Politechnika Poznańska

Wydział Architektury Budownictwa

i Inżynierii Środowiska

Ćwiczenie nr 6

D

YNAMIKA

–

UJĘCIE KLASYCZNE

Wykonał:
Sierocki Damian
gr. 8 IDK
Rok studiów: III
Semestr VI

Poznań 2005

Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli

2004/2005

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

wykonał Damian Sierocki

2

Dana jest belka:

[m]

4

P(t)=P

O

sinpt

m

2

m

1

2

3

gdzie:

kg

300

m

1

=

m

m

1

=

kg

500

m

2

=

1,667m

m

2

=

1. D

OBRANIE PRZEKROJU PRĘTÓW PRZY STATYCZNYM OBCIĄŻENIU MASAMI TAK

,

ABY MAX NAPRĘŻENIA BYŁY RZĘDU

100MP

A

2

s

m

10

g =

kN

3

s

m

kg

3000

s

m

10

kg

300

g

m

P

2

2

1

1

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

kN

5

s

m

kg

5000

s

m

10

kg

500

g

m

P

2

2

2

2

=

⋅

=

⋅

=

⋅

=

M [kNm]

0,0

20,0

20,0

5,408

7,480

3 kN

5 kN

kNm

20

M

max

=

MPa

100

dop

max

=

σ

≤

σ

2

x

max

cm

/

kN

0

.

10

W

M

≤

3

2

x

cm

200

cm

/

kN

10

kNcm

2000

W

=

≥

Przyjmuje I200:

3

x

cm

0

,

214

W =

4

x

cm

0

,

2140

I =

2

cm

50

,

33

A =

Spr.:

2

dop

2

3

cm

/

kN

10

cm

/

kN

346

,

9

cm

214

kNcm

2000

=

σ

<

=

Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli

2004/2005

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

wykonał Damian Sierocki

3

2. C

ZĘSTOŚĆ I POSTACIE DRGAŃ WŁASNYCH

-m

2

q

-m

1

q

SSD = 2

Równania ruchu:









⋅

δ

+

⋅

δ

=

⋅

δ

+

⋅

δ

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

B

B

q

B

B

q

..

1

1

1

q

m

B

⋅

−

=

..

2

2

2

q

m

B

⋅

−

=

























⋅

−

δ

+













⋅

−

δ

=













⋅

−

δ

+













⋅

−

δ

=

..

2

2

22

..

1

1

21

2

..

2

2

12

..

1

1

11

1

q

m

q

m

q

q

m

q

m

q

Obliczenie współczynników macierzy podatności

ds

EI

M

M

S

k

i

ik

∑∫

=

δ

0,864

0,864

0,0

0,840

M [m]

1,0

M [m]

4,0

4,0

1,6

2,0

0,0

1,0

(

)

1,224

864

,

0

3

2

864

,

0

2

2

1

864

,

0

840

,

0

2

864

,

0

864

,

0

2

840

,

0

840

,

0

2

6

3

EI

11

=

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

δ

⋅

(

)

41,333

0

,

4

3

2

0

,

4

0

,

4

2

1

0

,

4

0

,

2

2

0

,

4

0

,

4

2

0

,

2

0

,

2

2

6

5

EI

22

=

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

⋅

=

δ

⋅

(

)

(

)

-3,600

6

,

1

0

0

,

4

864

,

0

0

,

4

0

2

6

,

1

864

,

0

2

6

2

0

,

2

864

,

0

6

,

1

840

,

0

6

,

1

864

,

0

2

0

,

2

840

,

0

2

6

3

EI

12

=

⋅

+

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

+

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

=

δ

⋅

Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli

2004/2005

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

wykonał Damian Sierocki

4

EI

1,224

11

=

δ

EI

41,333

22

=

δ

EI

-3,600

12

=

δ

Po podstawieniu masy zastępczej otrzymujemy:













=

⋅

⋅

+

⋅

⋅

−

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

+

0

q

m

EI

68,889

q

m

EI

3,600

q

0

q

m

EI

6,000

q

m

EI

1,224

q

..

2

..

1

2

..

2

..

