1

Liczby zespolone

1. Obliczyć:

a)

(

) (

)

i

i

8

7

3

2

−

+

+

−

b)

(

) (

)

i

i

10

1

3

4

+

−

−

c)

(

)(

)

i

i

3

3

2

−

+

d)

i

i

4

5

3

2

+

−

e)

( )

2

1 i

+

f)

( )

2

1 i

i

+

g)

(

)(

)

i

i

i

+

−

−

+

1

3

1

3

h)

3

2

4

−

+

+

−

i

i

i

i)

( )

2

3

1

−

+

+

−

i

i

i

j)

i

i

i

i

3

2

2

3

1

1

−

+

+

−

+

2. Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z, dla których wyrażenie

1

1

z

z

+
−

jest liczbą :

a) rzeczywistą, b) urojoną

3. Wykazać, że

(

)

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

z

z

z

z

z

z

+

+

−

=

+

.

4. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory punktów spełniających warunki:

a)

2

1

≤

≤

z

b)

1

1

2

≥

+

+

z

i

z

c)

(

)

4 3

2

z

i

− +

<

d)

(

)

2

0

Re iz

+ ≥

e)

1

1

5

=

−

−

z

z

5. Znaleźć liczby

R

y

x

∈

,

spełniające równania:

a)

(

) (

)

i

i

y

i

x

7

8

2

5

3

2

+

−

=

−

+

+

b)

(

)(

)

i

i

x

yi

−

=

−

+

7

3

2

6. Następujące liczby zespolone przedstawić w postaci trygonometrycznej i wykładniczej:

3

1

)1

;

) 1

3;

)

;

) 1;

) ;

)

3 ;

)

8;

) 3

2

2

a

i

b

i

c

i

d

e i

f

i

g

h

i

−

+

−

+

−

−

+

7. Wykorzystując wzory na mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci

trygonometrycznej, obliczyć:

( )

(

)

2 2

) 1

3

;

)

1

i

a

i

i

b

i

+

−

+

−

.

8. Stosując wzór Moivre’a wykonać potęgowanie:

a)

2

2

2

2

2















+

i

b)

(

)

8

1 i

+

−

c)

(

)

6

3

i

+

−

d)

(

)

5

3

1 i

−

e)

( )

6

1 i

−

f)

10

2

3

1













−

+

−

i

i

9. Znaleźć wszystkie pierwiastki:

6

3

3

4

4

3

1

3

) 16;

) 1

;

)

;

)

;

)

;

) 1;

) 1

2

2

a

b

i

c

i

d

i

e

i

f

g

i

+

−

+

−

10. Rozwiązać równania, gdzie niewiadoma z jest liczbą zespoloną:

a)

2

2

3

0

z

z

+

+ =

, b)

(

)

0

5

4

3

3

10

2

=

−

−

+

i

z

i

z

. c)

0

3

3

2

=

+

+

−

i

z

z

, d)

(

) (

)

3

3

1

z

z i

−

= −

.