1

1 pomiar strumienia objętości

-przepływomierz pływakowy (rotometr) przepływ płynu odbywa się ku górze.

Pomiar strumienia objętości rotometru sprowadza się do określenia położenia pływaka w kanale.
V

z

=√[(2Δp)/ρ] – z równ. Bernoulliego

Δp – różnica ciśnień dla dolnej i górnej powierzchni pływaka.

ΔpF + Vρy = Vyp – w stanie ustalonym

















1

2

p

p

F

V

y

V

z



0 = V

z

- F

0

V – objętość pływaka
ρ – gęstość płynu
F – pole pow. pływaka
F

0

– swobodny przekrój szczeliny między pływakiem a ścianką kanału

























1

2

)

(

4

)

(

4

2

2

2

2

0

p

p

F

V

y

d

D

Q

d

D

F







, gdy ρ=const Q=(π/4)

*

(D²-d²).

-przepływ krzywakowy
pomiar strumienia objętości za pomocą tego przyrządu polega na pomiarze różnicy ciśnień między
strumieniami płynu opływowego. Wypukłą i wklęsłą stronę zakrywa przewód. Przy przepływie płynu
przez zakrzywiony przewód na skutek działania siły dośrodkowej następuje wzrost ciśnienia w
kierunku odśrodkowym. Różnica ciśnień po stronie wklęsłej i wypukłej krzywaka jest większa, im
większy jest strumień m objętości przepływu krzywaka, jakościowo zbliżony jest do ruchu płynu
idealnego, w którym moment prędkości M jest stały dla wszystkich elementów.

R – promień krzywizny linii środkowej.

r

1

=R-a r

2

=R+a {promienie zewnętrzne i wewnętrzne krzywaka}

p

2

– p

1

=[(V

1

2

-V

2

2

)/2]

*

ρ V

1

=μ/r

1

; V

2

=μ/r

2





2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

)

(

2

2

)

(

2

1

1

2

a

R

R

a

R

a

R

p

p

Q

a

R

a

R

p

p

n

a

R

a

R

p

p



















































































-przepływomierz końcowy (gazometr)
W obudowie przepływomierza znajdują się dwa ruchome przewody z części komory zaworowej na
stałą przegrodę dzielące przewód na dwie identyczne części. Przy otwartych zaworach wlotowych i
zamkniętych wylotowych następuje napełnienie komór powietrzem. Wielkością pomiarową
gazomierza jest wielkość skokowa komór.

2 płyty nieprzesuwne – wzór Naviera – Stokesa





















































































































2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

0

0

0

y

V

x

V

x

p

y

V

y

V

V

x

V

t

V

y

V

x

V

x

p

y

V

y

V

V

x

V

t

V

x

p

V

x

V

V

y

y

y

y

x

y

y

x

x

y

x

x

x

x

x

x

y









2

)

(

;

)

)

(

2

1

2

1

0

0

0

0

2

1

1

1

0

)

0

0

0

0

0

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

y

h

g

p

p

gh

p

y

g

p

gh

p

C

C

h

g

p

p

p

h

y

C

y

g

p

y

g

p

g

y

p

b

h

y

nl

pg

V

g

nl

ph

C

C

V

V

h

y

y

C

y

C

y

nl

p

V

C

y

nl

p

y

V

y

V

n

l

p

y

V

n

x

p

y

V

x

p

a

x

x

x

x

x

x

































































































































































3 równanie ciągłości – ruch nieustalony płynu ściśliwego

Przy przepływie przestrzennym, gdzie wyznaczamy składowe prędkości V

x

,V

y

,V

z

ciśnienie p i ρ jako

funkcję współrzędnych x, y, z równania ciągłości wyprowadza się z równania masy płynu, która
wypływa z elementarnego sześcianu o krawędziach dx, dy, dz .

☺

-





dx

x

V

V

x

x











Nieustawny przepływ płynu ściśliwego gdzie gęstość ρ(x, y, z, t)=0. W czasie dt w kierunku osi x
wpływa do elementu przez lewą ścianę o powierzchni dydz masa płynu ρV

x

dzdydt. Przez przeciwległą

ściankę w tym samym czasie wypływa masa płynu.





dydzdt

dx

x

V

V

x

x























przyrost masy w czasie dt w kierunku osi x









dxdydzdt

x

V

dydzdt

dx

x

V

V

dydzdt

V

x

x

x

x





































Analogicznie przyrost masy przy przepływie w kierunku y i z wynoszą:

 

 

dxdydzdt

z

V

dxdydzdt

y

V

z

y

















;

Suma przyrostów mas w elemencie płynu w kierunku wszystkich osi:





 

 

dxdydzdt

z

V

y

V

x

V

z

y

x







































Równocześnie jednak mamy gęstość ρ która w czasie t wynosiła ρ(x,y,z,t), więc w czasie t+dt gęstość
ρ(x,y,z,t+dt)=ρ+(لρ/لt)

*

dt

W czasie dt masa płynu wewnątrz elementu zmieni się od wartości ρ(dxdydz) do [ρ(لρ/لt)

*

dt]dxdydz.

Stąd przyrost masy -ρdxdydz+[ρ+(لρ/لt)

*

dt]dxdydz = (لρ/لt)dxdydzdt. Porównując przyrosty

otrzymujemy:





 

 





 

 

0

































































z

V

y

V

x

V

t

dxdydzdt

t

dxdydzdt

z

V

y

V

x

V

z

y

x

z

y

x

















{różnicowe równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.

3

lub :





 

 

dt

dz

z

z

V

V

z

z

V

z

V

dt

dy

y

y

V

V

y

y

V

y

V

dt

dx

x

x

V

V

x

x

V

x

V

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x



















































































































Podstawiając do równania ciągłości :

0























































z

V

y

V

x

V

dt

dz

z

dt

dy

y

dt

dx

x

t

z

y

x











0





V

div

dt

dp





→ równanie ciągłości ruchu nieustalonego płynu ściśliwego.

4. Dysza zwężka Venturiego

Dysza Venturiego jest to dysza z długim dyfuzorem, czyli takim, gdzie większa średnica dyfuzora
równa jest średnicy przewodu a otwory impulsowe znajdują się po stronie dopływu w obudowie dyszy
a po stronie odpływu w cylindrycznym przewężeniu.
Jeżeli zastosujemy zwężkę w rurociągu to spowoduje ona zmniejszenie przekroju poprzecznego a co
za tym idzie wzrost średniej prędkości przepływu i energii kinetycznej oraz spadek ciśnienia
statycznego. Jeżeli płyn ma gęstość stałą i porusza się w kierunku poziomym rurociągu to równanie
Bernoulliego będzie miało postać :
V

1

²/2 + p

1

/ρ = V

2

²/2 + p

2

/ρ

Stopień rozwarcia modułu zwężki „m”=(d/Δ)² a stopień przewężenia strumienia m=(d/Δ)². Z równania
ciągłości wynika V

1

=V

2

=F

2

/F

1

→ V

2

=μm.

