Definicje norm i iloczynów skalarnych

Przestrzeń R²

2

2

⊕

|| x = ∑ 2

||

x

( x, y) = ∑ x y

i

i

i

i =1

i =1

Przestrzeń R^n

n

n

( x, y)

∑ ⊕

=

|| x = ∑ x 2

||

x y

i

i

i

i =1

i =1

Przestrzeń L²

∞

∞

( x, y)

∑ ⊕

=

|| x = ∑ 2

||

x

x y

i

i

i

i =1

i =1

Przestrzeń L²(0,T)

T

| x | = ∫ x 2 t

( ) dt

0

T

( x, y)

∫

⊕

= x t() y t() dt

0

Przestrzeń L²(-∞, ∞)

∞

|| x ||=

∫ x 2( t) dt

−∞

∞

( x, y)

∫

⊕

= x( t) y t() dt

−∞

Parametry sygnałów deterministycznych

Sygnały ciągłe, sygnały dyskretne i cyfrowe

1) energia sygnału nieskończona w czasie

∞

E = ∫ x 2

( t) dt E = ∑ x 2

( n)

R

n= −∞

2) OGRANICZONA W CZASIE (CHWILOWA)

t

t

E = ∫ x 2 τ

( ) τ

d

E

x 2 ( n)

t =

∑

t T

−

n= t − N +1

3) MOC SYGNAŁU NIOESK. W CZASIE

t

1

L = lim

∫ x 2 τ( ) τ

d

T −>∞

T

2 t− T

1

L

lim

x 2

( n)

t =

∑ Nn=−

N −> ∞ 2 N +

N

1

4) OGRAN. W CZASIE (CHWILOWA)

t

1

L =

x

∫ 2 τ() τ

d

T t T

−

1

L

x 2( n)

t =

∑ tn= t− N+

N

1

5) wartość średnia(skład. Stała) niesk.

1

m = lim

∫ T x t() dt

T −>∞

− T

T

2

1

m = lim

∑ N x( n)

n =−

N −>∞ 2 N +

N

1

6) wartość średnia(skład. Stała) skończ.

t

1

m t

( ) =

x t

( d

) t

∫

T

t − T

1

m

x( n)

t =

∑ tn= t− N+

N

1

7) WARIANCJA

2

δ =

1

v = lim

∫ T [ x t() − m 2] dt

T − >∞

− T

T

2

1

v = lim

∑ N [ x( n) − m 2]

n =−

N −>∞ 2 N +

N

1

Sygnał

Jest to proces zmian w czasie pewnej wielkości

fizycznej, dlatego tez za modele matematyczne

sygnalu przyjmujemy funkcje których argumentem

jest czas t. Wyróżniamy rozne typy sygnałow –s.

jednowymiarowe(mowy, zmiana cisnienai względem

czasu), dwuwymiarowe (nieruchomy obraz),

trójwymiarowe(obraz zmienny w czasie-wideo).

Przetwarzaniu sygnałów z pojeciem sygnalu

utożsamiac będziemy jego model matematyczny.

Model sygnału losowego

Modelem losowym jest rzeczywisty lub zespolony

proces stochastyczny (w szczególnym przypadku

zmienna losowa), model ten opisuje rzeczywistość

dokładniej niż model deterministyczny (m.in. w

przeciwieństwie do niego uwzględnia szumy). W

modelu losowym nie jesteśmy jesteśmy stanie

określić wartości sygnalu w dowolnej chwili czasu,

możemy natomiast określić pewne

prawdopodobieństwo wystapienia wartości

osiaganych przez sygnał. Przykładowo dla sygnalu

sinusoid. Model

deterministyczny: x( t) = A sin( 2π ft + ϕ )

model losowy:

x( t) = Aξ sin(2 f

π t

ξ +ϕξ) + n( t)

Sygnał losowy nośnikiem informacji a

deterministyczny nie

Z punktu widzenia odbiorcy, sygnał przekazuje

informacje jedynie wówczas ma dla odbiorcy

charakter losowy, gdy odbiorca nie jest w stanie

przewidzieć zachowania i wartości sygnalu, a jedynie

prognnozowac to z pewnym prawdopodobieństwem.

Ponieważ dla sygnału deterministycznego odbiorca

może wyznaczyc jego wartość i parametry w

dowolnej chwili czasu t to tez nie niesie on

informacji.

