1.Błędy

Błąd bezwzględny

∆=|a

*

-a|

Błąd względny

Δ=

∆

| ∗

|

Metoda obliczania błędów

-metoda różniczki zupełnej

∆y=∑

|

|*∆x

i

Przykład. Obliczyć błąd bezwzględny dokładności kuli jeśli średnica wynosi:

D=3,7±0,005cm ∏=3,14±0,0016

V= ∏d

3

≈27,4

∏

= d

3

=8,44

= ∏d

2

=21,5

∆V=|

∏

|*|∆∏|+| |*|∆d|=8,44*0,0016+21,5*0,05=1,1cm

3

V=27,4±1,1cm

3

Program odwrotny

∆x

i

=

∆

∗|

|

Przykład. Promień walca wynosi w przybliżeniu r≈2cm, h≈3cm. Z jaką dokładnością musimy określić
błędy walca r i h aby ∆V mogło wynosić ∆V=0,1cm

3

∆r=?, ∆h=?, V=∏r

2

*h, ∏=3,14, ∆∏=?

∏

=r

2

*h=12cm

3

=2∏r*h=37,5cm

2

=∏r

2

=12,6cm

2

∆∏=

,

∗

<0,003

∆r=

,

∗

,

<0,001

∆h=

,

∗

,

<0,03

Obliczanie wartości funkcji

Przykład.

W

4

(x)=x

4

-35x

3

+2x-1 x=2,5

1

3,5

0

2

-1

+

2,5

-2,5

-6,25 -10,625

1

-1

-2,5

-4,25 -11,625

2.Interpolacja

Wielomian lagrage’a (stosowany gdy odległości między x są różne)

I

0 1 2

3

X 1 2 3

4

Y 3 1 -1 2

W

n

(x)=∑

(

)(

)…

…(

)

…

…(

)

W

3

(x)=3*

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

+1*

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

+(-1)*

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

+2*

(

)(

)(

)

(

)(

)(

)

= x

3

-5x

2

+ x+0

Interpolacja wielomianem neuton’a (stosowany gdy odległości między x są równe)

I

0 1

2

3

X 1 1,5 2

2,5

Y 2 2,5 3,5 4
h= (krok)

Tablica różnic skończonych

I

X

i

F(x

i

)=y

i

∆y

i

∆

2

y

i

∆

3

y

i

0 1

2

0,5 0,5

-1

1 1,5 2,5

1

-0,5

2 2

3,5

0,5

3 2,5 4

W

n

(x)=y

0

+

∆

(x-x

0

)+

∆

!∗

(x-x

0

)(x-x

1

)+…+

∆

!∗

(x-x

0

)(x-x

1

)…(x-x

n

)

W

n

(x)=2+

,

,

(x-1)+

,

!( , )

(x-1)(x-1,5)+

!( , )

(x-1)(x-1,5)(x-2)=…

3.Aproksymacja

4.Różniczkowanie numeryczne

Wzór Taylora:

Wzór Stirlinga:

5.Całkowanie numeryczne

Metoda prostokątów

Metoda trapezów

Metoda Simpsona

6.Układy równań liniowych

Metoda eliminacji Gaussa – metoda dokładna

7. Rozwiązywanie równań liniowych, szukanie miejsc zerowych

Metoda bisekcji

F(x)=x

3

-3x

2

-2x+5 [a,b]=[1,2] ε=0,1

X

1

=a=1

X

2

=b=2

F(a)=1

F(b)=-3

F(1)*F(2)=-3<0 ->jest pierwiastek

1-iteracja

X

1

=1, x

2

=2

X=

∗

=1,5

y=F(1,5)=-1,375

|F(x)|>ε

y

1

=F(x

1

)=F(1)=1

Zmiana x

2

bo y*y

1

<0 czyli x

2

=x=1,5

2-iteracja

X

1

=1, x

2

=1,5

X=

∗

=1,25

y=F(x)=F(1,25)=-0,234

|F(x)|>ε

y

1

=F(x

1

)=F(1)=1

Zmiana x

2

bo y*y

1

<0 czyli x

2

=x=1,25

3-iteracja

X

1

=1, x

2

=1,25

X=

∗

=1,125

y=F(x)=F(1,125)=-0,376

|F(x)|>ε

y

1

=F(x

1

)=F(1)=1

Zmiana x

1

bo y*y

1

>0 czyli x

1

=x=1,125

4-iteracja

X

1

=1,125, x

2

=1,25

X=

∗

=1,1875

y=F(x)=F(1,1875)=-0,069

|F(x)|<ε

Pierwiastek x=1,1875

Metoda cięciw

F(x)=x

3

-3x

2

-2x+5 [a,b]=[1,2] ε=0,1

F’(x)=3x

2

-6x-2

F’’(x)=6x-6

Z=

=1,5

F’(z)=-4,25

F’’(Z)=3

F’(x)* F’’(x)<0 =>x

k

=a=1

>0 =>x

k

=b=2

F(x

k

)=F(1)=1

F(x

1

)=F(2)=-3

1-iteracja

X

2

=x

1

– F(x

1

)*

(

)

(

)

=1,25

F(x

2

)=-0,234

|F(x

2

)|>ε

2-iteracja

X

3

=x

2

- F(x

2

)*

(

)

(

)

=1,202

F(x

3

)=-0,00176

|F(x

3

)|<ε

Pierwiastek x=1,202

Metoda stycznych (Neutona)

F(x)=x

3

-3x

2

-2x+5 [a,b]=[1,2] ε=0,1

F’(x)=3x

2

-6x-2

F’’(x)=6x-6

Z=

=1,5

F’(z)=-4,25

F’’(Z)=3

F’(x)* F’’(x)<0 =>x

1

=a=1

>0 =>x

1

=b=2

F(x

1

)=F(1)=1

F’(x

1

)=F(1)=5

1-iteracja

X

2

=x

1

–

(

)

(

)

=1,2

F(x

2

)=F(1,2)=0,008

|F(x

2

)|<ε KONIEC

F’(x

2

)=-4,88

2-iteracja

X

3

=x

2

–

(

)

(

)

=1,202

F(x

3

)=F(1,202)=0,00176

|F(x

3

)|<ε

8.Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

Metoda Eulera

y

i+1

=y

i

+∆y

i

∆y

i

=h*f(x

i

,y

i

) i=0,1,2,…

Przykład

y’=2xy

y(0)=1

h=0,1

x należy [0;0,6]

I

X

Y

F(x,y)=2xy ∆y=h*f(x,y)

0 0

1

0

0

1 0,1 1

0,2

0,02

2 0,2 1,02

0,408

0,0408

3 0,3 1,0608

0,63648

0,06365

4 0,4 1,12445 0,89956

0,08996

5 0,5 1,21441 1,121441

0,11214

6 0,6 1,33585