Prędkość przepływu płynu idealnego wynosi :

)

(

2

1

1

2

1

2

2

2

p

p

m

V











W przepływie rzeczywistym ρ<<1

)

(

2

1

1

2

2

2

2

p

p

m

V











Strumień objętości wynosi :









2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

p

p

f

p

p

m

f

d

V

d

Q

z

z































Gdzie :





2

1

2

2

2

1

p

p

f

Q

m

















α - liczba przepływu zwężki, f – pole powierzchni przekroju zwężki.
5 prawo Darcy’ego

Prawo Darcy’ego łączy w liniową zależność wydatek strumienia filtracyjnego Q z powierzchnią jego
przekroju poprzecznego F i spadkiem hydraulicznym J.
Q = k

f*

F

*

J , gdzie k

f

- wsp. filtracji , l - długość drogi przepływu.

∆=∆h/l (∆h=∆p/γ)
Ponieważ V

f

(prędkość filtracji) = Q/F, otrzymujemy V

f

= k

f*

J

Dla małych prędkości przepływ ma charakter laminarny i podlega liniowemu prawu Darcy’ego. Gdy
prędkość wzrasta, siły pulsacji powodują zmianę ruchu cząsteczek. Chaotyczny wsp. filtracji k

f

nie

zależy jedynie od własności skały porowatej, ale również od własności płynu takich jak lepkość oraz
ciężar właściwy. Można to opisać tak :
K

f

= k/μ = -k

f

/υ , gdzie:

k – współ. przepuszczalności
υ – kinetyczny współ. lepkości
μ – dynamiczny współ. lepkości

4

Podstawiając powyższą zależność do wzoru Darcy’ego mamy :

pF

l

Q

k

l

pF

k

Q















przy małych długościach rdzenia p

śr

= (p

1

-p

2

)/2 ,

gdzie p

1

i p

2

to ciśnienie gazu na wlocie i wylocie

)

(

2

1

p

p

F

l

Qp

k

śr









.

Przy zał., że proces wznoszenia się gazu w rdzeniu jest izotermiczny.

2

1

0

0

0

2

p

p

l

p

Q

Q







Q

0

– wydatek gazu w warunkach atmosferycznych jest izotermiczny

p

0

– ciśnienie barometryczne

czyli współ. przepuszczalności ma postać:

)

(

2

2

1

0

0

p

p

F

l

p

Q

k





6 płyty ruchome

v=c≠e

0













t

V

t

V

y

x

ruch ustalony

x – składowa pozioma jedn. sił masowych
y = -y - składowa pionowa sił masowych

0







x

P

z założenia ruchu

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

.

3

1

.

2

1

.

1

y

V

a

y

V

x

V

t

p

y

V

V

V

y

V

t

V

y

V

x

V

t

p

x

V

y

V

V

x

V

t

V

x

x

y

y

y

x

y

y

x

y

y

y

x

x

x





























































































































Całkujemy wobec tego μ/ρ≠0 oraz

2

2

2

2

dy

V

d

y

V

x

x







dla y=0→V

x

=0 ; y=h→V

x

=V

B





























x

p

y

p

V

y

V

B

x

lub

1

0

p=xy+c dla y=h
p

0

=-υh+c → c=p

0

+υh, ostatecznie : p=υ(h-y+p

0

) dla y=0 ; p

B

=υh+p

0

7 wyprowadzić układ ciśnienia wzdłuż długiego rurociągu

Równanie ruchu płynu lepkiego:

 

V

div

grad

V

p

grad

F

dt

V

d







3

1















gdzie υ=μ/ρ – liniowy współczynnik lepkości

5



























































































































































































































z

V

y

V

x

V

z

z

V

y

V

x

V

z

p

z

dt

dV

z

V

y

V

x

V

y

z

V

y

V

x

V

y

p

y

dt

dV

z

V

y

V

x

V

x

z

V

y

V

x

V

x

p

x

dt

dV

z

y

x

z

z

z

z

z

y

x

y

y

y

y

z

y

x

x

x

x

x

3

1

1

3

1

1

3

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2



















Rozwiązania te są rozwiązaniami ruchu płynów lepkich i ściśliwych przy założeniu, że μ=const. Dla

płynu nieściśliwego

V

V

p

grad

F

dt

V

d

V

div



















0

Równanie ruchu płynu nieściśliwego i lepkiego można przedstawić w jednej postaci po rozwiązaniu
wyrażenia na przyśpieszenie całkowite.























































































































































































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

z

V

y

V

x

V

z

p

z

z

V

V

y

V

V

x

V

V

t

V

z

V

y

V

x

V

y

p

y

z

V

V

y

V

V

x

V

V

t

V

z

V

y

V

x

V

x

p

x

z

V

V

y

V

V

x

V

V

t

V

z

z

z

z

z

y

y

x

x

z

y

y

y

z

z

y

y

x

x

y

x

x

x

z

z

y

y

x

x

x













8 równanie Eulera dla płynu nieściśliwego

ρ=const – płyn nieściśliwy

z

p

F

dt

dV

y

p

F

dt

dV

x

p

F

dt

dV

p

grad

G

dt

dV

z

z

y

y

x

x





































1

1

1

1

z równania statyki otrzymujemy

z

p

F

y

p

F

x

p

F

dt

dV

dt

dV

dt

dV

z

y

x

z

y

x





































1

0

1

0

1

0

0

siły działające na osi x=y=0 z=-y

0

/

/

1

p

c

k

z

c

yz

p

ydz

p

z

p

y

y

z

p

















































p(V)=V

k

+p

0

0

1

0

1

0

1























z

p

y

y

p

x

p







Jest to równanie na ciśnienie w stanie statycznym dla cieczy ρ=const (nieściśliwej)

9 równanie ruchu płynu lepkiego

W przepływie laminarnym w którym wektor prędkości elementu płynu są względem siebie
równoległe, zgodnie z hipotezą Newtona, dynamiczny współczynnik lepkości μ jest równy:
μ=σ/(∂v/∂u) σ-naprężenie sztywne, v-prędkość przepływu
∂v/∂u – składowa gradientu prędkości w kierunkach prostopadłych do V

Kinetyczny współczynnik lepkości jest równy ilorazowi dynamicznego wsp. lepkości płynu μ i jego
gęstości ρ υ=μ/ρ.
Do pomiaru lepkości służą wiskozymetry, lepkościomierze wykorzystujące różnice zjawiska
fizycznego o przebiegu zbliżonym do zjawiska lepkości. Są to lepkościomierze kapilarne, rotacyjne,
ultradźwiękowe.

6

Lepkościomierz Eulera – pomiar lepkości oparty jest na prawie Hagena. Zgodnie z tym prawem
strumień objętości cieczy w przepływie laminarnym przez kapilarę jest równy.

