t

ω

ϕ

( )

(

)

ϕ

ω

+

=

t

U

t

u

m

sin

f

T

π

π

ω

2

2 =

=

U

m

- amplituda

pulsacja

ϕ - faza początkowa

Sygnał okresowy niesinusoidalny nazywamy

sygnałem odkształconym

t

u(t)

u(t)

t

0

0

Wielkości charakteryzujące sygnały okresowe

Wartość średnia

∫

=

T

0

śr

dt

)

t

(

u

T

1

U

∫

=

T

0

śr

dt

)

t

(

i

T

1

I

Sygnał okresowy nazywamy sygnałem przemiennym,

jeżeli jego wartość średnia jest zerowa.

Interpretacja geometryczna wartości średniej:

0

T

u(t)

t

U

śr

pole A

pole B

U

śr

dobrane tak, że: pole A = pole B (dla przedziału czasu równego T)

Wartość skuteczna sygnału okresowego

∫

=

T

0

2

dt

)]

t

(

u

[

T

1

U

∫

=

T

0

2

dt

)]

t

(

i

[

T

1

I

Definicja fizyczna wartości skutecznej prądu okresowego:
Jest to wartość prądu stałego, który płynąc przez taki sam
rezystor, spowoduje wydzielenie w czasie równym okresowi T tej
samej energii.

( )

[ ]

∫

⋅

=

⋅

⋅

T

dt

t

i

R

T

I

R

0

2

2

Dla wszystkich sygnałów przemiennych sinusoidalnych:

2

I

I

2

U

U

m

m

=

=

Obwody liniowe prądu sinusoidalnie zmiennego

+

-

L

f

π

ω

2

=

C

R

( )

(

)

θ

ω

+

=

t

E

t

e

m

sin

i(t)

u

L

(t)

u

C

(t)

ω

- pulsacja [rad/s]

f – częstotliwość [Hz]

u

R

(t)

T

f

1

=

T – okres [s]

W każdej chwili w obwodzie są spełnione prawa Kirchhoffa.

( )

( )

( ) ( )

0

=

−

+

+

t

e

t

u

t

u

t

u

L

C

R

Z II prawa Kirchhoffa wynika:

( )

( )

( ) ( )

0

=

−

+

+

t

e

t

u

t

u

t

u

L

C

R

W dalszej analizie rozpatrujemy obwody

liniowe stacjonarne

Dla rezystancji R jest spełnione prawo Ohma dla dowolnej chwili t :

( )

( )

t

i

R

t

u

R

⋅

=

Dla indukcyjności L z prawa indukcji Faraday’a wynika:

( )

dt

di

L

t

u

L

⋅

=

Dla pojemności C z definicji prądu i pojemności elektrycznej wynika:

( )

dt

du

C

t

i

C

⋅

=

( )

( )

( ) ( )

0

=

−

+

+

t

e

t

u

t

u

t

u

L

C

R

Podstawiając to do równania:

( )

( )

(

)

( )

(

)

θ

ω

θ

ω

+

⋅

=

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

+

⋅

+

⋅

t

E

t

u

dt

du

C

R

dt

u

d

C

L

t

E

t

u

dt

di

L

t

i

R

m

C

C

C

m

C

sin

sin

2

2

otrzymamy:

Rozwiązanie obwodu (obliczenie napięcia u

C

) oznacza

konieczność rozwiązania równania różniczkowego; im więcej
będzie elementów L i C, tym wyższy będzie rząd równania.
Ponieważ analizujemy tylko stany ustalone, matematycznie
wystarczy znaleźć

tylko całkę

szczególną

(składową

wymuszoną) rozwiązania równania różniczkowego. Jednak
rozwiązanie to jest bardzo czasochłonne.

Metodą stosowaną powszechnie w obliczeniach obwodów prądu

sinusoidalnie zmiennego w stanach ustalonych jest:

metoda amplitud zespolonych

( )

( )

α

α

α

sin

cos

⋅

+

=

j

e

j

Korzystając ze wzoru Eulera:

dowolny sygnał sinusoidalny można zapisać w postaci:

(

)

(

)

[

]

[

]

t

j

j

m

t

j

m

m

e

e

Y

Im

e

Y

Im

t

sin

Y

ω

ϕ

ϕ

+

ω

⋅

=

=

ϕ

+

ω

⋅

ϕ

j

m

m

e

Y

Y

=

Przyjmijmy oznaczenie:

Y

m

nazywamy amplitudą zespoloną sygnału sinusoidalnego

Znając amplitudę zespoloną

Y

m

sygnału możemy wyznaczyć

zarówno amplitudę sygnału:

Y

Y

m

=

jak i jego fazę:

( )

