Mieczysław Chalfen
Roman Dąbrowski
Jan Jełowicki
Zbigniew Jurzyk
Elżbieta Musiał
Jolanta Srzednicka
Kurs wyrównawczy
z
matematyki
dla kierunków studiów:
Budownictwo i Inżynieria Środowiska
Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Katedra Matematyki
Wrocław 2009
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
Kurs wyrównawczy z matematyki
dla kierunków studiów: Budownictwo i Inżynieria Środowiska
Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu
Katedra Matematyki
Materiały do 50-godzinnego kursu wyrównawczego z matematyki
przeznaczonego dla studentów kierunków przyrodniczych i technicznych
Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu
w semestrze zimowym roku akademickiego 2009/2010.
Kurs przeprowadzono w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
Redakcja merytoryczna: zespół autorów
Skład (L
A
TEX): Jan Jełowicki
c
Copyright Katedra Matematyki Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu
Wrocław 2009
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
Spis treści
Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Elementy logiki i teorii zbiorów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Zbiory liczbowe. Działania w zbiorach liczbowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Przekształcanie wyrażeń algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Dwumian Newtona. Wartość bezwzględna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Geometria analityczna. Wektory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Geometria analityczna. Równanie prostej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Geometria analityczna. Trójkąt. Okrąg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Funkcje. Podstawowe własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Ciągi liczbowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Równania i nierówności liniowe. Układy równań i nierówności . . . . . . . . . . . . 51
Równania i nierówności kwadratowe. Układy równań i nierówności . . . . . . . . . 61
Wielomiany. Twierdzenie Bézouta. Dzielenie wielomianów . . . . . . . . . . . . . . 67
Równania i nierówności wyższych rzędów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Równania i nierówności wymierne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Funkcja wykładnicza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Równania i nierówności wykładnicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Logarytmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Funkcja logarytmiczna i jej własności . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Równania i nierówności logarytmiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Funkcje trygonometryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Wzory redukcyjne. Równania i nierówności trygonometryczne . . . . . . . . . . . . 108
Kombinatoryka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Indukcja matematyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Test końcowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Alfabet grecki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Oprogramowanie do kreślenia wykresów funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
3
Wprowadzenie
Przystępujemy do kursu wyrównawczego z matematyki, którego zadaniem jest pomoc stu-
dentom rozpoczynającym studia na Uniwersytecie Przyrodniczym we Wrocławiu w pokony-
waniu problemów wynikających z wymagań stawianych studentom pierwszego roku studiów.
Wobec zauważalnych niedoborów fachowców z wykształceniem technicznym podjęto inicja-
tywy mające na celu zwiększenie liczby studentów studiujących na wybranych kierunkach
studiów. Jednym z takich działań jest niniejszy kurs wyrównawczy realizowany przez naszą
Uczelnię w ramach projektu Program Operacyjny Kapitał Ludzki.
Należy zastrzec, że niniejsze zajęcia nie są pełnym, systematycznym kursem matematyki
ze szkoły średniej.
Studentom przekazujemy materiały uzupełniające do wykładów i ćwiczeń, które z zało-
żenia traktować należy jako powtórkę materiału przerabianego w szkołach średnich w ciągu
trzech lat nauki.
Dlatego też wiele definicji, twierdzeń, wzorów omówionych jest skrótowo na zasadzie
szybkiego przypomnienia materiału znanego z dotychczasowej nauki w szkole średniej.
Zakres materiału obejmuje zagadnienia, które według naszych doświadczeń sprawiają
trudności nowo przyjętym studentom, i jednocześnie opanowanie których jest niezbędne
w dalszym toku studiów. Zatem kurs nie obejmuje wszystkich działów matematyki szkol-
nej — np. nie omawiamy stereometrii. Z drugiej strony położono nacisk na te działy matema-
tyki — np. logarytmy, geometrię analityczną — które będą bardzo użyteczne podczas studiów,
nie tylko na zajęciach z matematyki wyższej, ale także na wykładach z fizyki, mechaniki, in-
formatyki, statystyki oraz na wielu przedmiotach kierunkowych na wyższych latach studiów.
Materiały niniejsze zostały przygotowane przez pracowników Katedry Matematyki pro-
wadzących zajęcia na kierunkach objętych projektem.
Zajęcia prowadzone w ramach kursu przygotowawczego są obowiązkowe. Otrzymane
podczas nich oceny będą uwzględniane przy zaliczaniu zajęć pierwszego semestru.
Kurs rozpoczyna się i kończy obowiązkowym sprawdzianem wiedzy. Prosimy o wypeł-
nienie testu badającego umiejętności matematyczne uczestników kursu.
Życzymy sukcesów podczas studiów na Uniwersytecie Przyrodniczym we Wrocławiu
autorzy
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
4
Wykład
2
Elementy logiki i teorii zbiorów
2.1.
Rachunek zdań logicznych
Zdanie logiczne.
W matematyce i logice zdaniem nazywamy zdanie oznajmujące, któremu
można przypisać wartość logiczną Prawda (symbolicznie oznacza się ją cyfrą 1) lub Fałsz (dla
jej oznaczenia stosuje się cyfrę 0).
Przykład
1.
Przykłady zdań logicznych:
•
„Prostokąt ma cztery boki.”
•
„Liczba 27 jest liczbą pierwszą.”
•
„Liczba 255 jest podzielna przez 5.”
Przykłady zdań nie będących zdaniami logicznymi:
•
„Ile boków ma pięciokąt?”
•
„Liczba π jest ładna.”
•
„Rozwiąż nierówność 3x > 7.”
Ze zdań można tworzyć zdania złożone za pomocą spójników logicznych.
Negacja.
Negacja
— zdanie postaci „nieprawda, że . . . ”. Do oznaczenia negacji stosujemy
symbol „¬”. Zapis „¬p” czytamy: „nieprawda, że p”.
p ¬p
0
1
1
0
Z prezentowanej obok tabelki wynika, że negacja
zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym, zaś
prawdziwego — fałszywym.
Koniunkcja.
Koniunkcja
— zdanie złożone postaci „. . . i . . . ”. Do oznaczenia koniunkcji sto-
sujemy symbol „
∧
”. Zapis „p
∧
q” czytamy: „p i q”.
p q p
∧
q
0 0
0
0 1
0
1 0
0
1 1
1
Jak widać, koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa
tylko wówczas, gdy prawdziwe są oba tworzące ją
zdania.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
5
Alternatywa.
Alternatywa
— zdanie złożone postaci „. . . lub . . . ”. Do oznaczenia alternatywy
stosujemy symbol „
∨
”. Zapis „p
∨
q” czytamy: „p lub q”.
p q p
∨
q
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
1
Jak widać, alternatywa dwóch zdań jest
prawdziwa, gdy prawdziwe jest przynajmniej
jedno z tworzących ją zdań.
Przykład
2.
Niech p oznacza zdanie „7 jest liczbą pierwszą”, zaś q — zdanie „4 jest liczbą
pierwszą
”. Podaj wartość logiczną zdań:
a)
p
∨
q,
b)
p
∨
¬q,
c)
¬p
∨
q,
d)
p
∧
q,
e)
¬p
∧
¬q.
Implikacja.
Konstrukcja „jeżeli . . . , to . . . ” występuje często w rozważaniach matematycz-
nych. Praktycznie każde twierdzenie matematyczne ma taką postać. Nazywamy to implikacją.
Implikacja
— zdanie złożone postaci „jeżeli . . . , to . . . ”. Do oznaczenia implikacji stosujemy
symbol „⇒”. Zapis p ⇒ q czytamy „p implikuje q” lub „z p wynika q”.
p q p ⇒ q
0 0
1
0 1
1
1 0
0
1 1
1
Jak widać, implikacja jest fałszywa tylko
w przypadku, gdy stwierdza, że ze zdania
prawdziwego wynika fałsz.
Równoważność.
Równoważność
— zdanie złożone postaci „. . . wtedy i tylko wtedy, gdy . . . ”.
Do oznaczenia równoważności stosujemy symbol „⇔”. Zapis „p ⇔ q” czytamy „p jest rów-
noważne
q”.
p q p ⇔ q
0 0
1
0 1
0
1 0
0
1 1
1
Jak widać, równoważność dwóch zdań jest
prawdziwa tylko wtedy, kiedy oba zdania mają
tę samą wartość logiczną.
Przykład
3.
Zdanie: „Jeżeli liczba 1001 jest podzielna przez 13, to 1001 jest liczbą złożoną” jest
równoważne zdaniu „Jeżeli 1001 nie jest liczbą złożoną, to 1001 nie dzieli się przez 13”.
Rozwiązanie:
Oznaczając przez p zdanie „Liczba 1001 jest podzielna przez 13”, zaś przez q — zdanie
„1001 jest liczbą złożoną”, zapiszemy pierwsze zdanie złożone jako p ⇒ q, zaś dru-
gie — jako ¬q ⇒ ¬p. Wiedząc to, możemy wyrazić nasze stwierdzenie jako
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p).
Sprawdzimy je tak zwaną metodą zerojedynkową.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
6
p q p ⇒ q ¬q ¬p ¬q ⇒ ¬p
0 0
1
1
1
1
0 1
1
0
1
1
1 0
0
1
0
0
1 1
1
0
0
1
Widać, że dla dowolnych wartości p i q wartości
w kolumnach: trzeciej i szóstej są identyczne.
Znaczy to, że zdanie (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) jest
prawdziwe.
W analogiczny sposób możemy sprawdzić słuszność tzw. praw de Morgana:
¬(p
∧
q) ⇔ (¬p
∨
¬q),
¬(p
∨
q) ⇔ (¬p
∧
¬q).
Przykład
4.
Sprawdź prawdziwość zdania ¬(p
∧
q) ⇔ (¬p
∨
¬q).
Rozwiązanie:
p q p
∧
q ¬p ¬q ¬p
∨
¬q
0 0
0
1
1
1
0 1
0
1
0
1
1 0
0
0
1
1
1 1
1
0
0
0
Widać, że dla dowolnych wartości p i q wartości
w kolumnach: trzeciej i szóstej są przeciwne.
Zatem nasze zdanie jest prawdziwe.
Zachodzą prawa rozdzielności alternatywy względem koniunkcji i koniunkcji względem
alternatywy:
r
∨
(p
∧
q) ⇔ (r
∨
p)
∧
(r
∨
q),
r
∧
(p
∨
q) ⇔ (r
∧
p)
∨
(r
∧
q)
dla dowolnych zdań logicznych p, q i r.
2.2.
Kwantyfikatory
Funkcje zdaniowe.
Funkcjami zdaniowymi
nazywamy zdania logiczne, w których występują
zmienne.
Na przykład funkcja zdaniowa P(x) : 3x + 6 > 0 staje się zdaniem prawdziwym, kiedy
x > 2, zaś zdaniem fałszywym — dla wszystkich pozostałych x.
Użycie kwantyfikatorów tworzy zdania z funkcji zdaniowych. Istnieją dwa rodzaje kwanty-
fikatorów.
Kwantyfikator ogólny (duży).
Zapis
V
x
S(x) odczytujemy: „dla każdego x zachodzi S(x)”.
Kwantyfikator szczegółowy (mały).
Zapis
W
x
S(x) odczytujemy: „istnieje takie x, dla którego
zachodzi
S(x)”.
Nietrudno zauważyć, że dla wyżej wprowadzonej funkcji zdaniowej P(x) zdanie
W
x
P(x)
jest prawdziwe, zaś zdanie
V
x
P(x) — fałszywe.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
7
2.3.
Działania na zbiorach
Działania na zbiorach łączą się w naturalny sposób z operacjami logicznymi.
Suma zbiorów.
Sumą zbiorów
A i B nazywamy zbiór
A ∪ B = { x : x ∈ A
∨
x ∈ B }.
Jest prawdą, że x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A
∨
x ∈ B).
Iloczyn zbiorów.
Iloczynem
(częścią wspólną albo przekrojem) zbiorów A i B nazywamy zbiór
A ∩ B = { x : x ∈ A
∧
x ∈ B }.
Jest prawdą, że x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A
∧
x ∈ B).
Różnica zbiorów.
Różnicą zbiorów
A i B nazywamy zbiór
A \ B = { x : x ∈ A
∧
x /∈ B }.
Jest prawdą, że x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A
∧
¬x ∈ B).
Dopełnienie zbioru.
Dopełnieniem zbioru
A w przestrzeni X nazywamy zbiór
A
0
= { x ∈ X : x /∈ A }.
Jest prawdą, że x ∈ A
0
⇔ (x ∈ X
∧
¬x ∈ A).
A
B
A ∩ B
A
B
A ∪ B
A
B
A \ B
A
A
0
Rysunek
2.1.
Graficzna ilustracja działań na zbiorach
Zawieranie zbiorów.
Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B (piszemy: A ⊂ B), jeśli
każdy element zbioru A jest również elementem zbioru B. Możemy to zapisać symbolicznie:
A ⊂ B ⇔
^
x
(x ∈ A ⇒ x ∈ B) .
Z rysunku 2.1. widać, że zawsze zachodzą relacje:
(A)
A ⊂ A ∪ B,
(B)
A ∩ B ⊂ A i A ∩ B ⊂ B,
(C)
A \ B ⊂ A.
Zbiór pusty.
Zbiorem pustym
nazywamy zbiór, który nie zawiera żadnych elementów. Zbiór
pusty oznaczamy symbolem ∅.
Zachodzą równości:
(D)
A ∪ ∅ = A,
(E)
A ∩ ∅ = ∅.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
8
Zadania z wykładu
2.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Które z poniższych zdań są zdaniami w sensie matematyki:
a)
„Czy 11 jest liczbą pierwszą?”
b)
„Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.”
c)
„Każdy prostokąt ma cztery boki.”
d)
„Rozwiąż nierówność 2x − 3 > 0.”
e)
„Nieprawda, że 666 jest podzielne przez 3.”
Zadanie
2.
Jaka jest wartość logiczna zdań:
a)
(4 > 6)
∧
(3 < 4),
b)
(4 > 6)
∨
(3 < 4),
c)
„jeżeli 13 dzieli 7777, to 7777 nie jest liczbą pierwszą.”
d)
„jeżeli 7777 nie jest liczbą pierwszą, to 13 dzieli 7777.”
Zadanie
3.
Dla zbiorów: A = { 1, 2, 3, 7, 8, 9 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, C = { 5, 6, 7, 8, 9 } wy-
znacz zbiory:
a)
(A ∪ B) ∩ C,
b)
A ∪ (B ∩ C),
c)
(A ∩ B) ∪ C,
d)
(A ∩ B) \ C.
Zadanie
4.
Sprawdź za pomocą odpowiedniego rysunku oraz metodą zerojedynkową praw-
dziwość równości:
a)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
b)
(A ∩ B)
0
= A
0
∪
B
0
.
Zadanie
5.