4

128

d

l

p

Q









∆p – różnica ciśnień między końcami kapilary
l, d – długość i średnica kapiary
μ – dynamiczny współczynnik lepkości cieczy

Lepkościomierz Höplera – pomiar oparty na prawie Stokena. Kula a gęstości ρ

k

opada z prędkością v

w cieczy o ρ

c

wypełniającej cylinder lepkościomierza poddana jest oddziaływaniu sił:

- ciężkości G=(π/6)d

3

y ρ

k

- wyporu W=(π/6)d

3

y ρ

c

- oporu ośrodka

Cx

V

d

P

c

2

4

2

2







Współczynnik lepkości względnej ε = T/(kγ) ; T-czas wypływu, γ-stała wypływu

Gdy wypadowa tych sił jest równa zero, kulka upada ze stałą prędkością v=const.

Dla G=W+P wynosi

Cx

d

k

T

L

v

c

c















0

3

4

Dla Re < Q

2

siła wyporu wynosi W=P – 3πμvd

Dla ruchu laminarnego Cx=24/Re Re=(V

0

dρ

c

)/μ









l

T

pd

d

T

l

V

c

k

c

k

18

18

2

2

0



























Dla zmniejszenia błędu systematycznego wykorzystuje się zależność μ=(ρ

k

-ρ

c

)k

H

T

T – czas opadania kuli ; k

H

– stała przyrządu

10 Równanie Eulera dla płynu rzeczywistego

Występują siły:
-grawitacyjna

ds

dz

ydv

ds

dt

s





















sin

-wymuszająca ruch

v

t

v

s

p

dv

dt

dv

















)

(





-tarcie ρ=τ dv

dv

dv

F

dv

dt

dv

dv

s

p

ds

dz

ydv

z











:

/

0













0

1



















F

s

p

ds

dz

y

dt

dv

równanie przepływu jedn. płynu rzeczywistego, gdy





F

s

p

ds

dz

y

dt

dv

V

dt

dv

















1

0

dla potencjalnego gazociągu, który nie powoduje zmian prędkości :

0

1

















F

s

p

ds

dz

y

dla płynu idealnego F

τ

=0

s

p

G

ds

dv

V

dt

dv

s













1

gdy dv/dt=0 (v grad) v=σ - (1/ρ)grad p

v=const to σ - (1/ρ)grad p =0
v=0

to σ - (1/ρ)grad p =0

11 Bezwymiarowy współczynnik strat λ

Korzystając z prawa Hagena-Poiseuille
Q=πΔpR

4

/(8μl)

7

Q=v

śr

*F

v

śr

=Q/F F=π* R

2

d

l

v

d

d

v

l

v

d

l

v

p

d

v

d

l

v

d

l

v

R

l

v

d

l

v

d

l

v

p

R

p

l

v

R

l

p

R

l

p

v

v

v

l

R

p

R

R

l

p

v

śr

śr

śr

śr

śr

śr

śr

śr

śr

śr

śr

śr

śr









































































































































Re

2

64

2

64

32

Re

32

)

2

(

8

8

Re

32

)

2

(

8

4

2

8

2

8

8

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

max

max

2

2

4











































Porównując ten wzór ze wzorem na straty Darcy’ego

Re

64

2

Re

2

64

2

2

2

2





































śr

śr

śr

v

d

l

d

l

v

v

d

l

p

12 Całka Eulera dla płynu

z

p

G

dt

d

y

p

G

dt

d

x

p

G

dt

d

p

grad

G

dt

v

d

v

v

v

z

y

x





































1

1

1

1

Z równania statyki otrzymujemy

dt

d

v

x

=

dt

d

v

y

=

dt

d

v

z

=0

0=

x

p

G

x









1

0=

y

p

G

y









1

0=

z

p

G

z









1

Działające sily wzdłuż osi x=y=0 z= - g

0= - g

z

p









1

z

p









1

=g /*



g

z

p











Dp= -



gdz

Z równania Clapyrona

g

v

RT

v

p







8

dp= - v dz = -

dz

RT

p







/*

RT

dz

p

dp

ln p = -

c

RT

z



założenia p =

p

0

z =

z

0

ln p = -

c

RT

z



0

c=ln

RT

z

p

0

0



ln pn= -

p

RT

z

0

ln



+

RT

z

0

ln po =

RT

z

z

0









e

p

p

0

RT

z

z

0



9

13. Całka i równane Eulera dla cieczy.

14. Cisnieniomierze (sonda Prandta)

Ciśnieniomierz tego typu pozwala na pomiar roznicy cisnienia całkowitego i statycznego. Różnica ta
jest cisnieniem dynamicznym.

p

v

v

p

v

p

d

v







2

2

2

1

2

1

2

2

2

1











0

0

0

0

1

1

0

,

0

,

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

z

z

z

y

x

z

y

x

p

p

c

z

p

c

z

p

dz

dp

p

g

dz

g

dp

dz

dp

g

dz

dp

g

dz

dp

g

g

z

y

x

z

p

F

y

p

F

x

p

F

dt

v

dt

v

dt

v

z

p

F

dt

v

y

p

F

dt

v

x

p

F

dt

v

gradp

F

dt

dv





























































































































































10

gestosc

dynamiczne

cisnienie

p

p

p

d











1

2

Manometr naczyniowy z rurka pochyła służy do pomiaru małych wartości roznic cisnienia stosuje się
miedzy innymi mikromanometry cieczowe z rurka pochyla, protekcyjne , mikrometr Betza

Na podstawie wychylenia cieczy manometrycznej l i kata pochylenia rurki alfa można określić

miarowo przez manometr roznicy cisnien

p

p

2

1



F

F

z

z

F

F

z

z

z

z

z

z

z

z

l

l

ciaglosci

rownania

z

l

z

2

1

1

0

2

1

1

0

0

2

1

0

0

2

)

(

:

sin

























Różnica ciśnień:

(

2

1

gl

z

g

p

c

c

p

p

















sin

F

F

2

1

)=



c

ln g

Manometr z U-rurka
Manometr Aslavia słuzy do pomiaru pod i nadcisnien w zakresie do 2006 Re
15 Czas wypływu

v(z) =

gz

2

dv = F

0

gz

2

dt

dv = F(z)dz

- F(z)dz = μ

0

F

0

gz

2

dt

- F(z)dz = μF

0

gz

2

dt

dt=-

gz

F

dz

z

F

2

)

(

0



dz

z

z

F

gz

F

t

gz

F

dz

z

F

d

dt

z

z

t





















0

0

0

0

)

(

2

1

2

)

(





Prawo Pascala.
Jeżeli dv/dt=0 to Fx=1/ro*dp/dx; Fy=1/ro*dp/dy; Fz=1/ro*dp/dz
Fxdx+Fydy+Fzdz= 1/ro*(dp/dx*dx+dp/dy*dy+dp/dz*dz)
Fxdx+Fydy+Fzdz=1/ro*dp
Prawa strona równania to pochodna zupełna i aby był warunek równania spełniony musi i lewa strona
być pochodna zupełną.

11

wektorF=grad mi gdzie mi to potencjał wektora F(potencjał jednostkowy sil masowych)
Fx=dmi/dx; Fy=dmi/dy; Fz=dmi/dz.
Warunki równania płynu doskonałego dmi=1/ro*dp, ro=const.
Mi=1/ro*p+cosalfa
Zapis wektorowy radmi=1/ro gadp
Jeżeli F=0 grad mi=0 to 1/rogradp=0 – Prawo Pascala.