ϕ

=

m

Y

arg

Kąt fazowy

ϕ

liczymy jako argument główny czyli:

π

ϕ

π

≤

<

−

Znając amplitudę zespoloną sygnału i pulsację, dla której obliczono tę

amplitudę można odtworzyć czasowy przebieg sygnału z zależności:

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

)

t

sin(

Y

j

)

t

cos(

Y

Im

e

Y

Im

e

e

Y

Im

e

Y

Im

)

t

(

y

m

m

t

j

m

t

j

j

m

t

j

m

ϕ

ω

ϕ

ω

ϕ

ω

ω

ϕ

ω

+

⋅

⋅

+

+

⋅

=

=

=

⋅

=

⋅

=

+

( )

(

)

ϕ

ω

+

⋅

=

t

Y

t

y

m

sin

stąd ostatecznie:

Interpretacja geometryczna amplitudy zespolonej

Im(Y)

Re(Y)

mi

mr

m

Y

j

Y

Y

⋅

+

=

fazor (wskaz)

ω

Y

mi

m

m

Y

Y

=

ϕ

Y

mr

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

mr

mi

Y

Y

arctg

ϕ

2

2

mi

mr

m

Y

Y

Y

+

=

Wartość skuteczna sygnału sinusoidalnego

2

m

Y

Y

=

Sygnał sinusoidalny zapisujemy za pomocą wartości skutecznych:

( )

(

)

ϕ

ω

+

⋅

⋅

=

t

Y

t

y

sin

2

ϕ

=

j

Ye

Y

Wartość zespolona sygnału:

Y

Ye

Y

j

m

⋅

=

⋅

=

2

2

ϕ

a zatem:

Prawa Kirchhoffa dla wartości zespolonych prądów i napięć

Dla zespolonych wartości prądów n gałęzi dołączonych do
dowolnego węzła w obwodzie zachodzi związek:

0

I

n

n

=

∑

Dla zespolonych wartości napięć na k elementach wchodzących w
skład dowolnego oczka w obwodzie zachodzi związek:

0

U

k

k

=

∑

Wartości zespolone prądów i napięć spełniają I i II prawo Kirchhoffa

Związki między wartościami zespolonymi napięcia i prądu:

Rezystancja:

R

i(t)

u(t)

( )

( )

t

i

R

t

u

⋅

=

( )

(

)

ϕ

ω

+

⋅

⋅

=

t

I

t

i

sin

2

W szczególności, jeżeli

, to

( )

(

)

(

)

ϕ

ω

ϕ

ω

+

⋅

⋅

=

+

⋅

⋅

⋅

=

t

U

t

I

R

t

u

sin

2

sin

2

Zapisując ogólnie za pomocą amplitud zespolonych mamy:

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

u

i

i

j

Ie

I

ϕ

=

u

j

Ue

U

ϕ

=

oraz

; przy czym:

I

R

U

⋅

=

a także:

I

R

Ie

R

Ie

R

Ue

Ue

U

i

u

j

j

j

j

⋅

=

⋅

=

⋅

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

czyli:

I

R

U

⋅

=

Przebieg w czasie prądu i napięcia na rezystancji R

0 1.262.513.775.036.287.548.810.05

11.31

12.57

2

1.6

1.2

0.8

0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

i x

( )

u x

( )

x

Interpretacja za pomocą fazorów

I

R

U

⋅

=

Im

I

U

ϕ

Re

( )

dt

di

L

t

u

⋅

=

L

i(t)

Indukcyjność:

u(t)

( )

(

)

ϕ

ω

+

⋅

⋅

=

t

I

t

i

sin

2

mamy

( )

(

)

ϕ

ω

ω

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

t

I

L

t

u

cos

2

Dla

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

2

π

sin

2

ϕ

ω

ω

t

I

L

t

u

lub

Zapisując ogólnie za pomocą amplitud zespolonych mamy:

2

π

+

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

u

i

i

j

Ie

I

ϕ

=

u

j

Ue

U

ϕ

=

oraz

; przy czym:

I

L

U

⋅

=

ω

a także:

czyli:

I

L

j

U

⋅

=

ω

I

L

j

Ie

L

j

e

Ie

L

Ue

Ue

U

i

u

j

j

j

j

j

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

=

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

ω

ω

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

2

π

2

π

Przebieg w czasie prądu i napięcia na indukcyjności L

0 1.262.513.775.036.287.548.810.05

11.31

12.57

2

1.6

1.2

0.8

0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

i x

( )

u x

( )

x

Interpretacja za pomocą fazorów

I

L

j

U

⋅

=

ω

I

2

π

Pomnożenie fazora

przez operator j

oznacza

obrót o

+ 90

°

U

L

X

L

ω

=

X

L

-reaktancja indukcyjna

Przyjmujemy:

