1
Rozwiązania równań linii długiej
1
Rozwiązania równań linii długiej
2
Rozwiązania równań linii długiej
cosh
sinh
,
cosh
sinh
.
k
f
p
k
k
p
k
f
U
U
l
I Z
l
U
I
I
l
l
Z
gdy x = l
cosh
sinh
1
sinh
cosh
f
p
k
p
k
f
l
Z
l
U
U
I
I
l
l
Z
cosh
sinh
1
sinh
cosh
f
p
k
p
k
f
l
Z
l
U
U
I
I
l
l
Z
cosh
sinh
,
cosh
sinh
.
p
f
k
p
p
k
p
f
U
U
l
I Z
l
U
I
I
l
l
Z
gdy y = l
Macierz
odwrotna
- impedancja falowa
f
Z
-
współczynnik propagacji
3
Rozwiązania równań linii długiej
„prawie bezstratnej”
gdy x = l
cos
j
sin
j
sin
cos
f
p
k
p
k
f
l
Z
l
U
U
l
l
I
I
Z
cos
j
sin
j
sin
cos
f
p
k
p
k
f
l
Z
l
U
U
l
l
I
I
Z
gdy y = l
Macierz
odwrotna
0
j
j
cosh( j )
cos( ), sinh( j )
jsin( )
x
x
x
x
f
f
Z
Z
4
Wartości chwilowe napięcia i prądu w
linii długiej
( )
cosh
sinh
,
( )
cosh
sinh
.
p
f
p
p
p
f
U x
U
x
I Z
x
U
I x
I
x
x
Z
cosh
oraz sinh
2
2
x
x
x
x
e
e
e
e
x
x
1
1
( )
,
2
2
1
1
1
( )
.
2
2
x
x
f
p
f
p
p
p
x
x
f
p
f
p
p
p
f
U x
U
Z I
e
U
Z I
e
I x
U
Z I
e
U
Z I
e
Z
5
Wartości chwilowe napięcia w linii
długiej
1
1
( )
2
2
x
x
f
p
f
p
p
p
U x
U
Z I
e
U
Z I
e
j
j
1
( )
,
,
2
1
( )
,
,
2
ip
rp
x
f
p
i
ip
ip
p
ip
ip
x
f
p
r
rp
rp
p
rp
rp
U x
U e
U
U
Z I
U
U e
U
x
U e
U
U
Z I
U
U e
To wyrażenie zawiera dwie składowe
Przebiegi czasowe odpowiadające tym składowym
( , )
2
sin
,
( , )
2
sin
x
i
ip
ip
x
r
rp
rp
u t x
U e
t
x
u t x
U e
t
x
j
( )
( )
( )
i
r
U x
U x
U
x
6
Wartości chwilowe prądu w linii
długiej. Impedancja falowa
1
1
1
( )
.
2
2
x
x
f
p
f
p
p
p
f
I x
U
Z I
e
U
Z I
e
Z
j
j
1
( )
,
,
2
1
( )
,
,
2
ip
rp
x
i
ip
ip
f
p
ip
p
ip
f
x
r
rp
rp
f
p
rp
p
rp
f
I x
I e
I
U
Z I
I
I e
Z
I
x
I e
I
U
Z I
I
I e
Z
To wyrażenie zawiera dwie składowe
Przebiegi czasowe odpowiadające tym składowym
( , )
2
sin
,
( , )
2
sin
x
i
ip
ip
x
r
rp
rp
i t x
I e
t
x
i t x
I e
t
x
j
( )
( )
( )
i
r
I x
I x
I
x
Można zauważyć, że
( )
( )
( )
( )
i
r
f
i
r
U x
U
x
Z
I x
I
x
Ta zależność bywa często traktowana jako definicja impedancji falowej
7
Współczynnik odbicia
Dopasowanie falowe linii długiej
1
( )
,
2
1
( )
.
2
y
f
k
i
k
y
f
k
r
k
U y
U
Z I
e
U
y
U
Z I
e
Definiuje się współczynnik odbicia
2
( )
( )
y
f
k
k
y
f
k
k
r
y
y
f
k
i
k
f
k
k
U
Z I
e
U
Z I
U
y
e
U y
U
Z I
U
Z I
e
Fala padająca i odbita napięcia
wzdłuż linii, licząc od końca linii
Na końcu linii (
y
= 0), przy odbiorniku
k
k
k
U
Z I
k
f
k
k
f
Z
Z
Z
Z
!!!
1
( )
,
2
1
( )
.
2
y
f
k
i
k
y
f
k
r
k
U y
U
Z I
e
U
y
U
Z I
e
1
( )
,
2
1
( )
.
