1.Błędy

Błąd bezwzględny

∆=|a^*-a|

Błąd względny

Δ=$\frac{}{|a* - a|}$

Metoda obliczania błędów

-metoda różniczki zupełnej

∆y=$\sum_{i = 1}^{n}{|\frac{\partial\alpha}{\partial x_{i}}|}$*∆x_i

Przykład. Obliczyć błąd bezwzględny dokładności kuli jeśli średnica wynosi:

D=3,7±0,005cm ∏=3,14±0,0016

V=$\frac{1}{6}$∏d³≈27,4

$\frac{\partial V}{\partial\prod}$=$\frac{1}{6}$d³=8,44

$\frac{\partial V}{\partial d}$=$\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{6}}$∏d²=21,5

∆V=|$\frac{\partial V}{\partial\prod}$|*|∆∏|+|$\frac{\partial V}{\partial d}$|*|∆d|=8,44*0,0016+21,5*0,05=1,1cm³

V=27,4±1,1cm³

Program odwrotny

∆x_i=$\frac{y}{n*|\frac{\partial V}{\partial x_{i}}\mathbf{|}}$

Przykład. Promień walca wynosi w przybliżeniu r≈2cm, h≈3cm. Z jaką dokładnością musimy określić błędy walca r i h aby ∆V mogło wynosić ∆V=0,1cm³

∆r=?, ∆h=?, V=∏r²*h, ∏=3,14, ∆∏=?

$\frac{\partial V}{\partial\prod}$=r²*h=12cm³

$\frac{\partial V}{\partial r}$=2∏r*h=37,5cm²

$\frac{\partial V}{\partial h}$=∏r²=12,6cm²

∆∏=$\frac{0,1}{3*12}$<0,003

∆r=$\frac{0,1}{3*37,7}$<0,001

∆h=$\frac{0,1}{3*12,6}$<0,03

Obliczanie wartości funkcji

Przykład.

W₄(x)=x⁴-35x³+2x-1 x=2,5

1 3,5 0 2 -1

+ 2,5 -2,5 -6,25 -10,625

1 -1 -2,5 -4,25 -11,625

2.Interpolacja

Wielomian lagrage’a (stosowany gdy odległości między x są różne)

I	0	1	2	3
X	1	2	3	4
Y	3	1	-1	2

W_n(x)=$\sum_{j = 0}^{}y_{j}\frac{\left( x - x_{0} \right)\left( x - x_{1} \right)\ldots\left( x - x_{j - 1} \right)\left( x - x_{j + 1} \right)\ldots(x - x_{n})}{\left( x_{j} - x_{0} \right)\left( x_{j} - x_{1} \right)\ldots\left( x_{j} - x_{j - 1} \right)\left( x_{j} - x_{j + 1} \right)\ldots(x_{j} - x_{n})}$

W₃(x)=3*$\frac{\left( x - 2 \right)\left( x - 3 \right)(x - 4)}{\left( 1 - 2 \right)\left( 1 - 3 \right)(1 - 4)}$ +1* $\frac{\left( x - 1 \right)\left( x - 3 \right)\left( x - 4 \right)}{\left( 2 - 1 \right)\left( 2 - 3 \right)(2 - 4)}$ +(-1)*$\frac{\left( x - 1 \right)\left( x - 2 \right)(x - 4)}{\left( 3 - 1 \right)\left( 3 - 2 \right)(3 - 4)}$ +2*$\frac{\left( x - 1 \right)\left( x - 2 \right)(x - 3)}{\left( 4 - 2 \right)\left( 4 - 2 \right)(4 - 3)}$= $\frac{5}{6}$x³-5x²+$\frac{43}{6}$x+0

Interpolacja wielomianem neuton’a (stosowany gdy odległości między x są równe)

I	0	1	2	3
X	1	1,5	2	2,5
Y	2	2,5	3,5	4

h=$\frac{1}{2}$(krok)

Tablica różnic skończonych

I	Xi	F(xi)=yi	∆yi	∆^2yi	∆^3yi
0	1	2	0,5	0,5	-1
1	1,5	2,5	1	-0,5
2	2	3,5	0,5
3	2,5	4

W_n(x)=y₀+$\frac{y_{0}}{h}$(x-x₀)+$\frac{^{2}y_{0}}{2!*h^{2}}$(x-x₀)(x-x₁)+…+$\ \frac{^{n}y_{0}}{n!*h^{n}}$(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n)