I

jX

U

L

⋅

=

czyli:

Cewka rzeczywista:

L

i(t)

u

L

(t)

R

( )

( )

( )

t

u

t

u

t

u

L

R

cewki

+

=

u

R

(t)

( )

dt

di

L

t

u

L

⋅

=

( )

( )

t

i

R

t

u

R

⋅

=

u

cewki

(t)

( )

( )

( )

t

u

t

u

t

u

L

R

cewki

+

=

Równanie:

L

R

cewki

U

U

U

+

=

można zapisać dla amplitud zespolonych:

I

R

U

R

⋅

=

I

L

j

U

L

⋅

=

ω

ale

i

więc podstawiając mamy:

(

)

I

Z

I

jX

R

I

jX

I

R

I

L

j

I

R

U

L

L

cewki

⋅

=

⋅

+

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

ω

L

j

R

Z

ω

+

=

Wielkość:

nazywamy impedancją

Z

I

( )

( )

R

L

tg

L

R

Z

Ze

Z

j

ω

ϕ

ω

ϕ

=

+

=

=

2

2

cewki

U

I

Z

U

cewki

⋅

=

I

R

U

L

U

cewki

U

ϕ

Interpretacja za pomocą fazorów

Wykres fazorowy

Pojemność:

C

( )

( )

( )

∫

⋅

=

⇒

⋅

=

dt

t

i

C

t

u

dt

du

C

t

i

1

i(t)

u(t)

(zmiana na całkę nieoznaczoną jest dopuszczalna dla stanu ustalonego)

( )

(

)

ϕ

ω

+

⋅

⋅

=

t

I

t

i

sin

2

mamy

( )

(

)

ϕ

ω

ω

+

⋅

⋅

⋅

⋅

−

=

t

I

C

t

u

cos

2

1

Dla

lub

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

2

π

sin

2

1

ϕ

ω

ω

t

I

C

t

u

I

C

U

⋅

=

ω

1

Zapisując ogólnie za pomocą amplitud zespolonych mamy:

u

j

Ue

U

ϕ

=

oraz

i

j

Ie

I

ϕ

=

; przy czym:

2

π

−

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

u

i

a także:

czyli:

I

C

j

Ie

C

j

e

Ie

C

Ue

Ue

U

i

u

j

j

j

j

j

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

⋅

=

=

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

ω

ω

ω

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

1

1

1

2

π

2

π

I

C

j

I

C

j

U

⋅

=

⋅

−

=

ω

ω

1

1

Przebieg w czasie prądu i napięcia na pojemności C

0 1.262.513.775.036.287.548.810.05

11.31

12.57

2

1.6

1.2

0.8

0.4

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2

i x

( )

u x

( )

x

Interpretacja za pomocą fazorów

I

C

j

U

⋅

−

=

ω

1

Pomnożenie fazora

przez operator - j

oznacza

obrót o

- 90

°

I

2

π

U

C

X

C

ω

1

=

X

C

-reaktancja pojemnościowa

Przyjmujemy:

I

jX

U

C

⋅

−

=

czyli:

Postępowanie z liniowym obwodem elektrycznym,w którym

działają źródła sinusoidalnie zmienne o częstotliwości f:

f

π

ω

2

=

1. Obliczyć pulsację:

2. Zastąpić źródła prądowe i napięciowe wartościami

zespolonymi źródeł. Dla wygody przyjmujemy jedno
ze źródeł jako odniesieniowe (faza równa zeru), a dla
pozostałych odpowiednio wyznaczamy fazę względem
źródła odniesienia na podstawie znajomości relacji
czasowych występujących między przebiegami w czasie
źródeł niezależnych.

L

⇒

jX

L

3. Indukcyjności w schemacie obwodu zastąpić zespoloną

reaktancją indukcyjną.

L

X

L

ω

=

gdzie:

C

⇒

-jX

C

4. Pojemności w schemacie zastąpić zespoloną reaktancją

pojemnościową:

C

X

C

ω

1

=

gdzie:

W wyniku tego postępowania otrzymujemy schemat obwodu

w dziedzinie częstotliwości, w którym prądy i napięcia

są reprezentowane przez ich wartości zespolone.

Metody obliczania obwodu dla amplitud zespolonych identyczne

jak dla obwodów prądu stałego - tyle tylko, że należy

te obliczenia wykonać za pomocą

liczb zespolonych

.

