Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
1
5
0,03 m
2
0,02 m
0,015 m
4
2
4
0,01m
[m]
t
w
2
= +10°C
t
z
= -5°C
t
w
2
= +10°C
8 kNm
t
w
1
= +20°C
20 kN
t
z
= -5°C
4 kN/m
10 kN
2
M
ETODA SIŁ
-
RAMA
Schemat układu:
Przyjęto następujące przekroje prętów:
•
słupek ⇒
I200 ⇒ I
1
= 2140 cm
4
, h = 20 cm = 0,20 m
•
rygiel ⇒
I220 ⇒ I
2
= 3060 cm
4
, h = 22 cm = 0,22 m
E = 205 GPa = 20500 kN/cm
2
2
1
4387
2140
20500
kNm
EI
=
⋅
=
2
2
6273
3060
20500
kNm
EI
=
⋅
=
1
aEI
k =
=
3
1
5
1
m
a
m
kN
k
4
,
877
4387
5
1
=
⋅
=
S
IŁY WEWNĘTRZNE OD OBCIĄŻENIA ZEWNĘTRZNEGO
Układ podstawowy:
x
3
x
3
x
2
x
1
x
2
x
1
A
A'
Układ równań kanonicznych:
=
=
=
0
0
0
M
V
H
∆
∆
∆
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
P
P
P
x
x
x
x
x
x
x
x
x
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
Wyznaczanie współczynników równań kanonicznych:
∑
∑ ∫
+
=
k
R
R
ds
EI
M
M
k
i
s
k
i
ik
1
δ
∑
∑ ∫
+
=
k
R
R
ds
EI
M
M
k
i
s
P
i
iP
1
δ
wzajemne przem.poziome przekrojów A i A’
wzajemne przem. pionowe przekrojów A i A’
wzajemny obrót przekrojów A i A’
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
2
0,5
0,5
0,5
0,5
4 kN m
4,0
5 kN
5,0 kN
80,5 kN
46,5 kN
25
72
97
10 kN
0,5
80,5 kN
5,0 kN
97
10 kN
25
4,0
46,5 kN
72
5 kN
4 kN m
10,5 kN
5,0 kN
10,5 kN
4 kN m
5 kN
4
25
25
4 kN/m
0,5
0,5
0,5
10,5 kN
10,5 kN
5,0 kN
25
25
4
5 kN
4 kN m
0,5
0,5
N
2
[-]
0,447
N
1
[-]
1,0
1,0
1,0
x
3
=1,0
x
2
=1,0
1,0
1,0
1,0
x
3
=1,0
1,0
3,0
2,0
4,0
4,0
M
2
[m]
3,5
x
2
=1,0
1,0
1,0
3,0
0,5
x
3
=1,0
3,0
3,0
4,0
4,0
2,0
3,5
2,0
0,447
3,0
3,5
x
2
=1,0
3,5
x
1
=1,0
3,5
M
1
[m]
7,0
2,0
5,0
x
1
=1,0
3,5
2,0
5,0
7,0
3,5
0,894
3,5
x
1
=1,0
0,894
1,0
x
3
=1,0
0,5
3,0
3,0
3,0
2,0
0,447
3,0
x
2
=1,0
0,447
3,5
3,5
3,5
3,5
x
1
=1,0
0,894
0,894
M
3
[-]
N
3
[1/m]
]
[
0
kNm
M
SYM
P
]
[
0
kNm
M
ANTYSYM
P
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
3
3
2
1
M
M
M
M
S
+
+
=
[
]
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
kN
m
0
0,059235
5
,
3
5
,
3
2
2
3
2
2
5
2
2
1
7
3
2
7
2
2
1
2
5
3
2
5
5
2
1
2
2
1
11
k
EI
EI
δ
[
]
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
kN
m
k
EI
0,0201231
2
2
2
4
3
2
4
5
2
2
1
4
3
2
4
2
2
1
2
2
22
δ
(
)
[
]
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
kNm
k
EI
1
0,0022083
5
,
0
5
,
0
2
1
1
5
2
1
3
2
1
2
2
1
2
2
33
δ
=
=
kN
m
0
21
12
δ
δ
=
=
kN
1
0
32
23
δ
δ
(
)
[
]
=
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
=
kN
k
EI
1
0,0069028
-
5
,
0
5
,
3
2
1
2
5
2
2
1
1
3
2
7
2
2
1
2
2
31
13
δ
δ
(
)
[
]
[ ]
m
k
EI
EI
P
0,6651665
5
,
46
5
,
3
2
2
2
1
8
4
4
5
2
3
2
2
3
2
72
5
2
2
1
7
2
1
8
2
4
2
3
2
7
4
