Gęstość prawdopod. Procesu jest wielkością
zdeterminow. Czy losową?
Widmo gęstości mocy procesu losow. Jest wielk.
Zdeterminow. Czy losow.
Def. Dwuwymiarowej gęst. Prawdopod. Procesu
stochastycz.

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

x

x

t

t

x

x

F

t

t

x

x

f

σ

σ

σ

=

Def. Dwuwymiarowej dystrybuanty procesu
stochastycz.
F(x1,x2,t1,t2)=Pr(x(t1)≤x1, x(t2)≤x2)
Własności fun. Korelacji wzajemnej procesów
losowych rzeczywis.
1)R(τ)=R(-τ)-f.parzysta 2) -R(0)≤R(τ)≤R(0)-mieści sie
3) R(τ)=E{x(t)x(t+τ)} R(∞)=0, korelacja wyraża
podobień. między sygnałami daj duża to podob. duże
jak mała to pod. małe.
Jakie warunki spełnia układ liniowy
Jeśli x1,2(t)-pobudzenia oraz a1,2-skalary oraz
y(t)=L[x(t)], x(t)->L->y(t) to układ jest: 1)liniowy
y(t)=L{a1x1(t)+a2x2(t)}=a1L{x1(t)}+ a2L{x2(t)}
2)niezmienny w czasie x(t,τ1)= x(t,τ2)=> y(t,τ1)=
y(t,τ2) 3)inercyjny

∫

∞

∞

−

−

=

)

(

)

(

)

(

α

α

h

t

x

t

y

Autokowariancja procesu ciągłego(ogulna i dla p.
Stochastycz.)
1) A.O. C(t1,t2)= E{[x(t1)-m(t1)] [x(t2)-m(t2)]}
2)A.D.P.S C(t1,t2)=C(τ), t1=t, t2=t+τ, C(τ)= E{[x(t)-
m][x(t+τ)-m]}
Def. Wielowymiarow. Dystrybuanty stochastycznego
(oznaczenia)
F(x1.....xn,t1...tn)=Pr(x(t1)≤x1......x(tn)≤xn)
W kategoriach znanych sygnałów zdefiniować znany
ci współcz. Korelacji

||

||||

||

)

,

(

y

x

y

x

xy

=

α

inaczej

||

||||

||

)

,

)(

,

(

y

x

x

y

y

x

xy

=

α

przy czym

0≤|αxy|≤1, 0-są kompletnie niepodobne, 1-są takie same
Def. Korelacji wzajemnej między sygnałami
deterministycz.
Rxy(τ)=(x,y)=całka(x(t)y(t+τ)dτ),

∑

−

=

+

=

1

0

)

(

)

(

)

(

N

n

xy

k

n

y

n

x

n

R

Unormowana F. korelacji wzajemnej:

)

(

)

(

)

(

||

||||

||

)

(

)

(

τ

τ

τ

τ

yy

xx

xy

xy

xy

R

R

R

y

x

R

ro

=

=

Postać autokorel. Procesu stacjonarnego
Ponieważ dla procesu stacjonarnego
f(x1,x2,t,t+τ)=f(x1,x2,τ) oraz t1=t, τ=t2-t1, to
R(t1,t2)=E{x(t)x(t+τ)}=R(τ)
Zależność między funkcją autokorelac. Procesu
stacjonarnego a jego widmową mocą
S(f1,f2)=FT{e(t1,t2)} albo S(t)= FT{ R(τ)}, Widmo
gęstości mocy jest transformatą Fouriera F.A. sygnału o
ograniczonej mocy średniej. F.A. i widmo gęstości
mocy stanowią parę transformat Fouriera w sensie
granicznym.
Wzajemna widmowa gęstość mocy

)}

(

{

τ

xy

xy

R

FT

S

=

Rxy(τ)=Ryx(-τ)

Def. Widmowej gęstości mocy i jakie informacje o
procesie zawiera
Widma gęstości mocy są wielkościami
zdeterminowanymi. Widmowa gęstość mocy jest to
rozkład mocy w funkcji częstotliwości.
S(f1,f2)=FT{e(t1,t2)}=

∫

+

−

2

^

2

1

)

2

2

1

1

(

2

)

2

,

1

(

R

t

f

t

f

j

dt

dt

e

t

t

R

π

Zawiera ona

informacje o energii niesionej przez poszczególne
składowe.1)S(t)=S(-t)parzysta 2)S(t)=FT{R(t)} 3)
czysto rzeczyw.

∫

∞

=

0

)

2

cos(

)

(

2

)

(

τ

π

τ

d

ft

R

t

S

4)S(t)≥0-nieujemna

Czy widmowa gęstość mocy może przyjmować
uujemne wartości
Nie, z def. S(f)≥0 - widmo gęstości mocy jest funkcją
nieujemną. Sygnał zawsze niesie pewna energię (a
zatem i moc) wiekszą od zera.
Co powoduje że widmowa gęstość mocy jest funkcją
rzeczywistą
Widmowa gęstość mocy jest F. czysto rzeczywistą,
ponieważ lmS(f)=0. Z racji tego że F. autokorelacji
sygnałów rzeczywistych jest funkcją rzeczywistą, to i
widmo gęstości mocy sygnałów rzeczywistych jest
również funkcją rzeczywistą.
Zależność między widmową gęst. Mocy syg. na we i
wy układu liniowego.
Zakładając że Syy(f)-na wy, Sxx(f)-na we, i że H(f)-
transmitancja częstotliwościowa
układu:Syy(f)=H(f)H(f)Sxx(f)=Sxx(f)|H(f)|^2
Właściwości widm. Gęst. Mocy rzeczywistego proc.
Stacjonar.
1) czysto rzeczywista

