57. Jak definiowany jest problem estymacji, czego
dotyczy estymacja
Estymacja statystyk procesu stochastycznego jest
pewnym oszacowaniem tych statystyk; jest to
przybliżenie obarczone pewnym błędem. Problem
estymacji procesu stochastycznego występuje gdy
własności zmiennej losowej (sygnału losowego) nie
moga być dokładnie określone na podstawie
znajomości próbek sygnału; tak więc problem
estymacji polega na dobrym oszacowaniu sygnału na
podstawie skończonej ilości próbek. Każdy sygnał
można próbkować na wiele sposobów (zmieniając
okres próbkowania , ilość próbek itd), co z koleji
powoduje że istnieje wiele możliwości oszacowania
tego samego sygnału

∑

−

=

=

1

1

)

(

/

1

ˆ

N

n

n

x

N

x

58. Podaj i krótko omów składniki błędu estymacji
dowolnej statystyki procesu stochastycznego
Średnio kwadratowy błąd estymacji składa się z
obciążenia estymatora B i wariancji D^2, A-wielkość
estymowana, A z daszkiem - estymator,
MSE=ε=B^2(Azdaszkiem)+D^2(Azdaszkiem),

}

]

ˆ

{[

2

A

A

E

MSE

−

=

=

ε

, obciążenie estymatora-

}

ˆ

{

)

ˆ

(

A

E

A

A

B

−

=

, wariancja estymatora-

}

}]

ˆ

{

ˆ

{[

)

ˆ

(

2

2

A

E

A

E

A

D

−

=

Jeżeli

0

)

ˆ

(

=

A

B

to mamy estymator nieobciążony.

Im mniejsza wariancja tym lepsza jakość
odwzorowania sygnału (gdyż rozrzut jest mniejszy),
Są też zgodne, spełniają warunek

A

A

A

A

N

>

−

=>

=

>

−

∞

>

−

ˆ

0

}

|

ˆ

Pr{|

ε

, Są też efektywne-

osiągają granice Cramera Rao.
59. Opisz pojęcie poziomu ufności i przedział
ufności estymatora

,

ˆ

)

ˆ

(

,

1

)

(

α

=

=

∫

∫

A

d

A

p

dx

x

f

b

a

R

ś

ci

poziomufno

−

α

, [a,b]-przedział ufności

-Wynik estymacji z założonym prawdopodobieństwem
znajduje sie w przedziale ufności
-Poziom ufności - jest to poziom ufności, który sobie
zakładamy (np90%) i powstaje dla niego przedział
ufności w którym należy szukać wartości estymatora,
estymator zawiera sie w przedziale ufności z
określonym prawdopodobieństwem równym
poziomowi ufności.
60. Czy estymator jest wielkością deterministyczną
czy też losową, uzasadnić
E jest wielkością losową gdyż jest zmienną losową
posiadająca własny rozkład prawdopodobieństwa.
61. Podaj definicję i omów wariancję estymatora
Wariancja estymatora:

}

}]

ˆ

{

ˆ

{[

)

ˆ

(

2

2

A

E

A

E

A

D

−

=

Im mniejsza wariancja tym większa jakość
odwzorowania sygnału gdyż rozrzut jest mniejszy.
62. Podaj definicję i omów błąd obciążenia
estymatora
BOE: jest błędem systematycznym jest to różnica
między wartością średnią estymatora a wartością
dokladną.

}

ˆ

{

)

ˆ

(

A

E

A

A

B

−

=

A-wart. dokładna.

E{A}-wart. oczekiwana rozkładu estymatora
63. Podaj definicję estymatora wartości średniej
procesu

∑

−

=

=

1

0

)

(

/

1

ˆ

N

n

n

x

N

m

, N-ilość próbek

64. Podaj definicję estymatora funkcji gęstości
prawdopodobieństwa
EGP

)

/(

)

(

ˆ

W

N

Nx

x

f

⋅

=

gdzie N-ilość próbek, Nx-

ilość próbek w przedziale, W - szerokość przedziału
65. Podaj definicję estymatora wartości średniej,
właściwości tego estymatora
EWŚ:

∑

−

=

=

1

0

)

(

/

1

ˆ

N

n

n

x

N

m

1)nieobciążony

∑

−

=

=

=

1

0

)}

(

/

1

{

}

ˆ

{

N

n

m

n

x

N

E

m

E

2)zgodny

∑ ∑

−

=

−
=

−

=

1

0

1

0

2

2

)

(

1

)

ˆ

(

N

n

N

m

n

m

c

N

m

D

, jak zgodny to

0

)

