1

Rozwiązania równań linii długiej

2

Rozwiązania równań linii długiej

 

 

 

 

cosh

sinh

,

cosh

sinh

.

k

f

p

k

k

p

k

f

U

U

l

I Z

l

U

I

I

l

l

Z

















gdy x = l

 

 

 

 

cosh

sinh

1

sinh

cosh

f

p

k

p

k

f

l

Z

l

U

U

I

I

l

l

Z















 

 







 

 









 







 

 

 

 

cosh

sinh

1

sinh

cosh

f

p

k

p

k

f

l

Z

l

U

U

I

I

l

l

Z



























 





























 

 

 

 

cosh

sinh

,

cosh

sinh

.

p

f

k

p

p

k

p

f

U

U

l

I Z

l

U

I

I

l

l

Z

















gdy y = l

Macierz

odwrotna

- impedancja falowa

f

Z

-

współczynnik propagacji



3

Rozwiązania równań linii długiej

„prawie bezstratnej”

gdy x = l

 

 

 

 

cos

j

sin

j

sin

cos

f

p

k

p

k

f

l

Z

l

U

U

l

l

I

I

Z





































  



 







 

 

 

 

cos

j

sin

j

sin

cos

f

p

k

p

k

f

l

Z

l

U

U

l

l

I

I

Z





















 



 







 



















gdy y = l

Macierz

odwrotna

0

j

j



 







 



cosh( j )

cos( ), sinh( j )

jsin( )

x

x

x

x





f

f

Z

Z



4

Wartości chwilowe napięcia i prądu w

linii długiej

 

 

 

 

( )

cosh

sinh

,

( )

cosh

sinh

.

p

f

p

p

p

f

U x

U

x

I Z

x

U

I x

I

x

x

Z

















 

 

cosh

oraz sinh

2

2

x

x

x

x

e

e

e

e

x

x









































1

1

( )

,

2

2

1

1

1

( )

.

2

2

x

x

f

p

f

p

p

p

x

x

f

p

f

p

p

p

f

U x

U

Z I

e

U

Z I

e

I x

U

Z I

e

U

Z I

e

Z









































5

Wartości chwilowe napięcia w linii

długiej









1

1

( )

2

2

x

x

f

p

f

p

p

p

U x

U

Z I

e

U

Z I

e























j

j

1

( )

,

,

2

1

( )

,

,

2

ip

rp

x

f

p

i

ip

ip

p

ip

ip

x

f

p

r

rp

rp

p

rp

rp

U x

U e

U

U

Z I

U

U e

U

x

U e

U

U

Z I

U

U e



























To wyrażenie zawiera dwie składowe

Przebiegi czasowe odpowiadające tym składowym









( , )

2

sin

,

( , )

2

sin

x

i

ip

ip

x

r

rp

rp

u t x

U e

t

x

u t x

U e

t

x





 



 

















j

 



 

( )

( )

( )

i

r

U x

U x

U

x





6

Wartości chwilowe prądu w linii

długiej. Impedancja falowa









1

1

1

( )

.

2

2

x

x

f

p

f

p

p

p

f

I x

U

Z I

e

U

Z I

e

Z



































j

j

1

( )

,

,

2

1

( )

,

,

2

ip

rp

x

i

ip

ip

f

p

ip

p

ip

f

x

r

rp

rp

f

p

rp

p

rp

f

I x

I e

I

U

Z I

I

I e

Z

I

x

I e

I

U

Z I

I

I e

Z





















 





To wyrażenie zawiera dwie składowe

Przebiegi czasowe odpowiadające tym składowym









( , )

2

sin

,

( , )

2

sin

x

i

ip

ip

x

r

rp

rp

i t x

I e

t

x

i t x

I e

t

x





 



 

















j

 



 

( )

( )

( )

i

r

I x

I x

I

x





Można zauważyć, że

( )

( )

( )

( )

i

r

f

i

r

U x

U

x

Z

I x

I

x



 

Ta zależność bywa często traktowana jako definicja impedancji falowej

7

Współczynnik odbicia

Dopasowanie falowe linii długiej









1

( )

,

2

1

( )

.

2

y

f

k

i

k

y

f

k

r

k

U y

U

Z I

e

U

y

U

Z I

e















Definiuje się współczynnik odbicia









2

( )

( )

y

f

k

k

y

f

k

k

r

y

y

f

k

i

k

f

k

k

U

Z I

e

U

Z I

U

y

e

U y

U

Z I

U

Z I

e



























Fala padająca i odbita napięcia

wzdłuż linii, licząc od końca linii

Na końcu linii (

y

= 0), przy odbiorniku

k

k

k

U

Z I



k

f

k

k

f

Z

Z

Z

Z









!!!









1

( )

,

2

1

( )

.