Zastanów się nad tzw. paradoksem kłamcy: czy prawdziwe jest zdanie „To zdanie
jest fałszywe.
” ?
Zadanie
6.
Jan zawsze kłamie, zaś jego brat bliźniak zawsze mówi prawdę. Spotykamy jed-
nego z braci na rozstaju dróg. Jak powinniśmy postąpić, aby dowiedzieć się, która z dwóch
dróg prowadzi do miasta?
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
9
Wykład
3
Zbiory liczbowe.
Działania w zbiorach liczbowych
Rozwój pojęcia liczby nierozerwalnie związany jest z rozwojem cywilizacji. Istnieją do dzisiaj
prymitywne plemiona używające jedynie liczb „jeden”, „dwa” i „dużo”. Już w starożytnym
Babilonie, Indiach czy Chinach posługiwano się sprawnie nawet stosunkowo dużymi liczba-
mi.
Liczby naturalne.
Zbiór liczb naturalnych { 1, 2, 3, 4, . . . } będziemy oznaczać symbolem N .
Prawa działań arytmetycznych.
Dla dowolnych liczb a, b, c ∈ N zachodzą następujące
prawa:
(
∗A)
a + b = b + a
(prawo przemienności dodawania),
(
∗B)
a · b = b · a
(prawo przemienności mnożenia),
(
∗C)
(a + b) + c = a + (b + c)
(prawo łączności dodawania),
(
∗D)
(a · b) · c = a · (b · c)
(prawo łączności mnożenia),
(
∗E)
(a + b) · c = a · c + b · c
(prawo rozdzielności mnożenia względem dodawania).
Liczby całkowite.
Rozszerzenie pojęcia liczby na liczby ujemne było procesem niełatwym
i wymagało przełamania pewnych przyzwyczajeń. Używano liczb ujemnych, jednak trakto-
wano je przez wieki jako obiekty niepełnowartościowe, nierealne. Gdy w transakcjach han-
dlowych operowano pojęciami „winien” i „ma”, zauważono, że długi można opisać liczbami
ujemnymi.
Zbiór liczb całkowitych { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } będziemy oznaczać symbolem C. Nie-
trudno sprawdzić, że w zbiorze C również spełnione są prawa
(
∗A–∗E)
.
Liczby wymierne.
Zbiorem liczb wymiernych nazywamy zbiór W =
p
q
: p ∈ C, q ∈ N
z działaniami określonymi za pomocą wzorów:
p
1
q
1
+
p
2
q
2
=
p
1
·
q
2
+ p
2
·
q
1
q
1
·
q
2
,
p
1
q
1
·
p
2
q
2
=
p
1
·
p
2
q
1
·
q
2
.
Liczbę p nazywamy licznikiem, a liczbę q — mianownikiem liczby wymiernej
p
q
.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
10
Pojęcie równości i nierówności oczywiste w zbiorze liczb całkowitych C, w świecie liczb
wymiernych rozumiemy następująco:
p
1
q
1
=
p
2
q
2
⇔ p
1
·
q
2
= p
2
·
q
1
,
p
1
q
1
<
p
2
q
2
⇔ p
1
·
q
2
< p
2
·
q
1
.
Z uwagi na fakt, że każdej liczbie całkowitej p odpowiada w naturalny sposób liczba
wymierna
p
1
, zbiór liczb całkowitych C będziemy traktować jako podzbiór zbioru liczb wy-
miernych W.
Prawa arytmetyki
(
∗A–∗E)
ze strony 10 zachodzą także w zbiorze liczb wymiernych.
Oś liczbowa.
Wprowadzimy pojęcie osi liczbowej. Oznaczając na linii prostej położenie liczb
0 i 1, możemy konstrukcyjnie wyznaczyć położenie kolejnych liczb całkowitych, odkłada-
jąc odpowiednią liczbę odcinków jednostkowych w prawo lub w lewo. Podobnie możemy
konstrukcyjnie wyznaczyć na osi liczbowej punkty odpowiadające liczbom wymiernym. Jeśli
mianownik liczby wymiernej wynosi q, dzielimy odcinek jednostkowy na q równych części.
Punkty podziału odpowiadają kolejnym liczbom o mianowniku q, począwszy od
1
q
aż do
q
q
= 1.
Nietrudno zauważyć, że w dowolnym odcinku osi liczbowej leży nieskończenie wiele liczb
wymiernych. Można sprawdzić, że jeśli liczba wymierna w
1
jest mniejsza od liczby wymiernej
w
2
, to liczba w
1
leży na osi liczbowej na lewo od liczby w
2
. Starożytni Grecy długo sądzili, że
każdy punkt osi liczbowej odpowiada jakiejś liczbie wymiernej. Bardzo ładne rozumowanie
(sprzed ponad 2000 lat) dowodzi, że przekątna kwadratu o boku 1 ma długość nie będącą
liczbą wymierną.
Fakt.
W zbiorze liczb wymiernych równanie x
2
= 2 nie ma rozwiązania.
Dowód:
Załóżmy nie wprost, że taka liczba istnieje, tzn. że istnieją liczby p, q ∈ N , takie że
p
q
2
= 2. Bez straty ogólności rozumowania możemy założyć, że liczby p i q są
względnie pierwsze, tzn. ich największym wspólnym podzielnikiem jest liczba 1.
Powyższe założenia prowadzą do wniosku, że p
2
= 2 · q
2
. Zatem liczba p
2
jest
parzysta, czyli parzysta jest również liczba p. Istnieje więc liczba n ∈ N , taka że p = 2·n.
Prowadzi to do równości q
2
= 2 · n
2
i w konsekwencji do wniosku, że liczba q również
jest parzysta.
W tym momencie uzyskujemy sprzeczność z faktem, że liczby p i q są względnie
pierwsze.
Liczby rzeczywiste.
Okazało się, że zbiór W nie wypełnia całej osi liczbowej i są na niej
luki. Luki te odpowiadają tzw. liczbom niewymiernym. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy
symbolem N W.
Przykład
1.
Liczbami niewymiernymi są na przykład: π, π
2
,
√
2, 1 −
√
3,
√
2 +
√
3,
√
n dla
dowolnej liczby n ∈ N nie będącej kwadratem liczby naturalnej.
Wszystkie liczby wymierne i niewymierne, traktowane łącznie, nazywamy liczbami rzeczy-
wistymi
. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
11
Można dowieść, że w zbiorze liczb rzeczywistych R zachodzą wszystkie prawa arytmetyki
(
∗A–∗E)
wymienione na stronie 10. Dowód tego faktu wykracza znacznie poza zakres kursu
matematyki na naszym kierunku studiów.
Zachodzą oczywiste związki:
N ⊂ C ⊂ W ⊂ R
,
N W ⊂ R
,
W ∪ N W
= R,
W ∩ N W
= ∅.
Fakt.
Liczby niewymierne mają nieskończone rozwinięcie dziesiętne Rozwinięcia dziesiętne
okresowe przedstawiają liczby wymierne.
Przykład
2.
Liczba 0,(2) = 0,2222 . . . jest wymierna.
Rozwiązanie:
Liczba
x = 0,(2)
spełnia równość 10x = 2,(2).
Odejmując stronami obie równości otrzymamy
9x = 2.
Zatem 0,2222 . . . =
2
9
.
Przykład
3.
Przedstaw liczbę 2,3(15) = 2,3151515 . . . w postaci ułamka.
Rozwiązanie:
Oznaczmy x = 0,0(15). Stąd 10x = 0,(15),
zatem także 1 000x = 15,(15).
Odejmując stronami ostatnie dwie równości otrzymamy równanie
990x = 15
i ostatecznie 2,3(15) = 2 +
52
165
= 2
52
165
.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
12
Zadania z wykładu
3.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Oblicz wartości wyrażeń nie używając kalkulatora:
a)
(0,75 : 0,125) · 0,25 −
1
4
+ 3,5,
b)
1
1
7
·
14
8
−
5
4
: 2
1
2
+ 3,
c)
−2,3 : 0,1 −
69
23
52 : (−2)
−
−0,7 · 3 − 4,2 : 2
0,6
,
d)
3
4
−
2
5
2
5
−
5
6
:
2,3 : 3,5
4,2 ·
2
3
.
Zadanie
2.
Sprawdź, która z liczb jest większa:
a)
21
32
czy
42
65
,
b)
0,3
5/2
czy 0,3
3/2
,
c)
√
5 czy
3
√
5,
d)
r
1
5
czy
3
r
1
5
.
Zadanie
3.
Liczbę 5,2353535 . . . = 5,2(35) przedstaw w postaci ułamka.
Zadanie
4.
Sprawdź, czy liczba
1
1 −
√
2
jest wymierna.
Zadanie
5.
Czy prawdą jest, że:
a)
różnica liczb całkowitych jest całkowita,
b)
iloczyn liczb ujemnych jest ujemny,
c)
wszystkie liczby ujemne są wymierne,
d)
liczba przeciwna do liczby wymiernej jest niewymierna,
e)
każda liczba całkowita jest wymierna,
f)
kwadrat liczby niewymiernej jest niewymierny,
g)
suma liczb niewymiernych jest niewymierna.
Zadanie
6.
Które z poniższych zależności są fałszywe:
a)
C ⊂ N
,
b)
C ∪ W
= W,
c)
C ⊂ W
,
d)
W ∪ N W
= R.
Zadanie
7.
Podaj przykład liczby będącej promieniem okręgu, którego obwód jest liczbą
wymierną.
Zadanie
8.
Jeśli pole prostokąta i długość jego boku a są liczbami wymiernymi, to co można
powiedzieć o jego drugim boku b?
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
13
Wykład
4
Przekształcanie wyrażeń
algebraicznych
4.1.
Działania algebraiczne na liczbach
Kolejność wykonywania działań.
Podstawowe działania arytmetyczne wykonuje się w na-
stępującej kolejności: najpierw działania w nawiasach, następnie potęgowanie i pierwiastko-
wanie, potem mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie.
Stosowanie powyższej umowy zwalnia nas od konieczności używania nawiasów np. w za-
pisie w = x · y + 3 · z. Gdyby nie ta zasada, musielibyśmy pisać: w = (x · y) + (3 · z).
Wzorami skróconego mnożenia
nazywamy grupę bardzo często używanych wzorów, bez
których trudno wyobrazić sobie możliwość efektywnego wykonania wielu obliczeń.
Wzory skróconego mnożenia.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b zachodzą następu-
jące związki:
(A)
(a + b)
2
= a
2
+ 2 · a · b + b
2
,
(B)
(a − b)
2
= a
2
− 2 · a · b + b
2
,
(C)
a
2
− b
2
= (a − b) · (a + b),
(D)
(a + b)
3
= a
3
+ 3 · a
2
·
b + 3 · a · b
2
+ b
3
,
(E)
(a − b)
3
= a
3
− 3 · a
2
·
b + 3 · a · b
2
− b
3
,
(F)
a
3
− b
3
= (a − b) · (a
2
+ a · b + b
2
),
(G)
a
3
+ b
3
= (a + b) · (a
2
− a · b + b
2
).
Ich prawdziwość można sprawdzić korzystając z praw arytmetyki
(
∗A–∗E)
— patrz wykład 3.,
str. 10. Dwa ostatnie wzory można uogólnić na przypadek wykładników innych niż 3.
Różnica i suma
n
-tych potęg.
Dla dowolnego wykładnika n ∈ N różnica n-tych potęg
wyraża się wzorem
(H)
a
n
− b
n
= (a − b) ·
a
n−1
+ a
n−2
·
b + a
n−3
·
b
2
+ · · · + a · b
n−2
+ b
n−1
.
Ponadto dla wykładników n będących liczbami nieparzystymi, obowiązuje podobny wzór na
sumę n-tych potęg:
(I)
a
n
+ b
n
= (a + b) ·
a
n−1
− a
n−2
·
b + a
n−3
·
b
2
− · · · − a · b
n−2
+ b
n−1
.
Szczególnie wzór
(H)
ma liczne zastosowania.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
14
Przykład
1.
Dla n = 5 na podstawie
(H–I)
otrzymamy:
a
5
− b
5
= (a − b) ·
a
4
+ a
3
·
b + a
2
·
b
2
+ a · b
3
+ b
4
,
a
5
+ b
5
= (a + b) ·
a
4
− a
3
·
b + a
2
·
b
2
− a · b
3
+ b
4
.
Uwaga:
Wielu uczniów i studentów popełnia w rachunkach typowe błędy. Oto kilka najczęściej
spotykanych:
•
nieprawda
, że a − (b + c) = a − b + c (bo np. 1 = 5 − (3 + 1) 6= 5 − 3 + 1 = 3),
•
nieprawda
, że (a + b)
2
= a
2
+ b
2
(bo np. 25 = (2 + 3)
2
6
= 2
2
+ 3
2
= 13),
•
nieprawda
, że (a − b)
2
= a
2
− b
2
(bo np. 1 = (3 − 2)
2
6
= 3
2
− 2
2
= 5),
•
nieprawda
, że (a + b) · c = a + b · c (bo np. 20 = (2 + 3) · 4 6= 2 + 3 · 4 = 14),
•
nieprawda
, że
a + b
a
= 1 + b (bo np. 3 =
2 + 4
2
6
= 1 + 4 = 5),
•
nieprawda
, że
√
a + b =
√
a +
√
b (bo np. 5 =
√
16 + 9 6=
√
16 +
√
9 = 7),
•
nieprawda
, że log(a + b) = log a + log b
(bo np. 1 = log 10 = log(9 + 1) 6= log 9 + log 1 = log 9).
Kilka spośród powyższych „równości” to szczególne przypadki ogólnej zależności po-
staci f(a + b) = f(a) + f(b). Warto uświadomić sobie, że zależność tego typu zachodzi
wyłącznie
dla funkcji postaci f(x) = c · x, gdzie c jest dowolną stałą. Inne są skutkiem
zwykłej nieuwagi. Tego typu „głupie” błędy mogą uniemożliwić poprawne rozwiązanie
zadania i zmarnotrawić naszą ciężką pracę!
Przykład
2.
Uprość podane wyrażenia stosując wzory
(A–G)
:
a)
(a − 1)
2
− (3a
2
+ 5a − 1) + (−2a + 1)
2
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik: 2a
2
−
11a + 3.
b)
(2x − 3y)
3
− (2x + 3y)
3
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik: −72x
2
−
54y
3
.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
15
Przykład
3.
Rozłóż na czynniki:
a)
100 − 25 · (a + b)
2
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik: 25 · (2
2
− (
a + b)
2
) =
25 · (2 − a − b) · (2 + a + b).
b)
(a − 1)
3
− 1
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik: = ((a − 1) − 1) · ((a − 1)
2
+ (
a − 1) + 1) = (a − 2) · (a
2
−
a + 1).
Przykład
4.
Usuń niewymierność z mianowników ułamków:
a)
2 +
√
3
4 ·
√
3
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
b)
2
1 +
3
√
5
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik:
1 −
3
√
5 +
3
√
5
2
3
.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
16
4.2.