7
97
2
6
5
2
2
5
3
2
25
5
2
1
2
2
2
2
1
1
=
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
(
)
(
)
[
]
[ ]
m
k
EI
P
0,0708242
-
2
5
,
10
2
4
4
25
4
2
6
2
2
2
2
=
⋅
−
+
⋅
−
⋅
⋅
−
=
δ
(
)
( )
(
)
[
]
[ ]
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
−
=
0,1164904
-
5
,
0
5
,
46
2
1
8
4
4
5
2
3
2
1
72
5
2
2
1
1
2
1
8
2
4
2
3
2
1
4
1
97
2
6
2
2
2
2
2
3
k
EI
P
δ
Sprawdzenie globalne współczynników
iP
ik
δ
δ ,
:
ds
EI
M
S
SS
SS
∑ ∫
=
2
δ
∑∑
=
=
=
n
i
n
k
ik
SS
1
1
δ
δ
(
)
(
)
[
]
0,067760
1
1
5
5
1
2
3
2
2
2
2
1
3
1
2
3
3
2
1
1
2
6
5
2
1
5
2
1
1
2
5
5
2
6
5
2
10
3
2
10
2
2
1
1
5
3
2
5
5
2
1
2
2
1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
k
EI
EI
SS
δ
0,067760
-0,006903)
(
2
0,002208
0,020123
0,059235
2
2
2
23
13
12
33
22
11
1
1
=
⋅
+
+
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
+
=
∑∑
=
=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
n
i
n
k
ik
[
]
0.477851
57
1
36
5
1
1
8
2
4
2
3
2
122
3
2
2
2
2
1
)
1
3
(
2
1
8
4
4
5
2
3
2
3
1
3
3
2
72
5
2
2
1
1
)
1
5
(
2
1
8
4
4
5
2
3
2
3
1
5
3
2
72
5
2
2
1
10
2
1
8
2
4
2
3
2
8
3
1
72
3
2
10
2
2
1
1
50
3
2
5
5
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
=
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
+
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
k
EI
EI
EI
SP
δ
0,477851
0,116490
0,070824
0,665167
3
2
1
1
=
−
−
=
+
+
=
∑
=
P
P
P
n
i
iP
δ
δ
δ
δ
x
3
=1,0
x
3
=1,0
10
5,0
5,0
6
1,0
1,0
1,0
5,0
1,0
x
1
=1,0
x
2
=1,0
x
1
=1,0
5,0
2,0
3,0
1,0
x
2
=1,0
S
M
72
10 kN
72
10 kN
4,0
4 kN/m
8 kNm
8,0
72
36 kN
70 kN
10 kN
57 kN
91 kN
10,0 kN
50
122
]
[
0
kNm
M
P
ds
EI
M
M
S
P
S
SP
∑ ∫
=
0
δ
∑
=
=
n
i
iP
SP
1
δ
δ
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
4
38,698
39,969
8,0
42,326
7,994
1,178
8,0
M
[kNm]
(n)
P
2,357
27,764
24,200
27,764
10,031
10
14,169
27,764
3,519
8,100
38,581
2,006
27,764
4 kN/m
10
3,519
10
7,994
7,994
(O)
M
[m]
2,0
1,0
0,25
1,0
2,0
1,25
1,0
k
=
+
+
=
+
+
−
=
+
0,116490
0,002208
0
0,006903
-
0,070824
0
0,020123
0
0,665167
0,006903
-
0
0,059235X
3
2
1
3
2
1
3
2
1
X
X
X
X
X
X
X
X
=
=
=
kNm
X
kN
X
kN
X
764
,
7
2
520
,
3
994
,
7
-
3
2
1
Ostateczny wykres momentów (wpływ obc. zewn.):
Sprawdzenie kinematyczne:
∑ ∫
=
⋅
S
n
P
k
ds
EI
M
M
V
)
(
)
0
(
0
,
1
(
)
(
)
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
−
=
⋅
5
,
1
8
4
4
5
2
3
2
1
169
,
14
2
764
,
27
2
169
,
14
2
1
764
,
27
2
6
5
2
1
2
1
8
4
4
5
2
3
2
326
,
42
1
1
764
,
27
2
6
5
2
1
0
,
1
2
2
2
EI
V
k
m
-0,0092321
2
2
1
8
2
4
2
3
2
2
3
2
200
,
24
2
2
1
2
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