16 Gęstość
Gęstość jest wielkością fizyczną charakteryzującą wszystkie zależne od masy i objętości. Gęstość
średnia to stosunek masy i objętości: ρ

śr

=m/V

Gęstość w punkcie: ρ=dm/dv= lim Δm/ΔV

ΔV→Ve

Pomiar gęstości wilgotnego powietrza:
Powietrze zawiera w swym składzie parę wodną. Ilość pary wodnej i jej sprężystośc zależy tylko od
jej temperatury. Wilgotnością bezwzględną nazywa się ilośc pary wodnej w jednostkach masy
zawartej w jednostce powietrza [kg/m

3

]

Parametry mieszaniny spełniają zatem równanie Clapeyrona p/ρ =RT gdzie:
p-ciśnienie wilgotnego powietrza
p

s

-ciśnienie suchego powietrza

oraz prawo Daltona b=e

Ps

+e

Pw

gdzie e

Pw-

ciśnienie pary wodnej w powietrzu wilgotnym

p

s

-ciśnienie suchego powietrza

Gęstość powietrza wilgotnego zależy od temperatury, ciśnienia, wilgotnośći, która wyrażona jest przez
sprężystość pary wodnej. Gęstość cieczy – pomiar polega na wyrażeniu masy i objętości cieczy
znajdującej się w piktometrze. Pomiar masy wyznacza się na wadze analitycznej, objętość wyznacza
się pośrednio poprzez ważenie wody analitycznej o znanej gęstości





















































)

(

0

2

0

2

0

0

0

2

0

0

0

0

1

0

w

w

w

w

m

m

m

m

V

m

m

V

m

m

m

m

V

V

0

-objętość cieczy w pikometrze

0



-gęstość badanej cieczy

Gęstość materiału ziarnistego wyznacza się przy pomocy pikometru. Należy zważyć dwukrotnie
pikometr z próbką ciała rozdrobnionego oraz pikometr z tą samą próbką ciała dopełnionego cieczą o
znacznej gęstości
m

s

=m

0

+m

p

-V

0

*ρ

m

w

=m

0

+m

p

-(V

0

- V

p

) ρ

w

- V

0*

ρ

ρ-gęstość; V

0

- objętość cieczy w pikometrze; m

0

,m

p

-masypikometru pustego, ciała rozdrobnionego;

ρ

w

gęstość rozdrobnionych ziaren

V

p

- objętość rozdrobnionych ziaren



















































)

(

)

(

)

(

0

0

0

0

s

w

s

w

w

p

w

s

w

s

p

w

s

w

p

m

m

m

m

V

m

m

V

m

m

m

m

m

V

V

p



- gęstość materiału z którego zbudowane są ziarna ciała rozdrobnionego

17 Kryza zwężka

Celem jest wyznaczenie zależności liczy przepływu od liczy Reynoldsa (Re) dla zwęzki. Wykres α=
α(Re) umożliwia wyznaczenie strumienia objętości pynu na podstawie pomiaru różnicy ciśnień na

12

kryzie lub dyszy. Zwężka zabudowana w rurociągu powoduje zmniejszenie przekroju poprzecznego a
tym samym wzrost średniej prędkości przepływu i energii kinetycznej oraz spadek ciśnienia.

)

(

2

`

`

4

4

2

1

2

2

2

2

p

p

wpisac

trzeba

d

n

V

d

V

Q





















2

2

2

1

2

1

2

2

p

V

p

V







- równanie Bernoulliego



= const

2















v

d

m

- moduł zwężki

2















D

d

n

z

- stopień przewężenia strumienia









y

rzeczywist

plyn

p

p

m

n

V

p

p

m

n

V

m

n

V

D

F

V

V

z







































2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

1







- płyn idealny

18 Magistrala dla cieczy

D

x

p

grad

G

dt

dv

v

2

1

2









Założenia:

const

const

G

const

const

Q

m













0

)

(

;

0

)

(

;

0



















x

v

x

v

t

v







x

D

x

D

dx

D

p
p

p

dx

D

dp

dx

D

dp

d

const

Q

dx

D

dp

d

dx

D

dp

dx

dv

S

Q

p

p

S

Q

p

p

S

Q

S

Q

S

Q

Q

S

S

S

v

S

v

S

v

v

x

x

x

2

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

)

(

1

2

1

/

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

)

(

0



















































































13

19 Paradoks de’Alamberta

Przy ruchu ciała w płynie doskonały nie powstają żadne siły reakcji. W płynach rzeczywistych
występują składowa reakcji p

x││

v

a w przypadku ciała niesymetrycznego występują obie składowe

p

x││

v

p

y ┴

v

p

y

-siła nośna

v

y

=2v

o

sinυ

z równania Bernouliego





p

p

p

v

p

v







2

2

2

0

2

0

/ρ

)

sin

4

1

(

2

)

sin

2

4

(

2

2

2

2

2

2

2

0

0

2

2

0

0

2

0

2

0

2

0

2

0



















































v

p

p

p

v

v

p

p

v

p

v

p

v

p

v

p

p

p

p

p

p

p

20 Porównanie przepływu gazu przez ośrodki porowate.

Prędkość filtracji zgodnie z prawem Darcy (przy przepływie laminarnym) jest proporcjonalna do

gradientu ciśnienia

gradp

k

V









.

k- współczynnik charakteryzujący przepuszczalność ośrodka porowatego, zależy od materiału i płynu.
µ- dynamiczny współczynnik lepkości gazu.
Podczas badania współczynnika filtracji cylindrycznej próbki mnożne różnice ciśnienia na zewnątrz i
wewnątrz odcinka przewodu porowatego o długości l. Jedna część rury jest zamknięta a do drugiej jest
podłączony wentylator. Na skutek podciśnienia następuje filtracja powietrza przez rurkę porowatą.
Bezwzględna prędkość filtracji jest więc równa V=k/mi*dp/dt.
Strumień objętości powietrza przepływającego przez powierzchnię zewnętrzną rurki o polu jest

równy:

dF

Q

n

V













gdzie





v

- wektor prędkości, n – wersom normalny.

Q= k/mi*dp/dv*2pi*l*r.
W celu wyznaczenia p=(p(r)) należy rozwiązać otrzymane równanie różniczkowe gdy Q=const.
dv/dr= 2pi*l*k/mi*Q*dp
lnr= 2pi*l*k/(mi*Q)*p+c
Równanie musi być spełnione dla wszystkich punktów cylindra porowatego w szczególności gdy
leżące na powierzchni r=r

z

lnr

z

=(2pi*l*k/mi*Q)*b+c gdzie b-ciśnienie barometryczne.

Funkcja p(r)ma postać p(r)=b-(mi*Q/2pi*l*k)*ln(r

z

/r).

