Podać def funkcji koelacji wzajemnej pomiedzy
dwoma procesami niestacjonarnymi podac znaczenie
oznaczeń
Rxy(τ)=calkod0do(t- τ)(x(t)y(t+ τ)d τ)
Czy funkcja korelacji wzajemnej dwóch procesów
jest wielkościa losową czy deterministyczną
Funkcja korelacji dwóch procesów jest wielkością
deterministyczną
Kiedy funkcja autokorelacji procesu jest funkcja
tylko jednego czasu
Wtedy gdy uklad jest słabo stacjonarny (stacjonarny w
szerszym sensie). Wartość średnia max procesów słabo
stacjonarnych jest stala a funkcja autokorelacji Rx
zależy tylko od przesunięcia τ czyli mx(t1)=mx oraz
Rx(t1,t1+ τ)=Rx(τ)
Własciwosci funkcji autokorelacji rzeczywistego
procesu stacjonarnego. Czy funk. Autokorelacji jest
wielkoscia deterministyczną czy losowa?
1) Jest funkcj. parzystą R(τ)=R(-τ) 2) ma makisimum w
zerze |R(τ)|≤R(0), R(0)= τ² 3) funkcja autokorelacji
procesu jest wielkoscia deterministyczną





Jakim wzorem wyraża się transformacja falkowa,
omówić
T.F jest funkcją dwóch zmiennych niezależnych i jest
definiowana jako iloczyn skalarny S. i rodziny falek.
Wyraża się wzorem W(a,b)=(x,ψa,b) x-analizowany
sygnał. T.F. pozwala na przeniesienie sygnału z układu
czas-wartość do układu czas-częstotliwość.
Zasada nieoznaczoności
Z.N. w T.F. ma postać nastpującą: ponieważ każda falka
odpowiada za pewien obszar płaszczyzny(okno
czasowo-częstotliwościowe), dobrze jest konstruować
falki bardzo precyzyjnie okrelające czas i częstotliwość,
o małym oknie czasowo-częstotliwosciowym. W
praktyce okazuje sie, iz okno to nie może być
nieskończenie małe.z zasady nieoznaczoności 2π∆t
∆f≥½. Nie da się jednocześnie dokładnie określić
częstot. i czasu.






Transformacje czasowo-częstotliwościowe w t.f.
Dla rodziny falek:

)

(

1

)

(

,

a

b

a

t

a

t

b

a

−

=

ψ

ψ

.

a-wsp. skali, powoduje zmianę czasu trwania
(„rozciagniecie” lub „sciaskanie”) falki, b-wsp.
przesuniecia, zmienia położenie na osi czasu. t/a-
przesunięcie w dziedzinie częstotliwości. b/a-
przesunięcie w dziedzinie czasu. S. tniemy na kawałki
(ramki), dla każdej ramki liczymy tzw. Widmo Gabora
S.gab(f,t)=S.gab(nF,mT)=|Cm,n|^2.
Okno czasowo-częstotliwosciowe w t.f.
Jest to pewien obszar czasu i częstotliwosci na
plaszczyznie, za który odpowiada konkretna falka

df

f

f

f

ab

f

ab

)

(

ˆ

||

ˆ

||

1

2

2

Ψ

=

∫

ψ

dt

t

t

t

ab

R

)

(

||

||

1

2

2

Ψ

=

∫

ψ

T. Czasowo-częstotliwosciowym poddaje sie sygnaly
stacjonarne czy niestacjonarne
T.C-C. poddaje się sygnały niestacjonarne.
Różnica między dyskretną a ciągłą T.F.
W(a,b)=(x,ψa,b) 1) dla ciagłej T.F. a,bεR; a≠0 2) dla
dyskretnej T.F. a=2^(-m), b=n*a; m,nεZ.
Pojecie położenia F. i rozciągliwości F. w dziedzini C.
i C.
Położenie falki zależne jest od współczynnika
przesunięcia b zaś rozciągliwość zależy od współ. Skali
a, we wzorze

)

(

1

)

(

,

a

b

a

t

a

t

b

a

−

=

ψ

ψ

Realizacja procesu stochstycznego
Dysponując falkową transformatą Fouriera:

)}

(

{

)

(

ˆ

t

FT

f

ψ

ψ

=

)

(

|

|

)

(

ˆ

2

,

f

e

a

a

t

fb

j

b

a

ψ

ψ

π

−

=

możemy określić położenie i rozciągłość falki: 1)
Położenie na osi czasu:

xdt

t

t

t

R

ab

∫

=

)

(

||

||

1

2

2

ψ

ψ

2)

Rozciągłość na osi czasu:

dt

t

t

t

R

b

a

b

a

t

∫

−

=

∆

)

