Matematyka A, kolokwium, 23 marca 2011, 18:15 – 20:00

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne

osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pi-

sza

,

cego, jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n

elektronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusz-

nik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia,

kt´ore zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. Niech f (x) = ln(x

2

− 1) dla x ∈ [3, 7] .

(5 pt.) Znale´z´c d lugo´s´c wykresu funkcji f .

(5 pt.) Znale´z´c odleg lo´s´c ´srodka masy tego wykresu od osi OY .

Zak ladamy, ˙ze masa jest roz lo˙zona r´ownomiernie, tzn. ˙ze jest masa dowolnego luku

jest proporcjonalna do jego d lugo´sci

2. (10 pt.)

Rozwia

,

za´c r´ownanie z

6

+ 2z

4

+ 8z

2

− 32 = 0 , tzn. znale´z´c wszystkie zespolone

rozwia

,

zania tego r´ownania.

3. Niech C oznacza czworo´scian (ostros lup tr´ojka

,

tny) o wierzcho lkach (0, 0, 0) , (4, 0, 0) ,

(0, 4, 0) i (0, 0, 4) . Niech C

g

be

,

dzie zbiorem z lo˙zonym z tych punkt´ow (x, y, z) czworo´scianu

C , dla kt´orych z ≥ 2 , C

d

— zbiorem z lo˙zonym z tych punkt´ow (x, y, z) czworo´scianu C ,

dla kt´orych z ≤ 2 , a T — tr´ojka

,

tem o wierzcho lkach (0, 0) , (a, 0) i (0, a) , a > 0 .

(2 pt.) Znale´z´c ´srodek masy (jednorodnego) tr´ojka

,

ta T .

(4 pt.) Znale´z´c ´srodek masy (jednorodnego) czworo´scianu C .

(1 pt.) Znale´z´c ´srodek masy (jednorodnego) czworo´scianu C

g

.

(3 pt.) Znale´z´c ´srodek masy (jednorodnego) pie

,

cio´scianu C

d

.

4. (10 pt.) Obliczy´c pole powierzchni powsta lej w wyniku obrotu wykresu funkcji y = tg x ,

π

6

≤ x ≤

π

3

wok´o l osi OX .

5. (10 pt.) Obliczy´c (1 + i

√

3)

15

.

Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie

,

mo˙ze przyda´c): 2

3

= 8 , 3

6

= 729 , 2

9

= 512 , 2

12

= 4096 ,

11

2

= 121 , 11

3

= 1331 , 11

4

= 14641 , 11

5

= 161051 , 11

6

= 1771561 , 11

7

= 12400927 ,

7

2

= 49 , 7

4

= 2401 , 7

6

= 117649 , 51

2

= 2601 , 52

2

= 2704 , 53

2

= 2809 , 54

2

= 2916 ,

64

2

= 4096 , 65

2

= 4225 , 66

2

= 4356 , 67

2

= 4489 , 666

2

= 443556 , sin

π

6

=

1
2

, cos

4π

3

= −

1
2

,

sin

5π

4

= −

√

2

2

.