Procenty i promile
Definicja procenta.
p procent (p%) z liczby a to p ·
a
100
.
Pojęcie procenta jest często używane w mediach, sklepach, operacjach bankowych.
Przykład
5.
Zamontowanie ogrodzenia kosztuje 21 400 zł wraz z 7% podatkiem VAT. Jaki jest
ten koszt bez podatku?
Rozwiązanie:
x + 7% · x = 21 400
1,07 · x = 21 400
x =
21 400
1,07
= 20 000
Przykład
6.
Cena towaru wzrosła w sobotę o 20%, a w poniedziałek zmalała o 20%. O ile
procent zdrożał ten towar? Co by się zmieniło, gdyby cena najpierw zmalała, a potem wzro-
sła?
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
7.
Jaka jest stopa procentowa, jeśli przy rocznej kapitalizacji odsetek kapitał zwięk-
szył się o 40% po 7 latach?
Rozwiązanie:
Niech x oznacza szukaną stopę procentową. Otrzymujemy równanie: K ·
1 +
x
100
7
=
= K +
40
100
K, gdzie K — kapitał. Po skróceniu przez niezerową wartość kapitału
1 +
x
100
7
=
7
5
. Dalej x = 100 · (
7
√
1,4 − 1) ≈ 4,9.
Definicja promila.
p promili (p%) z liczby a to p ·
a
1000
.
Przykład
8.
Ile gramów czystego alkoholu jest w 5 kg krwi osoby, u której stwierdzono
zawartość 2,1 promila alkoholu?
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik: 10,5 g.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
17
Zadania z wykładu
4.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Przedstaw w postaci iloczynu czynników:
a)
x
4
− y
4
,
b)
(x − 1)
3
− 1,
c)
1 − 15x + 75x
2
− 125x
3
,
d)
(2x − y)
2
− (x + 2y)
2
.
Zadanie
2.
Usuń niewymierność z mianownika ułamków:
a)
−3 + 2 ·
√
5
2 ·
√
5 + 3
,
b)
2
3
√
3
2
−
3
√
3 + 1
.
Zadanie
3.
Sprawdź prawdziwość wzoru: x
3
+ y
3
= (x + y) · (x
2
− x · y + y
2
).
Zadanie
4.
Zapisz wzory
(H–I)
ze strony 14 dla n = 6.
Zadanie
5.
Zastosuj wzór
(H)
ze strony 14 dla przedstawienia 1 − q
n
w postaci iloczynu
(wskazówka: przyjmij a = 1, b = q).
Zadanie
6.
Cena książki z 7% podatkiem VAT wynosi 48,15 zł. Jaka będzie jej cena, jeżeli
VAT wzrośnie do 22%?
Zadanie
7.
Jeżeli masz stypendium niższe o 75% niż kolega, to o ile procent jego stypendium
jest wyższe od Twojego?
Zadanie
8.
Towar przeceniono o 30%. O ile procent był on droższy przed przeceną?
Zadanie
9.
Oszacuj, jaka byłaby w 2009 roku kwota kapitału od jednego grosza wpłaconego
na początku naszej ery na konto z oprocentowaniem 5% w skali rocznej.
Zadanie
10.
Kolarz wjeżdżał pod górę ze średnią prędkością 15 km/h. O ile procent musi
zwiększyć szybkość przy zjeździe, aby średnia prędkość podczas całej jazdy wyniosła
30 km/h?
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
18
Wykład
5
Dwumian Newtona.
Wartość bezwzględna
Silnia.
Silnią
liczby naturalnej n nazywamy liczbę
n! = 1 · 2 · 3 · . . . · n.
Ponadto przyjmuje się, że 0! = 1.
Przykład
1.
•
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 3! · 4 = 24.
•
30! = 265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000.
Można łatwo zauważyć, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi związek
(n + 1)! = n! · (n + 1).
Symbol Newtona.
Symbolem Newtona
(n po k) nazywamy wyrażenie
n
k
!
=
n!
k! · (n − k)!
.
Wartość symbolu Newtona
n
k
!
równa się liczbie k-elementowych podzbiorów zbioru n-ele-
mentowego i pełni ważną rolę w kombinatoryce.
Przykład
2.
•
4
2
!
=
4!
2! · (4 − 2)!
=
4!
2! · 2!
= 6.
•
9
1
!
=
9!
1! · 8!
= 9.
Właściwości symbolu Newtona.
Dla dowolnych liczb naturalnych n i k zachodzą związki:
(A)
n
0
!
=
n
n
!
= 1,
(B)
n
1
!
=
n
n − 1
!
= n,
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
19
(C)
n
k
!
=
n
n − k
!
,
(D)
n
k
!
+
n
k + 1
!
=
n + 1
k + 1
!
.
Ostatnia własność uzasadnia poprawność tzw. trójkąta Pascala:
0.
1
1.
1
1
2.
1
2
1
3.
1
3
3
1
4.
1
4
6
4
1
5.
1
5
10
10
5
1
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
w każdym wierszu trójkąta
Pascala z obu skrajów dopisuje
się jedynki. Pozostałe wartości
są sumami sąsiadów: „lewego
górnego” i „prawego górnego”.
Wzór Newtona.
Dla dowolnych a, b ∈ R i dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi tożsa-
mość
(a + b)
n
=
n
0
!
·
a
n
+
n
1
!
·
a
n−1
·
b +
n
2
!
·
a
n−2
·
b
2
+ · · · +
+
n
n − 1
!
·
a · b
n−1
+
n
n
!
·
b
n
.
Przykład
3.
(a + b)
4
=
4
0
!
·
a
4
+
4
1
!
·
a
3
·
b +
4
2
!
·
a
2
·
b
2
+
4
3
!
·
a · b
3
+
4
3
!
·
b
3
=
= a
4
+ 4 · a
3
·
b + 6 · a
2
·
b
2
+ 4 · a · b
3
+ b
4
.
Widać, że współczynniki w ostatnim wyrażeniu pochodzą z czwartego wiersza trójkąta Pas-
cala.
Podstawiając do wzoru Newtona a = b = 1, otrzymamy
2
n
= (1 + 1)
n
=
n
0
!
+
n
1
!
+
n
2
!
+ · · · +
n
n − 1
!
+
n
n
!
.
Wartość bezwzględna.
Wartością bezwzględną
liczby x ∈ R nazywamy liczbę
|x| =
x dla x 0,
−x dla x < 0.
Funkcja y = |x| i jej wykres pełnią ważną rolę w analizie matematycznej. Wykres funkcji
y = |x| jest przedstawiony na rysunku 5.1.
Fakt.
Dla dowolnych liczb x, y ∈ R wartość wyrażenia |x − y| równa jest odległości punktów
x i y na osi liczbowej.
Warto odnotować najważniejsze właściwości wartości bezwzględnej.
Własności wartości bezwzględnej:
(A)
|x|
2
= x
2
,
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
20
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
1
2
3
4
y
y = |x|
Rysunek
5.1.
Wykres funkcji
x 7→ |x|
(B)
|x| = |y| ⇔ x
2
= y
2
,
(C)
|a + b| ¬ |a| + |b|
(jest to tzw. nierówność trójkąta),
(D)
|x · y| = |x| · |y|,
(E)
x
y
=
|x|
|y|
.
Fakt.
Dla dowolnej liczby dodatniej a ∈ R
+
rozwiązaniem nierówności |x| ¬ a jest przedział
obustronnie domknięty h−a, ai.
Przykład
4.
Rozwiąż nierówność |3x − 5| ¬ 4.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
21
Zadania z wykładu
5.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Oblicz wartości:
a)
7!,
b)
16!
12!
,
c)
49
6
!
(jest to ilość możliwych zakładów w Totolotku przy skreślaniu
sześciu spośród 49 możliwych liczb),
d)
(1 + x)
4
,
e)
(2a − b)
5
,
f)
(x − y)
7
,
g)
1 −
√
2
.
Zadanie
2.
Naszkicuj wykresy funkcji:
a)
y = |x − 2|,
b)
y = |3x − 2|,
c)
y = |x − 1| + |x + 1|,
d)
y = 3x − |x − 2|.
Zadanie
3.
Dla funkcji f(x) = x − |x| wyznacz wartości: f(0,9) i f(−1,2).
Zadanie
4.
Wyznacz odległość liczb −3 i 5 na osi liczbowej.
Zadanie
5.
Uprość wyrażenia:
a)
1 −
√
7
+
2 ·
√
7 − 10
,
b)
2 ·
√
5 − 7
1 +
√
7
,
c)
3 −
√
11
4 −
√
11
.
Zadanie
6.
Rozwiąż nierówność |x − 2| ¬ 3.
Zadanie
7.
Sprowadź do najprostszej postaci wyrażenie |5 − x| + |x − 3| − |x + 1|
dla x ∈ h6, 11i.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
22
Wykład
6
Geometria analityczna.
Wektory
Kartezjański układ współrzędnych.
Współrzędne wektora łączącego punkt początkowy
P(p
x
, p
y
) z punktem końcowym Q(q
x
, q
y
) obliczamy odejmując od współrzędnych punktu
końcowego współrzędne punktu początkowego (por. rysunek 6.1.):
−
→
PQ = [q
x
− p
x
, q
y
− p
y
].
y
x
P(p
x
, p
y
)
Q(q
x
, q
y
)
−
→
u
u
x
u
y
q
x
q
y
p
x
p
y
Rysunek
6.1.
Kartezjański układ współrzędnych
Działania na wektorach.
Niech −
→
u = [u
x
, u
y
], −
→
v = [v
x
, v
y
]. Sumę i różnicę wektorów obli-
czamy według wzoru
−
→
u ± −
→
v = [u
x
±
v
x
, u
y
±
v
y
].
Mnożenie wektora −
→
u przez liczbę p ∈ R przeprowadzamy według wzoru
p · −
→
u = [p · u
x
, p · u
y
].
Przykład
1.
Niech A(2, 4), B(−1, 1), C(4, 0). Oblicz współrzędne wektorów
−
→
AB i
−
→
AC.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik:
−
→
AB = [−3, −3],
−
→
AC = [2, −4].
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
23
y
x
−
→
u
−
→
v
−−
→
v
−
→
u + −
→
v
−
→
u − −
→
v
Rysunek
6.2.
Graficzne dodawanie i odejmowanie wektorów
Oblicz
−
→
AB +
−
→
AC,
−
→
AB −
−
→
AC, 5 ·
−
→
AB.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik:
−
→
AB +
−
→
AC = [−1, −7],
−
→
AB −
−
→
AC = [−5, 1], 5 ·
−
→
AB = [−15, −15].
Wykonaj te działania także graficznie.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
24
Długość wektora.
Niech −
→
u = [u
x
, u
y
]. Długość wektora −
→
u obliczamy według wzoru
−
→
u
=
q
u
2
x
+ u
2
y
.
Długość odcinka.
Niech P(p
x
, p
y
), Q(q
x
, q
y
). Długość odcinka PQ obliczamy według wzoru
|PQ| =
q
(q
x
− p
x
)
2
+ (q
y
− p
y
)
2
.
Przykład
2.
Oblicz |AB| dla punktów A i B z przykładu 1.
Rozwiązanie:
−
→
AB = [−3, −3], |AB| =
√
9 + 9 = 2
√
3.
Podział odcinka.
Punkt P
1
jest pierwszym punktem podziału odcinka AB na równych n części,
jeżeli
−
→
AB = n ·
−−
→
AP
1
. Pozostałe punkty podziału wyznacza się analogicznie.
Przykład
3.
Podziel odcinek AB z przykładu 1. na 3 równe części.
Rozwiązanie:
−
→
AB = [−3, −3]; P
1
= (x, y);
−−
→
AP
1
= [x+3, y+3];
−
→
AB = 3
−−
→
AP
1
; [−3, −3] = 3[x+3, y+
3]; −3 = 3(x + 3), −3 = 3(y + 3); x = −4, y = −4; P
1
(−4, −4).
Współrzędne punktu P
2
możemy wyliczyć na kilka sposobów np.
−−
→
AP
2
= 2
−−
→
AP
1
albo
−−
→
P
2
P
1
=
−−
→
P
1
A.
Napisz i rozwiąż podobne równania dla punktu P
3
.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
4.
Wyprowadź wzory na współrzędne środka odcinka.
Rozwiązanie:
Niech A(x
1
, y
1
) oraz B(x
2
, y
2
). Niech punkt S(x
s
, y
s
) będzie środkiem odcinka AB.
Rozpisując równość
−
→
AS =
−
→
SB dostajemy [x
s
− x
1
, y
s
− y
1
] = [x
2
− x
s
, y
2
− y
s
]. Zatem
x
s
= (x
1
+ x
2
)/2, y
s
= (y
1
+ y
2
)/2.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
25
Współliniowość punktów.
Punkty A, B i C są współliniowe, jeżeli istnieje taka liczba k ∈ R,
że spełnione jest równanie wektorowe
−
→
AC = k ·
−
→
AB.
Przykład
5.
Sprawdź, czy punkty A, B i C z przykładu 1. są współliniowe.
Rozwiązanie:
Sprawdzamy, czy istnieje taka liczba k ∈ R, by
−
→
AC = k ·
−
→
AB. Warunek ten prowadzi do
układu równań −3k = 2 oraz −3k = 4. Układ ten jest sprzeczny — zatem punkty nie są
współliniowe.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów.
Niech −
→
u = [u
x
, u
y
], −
→
v = [v
x
, v
y
]. Iloczyn skalarny
obliczamy jako
−
→
u · −
→
v = u
x
·
v
x
+ u
y
·
v
y
.
Kąt pomiędzy wektorami.
Znając współrzędne wektorów, potrafimy obliczyć cosinus wy-
znaczonego przez nie kąta:
cos(−
→
u , −
→
v ) =
−
→
u · −
→
v
−
→
u
·
−
→
v
.
Wniosek:
Wektory −
→
u i −
→
v są prostopadłe, gdy −
→
u · −
→
v = 0.
Przykład
6.
Oblicz kąty w trójkącie o wierzchołkach A, B i C z przykładu 1.
Rozwiązanie:
Mamy
−
→
AB = [−3, −3],
−
→
AC = [2, −4], |AB| = 2
√
3, |AC| = 2
√
5. Iloczyn skalarny
wynosi
−
→
AB ·
−
→
AC = 6. Zatem cos(α) =
√
15
10
≈
0,387, czyli α ≈ 67
◦
. Pozostałe kąty
wyliczamy analogicznie.
Pole trójkąta rozpiętego na dwóch wektorach.
Niech −
→
u = [u
x
, u
y
], −
→
v = [v
x
, v
y
]. Pole
trójkąta rozpiętego na wektorach −
→
u i −
→
v zaczepionych we wspólnym początku wynosi
P =
1
2
·
u
x
u
y
v
x
v
y
=
1
2
·
|u
x
·
v
y
− u
y
·
v
x
| .