(przemieszczenie przeciwnie do kierunku siły jednostkowej -> w górę)
0,0092321m
4
,
877
1
100
,
8
1
)
(
=
⋅
=
⋅
=
k
R
V
n
P
k
(ugięcie sprężyny; siła rozciągająca –> przemieszczenie w górę)
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
5
Ostateczne wykresy N, M, T (wpływ obc. zewn.):
-20,351
P
N
[kN]
(n)
-17,203
-10,048
-13,196
-10,000
-38,579
8,517
-2,221
-16,532
P
M
[kNm]
(n)
39,969
10,031
24,200
14,169
27,764
27,764
2,357
8,0
42,326
(n)
T
[kN]
P
22,828
-1,177
-9,177
-7,994
-2,006
16,099
8,099
-38,696
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
6
C
t
t
t
C
t
t
t
C
t
t
t
z
w
z
w
w
w
o
o
o
15
25
10
2
3
1
2
2
1
1
=
−
=
=
−
=
=
−
=
∆
∆
∆
C
t
C
t
C
t
o
o
o
5
,
5
8
5
,
2
5
,
0
8
5
,
7
7
8
15
03
02
01
−
=
−
=
−
=
−
=
+
=
−
=
4,370
7,438
1,534
0,874
1,534
M
[kNm]
t
(n)
9,187
3,068
3,068
9,187
4,370
7,438
0,874
1,534
0,874
0,874
9,187
9,187
1,534
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
t
t
t
x
x
x
x
x
x
x
x
x
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
∑∫
∑∫
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
ds
t
N
ds
h
t
M
t
S
i
S
t
i
it
0
α
∆
α
δ
5
2
4
2
4
[m]
t
w
2
= +10°C
t
z
= -5°C
t
w
2
= +10°C
t
w
1
= +20°C
t
z
= -5°C
2
Siły wewnętrzne od wpływu temperatur:
Schemat obciążenia układu:
C
20
t
1
W
o
+
=
C
10
t
2
W
o
+
=
C
5
t
Z
o
−
=
C
8
t
m
o
+
=
5
t
10
2
,
1
−
⋅
=
α
C
1
o
;
m
20
,
0
h
1
=
;
m
22
,
0
h
2
=
Przyjęto układ podstawowy jak w poprzednim zadaniu.
Układ równań kanonicznych:
(
)
(
)
(
)
]
[
0,0116393
-
5
,
0
10
2
,
1
5
2
5
2
7
10
2
,
1
5
,
3
5
2
22
,
0
25
10
2
,
1
2
5
2
2
1
22
,
0
15
10
2
,
1
7
2
2
1
20
,
0
10
10
2
,
1
5
5
2
1
2
5
5
5
5
5
1
m
t
=
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
−
−
−
−
−
δ
]
[
0
2
m
t
=
δ
(
)
[
]
]
[
0,0142531
7
10
2
,
1
5
,
0
5
2
22
,
0
25
10
2
,
1
1
5
2
22
,
0
15
10
2
,
1
1
2
2
1
2
5
5
5
3
−
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
−
−
−
t
δ
-0,0142531
0,0022083
0
0,0069028
-
0
0
0,020123
0
0,0116393
0,0069028
-
0
0,0592350X
3
2
1
3
2
1
3
2
1
=
+
+
=
+
+
=
+
X
X
X
X
X
X
X
X
−
=
=
−
=
kNm
X
kN
X
kN
X
187
,
9
000
,
0
874
,
0
3
2
1
Ostateczny wykres momentów (wpływ temperatury):
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
7
(przemieszczenie przeciwnie do kierunku siły jednostkowej -> w górę)
0,25
0,112
0,25
(O)
N
[-]
1,25
1,25
0,112
M
[m]
0,112
0,112
2,0
1,0
0,25
1,0
2,0
1,25
1,0
k
(O)
4,370
7,438
M
[kNm]
t
(n)
3,068
3,068
4,370
7,438
9,187
9,187
-1,535
T
[kN]
(n)
t
-0,
391
-0
,8
7
4
-1,535
-0
,8
7
4
-0,3
91
-1
,5
3
5
-0,
78
2
N
[kN]
t
(n)
-1
,5
3
5
-0,7
82
Sprawdzenie kinematyczne:
∑
∑ ∫
∫
∑ ∫
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