1

1

Rozwiązanie przyjmuje postać:

t

sin

A

q

i

i

ω

=

t

cos

A

q

i

.

i

ω

ω

=

t

sin

A

q

i

2

..

i

ω

ω

−

=












=

⋅

ω

⋅

−

⋅

ω

⋅

+

=

⋅

ω

⋅

+

⋅

ω

⋅

−

0

A

EI

m

68,889

A

EI

m

3,600

A

0

A

EI

m

6,000

A

EI

m

1,224

A

2

2

1

2

2

2

2

1

2

1

Podstawienie:

EI

m

2

ω

=

λ









=

⋅

λ

−

⋅

λ

+

=

⋅

λ

+

⋅

λ

−

0

A

68,889

A

3,600

A

0

A

6,000

A

1,224

A

2

1

2

2

1

1

(

)

(

)









=

λ

−

+

⋅

λ

=

⋅

λ

+

λ

−

0

A

68,889

1

A

3,600

0

A

6,000

A

1,224

1

2

1

2

1

Korzystam z programu do obliczenia uogólnionego problemu własnego macierzy

0

q

)

B

A

(

=

λ

−















=

1

0

0

1

A















−

−

=

889

,

68

600

,

3

000

,

6

224

,

1

B

Wartości własne macierzy:









=

λ

=

λ

1,10342

1445

0

,

0

2

1













=

⋅

⋅

=

λ

⋅

=

ω

=

⋅

⋅

=

λ

⋅

=

ω

s

rad

401,692

300

10342

,

1

10

4387

m

EI

s

rad

45,967

300

01445

,

0

10

4387

m

EI

4

2

2

4

1

1

2

9

m

/

N

10

205

GPa

205

E

⋅

=

=

4

5

4

m

10

14

,

2

cm

2140

I

−

⋅

=

=

2

5

9

Nm

43870000

10

14

,

2

10

205

EI

=

⋅

⋅

⋅

=

−

Wektory własne:

[

]

1,0

0,0882577;

q

1

=

[

]

0,0529546

1,0;

q

2

=

Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli

2004/2005

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

wykonał Damian Sierocki

5

I postać drgań

s

rad

45,967

1

=

ω

1,0

0,0882577

II postać drgań

s

rad

629

,

01

4

2

=

ω

1,0

0,0529546

Sprawdzenie ortogalności drgań:

0

500

0529546

,

0

)

0

,

1

(

300

0

,

1

0882577

,

0

=

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

0

0 =

3. A

MPLITUDY DRGAŃ WYMUSZONYCH

[m]

P(t)=P

O

sinpt

m

2

m

1

4

2

3









⋅

δ

+

⋅

δ

+

⋅

δ

=

⋅

δ

+

⋅

δ

+

⋅

δ

=

)

t

(

P

B

B

q

)

t

(

P

B

B

q

22

2

22

1

21

2

12

2

12

1

11

1













⋅

δ

+













⋅

−

δ

+













⋅

−

δ

=

⋅

δ

+













⋅

−

δ

+













⋅

−

δ

=

pt

sin

P

q

m

q

m

q

pt

sin

P

q

m

q

m

q

0

22

..

2

2

22

..

1

1

21

2

0

12

..

2

2

12

..

1

1

11

1

Rozwiązanie przyjmuje postać:

pt

sin

A

q

i

i

=

pt

cos

pA

q

i

.

i

=

pt

sin

A

p

q

i

2

..

i

−

=











⋅

=

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

+

⋅

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

−

P

EI

41,333

A

p

m

EI

68,889

A

p

m

EI

3,600

A

P

EI

3,600

-

A

p

m

EI

6,000

A

p

m

EI

1,224

A

0

2

2

1

2

2

0

2

2

1

2

1









=

⋅

−

⋅

=

⋅

+

⋅

0,014133

A

15,738

A

0,875

-0,001231

A

1,458

A

703

,

0

2

1

2

1

2

4

Nm

10

4387

EI

s

rad

49

,

188

2

30

p

Hz

30

p

N

15000

P

⋅

=

=

π

⋅

=

=

=

Politechnika Poznańska → Instytut Konstrukcji Budowlanych → Zakład Mechaniki Budowli

2004/2005

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

wykonał Damian Sierocki

6









=

=

m

-0,0008924

A

m

0,0000998

A

2

1

Obliczenie amplitud siły bezwładności:

(

)

i

2

i

A

p

m

B

⋅

−

⋅

−

=

(

)

kN

1,064

0000988

,

0

5

,

188

300

B

2

1

=

⋅

−

⋅

−

=

(

)

(

)

kN

-15,855

0,0008924

-

5

,

188

500

B

2

2

=

⋅

−

⋅

−

=

Obwiednia momentów dynamicznych

1,064 kN

15,855 kN

15 kN

0,0

2,604

2,287

3,420

M [kNm]

Ponowne sprawdzenie zaprojektowanego przekroju:

kNm

1

,

41

1

,

17

0

,

24

420

,

3

5

0

,

20

2

,

1

M

5

M

2

,

1

M

dy

st

=

+

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

MPa

215

dop

max

=

σ

≤

σ

MPa

215

W

M

dop

x

max

=

σ

≤

2

dop

2

cm

/

kN

5

,

21

cm

/

kN

21

,

19

214

4110

=

σ

≤

=

Obliczony wcześniej przekrój przeniesie zadana obciążenie.

KONIEC