Wniosek:
Wektory −
→
u i −
→
v są równoległe, gdy
u
x
u
y
v
x
v
y
= 0.
Przykład
7.
Oblicz pole trójkąta ABC.
Rozwiązanie:
−
→
u =
−
→
AB = [−3, −3]; −
→
v =
−
→
AC = [2, −4]; stąd P =
1
2
·
−3 −3
2
−4
=
1
2
·
|12 − (−6)| = 9.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
26
Zadania z wykładu
6.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Niech A(3, 3), B(1, 4), C(0, −5).
Zadanie
1.
Oblicz współrzędne wektorów
−
→
AB,
−
→
AC i
−
→
BC.
Zadanie
2.
Oblicz długości boków i kąty trójkąta ABC.
Zadanie
3.
Oblicz
−
→
AB +
−
→
AC,
−
→
AB −
−
→
AC, 3 ·
−
→
BC.
Zadanie
4.
Podziel odcinek AB na 5 równych części (tzn. wyznacz współrzędne wszystkich
punktów podziału).
Zadanie
5.
Znajdź rzut prostopadły C
0
punktu C na prostą AB. Sprawdź, czy punkty A, B
i C
0
są współliniowe. Nie korzystaj z równania prostej, tylko z działań na wektorach.
Zadanie
6.
Wyprowadź warunek równoległości wektorów. (wskazówka: patrz zadanie 5.).
Zadanie
7.
Oblicz pole trójkąta ABC.
Zadanie
8.
Oblicz kąt AC
0
C o wierzchołku w punkcie C
0
z zadania 5.
Zadanie
9.
Znajdź punkt D, tak by punkty ABCD utworzyły równoległobok. Oblicz jego
pole.
Zadanie
10.
Na osi OX znajdź punkt P, tak by wektor
−
→
PA był prostopadły do wektora
−
→
AB.
Zadanie
11.
Na osi OY znajdź punkt R, tak by wektor
−
→
AR był prostopadły do wektora
−
→
AB.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
27
Wykład
7
Geometria analityczna.
Równanie prostej
Równanie prostej:
a)
równanie kierunkowe: y = m · x + b,
b)
równanie ogólne: A · x + B · y + C = 0,
c)
równanie odcinkowe:
x
a
+
y
b
= 1.
Ważne własności równania prostej:
(A)
m = tg(α),
(B)
wektor −
→
n = [A, B] jest prostopadły do prostej,
(C)
a, b: współrzędne punktu przecięcia prostej z osiami OX i OY
(patrz rysunek 7.1 poniżej).
y
x
a
b
` :
x
a
+
y
b
= 1
−
→
n
α
Rysunek
7.1.
Interpretacja parametrów równania prostej
Proste równoległe.
Dwie proste dane w postaci kierunkowej
y = m
1
·
x + b
1
oraz y = m
2
·
x + b
2
są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe, m
1
= m
2
.
Dwie proste dane w postaci ogólnej
`
1
: A
1
·
x + B
1
·
y + C
1
= 0,
`
2
: A
2
·
x + B
2
·
y + C
2
= 0
są równoległe, jeżeli
A
1
B
1
A
2
B
2
= 0.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
28
Proste prostopadłe.
Dwie proste dane w postaci kierunkowej
y = m
1
·
x + b
1
oraz y = m
2
·
x + b
2
są prostopadłe, jeżeli m
1
=
−1
m
2
.
Dwie proste dane w postaci ogólnej
`
1
: A
1
·
x + B
1
·
y + C
1
= 0,
`
2
: A
2
·
x + B
2
·
y + C
2
= 0
są prostopadłe, jeżeli iloczyn skalarny ich wektorów normalnych jest równy 0, czyli
[A
1
, B
1
] · [A
2
, B
2
] = 0, czyli A
1
·
A
2
+ B
1
·
B
2
= 0.
Przykład
1.
Niech P(2, 4), Q(6, 1).
a)
Napisz równanie kierunkowe, ogólne i odcinkowe prostej PQ.
b)
Wyznacz kąt nachylenia prostej PQ; znajdź współrzędne jej punktów przecięcia z osia-
mi współrzędnych.
c)
Oblicz pole trójkąta ograniczonego prostą PQ i osiami współrzędnych.
d)
Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej PQ i przechodzącej przez punkt Q.
e)
Oblicz odległość prostej PQ od środka układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
29
Odległość punktu od prostej.
Odległość punktu P(x
0
, y
0
) od prostej ` danej równaniem
ogólnym Ax + By + C = 0 obliczamy według wzoru
d(`, P) =
|A · x
0
+ B · y
0
+ C|
|[A, B]|
=
|A · x
0
+ B · y
0
+ C|
√
A
2
+ B
2
.
W szczególności odległość prostej ` od środka układu współrzędnych S(0, 0) wynosi
d(`, S) =
|C|
|[A, B]|
=
|C|
√
A
2
+ B
2
.
Przykład
2.
Rozwiąż jeszcze raz przykład 1.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Odległość prostych równoległych.
Odległość dwóch prostych równoległych `
1
i `
2
danych
równaniami ogólnymi
`
1
: A · x + B · y + C
1
= 0,
`
2
: A · x + B · y + C
2
= 0
wynosi
d(`
1
, `
2
) =
|C
1
− C
2
|
|[A, B]|
=
|C
1
− C
2
|
√
A
2
+ B
2
.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
30
Przykład
3.
a)
Napisz równanie prostej równoległej do prostej PQ i przechodzącej przez punkt R(5, 5).
b)
Oblicz jej odległość od prostej PQ.
c)
Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej PQ i przechodzącej przez punkt R.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
4.
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A(2, 3) i tworzącej wraz
z osiami OX i OY trójkąt o polu równym P = 12.
Rozwiązanie:
` :
x
a
+
y
b
= 1. Punkt A należy do `, więc
2
a
+
3
b
= 1. Pole trójkąta prostokątnego P
wynosi
1
2
·
|a| · |b| = 12.
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
31
Zadania z wykładu
7.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Niech A(−3, 3), B(1, 6).
a)
Napisz równanie prostej AB.
b)
Napisz równanie prostej prostopadłej do prostej AB i przechodzącej środek odcinka
AB (jest to tzw. symetralna odcinka AB).
c)
Znajdź punkty przecięcia tej prostej z osiami OX oraz OY.
d)
Napisz równania prostych równoległych do prostych AB i oddalonych od niej o 2.
e)
Oblicz pole trójkąta ograniczonego prostą AB oraz osiami współrzędnych.
f)
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt A i tworzącej wraz z osiami OX
i OY trójkąt o polu równym 1.
Zadanie
2.
Treść jak w zadaniu 1., tylko A(−3, 3), B(6, 3).
Zadanie
3.
Treść jak w zadaniu 1., tylko A(−3, 3), B(−3, 6).
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
32
Wykład
8
Geometria analityczna.
Trójkąt. Okrąg
8.1.
Trójkąt
„Rozwiązywanie trójkąta” polega na wyznaczeniu kątów i długości jego boków, mając jako
dane długości dwóch boków i kąt, dwa kąty i bok, albo trzy boki. Obliczenia wykonujemy
z wykorzystaniem dwóch przedstawionych niżej twierdzeń.
Twierdzenie
1.
(twierdzenie cosinusów).
W dowolnym trójkącie o bokach
a, b, c, i kącie naprze-
ciw boku
c równym γ zachodzi równość
c
2
= a
2
+ b
2
− 2 · a · b · cos(γ).
Wniosek:
Twierdzenie Pitagorasa jest szczególnym przypadkiem twierdzenia cosinusów.
Twierdzenie
2.
(twierdzenie sinusów).
W dowolnym trójkącie o bokach
a, b, c, i kątach leżących
naprzeciw tych boków równych odpowiednio
α, β i γ (patrz rysunek 8.1.) zachodzi równość
a
sin α
=
b
sin β
=
c
sin γ
.
c
a
b
α
β
γ
Rysunek
8.1.
Trójkąt z oznaczeniami
Przykład
1.
Niech a = 3, b = 5, β = 110
◦
. Oblicz pozostałe kąty i długości boków trójkąta.
Rozwiązanie:
a
sin α
=
b
sin β
; γ = π − (α + β);
c
sin γ
=
a
sin α
.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
33
Przykład
2.
Niech a = 3, b = 5, γ = 30
◦
. Oblicz pozostałe kąty i długości boków trójkąta.
Rozwiązanie:
c
2
= a
2
+ b
2
− 2 · a · b · cos γ;
a
sin α
=
c
sin γ
;
b
sin β
=
c
sin γ
.
Twierdzenie
3.
(twierdzenie Talesa).
Zachodzą następujące proporcje
SA
1
SB
1
=
SA
2
SB
2
=
A
1
A
2
B
1
B
2
,
przy oznaczeniach jak na rysunku 8.2.
S
A
1
A
2
B
1
B
2
Rysunek
8.2.
Kąt przecięty dwiema prostymi równoległymi
Przykład
3.
Niech A(0, 0), B(2, 0), C(0, 5), D(0, 1). Przez punkt D poprowadzono prostą rów-
noległą do osi OX, która przecina odcinek BC w punkcie D
0
. Oblicz długość odcinka DD
0
.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
34
8.2.
Okrąg
Równanie okręgu.
Współrzędne punktu P(x, y) należącego do okręgu o środku w punkcie
S(a, b) i promieniu r spełniają równanie
(x − a)
2
+ (y − b)
2
= r
2
.
Przykład
4.
Niech A(0, 0), B(1, 3), C(−2, 2). Napisz równanie okręgu przechodzącego przez
punkty A, B i C.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
5.
Napisz równanie stycznej do okręgu (x−2)
2
+(y+3)
2
= 4 i przechodzącej przez
punkt S(0, 0).
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
35
Przykład
6.
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A(2, 3) i stycznego do obu
osi układu współrzędnych.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
36
Zadania z wykładu
8.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
W trójkącie dane jest a = 3, c = 5, β =
1
3
π. Znajdź pozostałe boki i kąty.
Zadanie
2.
W trójkącie dane jest a = 3, α =
1
6
π, β =
3
4
π. Znajdź pozostałe boki i kąty.
Zadanie
3.
W trójkącie dane są długości boków a = 3, b = 5, c = 6. Znajdź kąty tego
trójkąta.
Zadanie
4.
W trójkącie dane są długości boków a = 3, b = 5, c = 9. Znajdź kąty tego
trójkąta.
Zadanie
5.
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A(1, 1), B(4, 0) i C(5, 6).
Zadanie
6.
Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A(1, 1), B(0, 2) i C(2, 0).
Zadanie
7.
Punkt A(1, 2) leży na okręgu o równaniu (x − 3)
2
+ (y + 5)
2
= r
2
. Znajdź promień
tego okręgu.
Zadanie
8.
Punkty A(2, 2) i B(3, 1) leżą na okręgu stycznym do osi OX. Napisz jego równanie.
Zadanie
9.
Napisz równanie stycznej do okręgu x
2
+ y
2
= 16 przechodzącej przez punkt
A(5, 3).
Zadanie
10.
Napisz równanie stycznej do okręgu x
2
+ y
2
= 25 przechodzącej przez punkt
A(4, 3).
Zadanie
11.
Napisz równanie stycznej do okręgu x
2
+ y
2
= 25 przechodzącej przez punkt
A(4, 2).
Zadanie
12.
Napisz równanie okręgu stycznego do okręgu (x − 2)
2
+ (y + 3)
2
= 9 i przecho-
dzącego przez punkt A(0, 3).
Zadanie
13.
Znajdź odległość punktu A(1, 1) od okręgu x
2
+ (y − 1)
2
= 16.
Zadanie
14.
Znajdź odległość punktu A(1, 5) od okręgu x
2
+ (y − 1)
2
= 1.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
37
Wykład
9
Funkcje. Podstawowe własności
Definicja funkcji.
Funkcja
f przekształca zbiór A w zbiór B, co oznaczamy f: A → B, jeżeli
każdemu elementowi x należącemu do zbioru A przyporządkowuje ona dokładnie jeden
element y należący do zbioru B. Piszemy wtedy y = f(x); czasem używamy też oznaczenia
f: x 7→ y.
Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f. Zbiór
B
0
=
y :
_
x∈A
f(x) = y
nazywamy zbiorem wartości albo przeciwdziedziną funkcji f.
Wykres
funkcji f jest to zbiór par
{ (x, y) : x ∈ A, y = f(x) } .
Przykład
1.
Niech f(x) = (x − 2)
2
+ 1. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji f.
Naszkicuj jej wykres.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
38
Przykład
2.
Niech f(x) =
√
x + 5. Wyznacz dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji f. Naszkicuj
jej wykres.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
3.
Wyznacz dziedziny poniższych funkcji:
a)
f(x) =
√
x − 3 +
√
5 − x.
Rozwiązanie:
x − 3 0 i 5 − x 0, czyli x 3 i x ¬ 5, czyli x ∈ h3, 5i.
b)
g(x) =
r
x + 1
x
.
Rozwiązanie:
x + 1
x
0 oraz x 6= 0 i x
2
+ x 0, czyli x ¬ −1 lub x > 0, czyli
x ∈ (−∞, −1i ∪ (0, +∞).
Parzystość.
Funkcja y = f(x) jest parzysta, jeżeli dla każdego x zachodzi równanie
f(−x) = f(x)
(oczywiście przy warunku, że zarówno x, jak i −x należą do dziedziny funkcji f).
Wykres takiej funkcji jest symetryczny względem osi OY.
Nieparzystość.
Funkcja y = f(x) jest |nieparzysta, jeżeli dla każdego x zachodzi równanie
f(−x) = −f(x)
(oczywiście przy warunku, że zarówno x, jak i −x należą do dziedziny funkcji f).
Wykres takiej funkcji jest symetryczny względem środka układu współrzędnych.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
39
Przykład
4.
Zbadaj parzystość, nieparzystość funkcji: f(x) = 2
x
2
−
1
, g(x) = 5x
3
− 2x.
Rozwiązanie:
f(−x) = 2
(−
x)
2
−
1
= 2
x
2
−
1
= f(x), czyli funkcja f jest parzysta.
g(−x) = 5(−x)
3
− 2(−x) = −5x
3
+ 2x = −(5x
3
− 2x) = −g(x), czyli funkcja g jest
nieparzysta.
Przekształcenia wykresów.