ˆ

(

2

>

−

m

D

66. Podaj definicję estymatora funkcji korelacji
wzajemnej procesów
1)Estymator korelacji wzajemnej bez nakładkowania: -
------------------------ przy czym Ryx(k)=-Ryx(k) 2) z
nakładkowaniem
67. Podaj definicję estymatora funkcji
autokorelacji
-----------------------------------------
68. Podaj definicję estymatora funkcji kowariancji
wzajemnej procesów
nieobciążony-------------------- obciążony ---------------
------------(wzory dla stacjnarnych dyskretnych
szeregów czasowych o zerowej wartości oczekiwanej)
69. Co dla estymacji wynika z faktu, że
analizowany proces jest ergodyczny
Dlatego że konieczna jest możliwość uśredniania po
zbiorze w zastępstwie uśredniania po czasie; inaczej
mówiąc mżna dzięki temu operować na czasie
dyskretnym mierzonym dla skończonej liczby próbek
a nie na czasie ciągłym. Jeżeli proces jest stacjonarny
ergodyczny to: m=E{x(t)}(stacjonarność),

∑

−

=

∞

>

−

+

=

N

N

n

n

n

x

N

m

)

(

1

2

1

lim

(ergodyczność). Gdy

proces jest ergodyczny to na podstawie jednej
realizacji procesu z prawdopodobieństwem
wynoszącym jeden można wyznaczyć wszystkie
charakterystyki tego procesu.
70. Dlaczego estymacja statystyk procesu możliwa
jest tylko przy założeniu, że proces jest stacjonarny
ergodyczny patrz 69
71. Omów klasy estymatorów: estymatory
nieobciążone, estymatory zgodne

1)E nieobciążony

0

)

ˆ

(

=

A

B

(takie estymatory

najlepiej konstruować). E zgodny

A

A

A

A

n

n

>

−

=>

=

>

−

∞

>

−

∞

>

−

ˆ

0

}

|

ˆ

Pr{|

lim

ε

(dla

sygnałów o mierze o, ciągłych, stochastycznych)
72. Podaj i krótko opisz metody estymacji widma
sygnału losowego patrz 76 i 77 metoda Blackmana i
Cooley’a.
73. Różnica pomiędzy nieparametrycznymi i
parametrycznymi metodami estymacji widma
MNP: -nie zakładamy żadnego modelu sygnału - są to
metody prostsze niż parametryczne.(1)tw. Winea-
Chinczyna S(t)=FT{R(τ)}, 2)Blackmana

)}

(

)

(

ˆ

{

)

(

ˆ

m

w

m

R

FT

f

S

B

=

, 3) Najczęściej

stosowana metoda Cooley’a MP: -zakładamy model
sygnału -dokonujemy estymacji parametrów modelu -
dokonujemy estymacji statystyki parametru
74. Jakie są konsekwencje w odniesieniu do
wyznaczania statystyk procesu tego, że proces
stochastyczny jest ergodyczny. Patrz 69
75. Kiedy występuje problem estymacji statystyk
procesu stochastycznego? Patrz 57

76. Omów metodę Blackmana estymacji widma
sygnału stacjonarnego i ergodycznego
MB:

)}

(

)

(

ˆ

{

)

(

ˆ

m

w

m

R

FT

f

S

B

=

,

)

(

ˆ m

R

-estymator

funkcji autokorelacji, w(m)-okno (by zminimalizować
efekt obcięcia),

stosując okno zmniejszamy wariancję estymatora. -
metodę tę stosuje się rzadko ze względu na duży czas
obliczeń. -jest to metoda nieparametryczna.
77. Omów metodę Cooleya estymacji widma
sygnału stacjonarnego i ergodycznego
MC: -wykorzystuje tw. ergodyczne dla sygnału
ciągłego i dyskretnego.

2

|

)}

(

{

|

lim

)

(

t

x

FT

f

S

N

∞

>

−

=

estymator: 1)estymator

-ma fatalne właściwości, mimo to często
wykorzystywane -odchylenie standardowe równe
wartości estymatora
2

2

0

|

)}

(

)

(

{

|

)

(

ˆ

n

w

n

x

FT

f

S

=

-okienkujemy

sygnał, aby zmniejszyć wariancję, -jest to metoda
nieparametryczna
78. Omów znaną ci metodę estymacji widma
sygnału losowego patrz 76 lub 77
79. Narysować przykładową funkcję autokorelacji i
widmo mocy sygnału losowego wąskopasmowego



80. Narysować przykładową funkcję autokorelacji i
widmo mocy sygnału losowego sinusoidalnego.


Przeciek widma


Widmo nie idealneze względu na powielanie

idealny
81. Dlaczego transf. F. z realizacji procesu jest złym
estymatorem widmowej gęstości mocy procesu?
TFZRPJZEWGMP gdyż wariancja tego estymatora
jest bardzo duża.
82. Obszar zbieżności transformaty Z.
jest to obszar w którym istnieje transformata Z,
warunek zbieżności

∞

<

∑

∞

−∞

=

−

n

n

z

n

x

|

)

