Matematyka A, kolokwium, 23 marca 2011, 18:15 – 20:00
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne
osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pi-
sza
,
cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n
elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusz-
nik´ow serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia,
kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. Niech f (x) = ln(x
2
− 1) dla x ∈ [3, 7] .
(5 pt.) Znale´z´c d lugo´s´c wykresu funkcji f .
(5 pt.) Znale´z´c odleg lo´s´c ´srodka masy tego wykresu od osi OY .
Zak ladamy, ˙ze masa jest roz lo˙zona r´ownomiernie, tzn. ˙ze jest masa dowolnego luku
jest proporcjonalna do jego d lugo´sci
2. (10 pt.)
Rozwia
,
za´c r´ownanie z
6
+ 2z
4
+ 8z
2
− 32 = 0 , tzn. znale´z´c wszystkie zespolone
rozwia
,
zania tego r´ownania.
3. Niech C oznacza czworo´scian (ostros lup tr´ojka
,
tny) o wierzcho lkach (0, 0, 0) , (4, 0, 0) ,
(0, 4, 0) i (0, 0, 4) . Niech C
g
be
,
dzie zbiorem z lo˙zonym z tych punkt´ow (x, y, z) czworo´scianu
C , dla kt´orych z ≥ 2 , C
d
— zbiorem z lo˙zonym z tych punkt´ow (x, y, z) czworo´scianu C ,
dla kt´orych z ≤ 2 , a T — tr´ojka
,
tem o wierzcho lkach (0, 0) , (a, 0) i (0, a) , a > 0 .
(2 pt.) Znale´z´c ´srodek masy (jednorodnego) tr´ojka
,
ta T .
(4 pt.) Znale´z´c ´srodek masy (jednorodnego) czworo´scianu C .
(1 pt.) Znale´z´c ´srodek masy (jednorodnego) czworo´scianu C
g
.
(3 pt.) Znale´z´c ´srodek masy (jednorodnego) pie
,
cio´scianu C
d
.
4. (10 pt.) Obliczy´c pole powierzchni powsta lej w wyniku obrotu wykresu funkcji y = tg x ,
π
6
≤ x ≤
π
3
wok´o l osi OX .
5. (10 pt.) Obliczy´c (1 + i
√
3)
15
.
Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie
,
mo˙ze przyda´c): 2
3
= 8 , 3
6
= 729 , 2
9
= 512 , 2
12
= 4096 ,
11
2
= 121 , 11
3
= 1331 , 11
4
= 14641 , 11
5
= 161051 , 11
6
= 1771561 , 11
7
= 12400927 ,
7
2
= 49 , 7
4
= 2401 , 7
6
= 117649 , 51
2
= 2601 , 52
2
= 2704 , 53
2
= 2809 , 54
2
= 2916 ,
64
2
= 4096 , 65
2
= 4225 , 66
2
= 4356 , 67
2
= 4489 , 666
2
= 443556 , sin
π
6
=
1
2
, cos
4π
3
= −
1
2
,
sin
5π
4
= −
√
2
2
.