Jeżeli znamy wykres funkcji y = f(x), to przy konstrukcji wy-
kresów następujących funkcji:
•
y = f(x) + a: wykres przesuwamy w górę lub w dół o a jednostek (jeśli a > 0 to
w górę, jeśli a < 0 to w dół);
•
y = f(x + a): wykres przesuwamy w lewo lub w prawo o a jednostek (jeśli a > 0 to
w lewo, jeśli a < 0 to w prawo);
•
y = c · f(x), gdzie c > 0: wykres rozciągamy lub ściskamy w pionie c-krotnie (jeśli
c > 1 to rozciągamy, jeśli c < 1 to ściskamy);
•
y = c · f(x), gdzie c < 0: wykres rozciągamy lub ściskamy w pionie c-krotnie i odbi-
jamy symetrycznie względem osi OX;
•
y = f(c · x), gdzie c > 0: wykres ściskamy lub rozciągamy w poziomie c-krotnie (jeśli
c > 1 to wykres ściskamy, jeśli c < 1 to rozciągamy);
•
y = f(c · x), gdzie c < 0: wykres ściskamy lub rozciągamy w poziomie c-krotnie i od-
bijamy symetrycznie względem osi OY;
•
y = |f(x)|: część wykresu leżącą pod osią OX odbijamy symetrycznie względem osi
OX, pozostała część wykresu pozostaje bez zmian;
•
y = f(|x|): część wykresu leżącą na prawo od osi OY odbijamy symetrycznie wzglę-
dem osi OY.
Przykład
5.
Naszkicuj wykres funkcji y(x) = −2(x + 3)
2
+ 1.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
40
Przykład
6.
Naszkicuj wykres funkcji y(x) =
3 sin
1
2
x
.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
41
Zadania z wykładu
9.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Określ dziedzinę poniższych funkcji:
a)
f(x) =
2x + 5
x
2
+ x − 6
,
b)
g(x) = x +
1
√
x + 1
,
c)
h(x) = 2
−
x
,
d)
k(x) = tg(2x).
Zadanie
2.
Zbadaj parzystość i nieparzystość poniższych funkcji:
a)
f(x) = 3x
4
− 2x
2
+ 3,
b)
g(x) = −2x
5
+ 3x
3
,
c)
h(x) = 2x
3
+ 3x − 2,
d)
k(x) = |x + 2|.
Zadanie
3.
Naszkicuj wykresy poniższych funkcji:
a)
f(x) = 3(x − 2)
2
− 2,
b)
g(x) = |2 sin(2x)| − 1,
c)
h(x) =
p
|x − 1|.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
42
Wykład
10
Ciągi liczbowe
10.1.
Pojęcie ciągu
Ciągiem liczbowym
nazywamy funkcję o wartościach liczbowych, której dziedziną jest zbiór
liczb naturalnych:
a: N → R.
Zamiast a(n) piszemy a
n
.
Przykład
1.
Naszkicuj wykres ciągu określonego wzorem
a
n
=
n + 3
n + 2
.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
43
10.2.
Niektóre ważne ciągi
Ciąg arytmetyczny.
Ciąg a
n
nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje liczba r ∈ R
taka, że dla każdego n ∈ N mamy
a
n+1
= a
n
+ r.
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Zachodzi związek
a
n
= a
1
+ (n − 1) · r.
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich:
a
n
=
a
n+1
+ a
n−1
2
.
Suma n pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi
S
n
= n ·
a
n
+ a
1
2
.
Przykład
2.
W ciągu arytmetycznym a
3
= 5 i a
7
= 12. Oblicz a
25
. Oblicz S
10
. Oblicz sumę
wyrazów od czwartego do dwunastego włącznie. Narysuj wykres tego ciągu. Zbadaj jego
monotoniczność.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
44
Ciąg geometryczny.
Ciąg a
n
nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje liczba q ∈ R,
taka że dla każdego n ∈ N mamy
a
n+1
= q · a
n
.
Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego.
Zachodzi związek
a
n
= a
1
·
q
n−1
.
Każdy wyraz ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich jest średnią geometryczną wyra-
zów sąsiednich:
a
n
=
p
a
n+1
·
a
n−1
.
Sumę n pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego (o ilorazie q 6= 1) wyznaczamy ze wzoru
S
n
= a
1
·
1 − q
n
1 − q
.
Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego przy |q| < 1 wynosi
S =
a
1
1 − q
.
Przykład
3.
W ciągu geometrycznym a
3
= 5, a
5
= 1. Oblicz a
1
. Oblicz S
10
. Narysuj wykres
tego ciągu.
Rozwiązanie:
a
5
= q
2
·
a
3
, czyli 1 = q
2
·
5, skąd q =
r
1
5
lub q = −
r
1
5
.
a
3
= q
2
·
a
1
, czyli 5 =
a
1
5
, skąd a
1
= 25.
Przykład
4.
Wpłaciłeś do banku kwotę 1 000 zł na 5% rocznie z kwartalną kapitalizacją odse-
tek. Ile pieniędzy będzie na koncie po 4 latach? Pamiętaj, że przy każdej dopłacie odsetek do
konta bank potrąca 19% podatku od przelanej kwoty jako zaliczkę na podatek dochodowy.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
45
Przykład
5.
Pierwiastek promieniotwórczy ma okres połowicznego rozpadu równy 3 mie-
siące. Jaka część masy początkowej m
0
zostanie po roku?
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
6.
Ciąg Fibonacciego
określony jest równaniem rekurencyjnym
a
1
= 1, a
2
= 1, a
n+2
= a
n+1
+ a
n
.
Ciąg ten ma ważne znaczenie w naukach przyrodniczych.
Oblicz kilka kolejnych wyrazów tego ciągu. Czy wyraz a
100
jest parzysty, czy nie?
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
10.3.
Granica ciągu
Liczba g jest granicą ciągu { a
n
} wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej (w domyśle: dowolnie
małej) liczby ε > 0 istnieje liczba m, taka że dla każdego n > m zachodzi |a
n
− g| < ε.
Fakt, że g jest granicą ciągu { a
n
}, oznacza się symbolem
g = lim
n→∞
a
n
.
Używając symboliki matematycznej, definicję granicy ciągu zapiszemy w postaci
lim
n→∞
a
n
= g ⇔
^
ε>0
_
m
^
n>m
|a
n
− g| < ε.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
46
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
n
y
g − ε
g
g + ε
Rysunek
10.1.
Definicja granicy ciągu
Przykład
7.
lim
n→∞
1
n
= 0.
Rozwiązanie:
Warunek
1
n
< ε jest spełniony dla wszystkich n > m =
1
ε
.
Miejsce na notatki
Przykład
8.
lim
n→∞
(−1)
n
nie istnieje.
Rozwiązanie:
Wszystkie wyrazy nieparzyste są stale równe −1, a parzyste równe 1.
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
47
Twierdzenie
1.
Jeżeli dwa ciągi
a
n
i
b
n
mają skończone granice równe odpowiednio
a i b, to suma,
różnica, iloczyn oraz iloraz tych ciągów (ten ostatni przy
b 6= 0) mają granice równe sumie, różnicy,
iloczynowi oraz ilorazowi ich granic.
Granica niewłaściwa.
Mówimy, że ciąg { a
n
} ma granicę niewłaściwą równą +∞ (stosujemy
oznaczenie lim
n→∞
a
n
= +∞), jeżeli dla każdej (w domyśle: dowolnie dużej) liczby r ∈ R istnieje
taka liczba m, że dla każdego n > m zachodzi a
n
> r.
Używając symboliki matematycznej, definicję granicy niewłaściwej zapiszemy w postaci
lim
n→∞
a
n
= +∞ ⇔
^
r∈R
_
m
^
n>m
a
n
> r.
Przykład
9.
lim
n→∞
n
2
= +∞.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Wyrażenia nieoznaczone.
Do obliczania granic wyrażeń postaci [∞ − ∞], [0 · ∞],
0
0
oraz
∞
∞
, zwanych wyrażeniami nieoznaczonymi, nie można stosować twierdzenia 1.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
48
Przykład
10.
Oblicz granice:
a)
lim
n→∞
−3n
2
− 1
2n
2
+ 3
,
b)
lim
n→∞
−3n
3
− 1
2n
2
+ 3
,
c)
lim
n→∞
−3n
2
− 1
2n
3
+ 3
.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik:
a)
g = −
3
2
,
b)
g = −∞,
c)
g = 0..
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
49
Zadania z wykładu
10.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
W ciągu arytmetycznym a
3
= −5, a
7
= 12. Oblicz a
20
. Oblicz S
10
. Oblicz sumę
wyrazów od czwartego do 12. włącznie. Oblicz sumę wyrazów parzystych począwszy od
czwartego do 12. włącznie. Narysuj wykres tego ciągu. Zbadaj jego monotoniczność.
Zadanie
2.
W ciągu arytmetycznym a
3
= 5, a
7
= −12. Oblicz a
20
. Oblicz S
10
. Oblicz sumę
wyrazów od czwartego do 12. włącznie. Oblicz sumę wyrazów parzystych począwszy od
czwartego do 12. włącznie. Narysuj wykres tego ciągu. Zbadaj jego monotoniczność.
Zadanie
3.
W ciągu geometrycznym a
3
= 1, a
5
= 2. Oblicz a
1
. Oblicz S
10
. Narysuj wykres
tego ciągu. Zbadaj jego monotoniczność.
Zadanie
4.
W ciągu geometrycznym a
3
= 4, a
5
= 1. Oblicz a
1
. Oblicz S
10
. Oblicz sumę
wszystkich wyrazów. Narysuj wykres tego ciągu. Zbadaj jego monotoniczność.
Zadanie
5.
Wpłaciłeś do banku 500 zł na lokatę o stałym oprocentowaniu 5% z miesięczną
kapitalizacją odsetek. Oblicz, ile pieniędzy będzie na koncie po 3 latach.
Zadanie
6.
Wpłaciłeś do banku 500 zł na lokatę o stałym oprocentowaniu 5% z miesięczną
kapitalizacją odsetek. Co miesiąc dopłacasz kolejne 100 zł. Napisz wzór rekurencyjny za-
leżności pomiędzy dwoma kolejnymi wyrazami ciągu ilustrującego stan konta w kolejnych
miesiącach. Oblicz, ile pieniędzy będzie na koncie po 3 latach.
Zadanie
7.
Pierwiastek promieniotwórczy ma okres połowicznego rozpadu równy 10 lat.
Jaka część masy początkowej m
0
zostanie po 50 latach?
Zadanie
8.
Cena akcji na sesji poniedziałkowej wynosiła 15 zł. Do końca tygodnia akcje
codziennie drożały o 5%. Ile kosztują akcje po sesji piątkowej?
Zadanie
9.
Cena pewnych akcji najpierw zdrożała o 10%, a następnie staniała o 10%. Z kolei
cena innych akcji najpierw staniała, a następnie zdrożała o 10%. W obu przypadkach
akcjonariusz poniósł stratę. Dlaczego?
Zadanie
10.
Oblicz granice następujących ciągów:
a)
a
n
=
−3n
3
+ 2n
2
+ 1
2n
2
+ n − 1
,
b)
b
n
=
−3n
3
+ 2n
2
+ 1
2n
3
+ n − 1
,
c)
c
n
=
−3n
3
+ 2n
2
+ 1
2n
4
+ n − 1
.
Zadanie
11.
Sformułuj definicję granicy niewłaściwej lim
n→∞
a
n
= −∞.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
50
Wykład
11
Równania i nierówności liniowe.
Układy równań i nierówności
11.1.
Równania liniowe z jedną niewiadomą
Równaniem liniowym
z jedną niewiadomą x nazywamy równanie postaci
a · x + b = 0,
gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a 6= 0, jest to równanie pierwszego
stopnia
z jedną niewiadomą x.
Aby rozwiązać równanie liniowe, należy znaleźć miejsca zerowe funkcji liniowej o rów-
naniu y = a · x + b lub pokazać, że funkcja ta nie ma miejsc zerowych.
Równanie liniowe może mieć:
a)
jedno rozwiązanie x = −
b
a
, jeśli a 6= 0,
b)
nieskończenie wiele rozwiązań (równanie tożsamościowe), jeśli a = 0 i b = 0,
c)
lub nie mieć rozwiązania (równanie sprzeczne), jeśli a = 0 i b 6= 0.
Przykład
1.
Rozwiąż równanie
x − 3
2
−
x + 3
3
+
4x − 15
6
= 0.
Rozwiązanie:
Mnożąc obie strony równania przez 6 (czyli przez najmniejszy wspólny mianownik
ułamków) i wykonując odpowiednie działania, doprowadzamy równanie do postaci
równoważnej 5x − 30 = 0, skąd otrzymujemy x = 6. Zbiór rozwiązań jest jednoelemen-
towy.
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
51
Przykład
2.
Przedyskutuj w zależności od parametru m liczbę rozwiązań równania
m
2
x − m = 9x + 3.
Rozwiązanie:
Równoważną postacią danego równania jest (m
2
− 9)x − (m + 3) = 0. Wiadomo, że
m
2
− 9 = (m − 3)(m + 3), zatem
•
dla m 6= 3 i m 6= −3 równanie ma jedno rozwiązanie x =
m + 3
m
2
− 9
,
•
dla m = −3 równanie przyjmuje postać 0x + 0 = 0. Jest to równanie tożsamościowe, ma
ono nieskończenie wiele rozwiązań. Zbiorem rozwiązań jest zbiór liczb rzeczywistych
R
.
•
dla m = 3 równanie przyjmuje postać 0x − 6 = 0. Jest to równanie sprzeczne. Zbiór
rozwiązań jest w tym przypadku pusty.
11.2.
Nierówności liniowe z jedną niewiadomą
Nierównością liniową
z jedną niewiadomą x nazywamy nierówność postaci
a · x + b ¬ 0
(albo < 0, > 0, 0),
gdzie a i b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a 6= 0, jest to nierówność pierwszego
stopnia
z jedną niewiadomą x.
Rozwiązaniem nierówności liniowej jest zbiór tych wartości x, dla których funkcja linio-
wa y = a · x + b przyjmuje wartości niedodatnie (albo — odpowiednio — ujemne, dodatnie,
nieujemne).
Przykład
3.
Rozwiąż nierówność −2(x + 3) + 4x 3x − 8.
Rozwiązanie:
Przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę i wykonując obliczenia otrzymujemy −x+
2 0 lub równoważnie −x −2. Stąd x ¬ 2.
Miejsce na notatki
Uwaga:
Mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, należy znak nierówności zamienić
na przeciwny.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
52
11.3.
Graficzne rozwiązywanie równań i nierówności liniowych
z jedną niewiadomą
Metodę graficznego rozwiązywania równań i nierówności najłatwiej jest przedstawić na przy-
kładach.
Przykład
4.
Rozwiąż graficznie równanie 4(x − 3) − 2(x − 5) = 3(x − 1) − 3.
Rozwiązanie:
Należy doprowadzić równanie do postaci f(x) = g(x) i rysując wykresy funkcji f i g,
znaleźć ich punkt przecięcia. Otrzymujemy f(x) = 2x − 2, g(x) = 3x − 6. Wykresy tych
funkcji przecinają się w punkcie o współrzędnej x = 4, co jest rozwiązaniem równania.
Miejsce na notatki
Przykład
5.
