1. Zdefiniuj sygnał okresowy
   z czasem ciągłym. Zapisz zespolony szereg Fouriera tego sygnału i podaj wzór na współczynniki szeregu. Objaśnij znaczenie użytych symboli.

zespolony(wykładniczy) szereg Fouriera , gdzie okres podstawowy pulsacja

Sygnały okresowe to sygnały, dla których w dowolnej chwili czasu t prawdziwa jest zależność: x(t)=x(t+kT), gdzie T jest okresem sygnału, a k - dowolną liczbą całkowitą. Wartości przyjmowane przez sygnały okresowe powtarzają się co czas T. Najbardziej znanym sygnałem okresowym jest przebieg sinusoidalny postaci
, gdzie A oznacza amplitudę, ω - pulsację, f - częstotliwość sygnału wyrażona w hercach, a
- fazę sygnału wyrażoną w radianach.

X(t) - postać naturalna sygnału


, gdzie


2. Zdefiniuj widmo (zespolone) sygnału okresowego
   oraz widma: amplitudowe i fazowe. Jaka jest najistotniejsza cecha widma sygnału okresowego?

Widmo sygnału okresowego def się jako zbiór współczynników jego rozwinięcia w zespolony szereg Fouriera. Widmo amplitudowe sygnału okresowego def się jako zbiór modułów a widmo fazowe jako zbiór argumentów tych współczynników

Widmo sygnału okresowego
amplitudowo fazowe

CECHA widma: widmo amplitudowe i fazowe opisują odpowiednio gęstość amplitudy i fazy elementarnych składowych harmonicznych sygnału w funkcji pulsacji ω. Właściwość parzystość widma amplitudowego oraz nieparzystość widma fazowego: . Jeżeli sygnał jest parzysty, jego widmo jest rzeczywiste i parzyste; jeżeli sygnał jest nieparzysty, widmo jest urojone i nieparzyste.


- widmo amplitudowe


- widmo fazowe

Reprezentacja biegunowa




3. Zdefiniuj przekształcenie Fouriera ciągłego (analogowego) sygnału
   i przekształcenie do niego odwrotne. Oblicz transformatę Fouriera sygnału prostokątnego i narysuj widmo.

Przekształcenie Fouriera sygnału x(t) jest zdefiniowane całką:


, gdzie zmienna
jest pulsacją. // Gdy obliczymy ww. całkę dla poszczególnych wartości pulsacji otrzymamy wartości zespolone
W rezultacie całka ta przyporządkowuje sygnałowi x(t) funkcję zespoloną
zmiennej rzeczywistej ω. Przyporządkowanie to będziemy oznaczać
. Funkcję
nazywamy transformatą Fouriera sygnału x(t).

Odwrotne przekształcenie Fouriera jest zdefiniowane całką:


Całka ta przyporządkowuje funkcji zespolonej
sygnał x(t). Przyporządkowanie to będziemy oznaczać x(t) = F^-1[X(ω)]. Sygnał x(t) nazywamy odwrotną transformatą Fouriera lub retransformatą Fouriera. Transformata Fouriera impulsu prostokątnego
:





Widzimy, iż widmo amplitudowe impulsu prostokątnego ma postać:
. Widmo fazowe jest przedziałami stałe i w poszczególnych przedziałach przybiera wartości 0 lub


4. Jaka jest różnica pomiędzy transformacją (przekształceniem) i transformatą?

Przekształcenie Fouriera sygnału x(t) jest zdefiniowane całką:
, gdzie zmienna
jest pulsacją. Gdy obliczymy ww. całkę dla poszczególnych wartości pulsacji otrzymamy wartości zespolone
W rezultacie całka ta przyporządkowuje sygnałowi x(t) funkcję zespoloną
zmiennej rzeczywistej ω. Przyporządkowanie to będziemy oznaczać
. Funkcję
nazywamy transformatą Fouriera sygnału x(t).

5. Znajdź i naszkicuj widmo sygnału
   .

Transformata sygnału wykładniczego malejącego:








6. Zapisz 5 zapamiętanych właściwości przekształcenia Fouriera i napisz ich nazwy.

1. Tw. o liniowości:
   Przekształcenie Fouriera jest operacja liniowa, tzn. widmo sygnału będącego kombinacja liniowa pewnych sygnałów jest kombinacja liniowa o tych samych współczynnikach widm tych sygnałów. Właściwość liniowości wynika wprost z definicji prostego przekształcenia Fouriera.

2. Tw. o symetrii
   Z twierdzenia tego wynika, ze przy przekształceniu Fouriera kształt sygnału i widma jest cecha wymienna, tzn. jeżeli sygnał o kształcie x(t) ma widmo X(ω), to sygnał X(t) o kształcie tego widma ma widmo o kształcie sygnału pierwotnego, odbite zwierciadlanie względem osi rzędnych i pomnożone dodatkowo przez 2_. Właściwość ta jest jednym z przejawów dualizmu, jaki występuje miedzy dziedzina czasu a dziedzina częstotliwości.

3. Tw o zmianie skali
   Zmianie skali czasu sygnału, a wiec jego „rozciągnięciu” (a > 1) lub „ściśnięciu” w czasie (a < 1), towarzysza w dziedzinie częstotliwości dwa efekty. Rozciągniecie sygnału w czasie oznacza jego spowolnienie. Zmniejszają się tym samym prędkości jego zmian. Widmo skupia się wówczas wokół mniejszych pulsacji i jednocześnie gęstość widmowa w tym zakresie proporcjonalnie wzrasta. W przypadku ściśnięcia sygnału, efekty są przeciwne.

4. Tw o przesunięciu w dziedzinie czasu
   Opóźnienie sygnału w czasie (t₀ > 0) lub jego przyspieszenie (t₀ < 0) odpowiada mnożeniu widma przez czynnik
   . Widmo amplitudowe nie ulega przy tym zmianie, a widmo fazowe zmienia się o składnik −ωt₀. Widmo fazowe maleje (t₀ > 0) lub rośnie (t₀ < 0) liniowo w funkcji pulsacji z szybkością proporcjonalna do wartości bezwzględnej przesunięcia t₀. Wnioski te są w pełni zgodne z intuicyjna interpretacja operacji przesunięcia sygnału, która nie zmienia struktury amplitudowej sygnału, a wpływa jedynie na jego strukturę fazowa.

5. Tw. różniczkowaniu w dziedzinie czasu
   Różniczkowaniu sygnału w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie jego widma przez jω w dziedzinie częstotliwości. Operacja ta zwiększa gęstość widmowa

sygnału w zakresie dużych pulsacji.

6. Tw. całkowaniu w dziedzinie czasu
   Całkowaniu sygnału w dziedzinie czasu odpowiada dzielenie jego widma przez jω w dziedzinie częstotliwości. Całkowanie sygnału uwypukla fragmenty jego widma z zakresie małych pulsacji i zmniejsza gęstość widmowa w zakresie dużych pulsacji.

7. Tw. o splocie w dziedzinie czasu
   Twierdzenie to odgrywa kluczowa role w zagadnieniach przetwarzania sygnałów przez układy liniowe. Orzeka ono, ze splataniu sygnałów w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie ich widm w dziedzinie częstotliwości. Tym samym z reguły złożona obliczeniowo operacje na sygnałach można zastąpić prosta operacja na ich widmach.

8. Tw. o splocie w dziedzinie częstotliwości
   Mnożeniu sygnałów w dziedzinie czasu odpowiada splatanie ich widm w dziedzinie częstotliwości. Zauważmy, ze korzystając z tego twierdzenia można dowieść twierdzenia o modulacji. Wystarczy w tym celu przyjąć, ze jednym z mnożonych sygnałów jest sygnał harmoniczny:
   , cosω₀t lub sinω₀t. Twierdzenie o splocie w dziedzinie częstotliwości może być także sformułowane w bardziej ogólnej formie:
   

9. Uogólnione tw Rayleigha
   przekształcenie Fouriera można traktować jako odwzorowanie przestrzeni
   sygnałów w przestrzeń
   transformat. Twierdzenie Rayleigha orzeka, ze (z dokładnością do współczynnika
   ) odwzorowanie to zachowuje iloczyn skalarny w tych przestrzeniach, tzn. iloczyn skalarny dwóch sygnałów w przestrzeni
   jest równy iloczynowi skalarnemu ich widm w przestrzeni
   podzielonemu przez
   .

