Fizyka Ogólna 2002

W yk³ad 6

1

Strumieñ pola wektorowego; dywergencja

na podstawie: “Feynmanna Wyk³ady z Fizyki” t.II cz.1 rozd.3, PWN £ódŸ 1971

Dana jest ciecz i powierzchnia, przez któr¹ ciecz przep³ywa

strumieñ cieczy przez element powierzchni

ca³kowity strumieñ cieczy przez ca³¹ powierzchniê S

Podobnie dla dowolnego innego pola wektorowego np. dla pola
elektrycznego

Niech S bêdzie powierzchni¹ zamkniêt¹ otaczaj¹c¹ objetoœæ V

Mo¿na wiêc podzieliæ dowoln¹ objêtoœæ V na elementarne
objêtoœci i taka procedura nie zmieni ca³kowitego strumienia
pola wektorowego przep³ywaj¹cego przez powierzchniê S

Fizyka Ogólna 2002

W yk³ad 6

2

WeŸmy wiêc elementarn¹ objêtoœæ w kszta³cie szeœcianu

Znajdziemy strumieñ dowolnego wektora

przez

powierzchniê

)S otaczaj¹c¹ objêtoœæ )V

powierzchnia 1:

-Cx (x,y,z) )y)z

powierzchnia 2:

+Cx (x+)x,y,z) )y)z

Dla ma³ego )x suma strumieni przez powierzchniê 1 i 2:

Fizyka Ogólna 2002

W yk³ad 6

3

Podobnie dla powierzchni 3 i 4
oraz dla powierzchni 5 i 6 szeœcianu.

Ostatecznie ca³kowity strumieñ przez elementarny szeœcian o
objêtoœci )V:

Dywergencja jest wiêc strumieniem pola wektorowego
obliczanym na jednostkê objêtoœci.
Sciœlej: w granicy objetoœci malej¹cej do zera.

Twierdzenie Greena i Gaussa:

Kr¹¿enie pola wektorowego; rotacja

Ca³ka krzywoliniowa

Fizyka Ogólna 2002

W yk³ad 6

4

gdy

= grad R(x,y,z)

gdzie R(x,y,z) jest dowoln¹ g³adk¹ funkcj¹ skalarn¹ to

Gdy droga ' jest krzyw¹ zamkniêt¹ to

nazywa siê cyrkulacj¹ (kr¹¿eniem) pola wektorowego

<

Dowolny kontur zamkniêty ' mo¿na podzieliæ na kontury
elementarne. Ca³kowita cyrkulacja po konturze ' bêdzie
wtedy suma cyrkulacji po elementarnych konturach.

Fizyka Ogólna 2002

W yk³ad 6

5

Jest to dzia³anie takie samo jak podzia³ obwodu elektrycznego
na “oczka”.

Fizyka Ogólna 2002

W yk³ad 6

6

WeŸmy elementarny kontur w postaci kwadratu.

Za³ó¿my, ¿e le¿y on w p³aszczyŸnie Oxy.

Dla ustalenia uwagi rozpatrzmy:

Fizyka Ogólna 2002

W yk³ad 6

7

Podobnie dla boków 2 i 4:

Dla konturu o kszta³cie kwadratu le¿¹cego w p³aszczyŸnie Oyz

a dla konturu le¿¹cego w p³aszczyŸnie Oxz

Dla dowolnie zorientowanego w przestrzeni konturu o dowolny
kszta³cie:

Jest to twierdzenie Stokesa
przy czym

S jest powierzchni¹ rozpiêt¹ na konturze '.

Fizyka Ogólna 2002

W yk³ad 6

8

Wektor elementu powierzchni dany jest przez

Kierunek wektora normalnego okreœla regu³a prawej rêki.

W uk³adzie kartezjañskim rotacja wektora

zapisuje siê:

Naj³atwiej zapamiêtaæ ten wzór pos³uguj¹c siê zapisem
operatorowym

Fizyka Ogólna 2002

W yk³ad 6

9

gdzie operator nabla

Pola bezwirowe:

Na mocy twierdzenia Stokesa:

Fizyka Ogólna 2002

W yk³ad 6

10

St¹d:

Wniosek

Gdy rotacja pola wektorowego znika ca³ka krzywoliniowa
po tym polu nie zale¿y od drogi ca³kowania a tylko od
po³o¿enia jej krañców.

Wtedy mo¿na wprowadziæ potencja³ skalarny zdefiniowany
przez

= - grad R

Twierdzenie odwrotne:

Jeœli dany jest potencja³ R (x,y,z) (jeœli istnieje taki potencja³) to

wynika to z to¿samoœci:

Wniosek

Pola dane przez gradient potencja³u (pola potencjalne) s¹ polami
bezwirowymi.