=
⋅
ds
t
N
ds
h
t
M
ds
EI
M
M
V
t
S
S
t
S
n
t
o
k
0
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
0
,
1
α
∆
α
(
)
(
)
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
⋅
2
3
2
068
,
3
2
2
1
1
438
,
7
2
187
,
9
2
438
,
7
2
1
187
,
9
2
6
5
2
439
,
7
1
1
187
,
9
2
6
5
2
EI
1
V
0
,
1
2
k
(
)
m
EI
0,001748
0,014253
-
0,012505
0,014253
78,4410
−
=
=
=
−
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
−
−
2
5
5
5
25
,
1
5
25
,
0
7
10
2
,
1
22
,
0
15
2
2
2
1
22
,
0
25
5
2
5
,
1
22
,
0
25
1
5
2
2
1
10
2
,
1
m
k
R
V
n
t
k
001748
,
0
4
,
877
1
534
,
1
1
)
(
=
⋅
=
=
(ugięcie sprężyny; siła rozciągająca –> przemieszczenie w górę)
Ostateczne wykresy N, M, T (wpływ temperatury):
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
8
∑
−
=
∆
δ
∆
i
i
R
10,302
0,116
M
[kNm]
20,604
20,023
∆
(n)
0,580
14,774
1,901
1,901
0,116
0,580
15,176
15,756
12,060
0,116
0,116
1,901
4,472
1,901
4,472
7,588
5
0,03 m
2
0,02 m
0,015 m
4
2
4
0,01m
[m]
2
Siły wewnętrzne - wpływ osiadania podpór:
Schemat obciążenia układu:
Przyjęto układ podstawowy jak w poprzednim zadaniu.
Układ równań kanonicznych:
=
δ
+
δ
+
δ
+
δ
=
δ
+
δ
+
δ
+
δ
=
δ
+
δ
+
δ
+
δ
∆
∆
∆
0
x
x
x
0
x
x
x
0
x
x
x
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11
(
) (
) (
) (
)
[
]
]
[
0,020
0
,
1
03
,
0
5
,
3
01
,
0
0
,
1
015
,
0
5
,
3
02
,
0
1
m
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
+
⋅
−
−
=
∆
δ
(
) (
)
[
]
]
[
0,090
0
,
3
01
,
0
0
,
3
02
,
0
2
m
=
⋅
−
+
⋅
−
−
=
∆
δ
(
) (
)
[
]
]
[
-0,005
5
,
0
01
,
0
5
,
0
02
,
0
3
−
=
⋅
−
+
⋅
−
=
∆
δ
0,0050
0,0022083
0
0,0069028
-
-0,0900
0
0,0201231
0
-0,0200
0,0069028
-
0
0,0592350
3
2
1
3
2
1
3
2
1
=
+
+
=
+
+
=
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
−
=
−
=
kNm
X
kN
X
kN
X
901
,
1
472
,
4
116
,
0
3
2
1
Ostateczny wykres momentów (wpływ osiadania podpór):
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
9
(O)
M
[m]
2,0
1,0
0,25
1,0
2,0
1,25
1,0
k
∑
∑ ∫
−
=
⋅
j
j
i
S
n
o
k
R
ds
EI
M
M
V
∆
∆
)
0
(
)
(
)
(
0
,
1
(przemieszczenie przeciwnie do kierunku siły jednostkowej -> w górę)
Sprawdzenie kinematyczne:
(
)
(
)
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
−
+
⋅
−
⋅
⋅
−
=
⋅
2
3
2
176
,
15
2
2
1
1
756
,
15
2
901
,
1
2
756
,
15
2
1
901
,
1
2
6
5
2
1
023
,
20
1
901
,
1
2
6
5
2
EI
1
V
0
,
1
2
k
(
) (
)
[
]
m
EI
00865
,
0
0175
,
0
008851
,
0
0175
,
0
0
,
6273
52684
,
55
25
,
1
01
,
0
25
,
0
02
,
0
2
−
=
−
=
−
=
−
=
⋅
+
⋅
−
0,0175
55,52684
m
k
R
V
n
k
00865
,
0
4
,
877
1
588
,
7
1
)
(
=
⋅
=
⋅
=
∆
(ugięcie sprężyny; siła rozciągająca –> przemieszczenie w górę)