7. Zdefiniuj energię sygnału impulsowego. Jakimi sposobami można ją obliczyć? (Wzór Parsevala!)

Energią analogowego sygnału deterministycznego x(t) nazywamy wielkość:
. Energia i moc sygnałów zespolonych są zdefiniowane identycznie jak w przypadku sygnałów rzeczywistych, z tym, że zamiast kwadratu sygnału
należy podstawić kwadrat modułu
. Twierdzenie Parsevala inaczej twierdzenie o energii wynika z tw Rayleigha przy podstawieniu y(t)=x(t).
.

Widma dla Delty Diracka: Widmo zespolone i amplitudowe takie samo: Dla widma fazowego tak samo, tylko krecha pozioma na osi omega leży.

8. Zdefiniuj widma sygnału impulsowego: zespolone, amplitudowe i fazowe. Zilustruj to dla dowolnie wybranego sygnału impulsowego
   .,

Widma sygnału impulsowego:

ZESPOLONE:


AMPLITUDOWE:


FAZOWE:


9. Czym się charakteryzują transformaty Fouriera w sensie granicznym? Podaj dwa przykłady odpowiednich sygnałów i ich transformat.

Przekształcenie Fouriera w sensie granicznym: Założenie: mamy sygnał x(t), taki, ze X(jω) nie istnieje, wtedy tworzymy sygnał transformaty w sensie zwykłym:
, taki, że
. Ponieważ istnieje
, to
jest parą zwykłą transformaty Fouriera. Jeżeli
oraz
, to para transformat
jest parą transformat F w sensie granicznym. Przykład:






X(jω) w sensie zwykłym nie istnieje


czyli
istnieje




Transformata Fouriera w sensie granicznym jest to uogólnienie stosowane celu rozszerzenia zakresu stosowalności przekształcenia Fouriera, i w konsekwencji rozszerzenia analizy częstotliwościowej na sygnały nie mające F-transformaty w sensie zwykłym. Koncepcja tego przekształcenia polega na konstrukcji odpowiednich ciągów aproksymujących w dziedzinie czasu i dziedzinie częstotliwości i zdefiniowaniu pary transformat Fouriera jako pary granic tych ciągów. Definicja pary transformat w sensie gran: Jeżeli
dla każdego t oraz
dla każdego
, to parę
nazywamy parą transformat Fouriera w sensie granicznym

10. Podaj definicję delty Diraca i przytocz poznane trzy właściwości delty Diraca.

Definicja:






Impuls Diraca jest modelem nierealizowalnego fizycznie

nieskończenie wąskiego sygnału, o nieskończenie dużej

amplitudzie i polu równym 1. W tzw. elementarnej teorii

dystrybucji dystrybucje Diraca rozumie się jako granicę

ciągu
zwykłych funkcji
, gdzie
jest parametrem,

spełniającego warunki:
. Ciąg
jest nazywany ciągiem aproksymującym dystrybucję
.

WŁAŚCIWOŚCI:

1. Właściwość próbkowania
   W wyniku mnożenia dowolnego sygnału przez impuls Diraca
   występujący w chwili t = t₀ otrzymujemy impuls Diraca w tej samej chwili o polu równym wartości (próbce) tego sygnału w chwili t = t₀. Wyrażenie
   po prawej stronie równości można przyjąć za reprezentacje dystrybucyjna próbki x(t₀).

2. Właściwość filtracji
   Właściwość ta jest konsekwencja właściwości próbkowania. Całka iloczynu dowolnego sygnału x(t) i impulsu Diraca
   występującego w chwili t =t₀ jest równa próbce x(t₀) tego sygnału w tej chwili.

3. Związki ze skokiem jednostkowym
   
   Różniczkowanie i całkowanie należy tu rozumieć w sensie dystrybucyjnym, tj. jako operacje na odpowiednich ciągach aproksymujących, a otrzymana równość -

jako związek miedzy granicami tych ciągów.

4. Właściwość splotu
   Splot sygnału x(t) z dystrybucja Diraca
   daje w wyniku ten sam sygnał x(t). Wynika stad, że
   jest elementem identycznosciowym operacji splotu. W przypadku splatania z dystrybucja przesunięta w czasie o t₀ otrzymujemy kopie sygnału przesunięta o t₀. Właściwość splotu jest czasami nazywana właściwością powtarzania.

11. Zdefiniuj wzorem dystrybucję grzebieniową i zapisz jej widmo. Zilustruj powyższe za pomocą rysunków.


Dystrybucja grzebieniowa jest obok impulsu Diraca - modelem dystrybucyjnym najczęściej wykorzystywanym w analizie sygnałów. Dystrybucja ta jest okresowym ciągiem impulsów Diraca powtarzanych z okresem T0. Jej wykres przypomina nieskończony grzebień, którego „zęby” są równoodległe i maja jednakowa wysokość.


WŁAŚCIWOŚCI:

a) Właściwość próbkowania
W wyniku mnozenia dowolnego sygnału x(t) przez dystrybucje grzebieniowa
otrzymujemy ciąg powtarzanych z okresem T₀ impulsów Diraca o wysokościach

określonych przez próbki x(nT₀) sygnału. Obwiednia tych impulsów jest sygnał x(t). Mówiąc obrazowo w wyniku tej operacji otrzymujemy grzebień, którego wierzchołki zębów układają się w kształt sygnału.

2. Właściwość powielania okresowego
   W wyniku splecenia dowolnego sygnału x(t) z dystrybucja grzebieniowa
   następuje powielenie okresowe tego sygnału z okresem T₀. W przypadku, gdy sygnał x(t) jest sygnałem impulsowym o czasie trwania krótszym niż okres dystrybucji grzebieniowej T₀, sygnał powielony jest ciągiem wiernych kopii sygnału x(t) powtórzonych co przedział T₀. Można obrazowo powiedzieć, że w efekcie splecenia sygnału x(t) z dystrybucja grzebieniowa na każdym jej zębie pozostawia on swój wierny ślad.

12. Jakimi sposobami można obliczyć przebieg sygnału
    na wyjściu analogowego układu liniowego o odpowiedzi impulsowej
    , charakterystyce amplitudowo-fazowej
    i transmitancji
    , pobudzonego sygnałem impulsowym
    przy zerowych warunkach początkowych?

splot - y(t)=x(t)*h(t) =


transformata Laplace'a -


transformata odwrotna -


13. Narysuj schemat blokowy ilustrujący współczesne implementacje (realizacje fizyczne) systemów cyfrowego przetwarzania sygnałów (CPS).

Konwersja analogowo-cyfrowa:






(zegar) (okres próbkowania)

„Sample and hold”
gdzie:


Koncepcyjna reprezentacja systemu konwersji analogowo cyfrowej:




konwerter właściwy (digitizer)

Cyfrowe metody przetwarzania sygnałów polegają na przetworzeniu badanego sygnału analogowego w sygnał cyfrowy reprezentowany ciągiem słów binarnych o ustalonej długości słowa, a następnie dokonywaniu wszelkich operacji na sygnale jako operacji na ciągach binarnych reprezentujących ten sygnał. Układ przetwarzania składa się z: przetwornika analogowo-cyfrowego (przetwornika A/C), którego zadaniem jest zamiana postaci analogowej sygnału wejściowego na postać binarna, filtru cyfrowego, który realizuje zadane operacje na wejściowym sygnale binarnym, przetwarzając go w inny sygnał binarny, oraz z przetwornika cyfrowo-analogowego (przetwornika C/A), który zamienia postać binarna sygnału wyjściowego na pożądana z reguły postać analogowa. Filtr cyfrowy zawiera urządzenie arytmetyczne oraz pamięć. Całość jest sterowana i synchronizowana specjalnym układem zewnętrznym.

14. Omów poznane klasyfikacje sygnałów. Podaj przykłady.

Sygnały:

- deterministyczne(czas ściśle określony w dowolnej chwili)

- stochastyczne (nieokreślony i można określić jedynie za pomocą parametrów statystycznych)

Podstawowe kryteria klasyfikacji sygnałów wiążą się z ich cechami czasowymi. Dotyczą zakresu, ograniczoności i ciągłości zbiorów wartości argumentu i zbiorów wartości funkcji.