∫

∞

=

0

)

2

cos(

)

(

2

)

(

τ

π

τ

d

ft

R

t

S

2)jest parzysta

S(f)=S(-f) 3)funkcja nieujemna S(f)≥0

Def. Wart.średniej procesu i czy jest ona F. Czasu
W.Ś. (oczekiwaną) m(t) nazyw. Nielosową F. czasu,
której wartość w punkcie ti jest równa wartości
oczekiwanej mi(t) zmiennej losowej dla kazdej chwili
czasu ti; gdy proces jest stacjonarny, to wartość średnia
nie zależy od czasu m(t)=E{x(t)} jest to średnia ważona
a wagami jest prawdopodob. wystąpienia danej
wartości, m(t)=E{x(t)} jest to średnia ważona
prawdopodobieństwa

x

d

t

x

xf

t

m

R

∫

=

)

,

(

)

(

∫

−

∞

>

−

=

T

T

T

dt

t

x

T

m

)

(

2

1

lim

∑

=

=

1

)

(

i

i

i

x

p

t

m

Def. Wariancji i czy jest F. Czasu
Gdy P. jest stacjonarny to w takim wypadku wariancja
procesu nie zależy od czasu.(σ^2=E{x^2(t)}). Def.
wariancji σ^2(t)=E{[x(t)-m(t)]^2}.
Proces losowy
P.L. (stochastyczny) to model sygnału L. jest on F.
dwóch zmiennych - czasu i wyniku losowania. x(t,ξ)<-
P.L.
Przekrój p. Stochast. Po czasie
P.P.S.P.C. jest jednowymiarową zmienną losową.
Dla jakiego procesu wartość średn. Nie jest f. Czasu
Dla P. stacjonarnego
Kiedy wariancja nie zależy od czasu
Dla P. stacjonarnego
Wariancja procesu wart. Losowa czy
deterministyczną
W.P. est wart. deterministy.
Kiedy p. Jest ściśle stacjonar. Słabo, n-tego rzędu
P. jest Ś.S jeżeli przesunięcie punktu zerowego
(obserwacji) nie oddziałuje na jego rozkłady
prawdopodob. dowolnego rzędu; dystrybuan. i gęstość
nie zależą od czau.f(x,t)=f(x), m(t)=m, R(t1,t2)=R(τ),
E{x(t),x(t+τ)}=R(τ)
P. jest S.S gdy wartość oczekiwana (średia) m(t)=m
czyli nie zależy od czasu, oraz gdy F. autokorelacji jest
F. jednej zmiennej, czyli R(t1,t2)= R(τ)
P.S.n tego rzedu dla każdego ciagu t1...tn i kazdego
przesunięcia τ wartości F. gęstości prawdopodobieństwa
sygnłu i sygnału przesuniętego względem niego o τ są
sobie równe czyli: f1...n(x1...n,t1...tn)=f1...n(x1...n,t1-
τ...tn-τ)
Szum biały
S.B. jest przykładem S. losowego, który jest bardzo
szybko zmienny. Jego F. autokorelacji jest delta Diraca
(czyli nie istniej powiaznie miedzy sąsiednimi w czasie
próbkami), a jego widmowa gęstość mocy jest stała w
funkcji częstotliwo. Sygnał ten jest idealnie
szerokopasmowy i nie daje sie on wytworzyć w
układach fizycznych.
Gausowski szum bialy
G.S.B. - GWN jest to szum biały którego rozkład
prawdopodobieństwa ma kształt krzywej gaussa, ma on
równa energie w całym paśmie częstotliwości.

I) aksjomaty iloczynu skalarnego
1) (x,y)=(y,x)*
2) (αx+βy,z)= α(x,z)+β(y,z)
3) x nie równe 0 =>(x,x)>0
x=0 => (x,y)=0

WARTOŚĆ ŚREDNIA
Parametry chwilowe mt=1/Nsuma(n=t-
N+1)do(t)z(x(n))
Parametry bieżące (adaptacja)

t

t

x

m

mt

)

1

(

1

α

α

−

+

=

−

α-stała adaptacji przy czym 0<α<1
METODY POMIARÓW SYSTEMÓW
1)metoda sinusoid. Axsin(2pifot+φx) a na wyjsciu
mamy Aysin(2pifot+φy) |H(fo)|=Ay/Ax,
argH(fo)=φy-φx
2)met. Impulsowa impuls najkrótszy jaki sie da na we i
duzej mocy na wyjsciu mamy h(t)z daszkiem
3) met. Szumowa moze byc stosowana w roznych
warunkach Ryx(τ)=Rxx(τ)*h(τ)->Syx(f)= Sxx(f)*H(f),
Ryy (τ)= Rxx (τ)*h(τ)*h(-τ)->Syy(f)= Sxx(f)*|H(f)|^2
a) z szumem białym Rxx(τ)=ro(τ), Sxx(f)=1,
Ryx(τ)=h(τ), Syx(f)=H(f), H(f)=Syx(f)/Sxx(f)