Ostateczne wykresy N, M, T (wpływ osiadania podpór):
M
[kNm]
20,604
20,023
∆
(n)
0,580
1,901
1,901
0,580
15,176
15,756
-4,
05
2
-10,300
-0
,1
1
6
1
4
,7
7
2
T
[kN]
(n)
N
[kN]
(n)
-1
2
,0
5
9
1,8
96
-2,1
04
7,587
-3,9
48
-0
,1
1
6
∆
∆
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
10
4x2
9
1
3
8
7
6
[m]
3
2
12
10
11
14
13
4
16
15
5
α
M
ETODA SIŁ
-
KRATOWNICA
Zadana kratownica:
Pas górny kratownicy doznał ogrzania o t
0
[
C
o
]
Dane:
[ ]
o
C
30
t
0
=
⋅
=
α
−
o
C
1
10
2
,
1
5
t
Przyjęto profil prętów
I120
A=14,20 cm
2
E = 205GPa
EA = 291100 kN
Stopień statycznej niewyznaczalności układu: SSN = 2
X
1
9
8
7
6
X
2
13
11
10
1
12
2
14
15
3
16
5
4
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
11
Układ podstawowy:
Układ równań kanonicznych:
2,667
2,667
Stan X
1
=1
1,333
1,333
1,0
1
,0
1,2
02
1,2
02
1,333
0,667
X
1
=1
0,667
1,2
02
1
,0
1
,0
1
,0
1,2
02
1,2
02
1,2
02
2,0
2,667
1,333
0,667
1,333
Stan X
2
=1
1,0
2,0
0,667
X
2
=1
Lp.
l
N
1
N
2
N
1
²·l/EA
N
2
²·l/EA
N
1
N
2
·l/EA
δ
1t
δ
2t
N
(n)
1
2,000
-0,667
-2,000
0,889
8,000
2,667
-0,00048
-0,00144
-25,934
2
2,000
0,000
-1,333
0,000
3,556
0,000
0
-0,00096
-25,871
3
2,000
0,000
-0,667
0,000
0,889
0,000
0
-0,00048
-12,936
4
2,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0
0
0,000
5
3,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
-
-
0,000
6
2,000
0,000
0,667
0,000
0,889
0,000
-
-
12,936
7
2,000
0,000
1,333
0,000
3,556
0,000
-
-
25,871
8
2,000
0,667
2,000
0,889
8,000
2,667
-
-
25,934
9
2,000
1,333
2,667
3,556
14,222
7,111
-
-
25,996
10
3,606
-1,202
-1,202
5,208
5,208
5,208
-
-
-0,112
11
3,000
1,000
1,000
3,000
3,000
3,000
-
-
0,093
12
3,606
-1,202
-1,202
5,208
5,208
5,208
-
-
-0,112
13
3,000
0,000
1,000
0,000
3,000
0,000
-
-
19,404
14
3,606
0,000
-1,202
0,000
5,208
0,000
-
-
-23,320
15
3,000
0,000
1,000
0,000
3,000
0,000
-
-
19,404
16
3,606
0,000
-1,202
0,000
5,208
0,000
-
-
-23,320
18,749
68,943
25,860
-0,00048
-0,00288
EA·δ
11
EA·δ
22
EA·δ
12
δ
1t
δ
2t
6,441E-05
0,000237
8,884E-05
=
+
+
=
+
+
0
0
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
t
t
x
x
x
x
δ
δ
δ
δ
δ
δ
l
t
N
t
i
it
⋅
⋅
⋅
=
∑
α
δ
0
l
EA
N
N
k
i
ik
⋅
=
∑
δ
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
12
749
,
18
EA
11
=
δ
⋅
kN
m
943
,
68
EA
22
=
δ
⋅
kN
m
860
,
25
EA
12
=
δ
⋅
kN
m
00048
,
0
t
1
−
=
δ
[ ]
m
00288
,
0
t
2
−
=
δ
[ ]
m
⋅
=
+
⋅
=
+
EA
00288
,
0
x
943
,
68
x
860
,
25
EA
00048
,
0
x
860
,
25
x
18,749
2
1
2
1
=
+
=
+
838,368
x
943
,
68
x
860
,
25
139,728
x
860
,
25
x
18,749
2
1
2
1
=
=
kN
19,40357
x
kN
-19,3104
x
2
1
Sprawdzenie kinematyczne:
Lp.