Sygnały:(rysunki po kolei jak nazwy)

- ciągłe z czasem ciągłym (analogowe), // - ciągłe z czasem dyskretnym (dyskretne), // - dyskretne z czasem ciągłym (skwantowane),// - dyskretne z czasem dyskretnym (cyfrowe).




15. Jaki sygnał nazywamy podstawowo-pasmowym, a jaki pasmowym?

Sygnał pasmowy jest to sygnał, którego składowe są na kilku częstotliwościach //

Sygnał podstawowo pasmowy to sygnał który posiada jedną częstotliwość podstawową

16. Jakie są zalety CPS w porównaniu z techniką analogową?

ZALETY:

-gwarantowana dokładność; zależy ona tylko od liczby bitów (liczba przyjmująca dwie wartości zero i jeden)

- perfekcyjna powtarzalność; nie ma zmian wywołanych tolerancja elementów (np. nagranie cyfrowe można kopiować wielokrotnie bez jakiegokolwiek pogorszenia jakości sygnału)

- nie występuje dryft temperatury, ani skutki starzenia

- postęp w technologii półprzewodników pozwala na uzyskanie zwiększonej niezawodności, mniejszych wymiarów, niższych kosztów, niższego poboru mocy i większej szybkości

- większa elastyczność, systemy cps można oprogramować i przeprogramowywać, by uzyskać rózne funkcje bez modyfikacji sprzętu

- lepsze charakterystyki, można realizować funkcje nieosiągalne w technice analogowej(np. liniowe charakterystyki fazowe, zespolone algorytmy filtracji)

- w pewnych przypadkach informacja może być dostępna tylko w postaci cyfrowej i jedyną możliwością jest jej przetwarzanie cyfrowe

WADY cyfrowego przetwarzania sygnałów (CPS)

• układy cyfrowe pobierają znaczną moc z zasilacza (pasywne

układy cyfrowe nie są jeszcze znane),

• układy cyfrowe nie mogą przetwarzać sygnałów o bardzo dużej

częstotliwości (jednak zakres częstotliwości ciągle rośnie),

• zastosowanie CPS w środowisku analogowym wymaga użycia

przetworników AC i CA, które mogą być skomplikowane i drogie,

• przetwarzanie AC i CA sygnałów słabych (np. antenowych) i

silnych (np. sterujących głośnikiem) jest bardzo trudne;

wymagane jest stosowanie odpowiednio przedwzmacniaczy i

układów mocy w takich przypadkach,

• przetwarzanie sygnałów określonego rodzaju (np. sygnału mowy)

wymaga układów CPS o znacznie szerszym paśmie w porównaniu

do układów analogowych.

17. Objaśnij zjawisko aliasingu na przykładzie próbkowania sinusoidy.

Aliasing - efekt nakładania się sąsiadujących kopii widma; Aliasing powoduje, ze w wyniku filtracji idealnym filtrem dolnoprzepustowym o pulsacji granicznej ω_m odzyskujemy sygnał
zniekształcony w porównaniu z sygnałem pierwotnym x(t). Widmo tego sygnału zawiera także części widma pochodzące z sąsiednich powielonych kopii. Popełniany przy tym błąd jest nazywany błędem aliasingu. Błąd ten jest tym większy, im mniejsza jest częstotliwość próbkowania.

Dla częstotliwości próbkowania mniejszej od dwukrotnej największej częstotliwości (pulsacji) sygnału (
) nie jesteśmy w stanie na wyjściu uzyskać takiego sygnału podanego na wejście. Dzieje się tak wskutek nakładania się na siebie widma sygnału próbkowanego (aliasing). Na przykładzie sinusoidy mamy:
// Transformata Fouriera

jego widmo:

później znajduje się wykres widma sygnału spróbkowanego
z częstotliwością próbkowania (pulsacja próbkowania)
a więc sygnału uzyskamy na wyjściu (zrekonstruowany):



bez aliasingu:

sygnał na wyjściu (w pełni odtworzony):




Obserwujemy więc zmianę w pulsacji (częstotliwości) sygnału zrekonstruowanego w przypadku wystąpienia zjawiska aliasingu.

18. Napisz twierdzenie Nyquista o próbkowaniu równomiernym sygnałów podstawowo-pasmowych. Czy operacja próbkowania jest odwracalna?

Niech x[n] będzie sygnałem o ograniczonym widmie
dla
wówczas x_c(t) jest jednoznacznie określone przez ciąg swoich próbek x[n] = x_c(nT) , n=1,2,3,.. Jeśli
czyli jeśli częstotliwość próbkowania jest co najmniej 2 razy większa od maksymalnej częstotliwości w widmie sygnału. Jest ona odwracalna jeśli minimalna częstotliwość próbkowania jest 2 razy większa od sygnału f_p=2f_N Jest to częstotliwość Nyquista.

19. Sformułuj twierdzenie o próbkowaniu dla sygnałów pasmowych. Jakie wynikają z niego korzyści w porównaniu z analogicznym twierdzeniem dla sygnałów podstawowo-pasmowych, gdy próbkowanym sygnałem jest sygnał pasmowy?

Jeżeli sygnał analogowy
zajmuje pasmo częstotliwości B[Hz], to można go bezbłędnie odtworzyć na podstawie ciągu jego równoodległych próbek:
n=0,+-1,+-2,… pod warunkiem że szybkość próbkowania F=1/T [próbek/s] jest najmniej dwukrotnie mniejsza od szerokości pasma B, czyli Fs > 2B lub Ts = 0.5 B // Ts - odstęp próbkowania w sek. Korzyści wynikają z tego takie, ze zawracamy uwagę przy doborze, częstotliwości próbkowania na szerokość pasma czyli B = Fgórna - Fdolna a więc na częstotliwość poszczególnych sygnałów. Z tego wynika, że nawet dla dużych częstotliwości, fg może być mniejsza niż jej odpowiednik dla tych samych częstotliwości dla sygnałów podstawowo pasmowych

20. Jaki sygnał nazywamy nadpróbkowanym, próbkowanym krytycznie i niedopróbkowanym? Co oznacza próbkowanie prawidłowe?

Podpróbkowanie - inaczej decymacja sygnałujest to odpowiednie zmniejszenie częstotliwości próbkowania sygnałów podpasmowych, proporcjonalnie do zmniejszenia szerokości ich pasma częstotliwościowego.

Nadpróbkowanie - inaczej interpolacja sygnału, jest to operacja odwrotna do do podpróbkowania, czyli zwiększenie częstotliwości próbkowania.

Próbkowanie krytyczne - próbkowanie z częstotliwością f_p=2f_N, gdzie f_p częstotliwość próbkowania, f_N sygnału

Niedopróbkowanie - sygnał ma za małą częstotliwość próbkowania

Próbkowanie prawidłowe - oznacza, iż próbkujemy z częstotliwością co najmniej dwa razy większą niż sygnału próbkowanego, gdyż tylko wtedy jest możliwe jego poprawne odtworzenie


21. Co nazywamy częstotliwością Nyquista, szybkością Nyquista i przedziałem Nyquista? W jakim celu stosuje się filtr antyaliasingowy? Narysuj przykładową charakterystykę takiego filtru.

częstotliwość Nyquista - najmniejsza częstotliwość z jaka należy próbkować sygnał o ograniczonym

paśmie, aby w jego próbkach została zachowana pełna informacja o sygnale

przedział Nyquista - największy okres z jakim należy próbkować sygnał o ograniczonym paśmie,

aby w jego próbkach została zachowana pełna informacja o tym sygnale; odwrotność częstotliwości Nyquista

filtr ochronny (antyaliasingowy) - filtr dolnoprzepustowy stosowany do odcięcia części pasma sygnału analogowego powyżej pewnej częstotliwości f_m w celu uniknięcia aliasingu przy jego dalszym przetwarzaniu

szybkość Nyquista - minimalne częstotliwości próbkowania, przy której można jeszcze odtworzyć sygnał
bez zniekształceń, tzn częstotliwość


22. Narysuj schemat blokowy przetwornika C/D (co oznacza ten skrót?) traktując przetwarzanie dwustopniowo. Napisz wzory na przebieg czasowy
    i jego widmo
    na wyjściu pierwszego bloku (układ mnożący).