Uwagi dotyczące nazewnictwa:

I

Z

U

⋅

=

jX

R

Z

+

=

impedancja

X

- reaktancja

[

Ω]

jB

G

Z

Y

+

=

=

1

U

Y

I

⋅

=

admitancja

G

- konduktancja

[S]

B

- susceptancja

[S]

Z

Y

1

=

ϕ

j

Ze

Z

=

Uwzględniając:

ϕ

j

e

Z

Y

−

=

1

mamy:

Z

Y

1

=

czyli dla modułów mamy:

zaś faza admitancji jest równa z przeciwnym znakiem fazie impedancji.

2

2

2

2

oraz

X

R

X

B

X

R

R

G

+

−

=

+

=

Natomiast:

Szeregowe połączenie impedancji

A

B

1

Z

2

Z

I

I

Z

U

1

1

=

I

Z

U

2

2

=

2

1

AB

U

U

U

+

=

(

)

I

Z

Z

I

Z

I

Z

U

2

1

2

1

AB

+

=

+

=

A

B

AB

Z

I

I

Z

U

AB

AB

=

2

1

AB

Z

Z

Z

+

=

ostatecznie:

Równoległe połączenie impedancji

I

1

I

2

I

AB

U

1

Z

2

Z

B

A

A

B

I

I

Z

U

AB

AB

=

AB

Z

2

1

I

I

I

+

=

2

2

1

1

AB

Z

I

Z

I

U

=

=

AB

AB

Z

U

I

=

2

AB

2

1

AB

1

Z

U

I

Z

U

I

=

=

ostatecznie:

2

1

AB

Z

1

Z

1

Z

1

+

=

2

1

AB

Y

Y

Y

+

=

lub:

2

1

2

1

AB

Z

Z

Z

Z

Z

+

⋅

=

więc:

Przykłady obliczania obwodów sinusoidalnych

Dany jest obwód:

Obliczyć rozpływ prądów.

Przygotowujemy obwód do metody amplitud zespolonych

1

Z

s

rad

628

100

2

f

2

=

π

⋅

=

π

=

ω

2

100

2

Z

3

Z

o

90

j

2

2

6

2

2

e

85

.

31

Z

85

.

31

j

Z

10

50

628

j

Z

C

j

Z

−

−

=

−

=

⋅

⋅

−

=

ω

−

=

o

13

.

32

j

3

3

3

3

3

3

e

81

.

11

Z

28

.

6

j

10

Z

01

.

0

628

j

10

Z

L

j

R

Z

=

+

=

⋅

+

=

ω

+

=

o

1

,

14

j

1

1

1

1

1

1

e

155

.

5

Z

256

.

1

j

5

Z

002

.

0

628

j

5

Z

L

j

R

Z

=

+

=

⋅

+

=

ω

+

=

1

Z

2

Z

3

Z

V

70.7

2

100 =

o

j14,1

1

1

5.155e

Z

j1.256

5

Z

=

+

=

o

j90

2

2

31.85e

Z

j31.85

Z

−

=

−

=

o

j32.13

3

3

11.81e

Z

j6.28

10

Z

=

+

=

I

3

I

2

I

1

U

23

I

3

=1A

Wybieramy metodę podobieństwa; zakładamy np.

U

23

=I

3

Z

3

U

23

=1·11.81e

j32.13°

= 11.81e

j32.13°

stąd:

o

o

o

j122.13

j90

j32.13

2

23

2

0.371e

31.85e

11.81e

Z

U

I

=

=

=

−

oraz:

1

Z

2

Z

I

3

Z

3

I

2

I

1

I

1

=I

2

+I

3

Ponieważ:

U

23

U

1

o

o

j21.36

1

1

1

j122.13

1

0.862e

I

j0.314

0.803

I

j0.314

0.197

1

I

0.371e

1

I

=

+

=

+

−

=

+

=

U

więc:

23

1

U

U

U

+

=

Obliczamy napięcie U wynikające z
naszego założenia:

o

o

o

o

o

j33.04

j35.46

j32.13

j21.36

j14.1

23

1

1

16.25e

U

j8.859

13.620

U

j6.281

10

j2.578

3.620

U

j6.281

10.0

4.444e

U

11.81e

0.862e

5.155e

U

U

I

Z

U

=

+

=

+

+

+

=

+

+

=

+

⋅

=

+

=

czyli:

1

Z

2

Z

I

3

Z

V

70.7

3

I

2

I

1

U

o

o

o

j33.04

j33.04

j0

4.351e

k

16.25e

70.7e

k

U

E

k

−

=

=

=

23

Współczynnik podobieństwa:

Wartości zespolone prądów w obwodzie:

o

o

o

j33.04

3

3(z)

2

j89.09

2

2(z)

2

j11.68

1

1(z)

1

4.35e

I

I

k

I

1.61e

I

I

k

I

3.75e

I

I

k

I

−

−

=

⇒

⋅

=

=

⇒

⋅

=

=

⇒

⋅

=