Fizyka Ogólna
Wykład 6
1
Strumie½ pola wektorowego; dywergencja
na podstawie: “Feynmanna Wyk»ady z Fizyki” t.II cz.1 rozd.3, PWN ºódï 1971
Dana jest ciecz i powierzchnia, przez któr przep»ywa ciecz
Strumie½ cieczy przez element powierzchni
ds
n
v
=
d
⋅
⋅
Φ
r
r
Ca»kowity strumie½ cieczy przez ca» powierzchni“ S
s
d
v
=
ds
n
v
=
S
S
r
r
r
r
⋅
⋅
Φ
∫∫
∫∫
Podobnie dla dowolnego innego pola wektorowego np. dla pola elektrycznego
Niech S b“dzie powierzchni
zamkni“t otaczajc objetoу V
0
+
s
d
C
+
s
d
C
=
s
d
C
=
S
S
S
b
a
r
r
r
r
r
r
⋅
⋅
⋅
Φ
∫
∫
∫
∫
∫∫
Moóna wi“c podzieliƒ dowoln obj“toу V na elementarne obj“toÑci i taka
procedura nie zmieni ca»kowitego strumienia pola wektorowego
przep»ywajcego przez powierzchni“ S
s
d
E
=
ds
n
E
=
S
S
r
r
r
r
⋅
⋅
Φ
∫∫
∫∫
Fizyka Ogólna
Wykład 6
2
Weïmy wi“c elementarn obj“toу w kszta»cie szeÑcianu
z
y
x
=
V
∆
∆
∆
∆
Znajdziemy strumie½ dowolnego wektora
C
r
przez powierzchni“
∆
S otaczajc obj“toу ∆V
powierzchnia 1:
-C
x
(x,y,z) ∆y∆z
powierzchnia 2:
+C
x
(x+∆x,y,z) ∆y∆z
....
+
x
x
C
2
1
+
x
x
C
+
z)
y,
(x,
C
=
z)
y,
x,
+
(x
C
2
2
x
2
x
x
x
∆
∂
∂
∆
∂
∂
∆
Dla ma»ego ∆x suma strumieni przez powierzchni“ 1 i 2:
z
y
x
x
C
x
∆
∆
∆
∂
∂
Podobnie dla powierzchni 3 i 4
oraz dla powierzchni 5 i 6 szeÑcianu.
Fizyka Ogólna
Wykład 6
3
Ostatecznie ca»kowity strumie½ przez elementarny szeÑcian o obj“toÑci ∆V:
V
ivC
d
V
)
z
C
+
y
C
+
x
C
(
=
s
d
C
z
y
x
S
∆
≡
∆
∂
∂
∂
∂
∂
∂
⋅
∫∫
r
r
r
Dywergencja jest wi“
“““c strumieniem pola wektorowego obliczanym na jednostk““““ obj““““toÑÑÑÑci.
SciÑlej: w granicy objetoÑci malejcej do zera.
Twierdzenie Greena i Gaussa:
dv
ivC
d
=
s
d
C
V
S
r
r
r
∫
∫
∫
∫∫
⋅
Fizyka Ogólna
Wykład 6
4
Króenie pola wektorowego; rotacja
Ca»ka krzywoliniowa
l
C
=
l
d
C
i
i
0
l
i
r
r
r
r
∆
⋅
⋅
∑
∫
→
∆
Γ
lim
gdy
C
r
= grad ψ(x,y,z)
gdzie ψ(x,y,z) jest dowoln g»adk funkcj skalarn to
(1)
-
(2)
=
l
d
z)
y,
(x,
grad
2
1
ψ
ψ
ψ
r
∫
Gdy droga Γ jest krzyw zamkni“t to
l
d
C
r
r
∫
Γ
nazywa si“ cyrkulacj
(króóóóeniem) pola wektorowego
C
r
Fizyka Ogólna
Wykład 6
5
•
Dowolny kontur zamkni“ty Γ moóna podzieliƒ na kontury elementarne. Ca»kowita cyrkulacja
po konturze Γ b“dzie wtedy suma cyrkulacji po elementarnych konturach.
Jest to dzia»anie takie samo jak podzia» obwodu elektrycznego na “oczka”.