-czas ciagly




Przedstawiony zostal schemat blokowy reprezentujący idealny konwerter czasu ciągłego na czas dyskretny, czyli idealny układ próbkujący. W ogólności operacja probkowania nie jest odwracalna. Aby zapewnic odtwarzalność sygnal Xc(t) musi spełniać zalozenie Fp>2F_M Reprezentacja operacji probkowania, jako procesu dwustopniowego: - mnożenie przez ciag impulsow Diraca // - zamiana sekwencji impulsow na ciag dyskretny.
Dziedzina czasu
-dystrybucja grzebieniowa. Z właściwości próbkującej

, bo =>


Dziedzina częstotliwości - znajdujemy widmo x_p(t) Oznaczamy x_c(jΩ)=
, Ω[rad/s] - pulsacja analogowa





Wniosek: Widmo sygnalu x_p(t) jest superpozycja okresowa powtarzających się widm sygnalu ciągłego x_C(t). Kolejne składniki Xp(jΩ) sa poprzesuwane o całkowita wielokrotność pulsacji próbkowania Ωp.

23. Zilustruj przypadki konwersji C/D: bez aliasingu i z aliasingiem, posługując się widmem sygnału.

Przyjmujemy, ze
dla
tzn. Najwieksza niezerowa skladowa w widmie
jest skladowa pulsacji






W wyniku konwersji C/D widmo
zostaje pomnozone przez dystrybucje grzebieniowa δ(t).









Otrzymujemy


1. bez aliasingu




2. z aliasingiem (widma składowe nie są rozłączne (nakładają się) -> zniekształcenie aliasowe)




T

24. Objaśnij, w jaki sposób można odtworzyć sygnał ciągły
    na podstawie sygnału
    o reprezentacji w postaci delt Diraca.

Można odtworzyć x_C(t) na podstawie x_p(t) za pomocą idealnego filtru dolnoprzepustowego, takiego, ze:

Charakterystyka częstotliwościowa filtru dolnoprzepustowego


<- filtr rekonstrukcyjny


Filtr rekonstrukcyjny

Wówczas w układzie:





Widmo sygnalu wyjściowego ma ta sama postac, jak widmo sygnalu x_C(t)




Musi być spełnione twierdzenie o probkowaniu.

25. Do czego służy formuła interpolacyjna Shannona i jak ona wygląda? Podaj przykład interpretacji graficznej.


Formuła interpolacji Shannona stosowana jest do stworzenia x_C(t) na podstawie x [n].

Przyjmujemy, ze Ω_g=Ω_p/2=Π/T Wtedy: H_d(jΩ)=T dla |Ω|<Π/T; 0 dla|Ω|>Π/T

Odp. Impulsowa z def. F^-1




Wówczas:


FORMULA INTERPOLACYJNA SHANNONA

Ponieważ h_d(0)=1 oraz h_d(nT)=0 dla n=+-1,+-2,.. jeżeli x[n]= x_c(nT) wówczas: X₀(nT)= X_C(nT) dla wszystkich całkowitych n, niezależnie o T (probki x₀ i x_C sa takie same) Caly przebieg x_C jest skonstruowany na bazie funkcji sinc()




gdzie
; sin(0)=1












Idealny system (X₀(t)=X_C(t)) odtwarzający sygn. Ciągły.




26. Na czym polega idea przetwornika D/C (schemat)? Co oznacza ten skrót?







D/C - przetwornik czasu dyskretnego na ciagly

27. Narysuj konfigurację fizyczną konwersji analogowo-cyfrowej z układem „sample & hold” i konwerterem „właściwym” A/D (od ang. analog to digital). Objaśnij działanie układu ZOH (ang. zero order hold) i zilustruj odpowiednim rysunkiem.




Na wstepie układu S & H sygnal zostaje przemnożony z sygnalem „grzebieniowym” - ciagiem impulsow Dirac'a. Układ ZOH pobiera w takt wystepowania impulsow probki i podtrzymuje je na swym wyjściu do następnego impulsu.




28. Narysuj blokowy schemat koncepcyjny systemu konwersji analogowo-cyfrowej z próbkowaniem, kwantowaniem i kodowaniem binarnym. Narysuj przykładową charakterystykę kwantyzatora bipolarnego 1+B=3-bitowego lub 1+B =2-bitowego. Objaśnij kodowanie próbek skwantowanych dla każdego z tych przypadków. Ile wynosi liczba poziomów kwantowania i krok kwantowania?




Kod offsetowy binarny - symbole sa przypisywane w kolejności numerycznej rozpoczynając od najmniej znaczącego poziomu kwantowania.

Kod U2 - najbardziej na lewo położony bit (MSB) jest bitem znaku a pozostale bity reprezentuja liczby całkowite lub ulamki.

Liczba poziomow kwantowania :


Krok kwantowania :


B - liczba bitow w „B+1 bitowym” slowie, rozdzielczość konwertera.

29. Jaka jest różnica pomiędzy kodem z uzupełnieniem do dwóch (U2), a kodem offsetowym binarnym (OB)? Pokaż na przykładzie.

U2	011	010	001	000	111	110	101	100
OB	111	110	101	100	011	010	001	000

W OB. Symbole są przepisywane w kolejności numerycznej rozpoczynając od najmniej znaczącego poziomu kwantowania. W U2 symbole są przypisywana tak, że najbardziej na lewo położony bit jest bitem znaku (MSB), a pozostałe bity reprezentują liczby całkowite lub ułamki. Kod U2 otrzymujemy z offsetowego OB poprzez zamianę MSB z „0” na „1” i odwrotnie. Przykład:

30. Podaj definicję kwantyzatora. Czy operacja kwantyzacji jest odwracalna?

Kwantyzator - system nieliniowy transformujący próbkę wejściowa x[n] w próbkę x^[n] należąca do skończonego zbioru ściśle określonych wartości. Operacje otrzymywania skwantyzowanej próbki zapisujemy : x^[n]=Q(x[n]). Operacja kwantyzacji nie jest odwracalna.

Symbol binarny	Wartość liczbowa w
011	¾
010	½
001	¼
000	0
111	-¼
110	-½
101	-¾
100	-1

31. Wyjaśnij, w jaki sposób słowo binarne w kodzie binarnym B+1-bitowym z uzupełnieniem do dwóch (U2), reprezentujące próbkę sygnału cyfrowego, można przekształcić na liczbę dziesiętną. Zilustruj powyższe przykładem. B+1 bitowy ułamek binarny z uzupełnieniem do 2 ma postać: a₀a₁a₂…a_B i wartość liczbowa w systemie 10tnym: - -a₀2⁰a₁2^-1a₂2^-2…a_B2^-B. Analogicznie dla B+1 bitów słów binarnych („-” przy największej potędze, reszta z „+”). Przykł:

32. Jakie są założenia statystycznego modelu błędu kwantowania i co z nich wynika?

x[n] x[n]=x[n]+e[n] e[n]

Założenia statystycznego modelu błędu kwantowania:

1. Ciąg błędów e[n] jest dyskretnym, stacjonarnym procesem stochastycznym.

2. Ciąg błędów jest nieskorelowany z ciągiem x[n].

3. Zmienne losowe procesu błędu są nieskorelowane tzn. ciąg błędu jest białym szumem.

4. Rozkład prawdopodobieństwa procesu błędu jest równomierny w zakresie błędu kwantowania.




P[e]




1/Δ


-Δ/2 Δ/2

Czyli: e[n] to biały szum o równomiernym rozkładzie prawdopodobieństwa, wartość średnia to 0, wariancja (moc szumu):




33. Objaśnij skrót SNR. Podaj wzór na SNR kwantyzatora bipolarnego objaśniając znaczenie użytych symboli. Jakie wzory uproszczone stosujemy przy kwantyzacji sinusoidy i przy kwantyzacji sygnału o gaussowskim rozkładzie amplitudy? Podaj przykłady. Kiedy te obliczenia dają prawdziwe wyniki?