l
N
(n)
N
(o)
N
(n)
· N
(o)
·l/EA
No·α·t·l
1 2,000
-25,934
-1.000
51.867098
-0.00072
2 2,000
-25,871
-1.000
51.742859
-0.00072
3 2,000
-12,936
-0.500
12.935715
-0.00036
4 2,000
0,000
0.000
0
0
5 3,000
0,000
0.000
0
-
6 2,000
12,936
0.500
12.935715
-
7 2,000
25,871
1.000
51.742859
-
8 2,000
25,934
1.000
51.867098
-
9 2,000
25,996
1.000
51.991336
-
10 3,606
-0,112
0.000
0
-
11 3,000
0,093
0.000
0
-
12 3,606
-0,112
0.000
0
-
13 3,000
19,404
0.750
43.658038
-
14 3,606
-23,320
-0.901
75.790623
-
15 3,000
19,404
0.750
43.658038
-
16 3,606
-23,320
-0.901
75.790623
-
523.98
-0.0018
1,0
1,0
1,0
[-]
(o)
N
1,0
1,0
0,75
0,75
0,9
01
0,9
01
0
,7
5
0
,7
5
1,0
0,5
1,0
0,5
∑
∑
⋅
⋅
⋅
+
⋅
=
⋅
i
i
t
o
o
n
t
K
l
t
N
l
EA
N
N
V
α
0
)
(
0
,
1
8,848
-9,664
0,032
8,931
8,931
6
,6
6
5
8,930
0,0
38
8,909
0,0
38
0
,0
3
2
8,909
8,887
6
,6
6
5
8,0
11
8,887
4,444
8,0
11
4,444
t
(n)
N
[kN]
0,00
0018
,
0
98
,
523
0
,
1
=
−
=
⋅
EA
V
K
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
13
A
Y
X
[m]
B
30 kN
10 kN/m
5
4
17
3
10
X
Y
X
2
X
1
dx
EI
M
M
s
k
i
ik
∑∫
=
ϕ
δ
cos
M
ETODA SIŁ
-
ŁUK
Schemat układu:
Stopień statycznej niewyznaczalności SSN = 2
Łuk ma kształt paraboli o równaniu:
(
)
x
l
x
l
f
4
y
2
−
=
5
f =
m
17
l =
m
(
)
x
17
x
17
5
4
y
2
−
⋅
=
2
x
289
20
x
289
340
y
−
=
Funkcja stycznej w dowolnym punkcie:
x
289
40
289
340
dx
dy
tg
−
=
=
α
Pomijam wpływ T i N zgodnie z warunkiem
5
1
17
5
l
f
≥
=
Przyjęty układ podstawowy:
Układ równań kanonicznych:
=
=
0
0
V
H
=
δ
+
δ
+
δ
=
δ
+
δ
+
δ
0
x
x
0
x
x
P
2
2
22
1
21
P
1
2
12
1
11
Całki w łuku obliczone zostaną metodą Simsona:
(
)
n
n
n
b
a
f
f
f
f
f
f
f
x
x
f
+
+
+
+
+
+
+
=
−
−
∫
1
2
3
2
1
0
4
2
...
4
2
4
3
)
(
∆
( )
ϕ
cos
k
i
M
M
x
f
=
;
m
85
,
0
X =
∆
ds
EI
M
M
s
k
i
ik
∑ ∫
=
δ
ds
EI
M
M
s
P
i
iP
∑ ∫
=
δ
ϕ
ϕ
cos
cos
dx
ds
ds
dx
=
→
=
dx
EI
M
M
s
P
i
iP
∑∫
=
ϕ
δ
cos
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
14
M
1
[m]
''P"
[kNm]
Stan "P"
M
2
[m]
1,0
1290
130
30 kN
M=-1·y
M=1·(17-x)
X
1
17,0
Stan X
1
=1
0,0
17,0
5,0
0,0
1,0
X
2
Stan X
2
=1
M=-1290+130·x-30·(3-x)
M=-10·
(17-x)2
2
0,0
M=-1290+130·x
900
500
1290
10 kN/m
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
15
Stan
Lp.