W_n(x)=2+$\frac{0,5}{0,5}$(x-1)+$\frac{0,5}{2!{(0,5)}^{2}}$(x-1)(x-1,5)+$\frac{- 1}{3!{(0,5)}^{3}}$(x-1)(x-1,5)(x-2)=…

3.Aproksymacja

4.Różniczkowanie numeryczne

Wzór Taylora:

Wzór Stirlinga:

5.Całkowanie numeryczne

Metoda prostokątów

Metoda trapezów

Metoda Simpsona

6.Układy równań liniowych

Metoda eliminacji Gaussa – metoda dokładna

7. Rozwiązywanie równań liniowych, szukanie miejsc zerowych

Metoda bisekcji

F(x)=x³-3x²-2x+5 [a,b]=[1,2] ε=0,1

X₁=a=1

X₂=b=2

F(a)=1

F(b)=-3

F(1)*F(2)=-3<0 ->jest pierwiastek

1-iteracja

X₁=1, x₂=2

X=$\frac{x_{1}*x_{2}}{2}$=1,5

y=F(1,5)=-1,375

|F(x)|>ε

y₁=F(x₁)=F(1)=1

Zmiana x₂ bo y*y₁<0 czyli x₂=x=1,5

2-iteracja

X₁=1, x₂=1,5

X=$\frac{x_{1}*x_{2}}{2}$=1,25

y=F(x)=F(1,25)=-0,234

|F(x)|>ε

y₁=F(x₁)=F(1)=1

Zmiana x₂ bo y*y₁<0 czyli x₂=x=1,25

3-iteracja

X₁=1, x₂=1,25

X=$\frac{x_{1}*x_{2}}{2}$=1,125

y=F(x)=F(1,125)=-0,376

|F(x)|>ε

y₁=F(x₁)=F(1)=1

Zmiana x₁ bo y*y₁>0 czyli x₁=x=1,125

4-iteracja

X₁=1,125, x₂=1,25

X=$\frac{x_{1}*x_{2}}{2}$=1,1875

y=F(x)=F(1,1875)=-0,069

|F(x)|<ε

Pierwiastek x=1,1875

Metoda cięciw

F(x)=x³-3x²-2x+5 [a,b]=[1,2] ε=0,1

F’(x)=3x²-6x-2

F’’(x)=6x-6

Z=$\frac{a + b}{2}$=1,5

F’(z)=-4,25

F’’(Z)=3

F’(x)* F’’(x)<0 =>x_k=a=1

>0 =>x_k=b=2

F(x_k)=F(1)=1

F(x₁)=F(2)=-3

1-iteracja

X₂=x₁ – F(x₁)*$\frac{x_{k} - x_{1}}{F\left( x_{k} \right) - F(x_{1})}$=1,25

F(x₂)=-0,234

|F(x₂)|>ε

2-iteracja

X₃=x₂ - F(x₂)*$\ \frac{x_{k} - x_{2}}{F\left( x_{k} \right) - F(x_{2})}$=1,202

F(x₃)=-0,00176

|F(x₃)|<ε

Pierwiastek x=1,202

Metoda stycznych (Neutona)

F(x)=x³-3x²-2x+5 [a,b]=[1,2] ε=0,1

F’(x)=3x²-6x-2

F’’(x)=6x-6

Z=$\frac{a + b}{2}$=1,5

F’(z)=-4,25

F’’(Z)=3

F’(x)* F’’(x)<0 =>x₁=a=1

>0 =>x₁=b=2

F(x₁)=F(1)=1

F’(x₁)=F(1)=5

1-iteracja

X₂=x₁ – $\frac{F(x_{1})}{F^{'}(x_{1})}$=1,2

F(x₂)=F(1,2)=0,008

|F(x₂)|<ε KONIEC

F’(x₂)=-4,88

2-iteracja

X₃=x₂ – $\frac{F(x_{2})}{F^{'}(x_{2})}$=1,202

F(x₃)=F(1,202)=0,00176

|F(x₃)|<ε

8.Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

Metoda Eulera

y_i+1 =y_i+∆y_i

∆y_i=h*f(x_i,y_i) i=0,1,2,…

Przykład

y’=2xy

y(0)=1

h=0,1

x należy [0;0,6]

I	X	Y	F(x,y)=2xy	∆y=h*f(x,y)
0	0	1	0	0
1	0,1	1	0,2	0,02
2	0,2	1,02	0,408	0,0408
3	0,3	1,0608	0,63648	0,06365
4	0,4	1,12445	0,89956	0,08996
5	0,5	1,21441	1,121441	0,11214
6	0,6	1,33585