SNR - Signal to Noise Ratio - stosunek mocy sygnału do mocy szumu - miara degradacji sygnału przez szum addytywny. Dla (B+1) - bitowego kwantyzatora bipolarnego:


[dB]

σ_e² - moc szumu || σ_x² - moc sygnału do kwantyzacji || X_m - zakres kwantowania || σ_x - wartość średniokwadratowa amplitudy sygnału (RMS)

• dla sinusoidy:
  [dB]

• dla gaussowskiego rozkładu:
  [dB]

Model szumowy praktycznie działa dla 8 lub więcej bitów przy pełnym wysterowaniu. Obliczenia SNR są prawdziwe jedynie wtedy, gdy starannie dopasujemy zakres sygnału wejściowego do pełnego zakresu konwertera A/D

34. W pewnym systemie CPS sygnał: a) sinusoidalny o amplitudzie
    , b) o gaussowskim rozkładzie amplitudy, próbkuje się z częstotliwością
    kHz i kwantuje, za pomocą kwantyzatora bipolarnego, w pełnym zakresie 2
    =2 V. Określ liczbę bitów kwantyzatora taką, aby średniokwadratowy błąd kwantyzacji
    był mniejszy od 1 μV. Oblicz przepływność bitową i zakres dynamiczny kwantyzatora.

Wariancja błędu (szumu) kwantyzacji:
, gdzie krok kwantyzacji
. Stąd średniokwadratowy błąd kwantyzacji:
. Z tego wzoru B wynosi:


Opowiada to liczbie 2^B+1=2²⁰=1048576 - poziomów kwantyzacji. Dla takiego B:


Przepływność bitowa wynosi zatem:


Zakres dynamiczny (SNR) kwantyzacji sterowanego sygnałem gaussowskim wynosi około:
a wysterowanego w pełni sinusoidą:
.

35. Jaką minimalną częstotliwość próbkowania
    należy zastosować do sygnału
    by można było go odtworzyć jednoznacznie na podstawie ciągu próbek
    pobranych równomiernie, co T sekund? Jaki zachodzi związek pomiędzy
    a T ?

Fp > 2*Fo <= wynika z tw.Nyquista bo sygnal jest sinusoidalny czyli w widmie posiada deltę Diraca, więc wzór jest bez znaku równości T = 1/Fp <= wiadomo ||| T - okres próbkowania ||| F_P = 2F₀ - minimalna odległość próbkowania


maksymalny okres próbkowania

36. Jak ogólnie definiujemy sygnał? Def. encyklopedyczna: Przebieg fizyczny (elektryczny, radioelektryczny lub optyczny) słuzący do przenoszenia informacji między dwoma odbiornikami. Klasyfikacja sygnałów:

1. deterministyczne - opisywane wprost

• stochastyczne - przypadkowe, opisywane statystycznie poprzez wielkości opisujące losowość sygnału

2. - ciągłe z czasem ciągłym - analogowe (sygnał fizyczny zmieniający się w sposób ciągły)










• ciągłe z czasem dyskretnym - dyskretne

















• dyskretne z czasem ciągłym - skwantowane

























• dyskretne z czasem dyskretnym - cyfrowe (sygnał fizyczny, dwustanowy)











37. Jaki jest ogólny podział systemów przetwarzania sygnału?

Klasyfikacja systemów dyskretnych:

• systemy bezpamięci - jeśli odpowiedź y[n] dla każdego n zależy tylko od wymuszenia x[n] dla tej samej wartości n, to mówimy że system nie posiada pamięci;

• systemy przyczynowe - jeśli dla każdej liczby całkowitej n₀ próbka odpowiedzi dla n=n_o zależy tylko od próbek wymuszenia o indeksach
  . Krótko zapisujemy:

jeśli x₁[n]=x₂[n] dla


to y₁[n]=y₂[n] dla


Przykłady:

1. idealny system opoźniający →
   , gdzie n₀ to liczba całkowita, nazywana opóźnieniem systemu. System bezpamięciowy tylko dla n₀=0. Liniowy, stacjonarny, stabilny, przyczynowy jeśli
   

dla n₀=3






















0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 6

2. system wzmacniający średnią bieżącą:




n-ta próbka ciągu wyjściowego jest obliczona jako średnia (M₁+M₂+1) próbek ciągu wejściowego otaczających próbkę n-tą. Liniowy, stacjonarny, stabilny. Przyczynowy gdy M₁≥ 0 i M₂≥ 0. Bez pamięci tylko gdy: M₁=M₂=0

3. akumulator:


Liniowy, przyczynowy, z pamięcią. Nie jest stabilny.

38. Jakie warunki należy spełnić, by reprezentacje sygnału: ciągłą i dyskretną, można było uważać za równoważne?

Tw. Nyquista o próbkowaniu równomiernym. Niech x_l(t) będzie sygnałem ograniczonym o widmie tzn x_l(jΩ)=0 dla |Ω| > Ω_M [rad/s] Wówczas x_l(t) jest jednoznacznie określone przez ciąg swoich próbek x[n]=x_l(nT) n=0,±1,..

jeżeli Ω_P= (2π)/T = 2πF_P > 2Ω_M lub inaczej (częstotliwość w MHz) F_P > 2 F_M, czyli jeśli częstotliwość próbkowania jest co najmniej 2-krotnie większa od max częstotliwości w widmie sygnału x_l(t). Tak więc minimalna częst. próbkowania, przy której można jeszcze odtworzyć sygnał x(t) bez zniekształceń, czyli częst. F_P=2F_M nazywa się szybkością Nyquista. Odpowiadający jej max okres próbkowania T= 1/F_P = 1/2F_M zazywa się przedziałem Nyquista.

39. Zdefiniuj podstawowe operacje wykonywane na sygnałach dyskretnych (ciągach liczbowych).

-- System opóźniający y[n]=T{x[n]}=x[n-n₀] n₀- dodatkowa całkowita [opóźnienie systemu]

-- Średnia bieżąca
, n-ta próbka jest obliczana jako średnia (M₁+M₂+1) próbek ciągu wejściowego otaczających próbkę n-tą.

-- Akumulator


-- Różnica wprzód y[n] = y[x+1] - x[n]

-- Różnica wstecz y[n] = x[n] - x[n-1]

-- Kompensator y[n] = x[M·n] => wyselekcjonowanie M-tej próbki ciągu wejściowego

40. Zdefiniuj podstawowe ciągi: impuls jednostkowy, skok jednostkowy, ciąg wykładniczy rzeczywisty i zespolony, ciąg oscylacyjny, ciąg harmoniczny i ciąg sinusoidalny.

Impuls jednostkowy tzw. Delta Kroneckera


Skok jednostkowy


Ciąg wykładniczy rzeczywisty x[n]=aⁿu[n]

Ciąg wykładniczy zespolony x[n]=A*e^jan

Ciąg oscylacyjny - charakteryzuje się przejściami (przejściem) przez zero. np.:


Ciąg harmoniczny x[n]=Acos(ωt+φ) Ciąg sinusoidalny x[n]=Asin(ωt).

41. Podaj definicje sygnałów: okresowego x(t) z czasem ciągłym i okresowego x[n] z czasem dyskretnym. Zapisz warunek okresowości sygnału x[n]. Podaj przykłady ciągu x[n] dyskretnego kosinusoidalnego: okresowego i nieokresowego.

Sygnał okresowy x(t) z czasem ciągłym.


x(t) Sygnał powtarza się w określonych okresach, jest zdefiniowany w każdej chwili czasowej.

Sygnał okresowy z czasem dyskretnym (dyskretny) - ciąg liczbowy {x[n]}, którego elementami są próbki x[n]sygnału ciągłego (analogowego) pobierane w chwilach t_n=nT_s, gdzie T_s jest okresem próbkowania.




x[n], n=0,±1,±2,..


Ciąg x[n] dyskretny nieokresowy: spróbkowana wartość napięcia na kondensatorze w obwodzie prądu elektrycznego.

Ciąg x[n] dyskretny cos, okresowy: spróbkowana cosinusoida z generatora.

42. Jaki zachodzi związek pomiędzy częstotliwością (lub pulsacją) analogową a dyskretną?


gdzie:
- pulsacja dyskretna (unormowana względem T), ω - pulsacja analogowa.