Rozwiąż graficznie nierówność
(x + 1)
2
− 3(x + 2) − (x − 2)(x + 2) < 3(x − 1) − 2(x + 2).
Rozwiązanie:
Podobnie jak poprzednio, należy doprowadzić nierówność do postaci f(x) < g(x), a na-
stępnie rysując wykresy funkcji f i g, znaleźć zbiór tych wartości x, w których funkcja f
przyjmuje wartości mniejsze niż funkcja g. Otrzymujemy f(x) = −x − 1, g(x) = x − 7.
Wykresy tych funkcji przecinają się w punkcie o współrzędnej x = 3. Dla argumen-
tów x z przedziału (3, +∞) wykres funkcji f(x) znajduje się pod wykresem funkcji g(x),
zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest przedział (3, +∞).
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
53
Miejsce na notatki
Graficzna metoda rozwiązywania równań i nierówności jest bardzo przydatna przy roz-
wiązywaniu równań i nierówności z wartością bezwzględną.
Przykład
6.
Rozwiąż graficznie równanie |x − 1| = |4 − x| − 3.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
54
Przykład
7.
Rozwiąż graficznie nierówność 3 |x − 3| x + 1.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
11.4.
Równania i nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi
Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi.
Równaniem liniowym
(pierwszego stopnia)
z dwiema niewiadomymi
x i y nazywamy równanie postaci
a · x + b · y = c,
przy czym a i b nie mogą być jednocześnie równe zeru (tj. a
2
+ b
2
> 0).
Zbiorem rozwiązań równania liniowego z dwiema niewiadomymi jest:
a)
zbiór punktów leżących na prostej y = −
a
b
·
x +
c
b
, jeśli a 6= 0 i b 6= 0,
b)
zbiór punktów leżących na prostej x =
c
a
, jeśli a 6= 0 i b = 0,
c)
zbiór punktów leżących na prostej y =
c
b
, jeśli a = 0 i b 6= 0.
Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi.
Nierównością liniową
(pierwszego stopnia)
z dwiema niewiadomymi
x i y nazywamy każdą z nierówności postaci
a · x + b · y c
(albo > c, < c, ¬ c),
przy czym a i b nie mogą być jednocześnie równe zeru (tj. a
2
+ b
2
> 0).
Zbiorem rozwiązań każdej z tych nierówności jest zbiór punktów leżących na jednej z pół-
płaszczyzn (z krawędzią, jeśli nierówność jest słaba, albo bez krawędzi, jeśli nierówność jest
ostra) ograniczonych prostą a · x + b · y = c.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
55
Przykład
8.
Znajdź zbiór rozwiązań nierówności 2x + y < 4x + 3.
Rozwiązanie:
Przenosząc wszystkie wyrazy na lewą stronę otrzymujemy równoważną nierówność
−2x + y − 3 < 0, której rozwiązaniem jest dolna półpłaszczyzna ograniczona prostą
y = 2x + 3, bez krawędzi.
Miejsce na notatki
Przykład
9.
Rozwiąż nierówność 2(5 − y) − 3x 4 − 2y.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
56
11.5.
Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
Układem równań pierwszego stopnia
z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy koniunkcję rów-
nań
a
1
·
x + b
1
·
y = c
1
, gdzie a
2
1
+ b
2
1
> 0
i
a
2
·
x + b
2
·
y = c
2
, gdzie a
2
2
+ b
2
2
> 0.
Wykresem każdego z równań jest prosta. Proste te mogą:
a)
przecinać się — wtedy układ równań ma jedno rozwiązanie w punkcie przecięcia tych
prostych,
b)
pokrywać się — wtedy układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań; każdy punkt
leżący na prostej jest rozwiązaniem,
c)
nie mieć punktów wspólnych (przebiegać równolegle) — wtedy układ równań nie ma
rozwiązań, jest układem sprzecznym.
Układy równań można rozwiązywać kilkoma metodami. Należą do nich m.in.:
a)
metoda podstawiania,
b)
metoda przeciwnych współczynników,
c)
metoda graficzna,
d)
metoda wyznaczników.
Metody te przedstawimy na przykładzie.
Przykład
10.
Rozwiąż układ równań
3x + y = 6
5x + 2y = 8
Rozwiązanie:
Metoda podstawiania.
Z pierwszego równania wyznaczamy y = 6 − 3x. Wstawiając to
wyrażenie w miejsce y do drugiego równania otrzymujemy −x + 12 = 8. Rozwiązując
to równanie otrzymujemy x = 4, a następnie y = −6.
Metoda przeciwnych współczynników.
Po pomnożeniu pierwszego równania przez −2
otrzymujemy −6x − 2y = −12. Następnie dodajemy równania stronami i otrzymujemy
−x = −4. Na koniec z pierwszego równania wyznaczamy y = −6.
Metoda graficzna.
Rysując wykresy funkcji y = 6 − 3x oraz y = 4 −
5
2
x znajdujemy punkt
przecięcia i odczytujemy jego współrzędne.
Metoda wyznaczników.
Obliczamy wyznacznik główny układu W =
3 1
5 2
= 6 − 5 =
= 1 oraz wyznaczniki W
x
=
6 1
8 2
= 12 − 8 = 4 i W
y
=
3 6
5 8
= 24 − 30 = −6.
Otrzymujemy x =
W
x
W
= 4 i y =
W
y
W
= −6.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
57
Przykład
11.
Rozwiąż układ równań
2x + 3y = −4
3x + 2y =
4
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
12.
Wyznacz wzór funkcji liniowej y = ax+b, której wykres przechodzi przez dwa
punkty: A(4, −2) i B(−1, 8).
Rozwiązanie:
Należy rozwiązać układ równań
−2 = 4a + b
8 = −a + b
otrzymany z podstawienia współrzędnych punktów A i B do równania poszukiwanej
funkcji.
Metodą przeciwnych współczynników (najłatwiejszą do zastosowania w tym przy-
padku) otrzymujemy a = −2 i b = 6, skąd wnioskujemy, że funkcja ma postać
y = −2x + 6.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
58
11.6.
Układy nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
Układem nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi
nazywamy koniunkcję dwóch
lub więcej nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.
Zbiorem rozwiązań układu nierówności jest część wspólna zbiorów rozwiązań poszcze-
gólnych nierówności układu (czyli część wspólna kilku półpłaszczyzn).
Przykład
13.
Znajdź zbiór rozwiązań układu nierówności
x + y ¬ 2
3y − 2x ¬ 6
y 0
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
59
Zadania z wykładu
11.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że:
a)
miejscem zerowym funkcji jest liczba 4, a wykres przecina oś OY w punkcie A(0, −12);
b)
wykres funkcji jest równoległy do wykresu funkcji 3x − y −
√
2 = 0 i przechodzi przez
punkt A(−2, 0);
c)
wykres funkcji jest nachylony do osi OX pod kątem
3
4
π, zaś punkt A(3, 3) należy do
wykresu funkcji;
d)
wykres funkcji jest prostopadły do wykresu funkcji 4x − y − 6 = 0 i przechodzi przez
punkt A(8, 0).
Zadanie
2.
Wyznacz te wartości parametru m, dla których:
a)
miejsce zerowe funkcji f(x) = 3x + 2m + 6 jest liczbą mniejszą od 2;
b)
miejsce zerowe funkcji f(x) = 2x − |m + 2| jest liczbą mniejszą od 4;
c)
wykresy funkcji f(x) = 2x + 3m oraz g(x) = |m + 4| · x + 2 są równoległe;
d)
wykresy funkcji f(x) = (2m − 1)x + 4 oraz g(x) = 3x + m są prostopadłe.
Zadanie
3.
Narysuj na płaszczyźnie zbiory punktów ograniczonych nierównościami:
a)
x − y ¬ 1,
1
2
x + 2y −1, y −
1
2
x − 1 ¬ 0;
b)
y ¬
1
2
x + 3, y ¬ −2x + 10, y −0,3x − 0,2.
Zadanie
4.
Opisz za pomocą układów nierówności proste figury geometryczne (prostokąt,
trójkąt, romb — jako wierzchołki tych figur wybierz dowolne punkty na płaszczyźnie).
Zrób rysunek.
Zadanie
5.
Rozwiąż metodą algebraiczną następujące równanie i nierówność:
a)
|x − 1| = |4 − x| − 3,
b)
3 |x − 3| x + 1.
(W przykładach 6. i 7. na stronach 54–55 to samo równanie i nierówność zostały rozwią-
zane metodą graficzną.)
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
60
Wykład
12
Równania i nierówności kwadratowe.
Układy równań i nierówności
12.1.
Funkcja kwadratowa — postać ogólna i kanoniczna, wykres
Funkcję postaci
y = a · x
2
+ b · x + c,
gdzie a, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, przy czym a 6= 0, nazywamy funkcją
kwadratową
(trójmianem kwadratowym) w postaci ogólnej.
Funkcję postaci
y = a · (x − p)
2
+ q,
gdzie a 6= 0, zaś p i q są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy funkcją kwadratową
(trójmianem kwadratowym) w postaci kanonicznej.
Wykres funkcji kwadratowej.
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola skierowana ra-
mionami do góry, jeśli a > 0, lub do dołu, jeśli a < 0.
Wyróżnik.
Ważną rolę przy badaniu funkcji kwadratowej odgrywa wyróżnik trójmianu kwa-
dratowego
∆ = b
2
− 4 · a · c. Od jego wartości zależy liczba miejsc zerowych funkcji.
Można pokazać, że funkcja kwadratowa
a)
nie ma miejsc zerowych, jeśli ∆ < 0,
b)
ma jedno miejsce zerowe, jeśli ∆ = 0,
c)
ma dwa miejsca zerowe, jeśli ∆ > 0.
12.2.
Równania kwadratowe z jedną niewiadomą
Równaniem kwadratowym
(równaniem drugiego stopnia) z jedną niewiadomą x nazywamy
równanie postaci
a · x
2
+ b · x + c = 0,
gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi i a 6= 0.
Aby rozwiązać równanie kwadratowe, należy znaleźć miejsca zerowe funkcji kwadratowej
y = a · x
2
+ b · x + c lub pokazać, że funkcja ta nie ma miejsc zerowych.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
61
Równanie kwadratowe może mieć:
a)
jedno rozwiązanie x
0
= −
b
2a
, jeśli ∆ = 0,
b)
dwa różne rozwiązania x
1
=
−b −
√
∆
2a
i x
2
=
−b +
√
∆
2a
, jeśli ∆ > 0,
c)
lub może nie mieć rozwiązań, jeśli ∆ < 0. W tym przypadku równanie jest sprzeczne.
Przykład
1.
Rozwiąż równanie 4x
2
+ 4x − 24 = 0.
Rozwiązanie:
Dzieląc obie strony równania przez 4 otrzymujemy równoważną postać x
2
+ x − 6 = 0.
Wyróżnik ∆ = 25 jest dodatni, zatem równanie ma dwa różne rozwiązania: x
1
= −3
i x
2
= 2.
Miejsce na notatki
Uwaga:
Nie każde równanie kwadratowe wymaga obliczania wyróżnika. Warto przyjrzeć się,
czy nie można rozwiązać równania prościej.
Przykład
2.
Rozwiąż równanie x
2
+ 15x = 0 (c = 0).
Rozwiązanie:
Wyłączając x przed nawias, otrzymujemy x(x + 15) = 0. Rozwiązaniami są: x
1
= 0
i x
2
= −15.
Miejsce na notatki
Przykład
3.
Rozwiąż równanie 2x
2
− 8 = 0 (b = 0).
Rozwiązanie:
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy 2(x
2
−4) = 2(x−2)(x+2) =
0. Rozwiązaniami równania są: x
1
= 2 i x
2
= −2.
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
62
Przykład
4.
Przedyskutuj, w zależności od parametru m, liczbę rozwiązań równania
(m
2
− 1)x
2
+ (m + 1)x + 1 = 0.
Rozwiązanie:
Możliwe są następujące przypadki:
•
dla m = 1 lub m = −1 równanie jest równaniem liniowym. Sprawdź, że dla m = 1 ma
ono jedno rozwiązanie (jakie?), a dla m = −1 jest ono sprzeczne,
•
dla m 6= −1 i m 6= 1 równanie jest równaniem kwadratowym, dla którego ∆ = (m +
1)(−3m + 5). Aby istniało rozwiązanie (jedno lub dwa) musi być spełniony warunek
∆ 0.
Miejsce na notatki
12.3.
Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
Nierównością kwadratową
(drugiego stopnia) z jedną niewiadomą x nazywamy każdą z nie-
równości postaci
a · x
2
+ b · x + c ¬ 0
(albo < 0, > 0, 0),
gdzie a, b i c są liczbami rzeczywistymi, przy czym a 6= 0.
Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest zbiór tych wartości x, dla których funkcja
kwadratowa y = a · x
2
+ b · x + c przyjmuje wartości niedodatnie (albo — odpowiednio —
ujemne, dodatnie, nieujemne).
Uwaga:
Najprościej jest rozwiązywać nierówności kwadratowe graficznie, szkicując wykres
funkcji kwadratowej.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
63
Przykład
5.
Rozwiąż nierówności:
a)
−3x
2
− 2x + 1 ¬ 0
Rozwiązanie:
Miejscami zerowymi funkcji y = −3x
2
− 2x + 1 są: x
1
=
1
3
i x
2
= −1. Ramiona
paraboli są skierowane w dół, gdyż a < 0, zatem zbiorem rozwiązań jest zbiór
(−∞, −1) ∪
1
3
, +∞
.
Miejsce na notatki
b)
(m + 1)(−3m + 5) 0 (por. przykład 4. ze strony 63)
Rozwiązanie:
Miejscami zerowymi funkcji y = (m + 1)(−3m + 5) są: m
1
=
5
3
i m
2
= −1. Ramiona
paraboli są skierowane w dół. Zbiorem rozwiązań jest przedział
−1,
5
3
.
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
64
c)
√
x
2
+ 4x + 4 ¬ −x
2
+ 4
Rozwiązanie:
Rozwiązanie tej nierówności najłatwiej znaleźć metodą graficzną. Definiując funkcję
f(x) jako
√
x
2
+ 4x + 4 =
p
(x + 2)
2
= |x + 2|, a funkcję g(x) jako −x
2
+ 4, i szkicując
wykresy obu tych funkcji, dostrzegamy, że zbiorem rozwiązań jest przedział (−2, 1).
Miejsce na notatki
Uwaga:
Mnożąc lub dzieląc obie strony nierówności przez liczbę ujemną, znak nierówności
zamień na przeciwny.
Rozwiązuj nierówność kwadratową rysując wykres funkcji lub rozkładając trójmian
kwadratowy na czynniki (unikniesz wtedy typowego błędu — przykład zostanie poda-
ny na wykładzie).
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
65
Zadania z wykładu
12.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Zapisz funkcje w postaci kanonicznej, zbadaj liczbę ich miejsc zerowych i naszki-
cuj ich wykresy:
a)
y = 3x
2
− 24x + 50,
b)
y = −x
2
− 6x + 1,
c)
−2x
2
+ 6x + 5.