Wewnątrz rurki (r=r

w

) a cieśninie wynosi p

w

. p(r

w

)=b-(mi*Q/2pi*l*k)*ln(r

z

/r)= p

w

)

(

2

ln

w

w

z

p

b

l

r

r

Q

k









21 Równanie równowagi płynu
Równanie równowagi uwzględnia równowagę sił masowych i sił powierzchniowych. A więc









V

A

M

npdA

dV

F

0



F

M

–siły masowe; np- siły powierzchniowe

Przekształcamy całkę powierzchniową na objętościową korzystając z twierdzenia GAUSSA-
OSTROGRADSKIEGO:

14





0

0





















dV

p

grad

F

dV

p

grad

dV

F

dV

p

grad

npdA

V

M

V

M

V

A

V





Ze względu na dowolność obszaru całkowania V można zapisać:

z

p

k

y

p

j

x

p

i

p

grad

p

grad

F

M























0



Jest to równanie równowagi płynu w formie różniczkowej. A w układzie współrzędnych
kartezjańskich ma ono postać.

x,y,z – to składowe siły masowej F

M

w kierunkach osi x,y,z

Równanie równowagi wyprowadzone z różniczkowego sześcianu dxdydz. Rozpatrzona zostanie
równowaga w kierunku osi x, gdzie siła powierzchniowa będąca iloczynem ciśnienia i powierzchni na

odcinku dx rośnie o wielkość pdzdy do

dydz

dx

x

p

p



















dV=dxdydz

Element płynu dV =dxdydz jest w równowadze jeżeli rzuty sił na osi x są równe 0

0

0

0









































































dxdy

dz

z

p

p

pdxdy

dm

z

dxdz

dy

y

p

p

pdxdz

dm

y

dzdy

dx

x

p

p

pdydz

dm

x

Korzystając z faktu że

dxdydz

dv

dm









dodając stronami trzy składowe można naoisać









Zdz

Ydy

Xdx

dp

dz

z

p

dy

y

p

dx

x

p

Zdz

Ydy

Xdx

































PRAWO PASCALA
Gdy na płyn nie działają siły masowe lub gdy są one zaniedbywanie małe w stosunku do sił
powierzchniowych można zapisać warunek F

M

=0 ; a więc i składowe X=Y=Z=0 ZATEM z równania

EULERA w postaci różniczkowej wynika że grad p = 0 czyli dp = 0 a więc p=const jest to
matematyczny zapis prawa PASCALA, mówiący że ciśnienie jest stałe w całej objętości
22 Prędkość przepływu termoanometru

Prędkość przepływu określa się za pomocą termoanometru. Poszczególne punkty pomiarowe wybiera
się na przecięciu okręgów o promieniu r

u

i prostopadłych względem siebie średnic:



m

k

k

R

r

k

2

1







m - liczba pierścieni
k – kolejny numer punktu pomiarowego
R – promień















m

i

n

i

i

i

i

N

v

F

F

v

Q

1

1

N – liczba punktów pomiarowych

0

1

0

1

0

1

























z

p

Z

y

p

Y

x

p

X







15

F – pole przekroju poprzecznego F = пR

2

ΔF

i

– powierzchnia części przekroju poprzecznego, której odpowiednia prędkość odpowiada prędkości

v

i

Przy przepływie osiowosymetrycznym, gdy v nie zalezy od kąta kierunkowego













F

p

R

dv

r

v

dr

r

v

vdF

Q

0

0

2

2

)

(

)

(

2





Można także obliczyć energię kinetyczną płynu przypadającego na jednostkę czasu, w którym płyn
przepływa przez przewód





2

2

3

)

(

2

dv

r

v

E

k





Współczynnik Coriolisa (α) to stosunek rzeczywisty energii kinetycznej strumienia płynu i energii,
jaką miałby strumień płynu gdyby prędkość jego była w calymprzekroju równa v

śr

E

k

=mv

śr

/2 = ρv

śr

v/2 = ρFv

śr

3

α = E

k

/ E

k

*

α = E

k

/ E

k

*

*1/( v

śr

3

R

2

)

dr

r

v

R



0

3

3

)

(

23 Rownanie Bernoulliego dla plynu idealnego.

Płyn idealny v=0 ;

0



dt

dv

rot



v

=0 ruch ustalony

Równanie Eullera dla tego płynu

dt

dv

= G -



1

grad p

0



dt

dv

=>

z

y

x

t

v

v

v

v

v

v

v

z

z

y

y

x

x























Czyli

v(x,y,z) grad (

x

v

x





;

y

v

y





;

z

v

z





)

v(grad v)= G -



1

grad p

v(grad v)=

v

xrot

v

v

grad

x



2

2

1

v

grad

2

2

1

= G -



1

grad p

v

grad

2

2

1

- G - G -



1

grad p =0

G=grad v - potencjał sil masowych



1

grad p=grad p - cisnienie p =





dp

grad

0

2

2







p

grad

n

grad

v

16

grad(

2

2

v

+ n +p)= 0 n= -gz p= const

2

2

v

+ n +p= const

2

2

v

+ gz+

const

dp







-- - dla gazu

2

2

v

+ gz+



p

= const --- dla cieczy

Dla cieczy rzeczywistej

2

2

v

+ gz+



p

+

const

h

s





Gdzie:



h

s

=









24 Rownanie Eulera dla plynu doskonałego

x,y,z-skladowe Si masowych przypadających na jednostke masy w kierunku osi współrzędnych
dm=

dxdydz



dm—masa elementarnego prostopadłościanu

dxdydz

z

dxdydz

y

dxdydz

x







p+(dp/dz)dz

p+(dp/dz)dx

dydx

dz

z

p

p

dydx

dxdz

dy

y

p

p

dzdx

dydz

dx

x

p

p

dydz

)

(

)

(

)

(































Mnożę siłe składowa z masy elementu z „-‘’

dt

d

v

x



dxdydz



dxdydz

dt

d

v

y





dxdydz

dt

d

v

z





Gdy układ sil jest w równowadze to zgodnie z zasada De’Alamberta suma rzutow sil = 0

17

0

0

0





































dxdydz

dt

d

dxdydz

z

p

dxdydz

z

dxdydz

dt

d

dxdydz

y

p

dxdydz

y

dxdydz

dt

d

dxdydz

x

p

dxdydz

x

v

v

v

z

y

x













25 Równanie Bernouliego dla jednowymiarowego stacjonarnego przepływu strugi.
dv/dt+v*dv/ds=GS-(1/ro)*dp/ds+(lambda*g*v

2

/2D)

Pole grawitacyjne:
v*dv/ds-GS+1/ro*dp/ds+(lambda*g*v

2

/2D)=0

½*dv

2

/ds+g*dz/ds+(lambda*g*v

2

/2D)=0 /*ds.