43. Podaj operatorową definicję systemu dyskretnego.

Def: System dyskretny to operator który przekształca ciągi WE x[n] w ciąg WY y[n]




y[n] = T{x[n]} {x[n]} => {y[n]}

Operator T{
} określa właściwości systemu dyskretnego, czyli sposób przekształcenia { x[n] } w { y[n] }

W ogólności n - ta próbka y[n] może być funkcja wszystkich próbek x[n]

44. Zdefiniuj następujące systemy dyskretne: bez pamięci, liniowy, stacjonarny (niezmienny względem przesunięcia), przyczynowy, stabilny.

Def. System dyskretny to operator, który przekształca ciąg wejściowy x[n] w ciąg wyjściowy y[n]:

y[n] = T { x[n] } System bez pamięci: Jeżeli odpowiedz y[n] dla każdego n zależy tylko od wymuszenia x[n] dla tej samej wartości n, to mówimy, ze system nie posiada pamięci.

Np. - System opisany zależnością: y[n] = ( x[n] )² dla wszystkich n [NIE MA PAM.]

- y[n] = ( x[n-1] )² [Z PAMIĘCIĄ]

System liniowy: spełnia zasadę superpozycji; jeżeli { x₁[n] } => { y₁[n] } oraz

{ x₂[n] } => { y₂[n] } to system dyskretny jest liniowy W.I.T.W gdy:

T{ ax₁[n] + bx₂[n] } = aT { x₁[n]} + bT { x₂[n]}

System stacjonarny: spełnia następujący warunek:

Jeżeli x[n] => y[n] oraz x₁[n] = x[n-n₀]

n₀ - całkowite to:

y₁[n] = y[n-n₀]

System przyczynowy: System jest przyczynowy, jeżeli dla każdej liczby całkowitej n₀ próbka odpowiedzi dla n = n₀ zależy tylko od próbek wymuszenia o indeksach

n ≤ n₀. Krotko zapisujemy: Jeżeli: x₁[n] = x₂[n] dla n ≤ n₀ To: y₁[n] = y₂[n] dla n ≤ n₀

System stabilny: System dyskretny nazywamy stabilnym W.I.T.W, gdy ograniczony ciąg wejściowy daje w odpowiedzi ciąg ograniczony, tzn. Jeśli:
to
Gdzie
i
<


45. Co oznacza skrót: system DLS?

DLS = DYSKRETNY, LINIOWY, STACJONARNY

DYSKRETNY SYSTEM: to operator, przekształca ciąg wejściowy x[n] w ciąg wyjściowy y[n]:

y[n] = T{x[n]} {x[n]} => {y[n]}




Operator T{
} określa właściwości systemu dyskretnego, czyli sposób przekształcenia { x[n] } w { y[n] }

LINIOWY SYSTEM: spełnia zasadę superpozycji, tzn. jeżeli spełnia zasadę superpozycji; jeżeli { x₁[n] } => { y₁[n] } oraz { x₂[n] } => { y₂[n] } to system dyskretny jest liniowy W.I.T.W gdy:

T{ ax₁[n] + bx₂[n] } = aT { x₁[n]} + bT { x₂[n]}

STACJONARNY SYSTEM: niezależny względem przesunięcia || Jeżeli x[n] => y[n] oraz x₁[n] = x[n-n₀] || n₀ - całkowite to: || y₁[n] = y[n-n₀] || (opóźnione w czasie pobudzenie => opóźniona odpowiedz)

46. Podaj definicję idealnego systemu opóźniającego i zilustruj jego działanie na dowolnie wybranym ciągu. Jakie są właściwości tego systemu?

Idealny system opóźniający jest to system opisany zależnością:

y[n] = T{ x[n] } = x[n-n₀] dla -
<n<
n₀ - liczba całkowita dodatnia nazwana opóźnieniem systemu

System przesuwa ciąg wejściowy w prawo o n₀ próbek. Jeżeli n₀ jest liczbą całkowitą ujemna - przesuwamy w lewo oznacza to wyprzedzenie w czasie np. dla ciągu




dla opóźnienia n₀ = 3 mamy






Właściowści: - System jest bez pamięci, jeśli n₀ = 0 || - Liniowy || - Stacjonarny || - Przyczynowy, jeśli n₀ ≥ 0

47. Zdefiniuj system wyznaczający średnią bieżącą. Jakie są jego właściwości? Podaj przykład zastosowania tego systemu.

System wyznaczający średnia bieżącą zdefiniowany jest równaniem:




n - ta próbka ciągu wejściowego jest obliczana jako średnia (M₁+M₂+1) próbek ciągu wejściowego otaczających próbkę n - tą. || Właściwości systemu: - liniowy, stacjonarny, stabilny // - przyczynowy gdy M₁≥0 oraz M₂≥0

• nie posiada pamięci jedynie, gdy M₁=M₂=0

48. Powtórz zadanie poprzednie dla akumulatora, kompresora i systemu różnicy w przód i wstecz.

AKUMULATOR

Def.


Właściwości: - liniowy, przyczynowy, z pamięcią // - nie jest stabilny (chociaż y[n] jest skończony dla końcowego n) // - nie jest ograniczony, tzn. nie istnieje takie
>0, że dla każdego n |y[n]| <


Przykład odpowiedzi impulsowej (systemów DLS):




nieskończona odpowiedz impulsowa

Transmitancja h[n] = u[n] H(z) = Z{ u[n] } =


Zastosowanie jako układ całkujący

KOMPRESOR

Def.


M - całkowita liczba dodatnia Właściwości: ciąg liczbowy wyjściowy jest przez wyselekcjonowanie każdej M-tej próbki ciągu wejściowego. System nie jest stacjonarny, widać to z przykładu.

Niech x₁[n] => y₁[n] oraz x₁[n] => x[n - n₀] wówczas y₁[n] = x₁[Mn] = x[Mn - n₀]

Dla systemu stacjonarnego musi zachodzić: y[n - n₀] = x[M(n - n₀)] ≠ y₁[n] a tu zachodzi jedynie dla n=1.

RÓŻNICA W PRZÓD I WSTECZ

Def. W przód y[n] = x[n + 1] - x[n] system nie jest przyczynowy, bo występuje x[n+1]

Wstecz y[n] = x[n] - x[n-1]

przyczynowy

Przykład odpowiedzi impulsowej (system DLS)

różnica w przód: h[n] = δ[n + 1] - δ[n] /// różnica wstecz: h[n] = δ[n] - δ[n - 1]

Transmitancje:

różnica w przód: h[n] = δ[n + 1] - δ[n] => H(z) = z - 1

różnica wstecz: h[n] = δ[n] - δ[n - 1] => H(z) = 1 - z ^-1

Zastosowanie różnicy wstecz jako różniczkowanie.

49. Podaj definicję odpowiedzi impulsowej systemu DLS.

Dla systemu DLS definiuje się odpowiedź impulsową h[n], dla n=±1,... Df. h[n] to odpowiedź impulsowa systemu DLS na impuls jednostkowy (δ[n] - delta Kroneckera) przy zerowych warunkach początkowych. h[n] całkowicie charakteryzuje system DLS. ||| Odpowiedź y[n] systemu DLS na dowolne pobudzenie x[n] jest splotem dyskretnym ciągów: pobudzenie x[n] i odpowiedzi impulsowej h[n]. Splot dyskretny jest przemienny.




50. Podaj warunki: stabilności i przyczynowości systemu DLS, wyrażone za pośrednictwem odpowiedzi impulsowej.

Układ stabilny definiujemy jako układ, w którym każde ograniczone pobudzenie powoduje ograniczoną odpowiedź. Układy liniowe, niezmienne względem przesunięcia^* są stabilne gdy:


Układ przyczynowy jest to układ, w którym zmiany na wyjściu nie poprzedzają zmian na wejściu. Oznacza to, że dla układów przyczynowych, jeśli x₁[n]=x₂[n], n<n₀, to y₁[n]=y₂[n], n<n₀.

Układ liniowy niezmienny względem przesunięcia jest przyczynowy gddy jego odp. Impulsowa dla n<0 ma wyrazy równe zeru. Z tego względu wygodnie nazywać ciąg zerowy dla n<0 ciągiem przyczynowym rozumiejąc, że mógłby on być odp. Impulsową układu przyczynowego.