Roznice miedzy S. Ciągłym dyskretnym i

cyfrowym(sygnał x w funkcji czasu t)

s. ciagłe SA ciągłymi funkcjami czasu, spełniającymi

założenie tεR, xεR. S. dyskretne czas jest nie ciągły,

nie występują one w rzeczywistości spełniaja

założenie tεZ, xεR. S. cyfrowe zarówno czas i

wartośc sygnału SA nieciągłe spełniaja założenie tεZ,

xεZ (mogą przyjmowac tylko określone wartości)

Przestrzeń zupełna

P.Z. nazywamy przestrzen metryczną, w której każdy

ciąg Cauchyego ma granice i granica ta jest

elementem przestrzeni, oraz w której wszystkie

wyniki operacji na jej elementach również naleza do

tej przestrzeni. Przykładem P.Z. z metryką

euklidesową jest zbiór liczb rzeczywistych. R:

ro(x,y)=|x-y|

Przestrzen Unitarna

P.U. zwiemy przestrzeń liniowa X, w którj określony

jest iloczyn skalarny i unormowaną przez norme

||x||=sqrt(x,x), xεX. Ponieważ iloczyn skalarny

indukuje norme, a ta z kolei metryke, wiec przestrzeń

unitarna jest zarazem przestrzenią metryczną.

Przestrzeń Hilberta

P.H. jest przestrzenią zupełną liniową (w przestrzeni

liniowej zdefiniowane SA dwie operacje: dodawanie

element. Przestrzeni i mnożenie element. Przestrzeni

przez stałą), unitarną (w P. unitarnej określony jest

iloczyn skalarny i jest ona unormowana przez norme

||x||=sqrt(x,x), xεX.) a skoro unitarną to również

metryczną.

Przestrzeń L²

P.L² jest przestrzenią metryczną i zupełną,

znormalizowaną (dla przedziału (0,T) norma

T

2

| x | =

dla przedziału (-∞,∞) norma

x t

( ) dt

∫

0

2

=

, całkowalna w

| x |

x t

( ) dt

∫∞−∞

kwadracie(ale tylko L²(0,T)) (całka kwadratu jest

skończona), jest ona również P. sygnałow ciągłych.

Moment centralny r-tego rzedu dla S.

deterministycznego ciągłego

gdzie mx-moment

r

c

( t

m ) x t

( ) dt

x = ∫

−

r

x

R

zwykły r-tego rzędu określony wzorem

r

m

t x t

( ) dt

x = ∫

r

R

Jakie operacje na elementach P. definiowane sa w

przestrzeni liniowej

W przestrzeni liniowej definiowane sa 2 operacje na

elementach P. sa to: -dodawanie elementów

przestrzeni(+) XxX->X -mnożenie elementów P.

przez stałą(*) FxX->X; F- sigma ciało zbiór

wszystkich liczb R lub Z.

Jaki zbiór elementów p. Może stanowić bazę p.

(np. X^n). Z ilu elemen. Składa sie baza x^n.

Niech X^n będzie liniową przestrzenią n-wymiar.

zbiór elemen. {xi:i=1...n}będący zbiorem liniowo

niezależnym nazywamy bazą przestrzeni. Z

powyższego prosto wynika że baza przestrzeni X^n

sklada sie z n elemen.

Baza ortogonalna i nieortogonalna

Baza O. od bazy N.O. rozni sie tym iz dla bazy O.

rozwiazanie układu równań Aα=a jest duzo prostsze

faktem iż macierze A oraz A-¹ są w przypadku bazy

O. macierz. jednostkowymi, oraz tym że dla każdego

elementu bazy O. norma jest jednostkowa tj. ||xi||=1

dla i=1,2...n , oraz (xi,xj)=0, i≠j, i,j=1,2...n

Warunek ortogalnosci dla 2 sygnałów w P.

Sygnałów

Dwa sygnały w P. sygnałów są O. jezeli ich iloczyn

skalarny jest równy zeru czyli

2

2

2

⊥ <=>

= => +

=

+

x

y

( ,

x )

y

0

|| x

y || || x ||

|| y ||

uogulnienie wzoru Pitagorasa na dowolna przestrzeń

unitarną.