(

|

83. Splot w dziedzinie Z.
niech y(n)=x(n)*h(n)<-splot dyskretny, wówczas
X(z)=ZT{x(n)}, Y(z)=ZT{y(n)}, H(z)=ZT{h(n)}.
Splotowi w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie w
dziedzinie częstotliwości: Y(z)=X(z)·H(z)
84. Jak wpływa na transformatę Z przesunięcie
sygn. okresowego w czasie?
Przesunięcie w czasie: ZT{x(n-n0)}=X(z)z^(-n0)
85. Czym charakteryzuje się układ
minimalnofazowy, jeśli chodzi o rozkład zer i
biegunów?
Wszystkie zera i bieguny układu znajdują się
wewnątrz okręgu jednostkowego.
86. Jaka jest różnica między układami inercyjnymi
a nieinercyjnymi?
W układach inercyjnych odpowiedź nie występuje
natychmiastowo po pobudzeniu natomiast w układach
nieinercyjnych odpowiedź zależy tylko od pobudzenia
w danej chwili (zero czasu przejścia przez układ).
87. Jakie warunki musi spełniać częstotliwość
próbkowania, aby przy ograniczonym widmie
sygnału próbkowanie było bezbłędne?


Z twierdzenia Shannona-Kotielnikowa fp≥2fg -
częstotliwość próbkowania musi być co najmniej dwa
razy większa od granicznej częstotliwości widma
sygnału, by można było ten sygnał odtworzyć
bezbłędnie.
88. Jak definiowany jest średniokwadratowy błąd
estymacji i z jakich składników się składa? Patrz 58
89. Co to są zera i bieguny funkcji transmitancji
układu dyskretnego?
Są to miejsca zerowe wielomianów tworzących licznik
i mianownik funkcji transmitancji: ---

)

1

(

/

)

1

(

)

(

1

1

1

1

−

=

−

=

−

−

=

z

d

z

c

z

H

k

N

k

k

M

k

π

π

to zera transmitancji: ck:k=1...M, bieguny
transmitancji: dk:k=1...N.
90. Podać zależność na splot dyskretny dwóch
szeregów czasowych o długości N.

∑

=

−

=

N

k

k

n

b

k

a

n

c

0

)

(

)

(

)

(

91. Tw. Shanona-Kotielnikowa
Sygnał ciągły może być ponownie odtworzony z
sygnału dyskretnego, jeżeli był próbkowany z
częstotliwością co najmniej dwa razy większą od
granicznej częstotliwości swego widma: fp≥2fg

92) Rodzaje sygnałów sygnałów ich widm.
Ciągły nieokresowy -> ciągły nieokresowy
Ciągły okresowy -> dyskretny nieokresowy
dyskretny nieokresowy -> Ciągły okresowy
dyskretny okresowy -> dyskretny okresowy
93) Rodzaje filtrów
dolnoprzepustowy górnoprzepustowy
pasmowoprzepustowy pasmowo zaporowy
różniczkujący całkujący
94)metody estymacji widma inne niż Blackmana i
Colley’a
-metoda uśredniania (periodogramy) – dzielimy sygnał
na części i dokonujemy uśrednienia co zmniejsza
wariancję estymatora, po podzieleniu sygnału
uzyskujemy mniej prążków, stosując FFT bardzo
przyspieszamy obliczenia.
-metoda estymacji Burga – zakładamy że sygnał jest
autoregesyjny. Za pomocą poprzednich próbek
możemy przewidzieć następne wartości próbek
sygnału (prognoza w przód) Prognoza w przód:

∑

=

−

+

=

=

m

j

j

t

j

N

m

t

y

a

t

y

1

...

1

,

ˆ

)

(

ˆ

. Prognoza

w tył:

∑

=

+

−

+

=

=

m

j

j

t

j

m

N

m

t

y

a

t

y

1

...

1

,

)

(

(

(

,

musi być spełniona zależność

j

j

a

a

ˆ

=

(

; j=1…m,

Widmo Burga

)

|

)}

(

{

/(|

1

)

(

ˆ

2

t

b

FT

f

S

Bu

=

95)Detekcja
wybieray jeden z wyników w oparciu o
prawdopodobieństwo i oceniamy trafność wyboru;
wykorzystujemy błąd średni kwadratowy, operujemy
wyłącznie na prawdopodobieństwie S(t,θi)=Si(t),
i=1…m. estymata θ(z daszkiem). y(t)=Si(t)+n(t).
Ważne jest θi – jeden z możliwych stanów. Spośród
wyników wybieramy ten o największym
prawdopodobieństwie. P(θ=θi|y(t)); i=1…m.
Prawdopodobieństwo można obliczyć dla m
możliwych stanów. 1)koszt detekcji Ho
C(Ho|y)=CsP(Ho|Y), Cs-koszt straty. 2)koszt detekcji
H1 C(H1|y)=CfP(H1|Y)-fałszywy alarm, Cf-koszt
fałszywego alarmu