Jako przykład stabilności i przyczynowości można rozpatrzyć układ liniowy niezmienny względem przesunięcia o odp. Impulsowej h[n]=aⁿu[n]. Ponieważ odp. Impulsowa jest zerowa dla n<0, układ jest przyczynowy. Aby określić stabilność musimy obliczyć sumę:

Jeśli |a|<1, suma postępu geometrycznego istnieje i jest równa
. Jednak jeśli |a|>=1, szereg jest rozbieżny, a zatem układ jest stabilny tylko dla |a|<1.

^*Układ niezmienny względem przesunięcia charakteryzuje się przez właściwość, że jeśli y[n] jest odp. na pobudzenie x[n] to y[n-k] jest odp. na x[n-k], gdzie k to dodatnia lub ujemna liczba całkowita.

51. Jaką odpowiedź impulsową ma połączenie kaskadowe, a jaką połączenie równoległe systemów DLS? Narysuj te połączenia.

(na rysunkach na wejściu jest x[n] na wyjściu y[n] )

1. kaskadowo: odp. impulsowa takiego systemu to: h[n]=h₁[n]*h₂[n]










b) równolegle: odp. impulsowa takiego systemu to h[n]=h₁[n]+h₂[n]





















52. W jakim celu stosuje się splot odpowiedzi impulsowej z sygnałem wejściowym systemu dyskretnego? Przytocz odpowiednie wzory.

Celem splotu odp. impulsowej h[n] z sygnałem wej. x[n] jest obliczenie odpowiedzi y[n] systemu.

Odpowiedź y[n] systemu DLS na dowolne pobudzenie x[n] jest splotem dyskretnym ciągów: pobudzenie x[n] i odpowiedzi impulsowej h[n]. Splot dyskretny jest przemienny.




53. Oblicz wynik
    splotu ciągów:
    i
    za pomocą dowolnej metody.


Najszybciej można to zrobić metodą mnożenia, ale należy uważać na kropkę (kropkę stawiamy przed wartością współczynnika dla n=0)




{y[n]}_n=-1={3,8,14,8,3}

54. Zdefiniuj dyskretno-czasowe przekształcenie Fouriera (DTFT) i przekształcenie do niego odwrotne. Objaśnij symbole występujące w tych wzorach.

Dyskretno-czasowe przekształcenie Fouriera (DTFT)
, odwrotne:
(IDTFT DTFT^-1)
- widmo sygnału x[n] - ciąg próbek

55. Na podstawie DTFT narysuj widma: amplitudowe i fazowe, sygnału
    dla wybranej wartości a.



- transformata ciagu x[n] // Dla a = 0,5
//


Widmo amplitudowe:





=0

=
=2
=

=
=0,66
=

=



Widmo fazowe:





=0 arg=0


=
arg=0


=
arg=-arctg(0,5)

56. Zdefiniuj charakterystyki: amplitudowo-fazową, amplitudową i fazową systemu DLS o odpowiedzi impulsowej
    . Narysuj te charakterystyki dla wybranej wartości a takiej, która zapewnia stabilność tego systemu.

Charakterystyka amplitudowo fazowa:
dla |d|<1

Amplitudowa:
; fazowa:





57. Przytocz zapamiętane właściwości DTFT.

1. O liniowości:


2. O przesunięciu w dziedzinie czasu
; n_o - całkowite

3. O przesunięciu w dziedzinie częstotliwości:


4. O różniczkowaniu względem częstotliwości:


5. O energii (Parsevala):


6. O splocie:


7. O iloczynie:


58. Wiadomo, że DTFT ciągu
    wynosi
    . Jakie są transformaty ciągów: a)
    , b)
    , c)
    , d)
    ? Jak można obliczyć energię każdego z tych ciągów?

1. x₁[n]=x[n-5], z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu

x[n-n₀] ⇔ e^-jωn0 X(e^jω) , n₀ - całkowite // x[n-5] ⇔ e^-jω5 X(e^jω) , n₀ - całkowite

2. x₂[n]= x[n]e^j5n, z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie częstotliwości

x[n] e^jωn0 ⇔ X(e^j(ω-ω0)) /// x[n] e^jω5 ⇔ X(e^j(ω-5))

3. x₃[n]= aⁿu[n]

X(e^jω)=
, gdzie |a|<1 - w-nek istnienia X(e^jω)

4. x₄[n]=nx[n], z twierdzenia o różniczkowaniu względem częstotliwości

nx[n]⇔ j
Energię każdego z sygnałów można obliczyć korzystając z twierdzenia Parsevala

E=


59. Oblicz charakterystykę amplitudowo-fazową i odpowiedź impulsową systemu opisanego równaniem różnicowym
    . Czy jest to system o skończonej odpowiedzi impulsowej (FIR) czy o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (IIR) i czy jest on przyczynowy i stabilny? Odpowiedzi uzasadnij.


;



;








charakterystyka fazowa


charakterystyka fazowa


60. Zdefiniuj przekształcenie Z i oblicz Z-transformaty ciągów: a)
    , b)
    , n i
    całkowite, c)
    , d)
    . Podaj odpowiednie obszary zbieżności.

-dwustronna
-jednostronna


1. 
   ,
   ;
   , ROC - wszystkie z

2. 
   ;
   ,

ROC - gdy n_o>0 to takie jak dla X(z) z wyjątkiem 0, gdy n_o<0 to takie jak dla X(z) z wyjątkiem nieskończoności.

3. 
   ;
   

ROC: |q|<1 → (1/|z|<1) → |z|>1

4. 
   ;
   

ROC: |q|<1 → (|a| / |z|) < 1 → |z| > |a|

61. Przytocz zapamiętane właściwości przekształcenia Z.

ax₁[n]+bx₂[n]↔ aX₁(z)+bX₂(z) ||| x[n-1]↔ z^-1·X(z)+x[-1] ||| x[n-k]↔ z^-1·X(z)+ _n-1∑ⁿ x[-1]·z^-k+n

x[n-k]·u[n-k] ↔ z^-k·X(z) ||| x[n+1]↔ z·X(z) +x[0] ||| aⁿ·x[n]↔ X(z/a) dla | z | > | a |

n'·x[n]↔ -z ·dx(τ)/dt ||| x₁[n]·x₂[n]↔ X₁(z)·X₂(z)

62. Oblicz oryginał
    , gdy dana jest transformata
    : a)
    , b)
    , c)
    .




63. Jak definiujemy transmitancję
    systemu DLS?


Def. H(z)=Y(z)/X(z) przy z.w.p. gdzie:x[n] →X (z); y[n] →Y(z);

h[n] →H(z) stąd H(z)=Z{h[n]}= _h=-∞ ∑ ^∞h[n] ·z ^-n
Warto wiedzieć że dla zadanej H(z) odpowiedź y[n] na x[n] dla systemu DLS przy z.w.p. obliczamy: y[n]=Z^-1 {H(z)·X(z)}

64. Zdefiniuj warunki przyczynowości i stabilności systemu DLS o transmitancji
    : a) typu FIR, b) typu IIR, (na podstawie transmitancji).

Transmitancja H(z):


(po faktoryzacji)

gdzie: c_i -zera transmitancji ; d_i - bieguny transmitancji

• Przyczynowość

System nazywamy przyczynowym, jeśli każda próbka jego odpowiedzi zależy tyko i wyłącznie od poprzedzających ją próbek wymuszenia. Jeśli system o transmitancji H(z) jest przyczynowy to:

H[n]<0, dla n<0

i obszar zbieżności ROC jego transmitancji leży na zewnątrz bieguna d_i o największym promieniu.

• Stabilność

System nazywamy stabilnym wtedy i tylko wtedy gdy ograniczony ciąg wejściowy daje w odpowiedzi także ciąg ograniczony. Jeśli odpowiedź impulsowa h[n] systemu jest bezwzględnie sumowalna to jest on systemem stabilnym:





Obszar zbieżności ROC stabilnego i przyczynowego systemu H(z) zawiera okrąg jednostkowy. Wszystkie bieguny d_i takiego systemu leżą wewnątrz okręgu jednostkowego, tzn:
, i=1,...,m

Np.


System FIR jest zawsze stabilny (w odróżnieniu od IIR).