Zadanie
2.
Rozwiąż równania kwadratowe:
a)
25x
2
− 10x + 1 = 0,
b)
x
2
− 10x + 21 = 0,
c)
(x − 1)
2
− 4 = 0,
d)
(3 + x)
2
= 1 = 0.
Zadanie
3.
Rozwiąż równania „dwukwadratowe”:
a)
x
4
− 10x
2
+ 9 = 0,
b)
2x
4
+ 16x
2
+ 30 = 0.
Zadanie
4.
Rozwiąż nierówności:
a)
x
2
− 9 < 0,
b)
−x
2
− 9x < 0,
c)
9x
2
− 30x + 25 ¬ 0,
d)
15 − 2x − x
2
¬
0,
e)
2x
2
− x + 7 < 0,
f)
4x
2
− 1 < (2x − 1)(x + 3),
g)
x
2
− 6x + 9 ¬ −x + 5.
Zadanie
5.
Rozwiąż algebraicznie nierówność |x + 2| ¬ −x
2
+ 4 (por. przykład 5.c. z bieżą-
cego wykładu ze str. 65).
Zadanie
6.
Dla jakich wartości parametru m równania:
a)
mx
2
− (2m − 1)x + 2m − 1 = 0,
b)
(m − 5)x
2
− 4mx + m − 2 = 0
mają dwa różne rozwiązania?
Zadanie
7.
Zbadaj liczbę rozwiązań następujących równań w zależności od wartości para-
metru m:
a)
(m − 1)x
2
− (m + 1)x + m + 1 = 0,
b)
mx
2
− (4m + 1)x + 3m + 1 = 0.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
66
Wykład
13
Wielomiany. Twierdzenie Bézouta.
Dzielenie wielomianów
13.1.
Wielomiany jednej zmiennej
Wielomianem
jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję postaci
W(x) = a
n
·
x
n
+ a
n−1
·
x
n−1
+ · · · + a
1
·
x + a
0
,
gdzie a
n
, a
n−1
, . . . , a
1
, a
0
są liczbami rzeczywistymi. Jeśli a
n
6
= 0, to n nazywamy stopniem
wielomianu
.
Przykład
1.
Wyrażenia takie jak x, −3x
4
, 12x
7
są przykładami jednomianów.
Wyrażenia: 2x
4
− 3x
3
, −4 + 3x
8
, 8x
9
− 2x
8
są przykładami dwumianów.
Wyrażenia: 3x
2
+ 8x − 6, 8x
5
+ 2x
3
+ x
2
, x
3
+ 4x
4
− 8x
5
to przykłady trójmianów.
Prawdziwe jest następujące
Twierdzenie
1.
(o dzieleniu wielomianów).
Jeśli
W(x) i P(x) są wielomianami, i P(x) nie jest
wielomianem zerowym, to istnieją dwa takie wielomiany
Q(x) i R(x), że W(x) = Q(x) · P(x) + R(x),
gdzie albo
R(x) ≡ 0, albo stopień R(x) jest niższy niż stopień P(x).
Twierdzenie powyższe mówi, że w wyniku podzielenia wielomianu W(x) przez P(x)
otrzymaliśmy wielomian Q(x) i resztę R(x). Metodę dzielenia wielomianów przypomnimy
podczas wykładu.
Przykład
2.
Wykonaj dzielenie wielomianów:
a)
(5x
3
+ 2x
2
− 3x + 7)/(x
2
− 4)
Rozwiązanie:
(5x
3
+ 2x
2
− 3x + 7)/(x
2
− 4) = 5x + 2 i reszta 17x + 15,
czyli 5x
3
+ 2x
2
− 3x + 7 = (x
2
− 4)(5x + 2) + 17x + 15.
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
67
b)
(x
4
− 6x
3
+ 16x
2
− 22x + 15)/(x
2
− 2x + 3)
Rozwiązanie:
(x
4
− 6x
3
+ 16x
2
− 22x + 15)/(x
2
− 2x + 3) = x
2
− 4x + 5 i reszta 0.
Miejsce na notatki
Wniosek:
Z twierdzenia 1. wynika, że jeśli W(x) podzielimy przez dwumian P(x) = x − a, to
reszta z dzielenia równa jest W(a).
Przykład
3.
Oblicz reszty z dzielenia wielomianu W(x) = x
3
− 3x
2
+ 5x + 6 przez dwumiany:
x − 2 oraz x + 3.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
13.2.
Pierwiastki wielomianu
Pierwiastkiem
wielomianu W(x) nazywamy miejsce zerowe funkcji W(x) = a
n
·
x
n
+ a
n−1
·
·
x
n−1
+ · · · + a
1
·
x + a
0
. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tylko wtedy,
gdy W(a) = 0.
Z twierdzenia 1. w prosty sposób wynika
Twierdzenie
2.
(twierdzenie Bézouta).
Liczba
a jest pierwiastkiem wielomianu W(x) wtedy i tyl-
ko wtedy, gdy wielomian
W(x) dzieli się bez reszty przez dwumian (x − a).
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
68
Przykład
4.
Niech W(x) = 2x
4
− x
3
− 7x
2
+ 3x + 3. Liczba x = 1 spełnia równanie W(1) = 0;
zachodzi równość W(x) = (x − 1) · (2x
3
+ x
2
− 6x − 3).
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Znalezienie pierwiastka wielomianu stopnia wyższego niż 2 nie zawsze jest proste. Jeśli
współczynniki wielomianu są całkowite, pomocne może być następujące
Twierdzenie
3.
Jeśli wielomian
W(x) = a
n
·
x
n
+ a
n−1
·
x
n−1
+ · · · + a
1
·
x + a
0
, gdzie
a
n
6
= 0
i
a
0
6
= 0, o współczynnikach całkowitych, ma pierwiastek wymierny postaci
p
q
, to
p jest dzielnikiem
wyrazu wolnego
a
0
, zaś
q — dzielnikiem współczynnika a
n
przy najwyższej potędze zmiennej
x.
Z twierdzenia 2. wynika, że jeśli wielomian W(x) = a
n
·
x
n
+ a
n−1
·
x
n−1
+ · · · + a
1
·
x + a
0
ma pierwiastek wymierny, to jest on liczbą całkowitą będącą dzielnikiem wyrazu wolnego.
Przykład
5.
Znajdź pierwiastki wielomianów:
a)
W(x) = x
4
− x
3
− 3x
2
+ 5x − 2.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik: x = 1 i x = −2.
b)
W(x) = 3x
3
+ x
2
− 6x − 2.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Poprawny wynik: x = −
1
3
.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
69
13.3.
Rozkład wielomianu na czynniki
Przez „rozkład wielomianu na czynniki” rozumiemy przedstawienie wielomianu w postaci
iloczynu wielomianów stopnia różnego od 0. Można pokazać, że każdy wielomian rozkłada
się na czynniki co najwyżej drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych.
Do metod najczęściej stosowanych przy rozkładzie wielomianów na czynniki należą:
a)
wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias,
b)
stosowanie wzorów skróconego mnożenia,
c)
stosowanie twierdzenia Bézouta.
Przykład
6.
Rozłóż na czynniki wielomian W(x) = 4x
5
− 2x
4
+ 6x
2
.
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyłączenia przed nawias czynnika 2x
2
. Otrzymujemy wielomian 2x
3
−
x
2
+6, którego pierwiastkiem jest x = −1. Dzieląc ten wielomian przez x+1 otrzymujemy
W(x) = (2x
2
)· (x+1) ·(2x
2
− 3x +3). Ostatni z tych czynników jest nierozkładalny, gdyż
nie ma on pierwiastków.
Miejsce na notatki
13.4.
Wykresy wielomianów
Sposób szkicowania wykresów wielomianów rozłożonych na czynniki najprościej jest wyja-
śnić na przykładach. Przy szkicowaniu wykresów należy zwracać uwagę na:
•
znak współczynnika przy najwyższej potędze niewiadomej x. Rozpoczynamy szkic
wykresu od prawej strony „od góry”, jeśli ten współczynnik jest dodatni, albo „od
dołu”, jeśli jest on ujemny;
•
krotność pierwiastków wielomianu. Przy krotności parzystej „odbijamy” wykres od
osi OX; przy krotności nieparzystej „przechodzimy” z wykresem przez oś OX.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
70
Przykład
7.
Naszkicuj wykresy wielomianów
a)
W(x) = (x
4
) · (x − 2)
2
·
(x − 1)
3
,
b)
W(x) = −(x + 2)
2
·
(x − 1),
c)
W(x) = (x − 2)
2
·
(x + 1)
2
·
(1 − x)
3
.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
71
Zadania z wykładu
13.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Wykonaj dzielenie wielomianów:
a)
(x
5
+ 3x
3
+ 2x)/(x
2
+ 1),
b)
(x
6
+ x
4
− 2x
3
− 3x − 3)/(x
3
+ x + 1),
c)
(2x
7
− 3x
6
+ 4x
4
− x
2
+ 2x + 4)/(2x
5
+ x
4
− 1).
Zadanie
2.
Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian W(x) jest podzielny przez wie-
lomian P(x)?
a)
W(x) = 2x
3
− a · x
2
+ b · x + 15, P(x) = x
2
+ 2x − 3,
b)
W(x) = 3x
3
+ (a + b)x
2
+ x + a + 2, P(x) = x
2
− 4x + 3.
Zadanie
3.
Rozłóż na czynniki wielomiany:
a)
W(x) = x
4
− 10x
2
+ 9,
b)
W(x) = x
3
+ 3x
2
− 4x − 12,
c)
W(x) = 9x
3
− 4x
2
− 27x + 12,
d)
W(x) = 2x
3
− x
2
+ 3,
e)
W(x) = x
4
+ 5x
3
+ 14x
2
+ 22x + 12.
Zadanie
4.
Naszkicuj wykresy wielomianów z zadania 3.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
72
Wykład
14
Równania i nierówności
wyższych rzędów
14.1.
Równania wielomianowe dowolnego stopnia
Równaniem wielomianowym
stopnia n nazywamy równanie postaci
W(x) = 0,
gdzie W(x) = a
n
·
x
n
+ a
n−1
·
x
n−1
+ · · · + a
1
·
x + a
0
jest wielomianem jednej zmiennej.
Do zbioru rozwiązań równania wielomianowego należą wszystkie pierwiastki wielomia-
nu W(x). Aby znaleźć te pierwiastki, należy rozłożyć wielomian na czynniki możliwie naj-
niższego stopnia.
Przykład
1.
Rozwiąż równania:
a)
x
3
+ 3x + 4 = 0.
Rozwiązanie:
Widać, że x = −1 jest pierwiastkiem wielomianu. Dzieląc wielomian przez x + 1,
otrzymujemy równoważne równanie (x + 1)(x
2
− x + 4) = 0. Dla trójmianu kwadra-
towego ∆ < 0, zatem równanie ma tylko jeden pierwiastek x = −1.
b)
2x
4
− 13x
2
+ 6 = 0.
Rozwiązanie:
Po podstawieniu t = x
2
wielomian przyjmuje postać 2t
2
− 13t + 6. Rozkładając go
na czynniki dostajemy 2(t − 6) · t −
1
2
= (t − 6) · (2t − 1).
Wracając do zmiennej x mamy (x
2
− 6) · (2x
2
− 1) = 0, skąd po zastosowa-
niu wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy
x −
√
6
·
x +
√
6
·
√
2x − 1
·
√
2x − 1
= 0. Równanie ma zatem cztery pierwiastki: x
1
= −
√
6, x
2
=
√
6,
x
3
= −
r
1
2
oraz x
4
=
r
1
2
.
c)
x
4
−
3x
2
+ 2
2
= 0.
Rozwiązanie:
Stosując wzór skróconego mnożenia, równanie można zapisać w równoważnej po-
staci (x
2
−3x
2
−2)(x
2
+3x
2
+2) = −2(x
2
+1)(4x
2
+2) = 0. Widać z niej, że równanie
to nie ma pierwiastków.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
73
14.2.
Nierówności wielomianowe
Nierównością wielomianową
stopnia n nazywamy nierówność postaci
W(x) < 0
(albo ¬ 0, > 0, 0),
gdzie W(x) = a
n
·
x
n
+ a
n−1
·
x
n−1
+ · · · + a
1
·
x + a
0
.
Aby rozwiązać nierówność wielomianową, należy znaleźć zbiór argumentów x, dla któ-
rych wielomian W(x) przyjmuje wartości ujemne (albo — odpowiednio — niedodatnie, do-
datnie, nieujemne). Najprościej jest rozwiązywać nierówności graficznie, szkicując wykres
wielomianu.
Przykład
2.
Rozwiąż nierówności:
a)
4x
5
− 2x
4
+ 6x
2
> 0.
Rozwiązanie:
Po rozłożeniu wielomianu na czynniki (por. przykład 6. z wykładu 13., str. 70),
nierówność przyjmuje postać 2x
2
·
(x + 1) · (2x
2
− 3x + 3) > 0. Z wykresu widać, że
zbiorem rozwiązań jest przedział (−1, +∞).
Miejsce na notatki
b)
x
4
·
(x − 2)
2
·
(x − 1)
3
¬
0.
Rozwiązanie:
Ze szkicu wykresu widać, że zbiorem rozwiązań jest przedział (−∞, 1i.
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
74
c)
x
3
− 3x
2
− 4x + 12 < 0.
Rozwiązanie:
Grupując wyrazy i wyciągając wspólny czynnik przed nawias otrzymujemy
x
2
·
(x − 3) − 4 · (x − 3) = (x − 3) · (x
2
− 4) = (x − 3) · (x − 2) · (x + 2) < 0.
Zbiorem rozwiązań jest zbiór (−∞, −2) ∪ (2, 3).
Miejsce na notatki
Uwaga:
Rozwiązując nierówność, zawsze przenoś wszystkie jej wyrazy na jedną stronę. Otrzy-
many wielomian rozłóż na czynniki i szkicując wykres (to najprostsza metoda), zbadaj
jego znak.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
75
Zadania z wykładu
14.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Rozwiąż równania:
a)
x
8
− 15x
4
− 16 = 0,
b)
x
6
− 7x3 − 8 = 0,
c)
6x
3
− 13x
2
+ 9x − 2 = 0,
d)
4x
3
− 2x
2
− 8x + 3 + 0,
e)
2x
4
− 21x
3
+ 4x
2
− 24x = 24.
Zadanie
2.
Rozwiąż nierówności:
a)
(2 − x)(3x + 1)(2x − 3) > 0,
b)
x
4
+ 8x
3
+ 12x
2
0,
c)
(2x
2
− x − 5)(x
2
− 9)(62x − 3x) ¬ 0,
d)
(x + 6)
3
(x − 1)
2
(10 − x)
5
< 0.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
76
Wykład
15
Równania i nierówności wymierne
15.1.