Fizyka Ogólna
Wykład 6
6
Weïmy elementarny kontur w postaci kwadratu.
Za»óómy, óe leóy on w p»aszczyïnie Oxy.
y
(4)
C
-
x
(3)
C
-
y
(2)
C
+
x
(1)
C
=
l
d
C
y
x
y
x
∆
∆
∆
∆
∫
Γ
r
r
Fizyka Ogólna
Wykład 6
7
Dla ustalenia uwagi rozpatrzmy:
y
x
y
C
-
=
x
]
(3)
C
-
(1)
C
[
y
y
C
+
(1)
C
=
(3)
C
x
]
(3)
C
-
(1)
C
[
x
x
x
x
x
x
x
x
∆
∆
∂
∂
∆
∆
∂
∂
∆
Podobnie dla boków 2 i 4:
y
x
)
y
C
-
x
C
(
=
l
d
C
x
y
kontur
∆
∆
∂
∂
∂
∂
∫
r
r
Dla konturu o kszta»cie kwadratu leócego w p»aszczyïnie Oyz
z
y
)
z
C
-
y
C
(
=
l
d
C
y
z
kontur
∆
∆
∂
∂
∂
∂
∫
r
r
a dla konturu leócego w p»aszczyïnie Oxz
z
x
)
x
C
-
z
C
(
=
l
d
C
z
x
kontur
∆
∆
∂
∂
∂
∂
∫
r
r
Fizyka Ogólna
Wykład 6
8
Dla dowolnie zorientowanego w przestrzeni konturu o dowolny kszta»cie:
s
d
C
rot
=
l
d
C
S
r
r
r
r
∫
∫
∫
Γ
Jest to twierdzenie Stokesa
przy czym
S jest powierzchni rozpi“t na konturze Γ.
Wektor elementu powierzchni dany jest przez
ds
n
=
s
d
r
r
Kierunek wektora normalnego okreÑla regu»a prawej r“ki.
W uk»adzie kartezja½skim rotacja wektora
C
r
zapisuje si“:
i
)
x
C
-
z
C
(
+
i
)
z
C
-
y
C
(
+
i
)
y
C
-
x
C
(
=
C
rot
y
z
x
x
y
z
z
x
y
r
r
r
r
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Fizyka Ogólna
Wykład 6
9
Naj»atwiej zapami“taƒ ten wzór pos»ugujc si“ zapisem operatorowym
C
x
=
C
C
C
z
y
x
i
i
i
=
C
rot
z
y
x
z
y
x
r
r
r
r
r
∇
∂
∂
∂
∂
∂
∂
gdzie operator nabla
)
z
,
y
,
x
(
∂
∂
∂
∂
∂
∂
≡
∆
Fizyka Ogólna
Wykład 6
10
Pola bezwirowe:
Na mocy twierdzenia Stokesa:
0
=
l
d
C
0
=
C
rot
r
r
r
∫
Γ
⇔
0
=
l
d
C
+
l
d
C
=
l
d
C
1
2
b
2
1
a
b
+
a
r
r
r
r
r
r
∫
∫
∫
s
td:
l
d
C
=
l
d
C
-
=
l
d
C
2
1
b
1
2
b
2
1
a
r
r
r
r
r
r
∫
∫
∫
Wniosek
Gdy rotacja pola wektorowego znika
ca»ka krzywoliniowa po tym polu nie zaleóy od drogi ca»kowania
a tylko od po»oóenia jej kra½ców.
Wtedy moóna wprowadziƒ potencja» skalarny zdefiniowany przez
C
r
= - grad ψ
Fizyka Ogólna
Wykład 6
11
(1)
-
(2)
=
l
d
2
1
ψ
ψ
ψ
r
∇
∫
Twierdzenie odwrotne:
JeÑli dany jest potencja» ψ (x,y,z) (jeÑli istnieje taki potencja») to
0
=
l
d
r
ψ
∇
∫
Γ
wynika to z toósamoÑci:
0
)
(
rot
≡
∇
ψ
Wniosek
Pola dane przez gradient potencja»u (pola pot potencjalne) s polami bezwirowymi.