65. Objaśnij jak zbadać czy przyczynowy system DLS jest stabilny. Pokaż, czy stabilny jest system o transmitancji
    . Jeżeli nie jest stabilny, to co należałoby zmienić, aby stał się stabilny? Odpowiedź uzasadnij.

ROC stabilnego, przyczynowego systemu H(z) zawiera okrąg jednostkowy. Wszystkie bieguny d_i takiego systemu leżą wewnątrz okręgu jednostkowego tzn. | d_i | < 1, i = 1, … ,n.

H(z) = 1/[(z - 1/8)*(z - ¼)*(z - ½)*(z - 1)]

Bieguny: d₁ = 1/8, d₂ = ¼, d₃ = ½ d₄ = 1


System nie jest stabilny, gdyż biegun d₄ nie leży wewnątrz okręgu jednostkowego. Żeby był stabilny trzeba biegun d₄ przesunąć w lewo aby znalazł się wewnątrz okręgu jednostkowego.

66. Czy stabilne są następujące, przyczynowe systemy DLS: a)
    , b)
    Odpowiedzi uzasadnij.

a)
ponieważ jest to transmitancja FIR'u od razu można stwierdzić iż jest to układ stabilny !!! ”system FIR jest zawsze stabilny ” !!!











zera: ... nieważne [położenie zer nie stanowi o stabilności układu]

bieguny: 0 (podwójny)

• ROC stabilnego przyczynowego systemu H(z) zawiera okrąg jednostkowy.

• Wszystkie bieguny
  takiego systemu leżą WEWNĄTRZ OKRĘGU

• jak bieguny leżą na okręgu to system jest NIESTABILNY!!!

Ponieważ 0 < 1 to układ jest stabilny

b)









zera: ...

bieguny:


ponieważ
i
(bieguny znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego) to układ JEST STABILNY.

67. Zapisz ogólnie transmitancje systemów DLS: IIR i FIR, i objaśnij znaczenie występujących w nich symboli.

-system IIR H(z)=Y(z)/X(z) {przy z.w.p.}=( b₀+b_1·z^-1+...+b_M·z^-M )/(1+a_1·z^-1+...+a_M·z^-M) gdzie: M-rząd systemu

-system FIR H(z)=b₀+b₁z^-1+.....b_Mz^-M = _N=0∑^M h[n]·z^-N

gdzie: Y(z)- transformata z odpowiedzi; X(z)-transformata z pobudzenia, a_i b_{i -}współ. wielomianu( współ. w równaniu różnicowym układu, jako odpowiednie wzmocnienia)

68. Jakimi sposobami można obliczyć odpowiedź systemu DLS na dowolne pobudzenie, przy zerowych warunkach początkowych?

-na dwa sposoby(a,b): 1)odp. y[n] systemu DLS na dowolne pobudzenie x[n] jest splotem dyskretnym ciągów: pobudzenia x[n] i odp. impulsowej h[n]. Splot dyskretny jest przemienny- a)y[n]=x[n]*h[n]=h[n]*x[n]=Σ(od k=-∞ do +∞) x[k] h[n-k]= Σ(od k=-∞ do +∞) h[k] x[n-k]; 2)transmitancja systemu DLS: H(z)=Y(z)/X(z) przy z.w.p., gdzie x[n]↔X(z), y[n]↔Y(z); ponieważ: h[n]↔H(z) tzn. H(z)=Z{h[n]}= Σ(od n=-∞ do +∞) h[n]z^(-n); czyli dla zadanej H(z): b)y[n]=Z^(-1){X(Z) H(Z)}

69. Zdefiniuj elementy schematu blokowego systemu DLS. Narysuj schematy blokowe: a) systemu opóźniającego, b) systemu pierwszej różnicy wstecz, c) akumulatora.

DLS - dyskretny, liniowy, stacjonarny






x[n] y[n] y[n] = T{x[n]}

a) system opozniajacy y[n] = T{x[n]} = x[n-n₀]




x[n] x[n-n₀]

H(z) = z^-n0

b) system pierwszej różnicy wstecz y[n] = x[n] - x[n-1]









Dyferator

x[n] y[n]

x[n-1]

70. Narysuj schematy blokowe systemu IIR pierwszego rzędu i drugiego rzędu: a) strukturę bezpośrednią 1D i b) strukturę bezpośrednią 2D, i zapisz ich algorytmy.

System IIR :

y[n] =
bi [ n-i ] -
a_i y [n - i ]

m - rząd systemu

a) pierwszego rzędu IIR => m=1

H(z) = Y(z) / X(z) | _zwp = (b₀ + b₁z^-1) / ( 1 + a₁ z^-1)

Algorytm: Y[n] = b₀ x[n] + b₁ x[n - 1] - a₁ y [n-1]


Schemat blokowy:












b) drugiego rzędu IIR => m=2

H(z) = Y(z) / X(z) | _zwp = (b₀ + b₁z^(-1) + b₂ z^(-2)) / ( 1 + a₁ z^(-1) + a₂ z^(-2))

Algorytm: Y[n] = b₀ x[n] + b₁ x[n - 1] + b₂ x[n - 2] - a₁ y [n-1] - a₂ y [n-2]

Schemat blkowy

















71. Zdefiniuj DFT i przekształcenie do niego odwrotne.


DFT- dyskretne przekształcenie Fouriera; definiowane tylko dla ciągów o skończonej długości:{x[n]}(od n=0 do n=N-1), gdzie N- skończona długość; definicja DFT: X[k]= Σ(od n=0 do N-1) x[n]e^(-j2Πkn/N), dla k=0,1,…N-1; definicja przekształcenia odwrotnego do DFT (IDFT): x[n]= 1/N Σ(od n=0 do N-1) X[k]e^(j2Πkn/N), dla n=0,1,…,N-1;

72. Jakie zachodzą związki pomiędzy DFT, DTFT i transformatą Z przyczynowego ciągu
    przy założeniu, że obszar zbieżności
    zawiera okrąg jednostkowy?




N - długość bloku próbek sygnału x[n]

73. Wypisz i nazwij zapamiętane właściwości DFT.

-liniowość (oba ciągi o tej samej dł., w przeciwnym razie konieczność uzupełnienia zerami) ax[n]+by[n]→ aX[k]+bY[k]

-przesunięcie kołowe w dziedzinie n (n_0<0 opóźnienie całkowite) x[n+n₀] _N→ X[k]W _N ^-kno

-modulacja x[n] W _N ^kno→ X[[k+k₀ ]]_N

-splot kołowy w dziedzinie n _n=0∑^N-1 x[m] ·y[[n-m]]_N → X[k] ·Y[k]

-mnożenie w dziedzinie czasu x[n] ·y[n] → 1/N _l=0∑^N-1 X[l] ·Y[k-l]_N

-sprzężenie x*[n] → x*[[-k]]_N -sprzężenie i obrót x*[[-n]]_N→ X*[k]

-symetria x[n] → N·x[[-k]]_N

-związek Parsevala _l=0∑^N-1 ׀x[n]׀² = 1/N _k=0∑^N-1 ׀x[k]׀²

74. Czym różnią się widma ciągu
    obliczone za pomocą DTFT i DFT? Pokaż to na dowolnym przykładzie.







75. Objaśnij zastosowanie notacji macierzowej w obliczaniu DFT. Możesz posłużyć się przykładem.

76. Na czym polega szybki splot i kiedy warto go stosować? Splot kołowy (szybki) za pośrednictwem DFT można wykorzystać do obliczeń splotu liniowego. Stosuje się go gdy liczba próbek jest większa niż 32 (próbki zespolone) lub 64 (próbki rzeczywiste).




26





































T{
}

x[n]

y[n]

T{
}

x[n]

y[n]

y[n]

n

0

1

2

3

4

5

6

7

x[n]

n

0

1

2

3

4

h₂[n]

h₁[n]

h₁[n]

h₂[n]

.3 2 1

x 1 .2 3

9 6 3

6 4 2

+3 2 1

3 .8 14 8 3

Arctgx(
)

Arctg(0,5)

T{•}

z^-n0

+

z^-1

y[n]

+




+




z^-1




x[n]

b₀




-a₁




b₁







b₀




b₁




b₂




-a₂




-a₁




z^-1




z^-2




+




+




+




+




x[n]

y[n]




---