2
y
f
k
i
k
y
f
k
r
k
U y
U
Z I
e
U
y
U
Z I
e
8
Dopasowanie falowe linii długiej
2
2
( )
( )
k
k
k
y
y
f
k
k
r
y
k
f
k
i
k
U
Z I
U
Z I
U
y
e
e
U y
U
Z I
k
f
k
k
f
Z
Z
Z
Z
Jeśli
0
k
Z
1
1
k
k
Jeśli
k
Z
1
1
k
k
Jeśli
k
f
Z
Z
0
0
k
k
zwarcie
rozwarcie
dopasowanie falowe
W przypadku dopasowania falowego jedyną falą
rozchodzącą się jest fala padająca!!!
9
p
we
p
U
Z
I
Impedancja wejściowa linii długiej
k
f
p
we
f
p
f
k
Z
Z tgh
l
U
Z
Z
I
Z
Z tgh
l
cosh
sinh
,
cosh
sinh
.
k
f
p
k
k
p
k
f
U
U
l
I Z
l
U
I
I
l
l
Z
k
k
k
U
Z I
10
Impedancja wejściowa linii długiej
j
.
j
!!!
k
p
f
we
f
p
f
k
Z
Z tg
l
U
Z
Z
I
Z
Z tg
l
,
.
R
L G
C
Obecnie produkowane linie długie mają
Linie takie można często traktować jako bezstratne, wówczas
j
j
j , (
)
j
0 .
s
r
Y
G
C
L
Z
L
C
R
Wiemy, że
tanh( j )
jtan
,
x
x
zatem
Wówczas
0
j
.
j
s
f
f
s
Z
L
L
Z
Z
Y
C
C
,
j
j
r
s
Y
G
Z
L
C
R
Oznaczmy
11
Impedancja wejściowa linii długiej
j
.
j
k
p
f
we
f
p
f
k
Z
Z tg
l
U
Z
Z
I
Z
Z tg
l
0
Mogą wystąpić następujące charakterystyczne przypadki
1. Gdy
2
0
2
2
l
k
tg
l
tg
k
we
k
Z
Z
2. Gdy
1 2
4
2
4
k
l
k
tg
l
2
f
wej
k
Z
Z
Z
Linia półfalowa
Linia ćwierćfalowa
12
Impedancja wejściowa linii długiej
j
.
j
k
p
f
we
f
p
f
k
Z
Z tg
l
U
Z
Z
I
Z
Z tg
l
0
3. Gdy
k
f
Z
Z
we
f
Z
Z
4. Gdy
0
k
Z
j
wej
f
Z
Z tg
l
Linia dopasowana falowo,
wówczas
0
k
Linia zwarta na końcu,
wówczas
1
k
5. Gdy
k
Z
j
j
f
wej
f
Z
Z
Z ctg
l
tg
l
Linia rozwarta na końcu (przypadek
nie praktyczny), wówczas
1
k
13
Reaktancja wejściowa linii długiej
zwartej na końcu
0
k
Z
j
j
wej
f
Z
Z tg
l
X
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
x
reaktancja
X
L-cewka
C-kondenstor
rownolegly obw. LC
szeregowy obw LC
W
ej
ście
lin
ii
50 ,
1 ,
0 ,
0,
2
f
k
Z
m
Z
Przykład obliczony
dla danych
l
4
2
3
4
14
Maksima i minima
0
2
( )
1 2
cos
2
ik
k
k
k
U y
U
Γ
y
Γ
Maksima fali stojącej napięcia występują w punktach gdzie
max
1
cos
2
1
2
2
.
2
4
k
k
k
y
y
k
k
Minima fali stojącej napięcia występują w punktach gdzie
max
1
cos
2
1
2
1
2
1
.
2
4
k
k
k
y
y
k
k
Odległość między kolejnymi maksimami (minimami) fali
stojącej wynosi
/2.
Fakt ten często można wykorzystać do
wyznaczania długości fali w linii.
15
Współczynnik fali stojącej
0
2
( )
1 2
cos
2
ik
k
k
k
U y
U
Γ
y
Γ
Wartość maksymalna fali stojącej napięcia wynosi
max
1
.
ik
k
U
U
Γ
Wartość minimalna fali stojącej napięcia wynosi
min
1
.
ik
k
U
U
Γ
Definiuje się współczynnik fali stojącej jako
0
1
1
k
Γ
Znając WFS można wyznaczyć moduł współczynnika odbicia
1
.
1
k
Γ
max
min
1
.
1
k
k
U
Γ
WFS
U
Γ