2

y

f

k

i

k

y

f

k

r

k

U y

U

Z I

e

U

y

U

Z I

e























1

( )

,

2

1

( )

.

2

y

f

k

i

k

y

f

k

r

k

U y

U

Z I

e

U

y

U

Z I

e















8

Dopasowanie falowe linii długiej

2

2

( )

( )

k

k

k

y

y

f

k

k

r

y

k

f

k

i

k

U

Z I

U

Z I

U

y

e

e

U y

U

Z I

























k

f

k

k

f

Z

Z

Z

Z









Jeśli

0

k

Z



1

1

k

k





  



Jeśli

k

Z

 

1

1

k

k





 



Jeśli

k

f

Z

Z



0

0

k

k





 



zwarcie

rozwarcie

dopasowanie falowe

W przypadku dopasowania falowego jedyną falą
rozchodzącą się jest fala padająca!!!

9

p

we

p

U

Z

I



Impedancja wejściowa linii długiej

 

 

k

f

p

we

f

p

f

k

Z

Z tgh

l

U

Z

Z

I

Z

Z tgh

l












 

 

 

 

cosh

sinh

,

cosh

sinh

.

k

f

p

k

k

p

k

f

U

U

l

I Z

l

U

I

I

l

l

Z

















k

k

k

U

Z I



10

Impedancja wejściowa linii długiej

 

 

j

.

j

!!!

k

p

f

we

f

p

f

k

Z

Z tg

l

U

Z

Z

I

Z

Z tg

l












,

.

R

L G

C









Obecnie produkowane linie długie mają

Linie takie można często traktować jako bezstratne, wówczas









j

j

j , (

)

j

0 .

s

r

Y

G

C

L

Z

L

C

R



















 









Wiemy, że

 

tanh( j )

jtan

,

x

x



zatem

Wówczas

0

j

.

j

s

f

f

s

Z

L

L

Z

Z

Y

C

C

















,

j

j

r

s

Y

G

Z

L

C

R













Oznaczmy

11

Impedancja wejściowa linii długiej

 

 

j

.

j

k

p

f

we

f

p

f

k

Z

Z tg

l

U

Z

Z

I

Z

Z tg

l












0





Mogą wystąpić następujące charakterystyczne przypadki

1. Gdy

 

2

0

2

2

l

k

tg

l

tg

k



 

























we

k

Z

Z



2. Gdy





 

1 2

4

2

4

k

l

k

tg

l











 





 

2

f

wej

k

Z

Z

Z



Linia półfalowa

Linia ćwierćfalowa

12

Impedancja wejściowa linii długiej

 

 

j

.

j

k

p

f

we

f

p

f

k

Z

Z tg

l

U

Z

Z

I

Z

Z tg

l












0





3. Gdy

k

f

Z

Z



we

f

Z

Z



4. Gdy

0

k

Z



 

j

wej

f

Z

Z tg

l





Linia dopasowana falowo,
wówczas

0

k





Linia zwarta na końcu,
wówczas

1

k



 

5. Gdy

k

Z

 

 

 

j

j

f

wej

f

Z

Z

Z ctg

l

tg

l







 

Linia rozwarta na końcu (przypadek
nie praktyczny), wówczas

1

k





13

Reaktancja wejściowa linii długiej

zwartej na końcu

0

k

Z



 

j

j

wej

f

Z

Z tg

l

X







0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

x

reaktancja

X

L-cewka

C-kondenstor

rownolegly obw. LC

szeregowy obw LC

W

ej

ście

lin

ii

50 ,

1 ,

0 ,

0,

2

f

k

Z

m

Z















 





Przykład obliczony

dla danych

l

4



2



3

4



14

Maksima i minima

0









2

( )

1 2

cos

2

ik

k

k

k

U y

U

Γ

y

Γ













Maksima fali stojącej napięcia występują w punktach gdzie













max

1

cos

2

1

2

2

.

2

4

k

k

k

y

y

k

k





















 









Minima fali stojącej napięcia występują w punktach gdzie





















max

1

cos

2

1

2

1

2

1

.

2

4

k

k

k

y

y

k

k





















  













Odległość między kolejnymi maksimami (minimami) fali
stojącej wynosi





/2.

Fakt ten często można wykorzystać do

wyznaczania długości fali w linii.

15

Współczynnik fali stojącej

0









2

( )

1 2

cos

2

ik

k

k

k

U y

U

Γ

y

Γ













Wartość maksymalna fali stojącej napięcia wynosi





max

1

.

ik

k

U

U

Γ





Wartość minimalna fali stojącej napięcia wynosi





min

1

.

ik

k

U

U

Γ





Definiuje się współczynnik fali stojącej jako

0

1

1

k

Γ





 

  

Znając WFS można wyznaczyć moduł współczynnika odbicia

1

.

1

k

Γ










max

min

1

.

1

k

k

U

Γ

WFS

U

Γ





 



