www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM ROZSZERZONY
9
KWIETNIA
2011
C
ZAS PRACY
: 180
MINUT
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
P
RÓBNY
E
GZAMIN
M
ATURALNY
Z
M
ATEMATYKI
Z
ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS
WWW
.
ZADANIA
.
INFO
POZIOM ROZSZERZONY
9
KWIETNIA
2011
C
ZAS PRACY
: 180
MINUT
1
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
1
(4
PKT
.)
Rozwi ˛a˙z równanie
||
x
2
−
4
| −
x
2
| =
4.
2
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
2
(5
PKT
.)
Wyznacz równanie okr˛egu, który jest symetryczny do okr˛egu o równaniu
x
2
+
10x
+
y
2
−
2y
+
19
=
0
wzgl˛edem prostej y
=
2x
+
1.
3
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
3
(5
PKT
.)
Rozwi ˛a˙z nierówno´s´c
x
4
−
3x
3
−
6x
2
+
28x
−
24
6
0.
4
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
4
(4
PKT
.)
W trapezie ABCD podstawa AB jest 3 razy dłu ˙zsza od podstawy CD. Przek ˛atne tego tra-
pezu przecinaj ˛a si˛e w punkcie E, a proste zawieraj ˛ace ramiona AD i BC przecinaj ˛a si˛e w
punkcie F. Oblicz stosunek pola czworok ˛ata DECF do pola trapezu ABCD.
5
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
5
(5
PKT
.)
Ci ˛ag
(
a
, b, c
)
jest geometryczny, a ci ˛agi
(
4a
−
4, 2b
−
2, c
−
1
)
i
(
a
+
5, b
+
3, c
−
15
)
s ˛a arytme-
tyczne. Oblicz a, b, c.
6
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
6
(5
PKT
.)
a) Wyka ˙z, ˙ze dla dowolnych liczb nieujemnych a i b spełniona jest nierówno´s´c
a
+
b
2
>
√
ab
b) W zbiorze prostok ˛atów wpisanych w okr ˛ag o promieniu R znajd´z prostok ˛at o najwi˛ek-
szym polu.
8
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
7
(5
PKT
.)
Dany jest trójk ˛at równoramiennym ABC, w którym
|
AB
| = |
AC
|
i
|
BC
| =
10. Na boku AC
wybrano punkt D w ten sposób, ˙ze
|∡
CBD
| = |∡
BAC
| =
α
oraz
|
AD
| =
69
13
. Oblicz sin α.
9
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
8
(6
PKT
.)
Liczby x
1
6=
x
2
s ˛a dwoma dodatnimi pierwiastkami równania 3x
2
−
π
x
+
m
=
0 z niewia-
dom ˛a x, gdzie m jest pewn ˛a ustalon ˛a liczb ˛a rzeczywist ˛a.
a) Wyka ˙z, ˙ze
2x
1
x
2
x
1
+
x
2
<
π
6
.
b) Wyka ˙z, ˙ze 2 tg x
1
tg x
2
+
1
cos x
1
cos x
2
=
2.
10
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
9
(5
PKT
.)
Oblicz prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w trzech rzutach symetryczn ˛a sze´scienn ˛a kostk ˛a do gry
suma kwadratów liczb wyrzuconych oczek b˛edzie podzielna przez 4.
11
www.zadania.info – N
AJWI ˛
EKSZY
I
NTERNETOWY
Z
BIÓR
Z
ADA ´N Z
M
ATEMATYKI
Z
ADANIE
10
(6
PKT
.)
Podstaw ˛a ostrosłupa ABCD jest trójk ˛at ABC, a kraw˛ed´z AD jest wysoko´sci ˛a ostrosłupa.
Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ABCD, je´sli wiadomo, ˙ze jego obj˛eto´s´c jest
równa 48 oraz
|
BC
| =
6,
|
BD
| = |
CD
| =
13. Podaj wszystkie mo ˙zliwe odpowiedzi.
12