Zbiory ortogonalne zupełne

1)Trygonometryczny szereg Fouriera- całkowany na

odcinku L²(0,T)

1

2

2π

2

2π

{

,

cos( n

t,

sin( n

t),... n = ,

1 .

2 ..}

T

T

T

T

T

2)zespolony szereg Fouriera - zbiór zupełny w

L²(0,T)

π

1

2

jn

t

{

e T n = ± ,

1 ± .

2 ..}

T

3)szereg Shannona - zbiór zupełny w przestrzeni dla

sygnałów dolnoprzepustowych L²(-

∞,∞)

4)funcje

fmSa

f

π m − n

t

n = ± ±

{ 2

(2

(

)),...

,

1 2...}

2 fm

Haara 5)funkcje Walsha 6) wielomiany

Lagrange’a

2 n +1

L (−

)

1

,

1 {

Pn( t),... n = ,

1 .

2 ..}

2

2

Norma elementu przestrzeni sygnałów podac def.

Norma elementu przestrzeni to odwzorowanie

elementu przestrzeni w zbiór liczb rzeczywistych

dodatnich plus zero

+

.

(|| • ||: x− > R ∪ }

0

{ )

Norma musi spełniac nastepujące aksjomaty:

1) jezeli ||x||=0 => x= (x jest elementem zerowym

przestrzeni)

2) ||αx||=||α||||x||

3) ||x+y||≤||x||+||y||

przykładowa def: dla przestrzeni L²:

2

|| x | =

|

∑∞ x

i =1 i

Procedura Gramma-Schmidt’a

1) {xi:i=1...n} zb. Nieortog. 2) {yi:i=1...n} zb.

Ortogon. 3) {zi:i=1...n} zb. Ortonor. P.G-S. słuzy do

sprowadzenia bazy nieortogonalnej do ortogonalnej.

Przebiega ona następująco: 1) mamy baze

nieortogonalną {x1...xn} 2) tworzymy na jej

podstawie baze ortogonalna {y1...yn} 3) na

podstawie utworzonej bazy ortogonalnej tworzymy

baze ortogonalną {z1...zn}.. Procedura ta jest

procedurą iteracyjną w której

y

n

n

z =

y =

1

x − ∑ − ( x , z z

)

n

n

n

k

k

k

k

=1

|| y ||

n

Czym róznią sie algorytmy wyznaczania

dyskretnej reprezentacji w przypadku bazy

ortogonalnej i nieortogonalnej

Przy wyznaczaniu dyskretnej reprezentacji sygnału

otrzymujemy układ n skalarnych równań liniowych z

niewiadomymi αi; układ taki mozna zapisac w

postaci macierzowej Aα=a. W przypadku bazy

nieortogonalnej jego zasadniczą wada jest fakt iz

nalezy obliczyć wszystkie iloczyny skalarne po obu

stronach powyzszgo wyrazenia, oraz iż do

rozwiaznia rownania α=A-¹a wymagane jest

przeprowadzenie zmudnej operacji odwracania

macierzy A. W przypadku bazy ortogonalnej

wygodnie jest zastosowac odpowiednią część

procedury Gramma-Schmidt’a w wyniku której z

bazy ortogonalnej tworzona jest baza ortonormalna

(czyli unormować ją) co z kolei sprawi iz zarówno

macierz A jak i A-¹ będą macierzami jednostkowymi

a ostatecznie sprawi iz α=a i zatem ze αi=(x,xi) dla

i=1...n.

Dyskretna reprezentacja sygnałów w kategorii P.

Sygnałów

Jesli mamy ustaloną bazę {x1,x2...xn}

oraz

to ciąg α={α1...αn} jest

x t

( ) = ∑ n a x t

( )

i =

i

i

1

dyskretną reprezentacja sygnału przy danej bazie.

Dla sygnału stochastycznego dyskretna reprezentacje

mozna traktować jako odwzorowanie tego sygnału w

odpowiedni ciąg zmiennych losowych.

Różnice między dyskretną reprezentacja sygn.

Determinist. i syg. losowego

Dla syg. Losowego dyskretna reprezentacja jest

odwzorowniem sygnału nie w zwykły ciag

α={α1...αn} lecz w ciąg odpowiednich zmiennych

losowych (tzn. w przestrzen Γ^n lub Γ^∞)