1.Błędy
Błąd bezwzględny
∆=|a
*
-a|
Błąd względny
Δ=
∆
| ∗
|
Metoda obliczania błędów
-metoda różniczki zupełnej
∆y=∑
|
|*∆x
i
Przykład. Obliczyć błąd bezwzględny dokładności kuli jeśli średnica wynosi:
D=3,7±0,005cm ∏=3,14±0,0016
V= ∏d
3
≈27,4
∏
= d
3
=8,44
= ∏d
2
=21,5
∆V=|
∏
|*|∆∏|+| |*|∆d|=8,44*0,0016+21,5*0,05=1,1cm
3
V=27,4±1,1cm
3
Program odwrotny
∆x
i
=
∆
∗|
|
Przykład. Promień walca wynosi w przybliżeniu r≈2cm, h≈3cm. Z jaką dokładnością musimy określić
błędy walca r i h aby ∆V mogło wynosić ∆V=0,1cm
3
∆r=?, ∆h=?, V=∏r
2
*h, ∏=3,14, ∆∏=?
∏
=r
2
*h=12cm
3
=2∏r*h=37,5cm
2
=∏r
2
=12,6cm
2
∆∏=
,
∗
<0,003
∆r=
,
∗
,
<0,001
∆h=
,
∗
,
<0,03
Obliczanie wartości funkcji
Przykład.
W
4
(x)=x
4
-35x
3
+2x-1 x=2,5
1
3,5
0
2
-1
+
2,5
-2,5
-6,25 -10,625
1
-1
-2,5
-4,25 -11,625
2.Interpolacja
Wielomian lagrage’a (stosowany gdy odległości między x są różne)
I
0 1 2
3
X 1 2 3
4
Y 3 1 -1 2
W
n
(x)=∑
(
)(
)…
…(
)
…
…(
)
W
3
(x)=3*
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
+1*
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
+(-1)*
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
+2*
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
= x
3
-5x
2
+ x+0
Interpolacja wielomianem neuton’a (stosowany gdy odległości między x są równe)
I
0 1
2
3
X 1 1,5 2
2,5
Y 2 2,5 3,5 4
h= (krok)
Tablica różnic skończonych
I
X
i
F(x
i
)=y
i
∆y
i
∆
2
y
i
∆
3
y
i
0 1
2
0,5 0,5
-1
1 1,5 2,5
1
-0,5
2 2
3,5
0,5
3 2,5 4
W
n
(x)=y
0
+
∆
(x-x
0
)+
∆
!∗
(x-x
0
)(x-x
1
)+…+
∆
!∗
(x-x
0
)(x-x
1
)…(x-x
n
)
W
n
(x)=2+
,
,
(x-1)+
,
!( , )
(x-1)(x-1,5)+
!( , )
(x-1)(x-1,5)(x-2)=…
3.Aproksymacja
4.Różniczkowanie numeryczne
Wzór Taylora:
6.Układy równań liniowych
Metoda eliminacji Gaussa – metoda dokładna
7. Rozwiązywanie równań liniowych, szukanie miejsc zerowych
Metoda bisekcji
F(x)=x
3
-3x
2
-2x+5 [a,b]=[1,2] ε=0,1
X
1
=a=1
X
2
=b=2
F(a)=1
F(b)=-3
F(1)*F(2)=-3<0 ->jest pierwiastek
1-iteracja
X
1
=1, x
2
=2
X=
∗
=1,5
y=F(1,5)=-1,375
|F(x)|>ε
y
1
=F(x
1
)=F(1)=1
Zmiana x
2
bo y*y
1
<0 czyli x
2
=x=1,5
2-iteracja
X
1
=1, x
2
=1,5
X=
∗
=1,25
y=F(x)=F(1,25)=-0,234
1-iteracja
X
2
=x
1
– F(x
1
)*
(
)
(
)
=1,25
F(x
2
)=-0,234
|F(x
2
)|>ε
2-iteracja
X
3
=x
2
- F(x
2
)*
(
)
(
)
=1,202
F(x
3
)=-0,00176
|F(x
3
)|<ε
Pierwiastek x=1,202
Metoda stycznych (Neutona)
F(x)=x
3
-3x
2
-2x+5 [a,b]=[1,2] ε=0,1
F’(x)=3x
2
-6x-2
F’’(x)=6x-6
Z=
=1,5
F’(z)=-4,25
F’’(Z)=3
F’(x)* F’’(x)<0 =>x
1
=a=1
>0 =>x
1
=b=2
F(x
1
)=F(1)=1
F’(x
1
)=F(1)=5
1-iteracja
X
2
=x
1
–
(
)
(
)
=1,2
F(x
2
)=F(1,2)=0,008
|F(x
2
)|<ε KONIEC
F’(x
2
)=-4,88
2-iteracja
X
3
=x
2
–
(
)
(
)
=1,202
F(x
3
)=F(1,202)=0,00176
|F(x
3
)|<ε
8.Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych
Metoda Eulera
y
i+1
=y
i
+∆y
i
∆y
i
=h*f(x
i
,y
i
) i=0,1,2,…
Przykład
y’=2xy
y(0)=1
h=0,1
x należy [0;0,6]
I
X
Y
F(x,y)=2xy ∆y=h*f(x,y)
0 0
1
0
0
1 0,1 1
0,2
0,02
2 0,2 1,02
0,408
0,0408
3 0,3 1,0608
0,63648
0,06365
4 0,4 1,12445 0,89956
0,08996
5 0,5 1,21441 1,121441
0,11214
6 0,6 1,33585