X
Y
ϕ
= tg
dx
dy
φ
ϕ
cos
1
M1
M2
MP
ϕ
cos
M
2
1
ϕ
cos
M
2
2
ϕ
cos
M
M
2
1
ϕ
cos
M
M
p
1
ϕ
cos
M
M
p
2
)
n
(
M
0
0
0
1,17647
0,866302
1,544048
17,000
0,00
-1290,000
446,2298
0
0
-33860,96
0
20.6591
1
0,85
0,95
1,05882
0,813962
1,456402
16,150
-0,95
-1179,500
379,8625
1,314402954
-22,34485
-27742,9
1631,935
9.3265
2
1,7
1,8
0,94118
0,755104
1,373249
15,300
-1,80
-1069,000
321,4639
4,449327153
-37,81928
-22460,45
2642,406
3.9203
3
2,55
2,55
0,82353
0,688924
1,295454
14,450
-2,55
-958,500
270,494
8,423688696
-47,73424
-17942,46
3166,3159
4.4403
4
3,4
3,2
0,70588
0,614663
1,224038
13,600
-3,20
-860,000
226,3981
12,53415276
-53,27015
-14316,35
3368,5536
-1.1134
5
4,25
3,75
0,58824
0,531724
1,160181
12,750
-3,75
-775,000
188,602
16,31505021
-55,47117
-11464,04
3371,777
-14.2408
6
5,1
4,2
0,47059
0,439843
1,105194
11,900
-4,20
-690,000
156,5065
19,49561825
-55,23759
-9074,746
3202,8516
-21.4420
7
5,95
4,55
0,35294
0,339293
1,060456
11,050
-4,55
-605,000
129,4844
21,95409567
-53,31709
-7089,415
2919,171
-22.7169
8
6,8
4,8
0,23529
0,231091
1,027309
10,200
-4,80
-520,000
106,8812
23,66919421
-50,29704
-5448,846
2564,1627
-18.0655
9
7,65
4,95
0,11765
0,117109
1,006897
9,350
-4,95
-437,113
88,02542
24,67148476
-46,60169
-4115,188
2178,6292
-9.6004
10
8,5
5
0
0
1
8,500
-5,00
-361,250
72,25
25
-42,5
-3070,625
1806,25
-2.2340
11
9,35
4,95
-0,11765
-0,11711
1,006897
7,650
-4,95
-292,613
58,92611
24,67148476
-38,12866
-2253,924
1458,4212
3.8337
12
10,2
4,8
-0,23529
-0,23109
1,027309
6,800
-4,80
-231,200
47,50276
23,66919421
-33,53136
-1615,094
1140,0662
8.6027
13
11,05
4,55
-0,35294
-0,33929
1,060456
5,950
-4,55
-177,013
37,5428
21,95409567
-28,7092
-1116,898
854,09876
12.0729
14
11,9
4,2
-0,47059
-0,43984
1,105194
5,100
-4,20
-130,050
28,74609
19,49561825
-23,67325
-733,0253
603,66789
14.2444
15
12,75
3,75
-0,58824
-0,53172
1,160181
4,250
-3,75
-90,313
20,95578
16,31505021
-18,49039
-445,3102
392,92079
15.1171
16
13,6
3,2
-0,70588
-0,61466
1,224038
3,400
-3,20
-57,800
14,14988
12,53415276
-13,31754
-240,548
226,39813
14.6912
17
14,45
2,55
-0,82353
-0,68892
1,295454
2,550
-2,55
-32,513
8,423689
8,423688696
-8,423689
-107,402
107,40203
12.9665
18
15,3
1,8
-0,94118
-0,7551
1,373249
1,700
-1,80
-14,450
3,96869
4,449327153
-4,202142
-33,73386
35,71821
9.9430
19
16,15
0,95
-1,05882
-0,81396
1,456402
0,850
-0,95
-3,612
1,052251
1,314402954
-1,176045
-4,472065
4,9981902
5.6209
20
17
0
-1,17647
-0,8663
1,544048
0,000
0,00
0,000
0
0
0
0
0
0.0000
2021,708
247,0731
-540,964
-123809,8
27064,8
EIδ
11
EIδ
22
EIδ
12
=EIδ
21
EIδ
1P
EIδ
2P
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
16
1,0
0,125
1,0
0,1
(o)
M
[m]
0,0
0,1
1
17
1
17
M=1-(0,1·y)-(
1
17
·x)
EI
2021,708
=
