) oraz warunkiem lσlσ = 0.
W takim razie gęstość działania jest równa zeru. Analogiczny rezultat ma miejsce w polu elektromagnetycznym, dla którego, w przypadku fal rozprzestrzeniających się tylko w jednym kierunku, gęstość działania także jest zerem.
Teraz powinniśmy znaleźć pseudotensor (32.3).
Mamy :
gμν, μ = − gαρ gβσ gρσ , μ = uαβ lμ √−g ,μ = ½ √−g gαβ gαβ , μ = ½ √−g ulμ (33.8)
wtedy :
(gαβ √−g ) ,μ = − [ uαβ − ˝ gαβ u ] √−g lμ
Odpowiednio zgodnie z (33.8) i (33.7) otrzymamy :
Γσασ (gαβ √−g ) ,μ = √−g ,α [ − uαβ + ˝ gαβ u ] lμ = 0
W rezultacie otrzymujemy :
16π t μν = − Γναβ [uαβ − ˝ gαβ u ] lμ = ˝ (uνα lβ + uνβ lα − uαβ lν ) [ uαβ − ˝ gαβ u ] lμ =
= − ˝ [ uαβuαβ − ˝ u2 ] lμ lν (33.9)
Otrzymane wyrażenie dla t μν ma postać tensora.
To oznacza, że przy przekształceniu współrzędnych zachowującym charakter pola, tak że gμν pozostaje funkcją tylko jednej zmiennej lσxσ (tj. obecne są tylko fale rozprzestrzeniające się tylko w jednym kierunku ),
t μν przekształca się jak tensor. Takie przekształcenia współrzędnych mogą składać się tylko z wprowadzonych współrzędnych falowych, gdzie fale poruszają się w kierunku lμ. Ich ogólna postać jest następująca :
xμ' = xμ + bμ , gdzie bμ - jest funkcją tylko lδ xδ .
Kiedy mamy fale poruszające się w jednym kierunku energia grawitacyjna może być lokalizowana.
34) Polaryzacja fal grawitacyjnych
Aby pojąć fizyczny sens (33.9) wrócimy do przypadku kiedy fale poruszają się w kierunku osi x3, tak że
l0 = 1 , l1= l2 = 0, l3 = −1 oraz wykorzystamy współrzędne zbliżone do współrzędnych STW.
Wtedy z warunku harmoniczności (33.6) wynikają równości:
u00 + u03 = ½ u ; u10 + u13 = 0
u20 + u23 = 0 ; u30 + u33 = − ½u
Stąd: u00 + u33 = u = u00 − u11 − u33
Co oznacza :
u11 + u22 = 0 (34.1)
Oprócz tego :
2u03 = − (u00 + u33 )
Teraz z (34.1) otrzymujemy :
uαβuαβ − ˝ u2 = u002 + u112 + u222 + u332 − 2u012 − 2u022 − 2u032 − 2u122 + 2u232 +2u312
- ˝(u00 + u33 )2 = u112 + u222 + 2u122 = ˝(u11 + u22 )2 + 2u122
W takim razie :
16π t 00 = ¼ (u11 + u22 )2 + u122 (34.2)
oraz :
t 03 = t 00
Widać więc, że gęstość energii jest wielkością dodatnio określoną i energia przenoszona jest zgodnie z kierunkiem osi x3 z prędkością światła.
Dla odpowiedzi na pytanie o polaryzację fal wprowadzimy operator R, obrotu na płaszczyźnie x1x2 działający na dowolny wektor (A1A2) w następujący sposób :
RA1 = A2 ; RA2 = −A1 ;
Wtedy : R2 A1 = −A1 tj. wartości własne operatora iR przy działaniu na wektor są równe ±1
Operator R działa na uαβ w sposób następujący ;
Ru11 = u21 + u12 = 2u12 ; Ru12 = u22 − u11 ;
Ru22 = − u12 − u21 = − 2u12
W takim razie :
R(u11 + u22 ) = 0 i R(u11 − u22 ) = 4u12 ; R2 (u11 − u22 ) = − 4 (u11 − u22 )
Co oznacza, że pod działaniem operatora R , u11 - u22 jest niezmienne, pod działaniem R na, u11 − u12 lub u12 iR ma własności własne ±2.
W takim razie współczynniki uαβ dające wkład w energię (34.2) mają spin 2.
34) Człon kosmologiczny
Uogólnione równania pola grawitacyjnego w pustej przestrzeni
Rμν = λgμν (35.1)
gdzie λ -jest stałą , rozpatrywał już Einstein.
Równanie to jest równaniem tensorowym tj. może ono być dopuszczone w charakterze prawa przyrody.
Ponieważ równania Einsteina bez członu λ charakteryzują się zgodnością z danymi eksperymentalnymi
dla planet układu Słonecznego, stałą λ należy dobrać jako dostatecznie małą, tak aby nie wynikały duże rozbieżności dla danych doświadczalnych.
Wielkość Rμν zawiera drugie pochodne od gμν, co oznacza, że wielkość λ ma wymiar (długość) -2.
Aby λ była małą wielkością, długość ta powinna być dosyć duża.
Wielkość
λ− ½ - to długość kosmologiczna rzędu promienia wszechświata.
Ten człon dopełniający (λ) jest dosyć istotny w teoriach kosmologicznych, jednak dla bliskich obiektów daje niezwykle mały efekt. Aby uwzględnić ten człon w teorii pola należy wprowadzić w lagranżjanie człon dopełniający :
Ik = c ∫d4x gdzie c - odpowiednia stała.
Z (26.10) otrzymamy :
δIk = c ∫ ½gμν δgμν√−g d4x
Wtedy z zasady wariacyjnej δ( Ig + Ik) = 0 wynika równość :
16π [Rμν − ½ gμν R] + ½ cgμν = 0 (35.2)
Z równania (35.1) otrzymujemy R = 4λ i następnie Rμν − ½ gμν R = − λ gμν .
Przy wyborze c = 32πλ , równanie to jest zgodne z (35.2)
Przy oddziaływaniu pola grawitacyjnego z innymi dowolnymi polami pozostaje tylko włączyć człon Ik do pełnego działania przez co otrzymamy uogólnione równania pola z członem kosmologicznym Einsteina.
##########################################################################################
****************************************************************************************
46
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
P A M Dirac Ogolna teoria wzglednosci id 34
P A M Dirac Ogólna teoria względności
Czy ogólna teoria względności dopuszcza perpetuum mobile pierwszego rodzaju
Ogólna teoria względności
Ogólna teoria względności
Co to jest teoria względności podstawy geometryczne
ogólna teoria fizjoterapi kolos 1
Teoria wychowania egzamin, Pedagogika - studia, II semestr - ogólna, Teoria wychowania
OGÓLNA TEORIA STRATEGII, semestr II, Strategia Bezpieczeństwa Narodowego, Materiały od wykładowcy
Wyrównywanie ubytków ruchowych, regeneracja, kompensacja,?aptacja Ogólna teoria Fizjoterapii
OGÓLNA TEORIA FIZYKOTERAPII
Mechanika ogólna 2 teoria na egzam
7 Dodatek II Ogolna teoria pradu przemiennego
F3 teoria wzglednosci
II Ogolna teoria ZAOCZNE
8 IMIR teoria wzglednosci id 46 Nieznany (2)
II 10 Teoria wzglednosci
swiat kwantowy a teoria wzglednosci, Przydatne
więcej podobnych podstron