½ * dv

2

+gdz+dp/ro+( lambda*g*v

2

/2D)*ds=0

0

,

0

0

2

2

0

2

)

2

1

(

2

2



























v

ds

D

gv

p

gz

v

ds

D

gv

p

gz

v

d











v

2

/2+p/ro+gz=const

dla cieczy rzeczywistej
v

2

/2+p/ro+gz+(lambda*g*v

2

/2D)+(ε*v

2

*g/2)=const

dla gazu
v

2

/2+g*dp/ro+gz=const

pv=(z)RT; v=1/ro
p/ro=RT(z)

p

RT

p

dpRT

v

const

T

p

p

ln

2

1

0

2











I=p/RT
p=IRT(z)

0

1

ln

2

p

p

RT

v



26 Równanie Bernouliego dla płynu idealnego.
V=0
dv/dt=0 – przyśpieszenie lokalne
rotv =0
dv/dt=g=1/ro*▼p
dv/dt=(v*▼)*v=g-(1/ro)* ▼p
Z analizy matematycznej:
(v*▼)=1/2*▼*v

2

+v *rotv

½*▼*v

2

-g-(1/ro) * ▼p=0 g=-▼n

½*▼*v

2

+vn+▼p=0 1/ro▼=▼p

ro=const 1/ro▼p=▼p/ro
v

2

/2+n+p=const

v

2

/2+n+ p/ro=const

n=g

z

v

2

/2+g

z

+ p/ro=const

Równanie Bernouliego – przemiana gazowa

R – indywidualna stała gazowa

18

pV=nRT
p/ρ=RT/μ z tego ρ=pμ/RT
V=-m/ρ ; n=m/μ ; R=R

*

M

pm/ρ=m R

*

μT/μ

p/ρ= R

*

T

ρ=p/ R

*

T / ∫

∫dp/ρ + v

2

= const

const

v

T

R

d









2

2

*





R

*

T ∫dp/ρ + v

2

/2 = const

R

*

T ln│p│+v

2

/2 = const

27 Równanie ruch płynu doskonałego (równanie Eulera) wyprowadzone z równowagi sił

Równanie ruchu płynu doskonałego wynika z zasady zachowania pędu, gdzie pochodna płynu
zawartego wewnątrz obszaru V względem czasu jest równa sumie sił zewnętrznych czyli:











V

A

A

M

V

dA

P

dV

F

dV

dt

dV





Stosując twierdzenie GAUSSA-OSTROGRADSKIEGO i pamiętając, że p

A=

-n*p otrzymujemy:











V

V

M

V

gradp

dV

F

dV

dt

dV





dV=0





0









dV

gradp

F

dt

dV

M

V





Ze względu na dowolność obszaru całkowania V dla każdego elementu dv funkcja podcałkowa musi
się zerować. Otrzymujemy więc:

gradp

F

dt

dV

M



1





Równanie płynu doskonałego lub równanie Eulera okresla zasadę zachowania pędu gdyż
wystarczy rozdzielić różniczki dV/dt i pomnożyć je przez masę a otrzymam równanie pędu w

klasycznej postaci. Równanie to można przedstawić w zapisie skalarnym w następujący sposób:

z

p

Z

dt

dV

y

p

Y

dt

dVy

x

p

X

dt

dV

Z

X





































1

1

1

28 Równanie Bernouliego wyprowadzone z równania Eulera

W celu wyprowadzenia równania Bernouliego z całki równania Eulera zależy uzyskać związek
algebraiczny pomiędzy prędkością przepływu płynu, a jego ciśnieniem. Jest to możliwe w przypadku
ruchu ustalonego, potencjalnego dla płynu o stałej gęstości

const





.

Należy przekształcić całkę Eulera do postaci w której wystąpi rotacja prędkości (rot v). rozważamy
składowe substancjalne dla kierunku X

19





rotV

V

V

x

t

V

V

rot

V

V

rot

V

V

x

dt

V

x

V

z

V

V

y

V

x

V

V

x

V

V

x

V

V

x

V

V

t

V

dt

dV

x

V

V

x

V

V

x

V

V

x

V

V

z

V

V

y

V

V

x

V

V

t

V

dt

dV

X

X

Y

z

z

Y

Z

Z

X

Z

X

Y

Y

Z

Z

Y

Y

X

X

X

X

Z

Z

Z

Z

Y

Y

Y

Y

X

Z

X

Y

X

X

X

X





































































































































































































2

2

2

2

Ostatnią część powyższych obliczeń można zapisać dla kierunków Y i Z w taki sam sposób. Można
więc zapisać równanie wektorowe

rotV

V

V

grad

t

V

dt

dV

























2

2

Po podstawieniu otrzymamy

gradp

F

rotV

V

V

grad

dt

dV

M



1

2

2























Jest to równanie w formie Lambra-Gromek

29 Równanie Bernoulliego dla płynu ściśliwego (dwuwymiarowego).

dy

dy

p

Fydy

Vydy

y

Vx

Vxdy

x

Vy

dx

dx

p

Fxdx

Vydy

y

Vy

Vxdx

x

Vx

t

Vy

t

Vx

dy

dy

p

Fy

Vy

y

Vy

Vx

x

Vy

t

Vy

dx

dx

p

Fx

Vy

y

Vx

Vx

x

Vx

t

Vx





































































































1

1

0

;

0

/

1

/

1

Przepływ stacjonarny- przepływ po liniach prędkości
Vxdy=Vydx

dy

dy

p

Fydy

Vydy

y

Vy

Vxdx

x

Vy

dx

dx

p

Fxdx

Vxdy

y

Vx

Vxdx

x

Vx





































1

1

Po dodaniu stronami tych dwóch równań otrzymujemy:

z

g

n

const

p

n

v

p

n

v

d

dp

du

dv

du

F

dp

F

dv

dy

y

p

dx

x

p

Fydy

Fxdx

dVy

dVx

dy

dy

p

Fydy

dy

y

Vy

dx

x

Vy

dx

dx

p

Fxdx

dy

y

Vy

dx

x

Vx





























































































1

2

0

)

1

2

1

(

0

1

2

1

1

2

1

)

(

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Poprzez powyższe przekształcenia dochodzimy do równania Bernoulliego mającego w tym przypadku
postac:

const

g

p

v

z









2

2

20

30 Równ. Bernoulliego dla przepływu stacjonarnego płynu nieściśliwego.
ρ =const

ds

dp

G

t

v



1









-równanie Eulera

t

v





= (ΰ*▼)*ΰ= G -

ds

dp



1

t

v





=0

ds

dp

=▼p

(ΰ*▼)*ΰ=1/2▼V

2

+ V x rot ΰ

rot ΰ = 0
przepływ bezwymiarowy
1/2▼V

2

= G – 1/



▼p

G = -g

2

1/2▼V

2 =

▼V – 1/



▼p

V

2

/2 = – 1/



p – g

2

V

2

/2 + g

z

+p/



/:



gV

2

/2 + g

z

+ p/V = const

t

v





=G-1/



gradp

t

v





=G-1/



ds

dp

t

v





=(ΰ*▼)*ΰ=G-1/



ds

dp

t

v





=0

ds

dp

=▼p

(ΰ*▼)*ΰ=1/2▼V

2

+ V x rot ΰ

rot ΰ = 0
1/2▼V

2

= G – 1/



▼p

G-g

z

G=▼V

▼V

2

/2 = ▼V-1/



▼p

▼V

2

/2=▼(V-1/



p)