=
∑∫
dx
EI
M
M
ϕ
δ
cos
1
1
11
EI
5
247,073168
=
=
∑∫
dx
EI
M
M
ϕ
δ
cos
2
2
22
EI
-540,964
=
=
∑∫
dx
EI
M
M
ϕ
δ
cos
2
1
12
EI
-123809,8
=
=
∑∫
dx
EI
M
M
P
P
ϕ
δ
cos
1
1
EI
27064,8
=
=
∑∫
dx
EI
M
M
P
P
ϕ
δ
cos
2
2
=
+
=
-27064,80
5
247,073168
5
540,964020
-
123809,82
5
540,964020
-
2021,708
2
1
2
1
x
x
x
x
⇒
=
=
kN
x
kN
x
59,2626
77,09751
2
1
P
n
M
X
M
X
M
M
+
⋅
+
⋅
=
2
2
1
1
)
(
Sprawdzenie kinematyczne:
)
(
O
M
)
(
n
M
ϕ
cos
1
ϕ
cos
)
(
)
(
EI
M
M
n
o
1,0000
20,6591
1,5440
31,8986
0,8550
9,3265
1,4564
11,6136
0,7200
3,9203
1,3732
3,8761
0,5950
4,4403
1,2955
3,4226
0,4800
-1,1134
1,2240
-0,6542
0,3750
-14,2408
1,1602
-6,1957
0,2800
-21,4420
1,1052
-6,6353
0,1950
-22,7169
1,0605
-4,6976
0,1200
-18,0655
1,0273
-2,2271
0,0550
-9,6004
1,0069
-0,5317
0,0000
-2,2340
1,0000
0,0000
-0,0450
3,8337
1,0069
-0,1737
-0,0800
8,6027
1,0273
-0,7070
-0,1050
12,0729
1,0605
-1,3443
-0,1200
14,2444
1,1052
-1,8891
-0,1250
15,1171
1,1602
-2,1923
-0,1200
14,6912
1,2240
-2,1579
-0,1050
12,9665
1,2955
-1,7637
-0,0800
9,9430
1,3732
-1,0923
-0,0450
5,6209
1,4564
-0,3684
0,0000
0,0000
1,5440
0,0000
Σ
-1,3E-12
dx
EI
M
M
o
o
∫
=
⋅
ϕ
ϕ
cos
1
)
(
)
(
0
10
3
,
1
12
≈
⋅
−
=
⋅
−
A
EI
ϕ
Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli
2004/2005
www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor
wykonał Damian Sierocki
17
Wyznaczenie funkcji siły normalnej N i tnącej T od zmiennej φ:
•
3
,
0
x ∈
ϕ
ϕ
sin
2627
,
59
cos
9024
,
52
⋅
−
⋅
=
T
ϕ
ϕ
cos
2627
,
59
sin
9024
,
52
⋅
−
⋅
−
=
N
•
7
,
3
x ∈
ϕ
ϕ
ϕ
cos
30
sin
2627
,
59
cos
9024
,
52
⋅
−
⋅
−
⋅
=
T
ϕ
ϕ
ϕ
sin
30
cos
2627
,
59
sin
9024
,
52
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
N
•
12
,
7
x ∈
(
)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
cos
7
10
cos
30
sin
2627
,
59
cos
9024
,
52
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
=
x
T
(
)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin
7
10
cos
30
cos
2627
,
59
sin
529024
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
x
N
20,6590
20
.6
59
3.
14
6
3.1
63
6.7
61
10
.8
92
15
.4
65
2.0
93
1
.8
7
3
4
.5
1
1
10
.3
07
T
[kN]
(n)
1
.6
2
0
7
.9
0
2
9
.3
6
6
8
.7
2
0
3
.1
2
9
4
.7
1
8
6
.3
3
1
0
.2
26
2.
15
6
1,
03
3
63
.3
7
4
6
3
.5
0
6
6
2
.9
3
3
79
.4
12
79
,3
77
79
.1
52
78
.6
89
62
.6
92
61
.6
23
6
0
.7
7
3
5
8
.9
2
6
5
9
.7
7
1
6
1
.7
4
1
6
4
.7
3
4
6
8
.6
2
2
N
[kN]
(n)
84
.3
44
90
.5
62
97
.1
25
73
.2
69
78
.5
47
5
9
.2
6
3
4.
01
6
4.
77
7
M
[kNm]
1.1
13
4.4
40
3.9
20
9.3
26
(n)
21
.4
4
2
14
.2
41
9
.6
0
0
1
8
.0
6
5
2
2
.7
1
7
3
.8
3
4
1
4
.6
9
1
1
2
.0
7
3
8
.6
0
3
1
5
.1
1
7
1
4
.2
4
4
1
2
.9
6
6
9
.9
4
3
0
.0
5
.6
2
1
2
.2
3
4
17
10
59,2627
4
3
52,9024
X
Y
30 kN
[m]
77,0976
59,2627
10 kN/m
7,1
15
79
,1
98
3
6,1
98
17
,6
73