Matematyka A, kolokwium, 3 listopada 2010, 18:05 – 19:55

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU nazwiskiem i imieniem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow

serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (6 pt.) Dla jakich liczb rzeczywistych x zachodzi r´owno´s´c

1

2

4

√

2 −2

√

2 4

√

2

1

x

x

2

= 0 ?

(2 pt.) Dla jakich liczb rzeczywistych x wektor [1, x, x

2

] jest prostopad ly do iloczynu wek-

torowego [1, 2, 4] × [1, −2, 4] ?

(2 pt.) Znale´z´c punkt X , kt´ory dzieli odcinek o ko´

ncach (1, 2, 4) , (4, 0, −1) , w stosunku

3 : 2 .

2. (3 pt.) Poda´c definicje

,

kosinusa dowolnego ka

,

ta t > 0 .

(3 pt.) Znale´z´c kosinus ka

,

ta α mie

,

dzy wektorami [1, −2, 2] i [1, 4, 8] .

(1 pt.) Niech β =

π

2

− α . Wykaza´c, ˙ze β >

1
3

.

(3 pt.) Wykaza´c, ˙ze je´sli liczba b jest miara

,

ka

,

ta β w stopniach, to b > 17

◦

3. (4 pt.) Poda´c definicje

,

logarytmu liczby x przy podstawie y . Jakie liczby wolno logarytmo-

wa´c i przy jakich podstawach?

(6 pt.) Wykaza´c, ˙ze:

2 log 5 +

1
2

log 9 + 5 log 2 < 4 log 7 < 4 log 5 + 2 log 2 .

4. (8 pt.) Znale´z´c granice

,

lim

n→∞

4

q

n

3

− 2n + 4n

4

+ 1 + n

2

·

q

n

2

+ 12 −

q

n

2

− 1

.

(2 pt.) Czy istnieje taka liczba k ∈ N , ˙ze je´sli n > k , to

q

n

2

+ 12 −

q

n

2

− 1 > sin

π

3

?

5. (2 pt.) Dla jakich x ∈ R zachodzi nier´owno´s´c x

3

− 5x

2

+ 8x − 3 > x , a dla jakich nier´owno´s´c

x

3

− 5x

2

+ 8x − 3 < x ?

(1 pt.) Dla jakich x ∈ R zachodzi nier´owno´s´c x

3

− 5x

2

+ 8x − 3 > 3 , a dla jakich nier´owno´s´c

x

3

− 5x

2

+ 8x − 3 < 3 ?

(1 pt.) Dla jakich x ∈ R zachodzi nier´owno´s´c x

3

− 5x

2

+ 8x − 3 > 1 , a dla jakich nier´owno´s´c

x

3

− 5x

2

+ 8x − 3 < 1 ?

(1 pt.) Niech a

1

∈ R i niech a

n+1

= a

3

n

− 5a

2

n

+ 8a

n

− 3 . Znale´z´c a

2

, a

3

, a

4

, gdy a

1

= 4 oraz

a

2

, a

3

, a

4

, gdy a

1

= 2 .

(5 pt.) Dla jakich liczb a

1

≥ 1 cia

,

g (a

n

) ma granice

,

sko´

nczona

,

?