V

2

/2 V-p/



☻☻☻

31 Równanie Bernoulliego –przeniana adiabatyczna

Przyjmujemy związek miedzy cisnieniem i gęstością dla przemiany adiabatycznej odpowiadającej z
dostatecznym przybliżeniem niektórym zjawiskom zachodzącym przy przepływie gazow

const

p

dp

y

otrzymujem

i

c

const

p

p































1

:

lub

Po podstawieniu do równania Bernoulliego otrzymujemy równanie w przemianie adiabatycznej
wzdłuż strumienia :

21



2

2

v





1





p



= const



g

v

2

2





1





p



= const

Rozwiązując strumien gazu można napisac row. Bernoulliego dla dwoch przekrojow w postaci













2

2

1

2

2

2

1

1

2

1

2

2

p

v

p

v















32 Równanie Eulera dla płynu ściśliwego

Siły ściskające pochodzą od pozostałych części płynu.
Założenia:
1) zasada de’Alamberta εF

i

=0; F

c

=F+G

2) G0

τ 0





















0

1

lim

0

pnd

dt

dV

g

F

wiadomo, że
pn= cos(sinx)p+jcos(n,y)p+kcos(u,ε)p
z tw. Gaussa:

lim



















x

p

x

u

g

)

,

cos(

1

τ



0

p

z

p

k

y

p

j

x

p

i

gradp

pnd

































1

lim

Równanie ma postać

gradp

F

dt

dv

gradp

dt

dv

F







1

0











ruch płynu doskonałego

Równanie Eulera dla trzech osi (x,y,z)

z

p

F

v

z

v

v

y

v

v

x

v

t

v

y

p

F

v

z

v

v

y

v

v

x

v

t

v

x

p

F

v

z

v

v

y

v

v

x

v

t

v

x

z

y

z

z

z

z

x

y

z

y

y

y

y

z

x

y

x

x

x

x

































































































1

1

1

F

x

,F

y

,F

z

– jednostkowe siły masowe działające wzdłuż osi x,y,z

Równanie Eulera dla płynu doskonałego











gradp

F

dt

dv

1

33 Równanie przepływu dla strugi

Struga jest to zespol lini pradu wypełniający rurke
S- droga plynu , v—droga prędkości przepływu , F – pole przekroju poprzecznego

22

v(s,t)=

)

(

)

,

(

s

F

t

s

v

vdF=dv / *



























S

S

S

vF

F

vF

vF

dF

dF

dF

S

S

dt

d

dv

dt

d

S

S

v

v

v

n

m

s

v

2

1

1

2

1

2

1

)

(













0

0

)

(

)

(

0

)

(

)

(

2

1





































































s

p

vF

ds

dv

F

s

F

v

t

F

t

F

S

vF

t

F

S

S

ds

S

vF

t

F

















34 Równanie równowagi płyny:

W cieczy znajdującej się w spoczynku wyznaczamy sześcian o krawędziach dx, dy, dz równoległych
do odpowiednich osi układu współrzędnych. Na sześcian działają następujące siły:
- powierzchniowe normalne;
- masowe;
Ciśnienie p znajduje się w punkcie M będącym środkiem sześcianach prostopadłych do osi x
odległych o -1/2dx i 1/2dx wynoszą:

dx

x

p

p

p









2

1

1

i

dx

x

p

p

p









2

1

2

Natomiast siły powierzchniowe wynoszą:

dydz

x

p

p

x

dp

)

2

1

(

)

(

1









dydz

x

p

p

x

dp

)

2

1

(

)

(

2









Siły masowe działające na sześcian otrzymujemy przez przemnożenie jednostkowej siły masowej x, y,
z przez masę elementu.
dF

x

= ρ

x

dxdydz

dF

y

= ρ

y

dxdydz

dF

z

= ρ

z

dxdydz

Z warunków równowagi wynika, że suma sił działających na element (powierzchniowych
powierzchniowych masowych) na dowolnie wybrany kierunek musi być równa zero. Wyprowadzenie
jest takie samo na każdą oś x, y, z.
Wyprowadzenie na oś x:

0

0

)

2

1

(

)

2

1

(





























x

x

x

p

dxdydz

dydz

dx

x

p

p

dydz

dx

x

p

p





Wyliczamy analogicznie równanie na osi y i z

0











y

y

p



i

0











z

z

p



23

z

p

y

p

x

p

z

y

x

























układ równania różniczkowego Eulera

Po przemnożeniu przez dx, dy, dz i dodając

dz

z

p

dy

y

p

dx

x

p

zdz

ydy

xdx























)

(



różniczka zupełna ciśnienia

)

(

zdz

ydy

xdx

dp









równanie równowagi płynu

35 Równ. różniczkowe ciągłości dla ruchu płynu ścisliwego – równanie Eulera dla gazu

ρ(x,y,z,t)



0

x

V

V

x

x













)

(





W kierunku osi x wpływa w czasie dt do elementarnego sześcianu masa płynu

dydzdt

dx

x

V

V

x

x

)

)

(

(

















. Dla tego przypadku czas lub przyrost czasu równy jest:

dxdydzdt

x

V

x











)

(



dxdydzdt

y

V

y











)

(



dxdydzdt

z

V

z











)

(



Całkowity przyrost masy płynu w danym elemencie wynosi:

dxdydzdt

z

v

y

v

x

v

x

x

x

]

)

(

)

(

)

(

[





































jeżeli dana gęstość ρ(x,y,z,t) tyle wynosiła w czasie t

0

, a w czasie t+dt gęstość będzie równa

ρ(x,y,z,t+dt)= ρ+dp/dt

Masa płynu też ulegnie zmianie od p dx dy dz dt do wartości

dxdydzdt

dt

t

)

(











W czasie t+dt przyrost masy będzie wynosił

dxdydzdt

t







Wobec tego:

dxdydzdt

dt

dxdydzdt

z

V

y

V

x

V

z

y

x











































]

)

(

)

(

)

(

[

albo

0

]

)

(

)

(

)

(

[







































z

V

y

V

y

V

t

z

y

x









36 Różniczkowe równanie ruchu Eulera
Aby wyznaczyć równanie obieramy powierzchnie kontrolną S obejmującą V płynu na taką
powierzchnie działaja siły zewnętrzne masowe i powierzchniowe z których wyznaczamy równanie.
Siły powierzchniowe to siły wywierane z zewnątrz przez płyn otaczający powierzchnie kontrolną S.
Siły ściskające:







S

pnds

N

n - normalna zewnętrzna siły o zwrocie”+”

24

Siły masowe są to siły równomiernie rozłożone w płynie jednorodnym





V

GdV

M



G – jednostkowa siła masowa

Prąd elementarny masowy dm wynosi

VdV



Prąd całkowity układu wynosi



V

VdV



Z II zasady dynamiki Netona, która mówi, że pochodna pędu układu względem czasu równa jest
wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na układ
F

zew

=M+N



























S

V

V

S

V

V

V

zew

pnds

GdV

dV

dt

dV

pnds

GdV

VdV

dt

d

VdV

dt

d

F











)

