www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

9

KWIETNIA

2011

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

1

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

1

(4

PKT

.)

Rozwi ˛a˙z równanie

||

x

2

−

4

| −

x

2

| =

4.

2

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

2

(5

PKT

.)

Wyznacz równanie okr˛egu, który jest symetryczny do okr˛egu o równaniu

x

2

+

10x

+

y

2

−

2y

+

19

=

0

wzgl˛edem prostej y

=

2x

+

1.

3

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

3

(5

PKT

.)

Rozwi ˛a˙z nierówno´s´c

x

4

−

3x

3

−

6x

2

+

28x

−

24

6

0.

4

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

4

(4

PKT

.)

W trapezie ABCD podstawa AB jest 3 razy dłu ˙zsza od podstawy CD. Przek ˛atne tego tra-
pezu przecinaj ˛a si˛e w punkcie E, a proste zawieraj ˛ace ramiona AD i BC przecinaj ˛a si˛e w
punkcie F. Oblicz stosunek pola czworok ˛ata DECF do pola trapezu ABCD.

5

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

5

(5

PKT

.)

Ci ˛ag

(

a

, b, c

)

jest geometryczny, a ci ˛agi

(

4a

−

4, 2b

−

2, c

−

1

)

i

(

a

+

5, b

+

3, c

−

15

)

s ˛a arytme-

tyczne. Oblicz a, b, c.

6

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

7

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

6

(5

PKT

.)

a) Wyka ˙z, ˙ze dla dowolnych liczb nieujemnych a i b spełniona jest nierówno´s´c

a

+

b

2

>

√

ab

b) W zbiorze prostok ˛atów wpisanych w okr ˛ag o promieniu R znajd´z prostok ˛at o najwi˛ek-

szym polu.

8

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

7

(5

PKT

.)

Dany jest trójk ˛at równoramiennym ABC, w którym

|

AB

| = |

AC

|

i

|

BC

| =

10. Na boku AC

wybrano punkt D w ten sposób, ˙ze

|∡

CBD

| = |∡

BAC

| =

α

oraz

|

AD

| =

69

13

. Oblicz sin α.

9

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

8

(6

PKT

.)

Liczby x

1

6=

x

2

s ˛a dwoma dodatnimi pierwiastkami równania 3x

2

−

π

x

+

m

=

0 z niewia-

dom ˛a x, gdzie m jest pewn ˛a ustalon ˛a liczb ˛a rzeczywist ˛a.

a) Wyka ˙z, ˙ze

2x

1

x

2

x

1

+

x

2

<

π

6

.

b) Wyka ˙z, ˙ze 2 tg x

1

tg x

2

+

1

cos x

1

cos x

2

=

2.

10

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

9

(5

PKT

.)

Oblicz prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w trzech rzutach symetryczn ˛a sze´scienn ˛a kostk ˛a do gry
suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek b˛edzie podzielna przez 4.

11

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

10

(6

PKT

.)

Podstaw ˛a ostrosłupa ABCD jest trójk ˛at ABC, a kraw˛ed´z AD jest wysoko´sci ˛a ostrosłupa.
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ABCD, je´sli wiadomo, ˙ze jego obj˛eto´s´c jest
równa 48 oraz

|

BC

| =

6,

|

BD

| = |

CD

| =

13. Podaj wszystkie mo ˙zliwe odpowiedzi.

12

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´N Z

M

ATEMATYKI

13