(

)

(

||

||

1

)

(

2

,

2

2

,

2

ψ

ψ

1)

3)Położenie na osi częstotliwości:

df

f

f

f

R

b

a

b

a

∫

=

)

(

ˆ

||

ˆ

||

1

2

,

2

,

ψ

ψ

4) Rozciągłość na

osi częstotliwości:

df

f

f

f

R

b

a

b

a

t

∫

−

=

∆

)

(

ˆ

)

(

||

ˆ

||

1

)

(

2

,

2

2

,

2

ψ

ψ

Realizacja procesu stochastycznego
P.S. jest zmienną dwóch zmiennych niezależnych. P.S.-
>

)

(

|

)

,

(

t

x

t

x

const

=

=

ξ

ξ

<-realizacja P.S. Jeżeli

ustalimy zadanie elementarne ξεS (przestrzeń
propabilistyczna) to mamy do czynienia z
deterministyczną funkcją czasu, którą nazywamy R.P.S.
Wszystkie realizacje razem wzięte stanowią wartość
procesu.
Def. Autokorel. Syg. Deterministycznego

∫

+

=

τ

τ

τ

d

t

x

t

x

R

xx

)

(

)

(

)

(

Podobieństwa i różnice między zmien. Losową a
proces. Stochast.
Podstawowa różnica między Z.L. a P.S. jest taka ze P.S.
jest funkcją dwóch zmiennych

)

,

(

ξ

t

x

, a Z.L. jest

funkcja jednej zmiennej

)

(

ξ

x

. Z.L. jest szczególnym

przypadkiem P.S., gdy przyjmiemy t=const. P.S.-
>

)

(

|

)

,

(

ξ

ξ

x

t

x

const

t

=

=

<-Z.L.

Proces ergodyczny
P. jest E. jeśli na podstawie jednej realizacji procesu z
prawdopodobieństwem 1 mozna wyznaczyć wszystkie
statystyki i parametry tego P. Oznacza to że każda
realizacja jest pełną reprezentacja P. jeśli uśrednienie po
zbiorze możemy zastąpić uśrednieniem po czasie to to
jest P.E.
Def. Statystyki i-rzędu
S. I-rzędu 1)dystrybuanta F(x,t)=Pr{x(t)≤x}, Pr-
prawdopodobienstwo

∫

−

∞

>

−

•

=

•

T

T

T

dt

T

E

2

1

lim

}

{

2) gęstość prawdopoob.- określa P. wystąpienia danego
sygnału f(x,t)=(∂F(x,t))/( ∂x) 3)wartość średnia ozn. η
lub µ lub m(t) jest to średnia ważona a wagami jest
prawdopodob. wystąpienia danej wartości, m(t)=E{x(t)}
jest to średnia ważona prawdopodobieństwa

x

d

t

x

xf

t

m

R

∫

=

)

,

(

)

(

∫

−

∞

>

−

=

T

T

T

dt

t

x

T

m

)

(

2

1

lim

∑

=

=

1

)

(

i

i

i

x

p

t

m

Def. Statystyki II-RZĘDU
1) dystrybuanta jest to P. takie że w chwili czasu t1
przyjmuje wartości mniejsze od x1 i dla czasu t2 wart.
mniej. od t2. F(x1,x2,t1,t2)=Pr(x(t1)≤x1, x(t2)≤x2)
2)gęst. prawdopod.

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

x

x

t

t

x

x

F

t

t

x

x

f

∂

∂

∂

=

3)f.

autokorelacji R(t1,t2)=E{[x(t)-
m(t)]^2}

∫

=

2

^

2

1

)

2

1

,

2

,

1

(

2

1

)

2

,

1

(

R

dx

dx

t

t

x

x

f

x

x

t

t

R

4)funkcja autokowariancji C(t1,t2)= E{[x(t1)-
m(t1)][x(t2)-m(t2)]} 5)wariancja σ^2= E{[x(t)-
m(t)]^2} 6)widmowa gęstość mocy-
S(f1,f2)=FT{R(t1,t2)}
Def. Statystyki wyższych rzędów
1)dystrybuanta
F(x1,x2...xn,t1,t2...tn)=P{x(t1)≤x1...x(tn)≤xn}
2)gęstość prawdopodobieństwa

n

n

n

n

n

n

x

x

t

t

x

x

F

t

t

x

x

f

∂

∂

∂

=

...

)

...

,

...

(

)

...

,

...

(

1

1

1

1

1

3)momenty
m(t1...tn)=E{x(t1)...x(tn)}
4) polispektra
S(t1...tn)=FT{m(t1...tn)}