(

Z tw. Gaussa zmieniamy całkę powierzchniową na objętościową

0

0

)

(

0

)

(

)

(

























































gradp

G

dt

dV

dv

gradp

G

dt

dV

gradpdV

GdV

dV

dt

dV

gradpdV

dV

z

p

k

y

p

j

x

p

i

dV

pn

div

ndS

V

V

V

V

V

V

V

V















Równanie Eulera w kierunku osi x,y,z

gradp

G

dt

dV

gradp

G

dt

dV

gradp

G

dt

dV

z

z

y

y

x

x







1

1

1













z

z

y

z

x

z

x

z

z

y

y

y

x

y

y

y

z

x

y

x

x

x

x

x

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

gradp

G

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

gradp

G

V

z

V

V

y

V

V

x

V

t

V

gradp

G





















































































1

1

1

Równanie Eulera dla płynu doskonałegow przepływie nieustalonym
37 Srumień objetości powietrza. Wyznaczenie współczynnika Corriolosa.

Określenie rozkładu prędkości polega na przyporządkowaniu wartości prędkości każdemu punktowi
tego przekroju. W przewodzie o przekroju kołowym poszczególne punkty można wybrać na pięciu
okręgach o promieniu r

k

i prostopadłych względem siebie średnic. Strumień objętość przepływu

wynosi.

i

i

n

i

F

V

Q









1

n- liczba punktów powłokowych

V

i

– prędkość zmienna w tej części przekroju ;



F

i

– powierzchnia przekroju

Przy przepływie osiowo symetrycznym gdy prędkość przepływu nie zależy od kata kierunkowego
pomiaru prędkości upraszcza się, strumień objętości wynosi:













F

R

R

dV

r

V

dV

r

V

r

VdF

Q

0

2

2

0

)

(

)

(

2





Elementarna energia kinetyczna płynu o stałej gęstości ρ przepływającego w jednostce czasu przez

przekrój przewodu o powierzchni F jest równa:

dF

V

dV

V

dm

V

dE

k

2

2

2

2

2

2











Gdzie : dm – elementarna masa ; dV – elementarna objętość płynu przepływającego przez
powierzchnię dF w jednostce czasu.

25

Skąd :





F

K

dF

F

V

E

)

(

2

3



dla przekroju kołowego:



K

E

2

2

0

3

)

(

2

dV

r

V

R





Współczynnik Corriolliossa



nazywamy stosunek energii kinetycznej strumienia płynu do energii

jaką miałby ten strumień gdyby jego prędkość w całym przekroju była równa prędkości średniej

'

K

K

E

E





. Energia kinetyczna płynu pomniejszającego się w całym przekroju z prędkością v

Śr

przypadając na jednostke czasu jest równa:

2

2

2

2

2

2

'



ŚR

ŚR

ŚR

ŚR

K

Fv

v

v

mv

E







dlatego dla przewodu kołowego:







R

Śr

K

K

dr

r

v

R

V

E

E

0

2

3

2

'

)

(

1



38 Stosunek prędkości średniej do max.

Cel ćwiczenia określa Vśr/Vmax przy przepływie płynu przez przewód w zależności od liczby
Reynoldsa. W ćwiczeniu bada się przepływ powietrza przez przewód o przekroju kołowym.
Założenia: płyn lepki nieściśliwy, przepływ ustalony, przewód kołowy o średnicy D. Układ
współrzędnych taki, że pokrywa się z osią przewodu. Równanie Novera-Stokesa dla ruchu
laminarnego: 1/ro*dp/dt=ni*(d

2

v/dr

2

+1/r*dv/dt) gdzie p-ciśnienie, ro- gęstość, ni- kinematyczny

współczynnik lepkości. dp/dz = -deltap/l=const. Delta p- różnica ciśnień miedzy przekrojami
odległymi od siebie o l.

1. -1/ro*deltap/l=ni(d

2

v/dr

2

+1/r*dv/dr)

2. -1/ro*deltap/l=ni*1/r*dv/dr*(r*dv/dr)+1
Po scałkowaniu mamy: 3. -1/ro*deltap/l*r

2

/4=ni(v(r)+c

1

*r+c

2

) gdy v=R- v=0 –prędkość na

powierzchni kontaktu z ciałem stałym.
v(r)= delta*R

2

/4*(1-(r

2

/R

2

)) z czego wynika że v

max

=v(r=0)=(delta*R

2

)/4mi

Q=całka v

d

*F=2pi*calka v(r)dr=pi/8*(lambda*p*k

4

)/(mi*l) gdzie mi to dynamiczny współczynnik

lepkośći.
V

śr

=Q/F=(deltap*R

2

)/(8mi*l), V

śr

= ½*v

max

– w ruchu.

W przepływie turbulentnym prędkość nieznacznie maleje w podstawowym rdzeniu strumienia płynu i
szybko maleje przy ścianach.
39 Współczynnik oporu liniowego
Podczas przepływu płynu przez występują straty ciśnienia na oporach zwanych lokalnymi, poprzez co
występują zmiany kierunków oraz modułów wektorów prędkości. Występujące zawirowania
powodują większe straty od strat występujących podczas przepływu przez odcinek prostoliniowy.
Występują one na skutek nagłego zwężenia i rozszerzenia przewodu o stałej średnicy, zakrzywienia
przewodu, konfuzora (stożkowy). Strat na oporze liniowym

]

/

[

2

2

2

mm

n

v

p









(Re)









-bezwzględny współ. oporu odniesiony do

prędkości za przeszkoda zależy od kształtu elementu wywierającego opór, prędkość przepływu
gęstości, lepkości płynu. W przepływie laminarnym ρ maleje ze wzrostem Re. Natomiast przy
przepływie turbulentnym ξ jest wartością stałą.
Stała ciśnienia przy oporze
-liniowym

]

/

[

2

2

2

Pa

m

N

v

l

p













-lokalnym

]

[

2

2

Pa

v

p

m













Zmiana ciśnienia związana jest także ze zmiany energi







2

2

2

2

2

1

1

v

v

p











[Pa]

2

1

,





- współczynniki Coriollosa

v

1

v

2

– średnie prędkości

26

40 Wzór Hagena Passenielle’a.

)

(

128

lub

8

4

1

2

)

4

1

2

1

(

2

2

/

)

4

1

2

1

(

2

)

4

1

(

2

2

)

(

4

2

2

)

(

4

)

(

4

2

2

1

4

4

4

4

4

0

2

2

2

4

0

2

2

0

2

0

2

2

0

2

2

2

2

p

p

l

d

Q

R

l

p

Q

R

l

p

Q

R

R

l

p

Q

R

d

r

r

R

l

p

Q

r

rdr

R

l

p

Q

dr

r

rdr

R

l

p

Q

rdr

r

R

l

p

Q

rdr

r

R

l

p

Q

r

R

l

p

V

rdr

ds

ds

V

Q

R

R

R

R

R

x

x





























































































































