Równania wymierne
Równaniem wymiernym
z niewiadomą x nazywamy równanie, które można zapisać w postaci
W
1
(x)
W
2
(x)
= 0,
gdzie W
1
(x) i W
2
(x) są wielomianami. Równanie takie określone jest dla tych wartości x,
które nie są pierwiastkami wielomianu W
2
(x) — czyli tych, dla których W
2
(x) 6= 0.
Rozwiązaniem równania wymiernego są wszystkie te pierwiastki wielomianu W
1
(x), któ-
re nie są jednocześnie pierwiastkami wielomianu W
2
(x).
Przykład
1.
Rozwiąż równania:
a)
1
x + 2
−
2
x − 1
= 1, gdzie x 6= 1 i x 6= −2.
Rozwiązanie:
Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę równości i wykonaniu działań
na ułamkach widać, że równanie będzie spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy x
2
+
2x + 3 = 0.
To równanie kwadratowe nie ma pierwiastków, zatem równanie wymierne też
nie ma pierwiastków.
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
77
b)
x
x + 3
+
1
x + 2
=
1
x
2
+ 5x + 6
, gdzie x 6= −2 i x 6= −3.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że x
2
+5x+6 = (x+2)·(x+3) jest najmniejszym wspólnym mianownikiem
ułamków. Po wykonaniu działań dostrzegamy, że równanie będzie spełnione wtedy
i tylko wtedy, gdy x
2
+ 2x − 3 = 0.
Równanie to ma dwa pierwiastki: x
1
= −3 i x
2
= 1. Biorąc pod uwagę założenie,
rozwiązaniem równania wymiernego jest tylko x = 1.
Miejsce na notatki
c)
2x
x + 1
+
x − 4
x − 1
= 1, gdzie x 6= −1 i x 6= 1.
Rozwiązanie:
Po przekształceniu równania widzimy, że będzie ono spełnione wtedy i tylko wtedy,
gdy 2x
2
− 5x − 3 = 0. Pierwiastkami są więc: x
1
= −
1
2
i x
2
= 3.
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
78
15.2.
Nierówności wymierne
Nierównością wymierną
nazywamy każdą z nierówności postaci
W
1
(x)
W
2
(x)
< 0
(albo ¬ 0, > 0, 0),
gdzie W
1
(x) i W
2
(x) są wielomianami. Nierówność określona jest dla tych wartości x, dla
których W
2
(x) 6= 0.
Aby rozwiązać nierówność wymierną, najłatwiej jest wykorzystać fakt, że iloraz dwóch
wyrażeń ma taki sam znak jak ich iloczyn. Rozwiązywanie nierówności wymiernych spro-
wadza się wtedy do rozwiązywania nierówności wielomianowych.
Przykład
2.
Rozwiąż nierówności:
a)
x
2
− 2x
x
2
− 4x + 4
>
1
x − 2
, gdzie x 6= 2.
Rozwiązanie:
Zauważmy, że x
2
− 4x + 4 = (x − 2)
2
, zatem po przeniesieniu wyrazu
1
x − 2
na lewą
stronę nierówności i po wykonaniu odejmowania, otrzymujemy
x
2
− 3x + 2
(x − 2)
2
> 0.
Nierówność ta spełniona będzie wtedy i tylko wtedy, gdy (x
2
−3x+2)·(x−2)
2
> 0.
Szkicując wykres otrzymujemy, że zbiorem rozwiązań jest zbiór (−∞, 1) ∪
(2, +∞).
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
79
b)
1
x + 1
+
2
x + 3
>
3
x + 2
, gdzie x 6= −1 i x 6= −2 i x 6= −3.
Rozwiązanie:
Po przeniesieniu wszystkich wyrazów na lewą stronę i wykonaniu działań na ułam-
kach, otrzymujemy
1 − x
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
> 0.
Nierówność ta ma równoważną postać iloczynową (1−x)·(x+1)·(x+2)·(x+3) > 0.
Z wykresu widać, że jej zbiorem rozwiązań jest zbiór (−3, −2) ∪ (−1, 1).
Miejsce na notatki
Uwaga:
Rozwiązując nierówność, zawsze wszystkie wyrazy przenoś na jedna stronę i zbadaj
znak otrzymanego wyrażenia.
Mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, znak nierówności zamień na
przeciwny.
Nie wolno nierówności mnożyć przez wyrażenie, którego znak zależy od wartości
argumentu x.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
80
Zadania z wykładu
15.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Sprawdź, czy funkcje wymierne W(x) i F(x) są równe. Narysuj ich wykresy.
a)
W(x) =
x
2
− 1
x + 1
, F(x) = x − 1,
b)
W(x) =
x
2
− 4
3x + 6
, F(x) =
x − 2
3
.
Zadanie
2.
Wykonaj działania na funkcjach wymiernych:
a)
x − 1
x
−
3
x
2
+
1
x + 1
,
b)
x − 2
x
2
− 4x
+
x
2
− 1
x
2
− 8x + 16
−
1
2x
.
Zadanie
3.
Rozwiąż równania:
a)
x
x + 3
+
1
x + 2
=
x + 6
x
2
+ 5x + 6
,
b)
x + 2
x − 1
−
x − 4
x + 2
=
9
2
,
c)
2
x
2
+ x
−
1
x
2
−
1
6x
= 0,
d)
x
2
− 6x + 3
4
−
5
x
2
− 6x + 3
= 2.
Zadanie
4.
Rozwiąż nierówności:
a)
4
x
¬
x,
b)
5x − 4
3x − 2
¬
2,
c)
4x + 5 <
5x
2
+ 4
x
,
d)
x
2
− 4x − 2
9 − x
2
< 0,
e)
x + 1
x − 2
>
3
x − 2
−
1
2
.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
81
Wykład
16
Funkcja wykładnicza
Funkcją wykładniczą
nazywamy funkcję
f: x 7→ y = a
x
,
gdzie x ∈ R, zaś a jest ustaloną liczbą dodatnią.
Na rysunku 16.1. poniżej pokazujemy wykresy funkcji wykładniczych: y = 2
x
i y =
1
2
x
oraz y = 3
x
i y =
1
3
x
.
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
1
2
3
4
y
y = 3
x
y = 2
x
y =
1
2
x
y =
1
3
x
Rysunek
16.1.
Wykresy kilku funkcji wykładniczych
Własności funkcji wykładniczej.
Funkcja wykładnicza ma następujące własności:
(A)
gdy a > 0 i a 6= 1, to funkcja y = a
x
jest różnowartościowa,
(B)
gdy 0 < a < 1, to funkcja y = a
x
jest malejąca,
(C)
gdy a = 1, to funkcja y = a
x
jest stała,
(D)
gdy a > 1, to funkcja y = a
x
jest rosnąca,
(E)
dla każdego a ∈ R
+
\ { 1 } zbiorem wartości funkcji y = a
x
jest zbiór R
+
= (0, +∞),
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
82
(F)
dla każdego a ∈ R
+
\ { 1 } krzywe wykładnicze o równaniach y = a
x
i y =
1
a
x
są symetryczne względem osi OY, co łatwo pokazać używając własności działań na
potęgach:
1
a
−
x
=
1
1
a
x
= a
x
.
Przykład
1.
Która z liczb: 3
√
2
i 3
1,4
jest większa?
Rozwiązanie:
Ponieważ na mocy własności
(D)
funkcja y = 3
x
jest rosnąca w zbiorze R, a
√
2 > 1,4,
wnioskujemy, że 3
√
2
> 3
1,4
.
Przykład
2.
W ilu punktach prosta o równaniu y =
√
2 przecina krzywą wykładniczą o rów-
naniu y = π
x
?
Rozwiązanie:
Funkcja y = π
x
jest funkcją różnowartościową przyjmującą każdą wartość dodatnią
(wynika to z własności
(A)
i
(E)
). Zatem prosta o równaniu y = π
x
przecina krzywą
wykładniczą o równaniu y = π
x
tylko w jednym punkcie.
Przykład
3.
Dana jest funkcja y = 2
x
. Sprawdź, że gdy wartości argumentu tworzą ciąg
arytmetyczny, to odpowiednie wartości funkcji tworzą ciąg geometryczny.
Rozwiązanie:
Niech x przyjmuje następujące wartości: x
1
= a, x
2
= a+r, x
3
= a+2r. Odpowiadają im
wartości funkcji: y
1
= 2
a
, y
2
= 2
a+r
, y
3
= 2
a+2r
, co oznacza, że y
1
= 2
a
, y
2
= 2
a
·
2
r
;
y
3
= 2
a
·
(2
r
)
2
. Stąd widać, że liczby y
1
, y
2
, y
3
tworzą ciąg geometryczny o ilora-
zie q = 2r.
Przykład
4.
Korzystając tylko z własności funkcji wykładniczej określ, która spośród liczb:
0,6
−
4
i 0,6
5
jest większa.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
83
Przykład
5.
Wykres funkcji y =
1
3
x
przekształcamy przez:
a)
symetrię względem osi OX,
b)
symetrię względem osi OY.
Zrób wykresy oraz podaj wzory funkcji otrzymanych w każdym z tych przekształceń.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
6.
Mając wykres funkcji y = 2
x
naszkicuj wykresy funkcji y = 2
x−1
oraz y = 2
x+1
.
Dla każdej z tych funkcji wyznacz dziedzinę, zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
84
Zadania z wykładu
16.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Mając wykres funkcji y = 2
x
naszkicuj wykresy funkcji:
a)
y = 2
x
+ 1,
b)
y = 2
x
− 1,
c)
y = 2
|x|
,
d)
y = 2
−
|x|
,
e)
y = −2
|x|
,
f)
y =
1
2
x
+ 1.
Dla każdej z tych funkcji wyznacz dziedzinę, zbiór wartości oraz przedziały monotoniczności.
Zadanie
2.
Korzystając z własności funkcji wykładniczej porównaj następujące liczby:
a)
2
0,33
i 2
3
−
1
,
b)
3
7
1,3
i
3
7
1,5
,
c)
√
5
2
!
8
i
5
2
6,5
.
Zadanie
3.
Rozwiąż graficznie następujące układy równań:
a)
y = 2
x
y + 2x = 8
b)
y = 2
−
x
x + y − 5 = 0
c)
1
2
x
= 1
2x + y − 1 = 0
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
85
Wykład
17
Równania i nierówności wykładnicze
Do rozwiązywania równań i nierówności wykładniczych wykorzystuje się następujące wła-
sności wynikające z własności funkcji wykładniczych (por. wykład 16., str. 82):
(G)
jeśli a > 0 i a 6= 1, to dla dowolnych x
1
, x
2
∈ R
a
x
1
= a
x
2
wtedy i tylko wtedy, gdy
x
1
= x
2
(własność ta wynika z własności
(A)
).
(H)
jeśli 0 < a < 1, to dla dowolnych x
1
, x
2
∈ R
a
x
1
< a
x
2
wtedy i tylko wtedy, gdy
x
1
> x
2
(własność ta wynika z własności
(B)
).
(I)
jeśli a > 1, to dla dowolnych x
1
, x
2
∈ R
a
x
1
< a
x
2
wtedy i tylko wtedy, gdy x
1
< x
2
.
(własność ta wynika z własności
(D)
).
Przykład
1.
Rozwiąż równanie 2
x
= 4.
Rozwiązanie:
Przy rozwiązywaniu tego równania korzystamy z własności
(G)
. Ponieważ 4 = 2
2
,
nasze równanie sprowadza się do równania 2
x
= 2
2
, które na mocy własności
(G)
jest
równoważne równaniu x = 2.
Przykład
2.
Rozwiąż nierówność 2
x
< 4.
Rozwiązanie:
Przy rozwiązaniu tej nierówności korzystamy z własności
(I)
. Na mocy tej własności
nierówność 2
x
< 4 jest równoważna nierówności x < 2. Zatem zbiorem rozwiązań
nierówności jest przedział (−∞, 2).
Przykład
3.
Rozwiąż równanie 49
x
+ 6 · 7
x
+ 5 = 0.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
86
Przykład
4.
Rozwiąż nierówność 5
x
2
−
7x+12
> 1.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Działania na potęgach.
Ponieważ przy rozwiązywaniu równań i nierówności wykładni-
czych korzysta się z własności działań na potęgach, dla sprawniejszego rozwiązywania zadań
przypominamy podstawowe. Zamieszczamy też odpowiednie zadania, które pomogą utrwalić
ten materiał.
Dla dowolnych liczb dodatnich a, b i dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y zachodzą
następujące związki:
a)
a
x
·
a
y
= a
x+y
,
b)
a
x
a
y
= a
x−y
,
c)
(a · b)
x
= a
x
·
b
x
,
d)
a
b
x
=
a
x
b
x
,
e)
(a
x
)
y
= a
x·y
,
f)
a
−
x
=
1
a
x
,
g)
a
0
= 1,
h)
Dla wykładników postaci x =
m
n
, gdzie m i n są liczbami naturalnymi, zachodzi
równość a
m/n
=
n
√
a
m
; w szczególności a
1/n
=
n
√
a.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
87
Zadania dotyczące działań na potęgach
Zadanie
1.
Oblicz:
a)
27
1/3
,
b)
81
−
0,25
,
c)
27
−
5/3
,
d)
64
1/3
,
e)
1
16
1/4
,
f)
1000
−
1/3
,
g)
16
1/4
,
h)
8
2/3
,
i)
9
−
1,5
,
j)
16
−
1/2
,
k)
27
−
4/3
,
l)
2 · 27
2/3
,
m)
5
−
1
·
25
1/2
,
n)
100
−
1/2
,
o)
100
−
1/2
·
0,1
−
2
.
Zadanie
2.
Oblicz:
a)
12
1/2
·
3
1/2
,
b)
2
1/2
·
32
1/2
,
c)
3
1/4
·
27
1/4
,
d)
2
1/3
·
4
1/3
,
e)
2
3
50
·
1,5
50
.
Zadanie
3.
Wykonaj następujące działania:
a)
4
9
·
x
4
·
y
6
−
1/2
,
b)
27 · x
−
9
125 · y
−
3
!
−
2/3
,
c)
x
2/3
·
y
1/2
·
z
3/2
·
x
4/3
·
y
−
1/2
·
z
−
2,5
,
d)
a
4
·
b
·
1
2
·
a
−
3
·
b
−
1
,
e)
2 · a
1/2
·
b
3/4
·
1
4
·
a
1/2
·
b
1/4
.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
88
Zadania z wykładu
17.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Rozwiąż następujące równania:
a)
5
x
− 5
3−x
= 20,
b)
4
√
x−2
+ 16 = 10 · 2
√
x−2
,
c)
0,125 · 4
2x−3
=
√
2
8
!
−
x
,
d)
2
3x
·
7
x−2
= 4
x+1
,
e)
3
5x−8
= 9
x−3
,
f)
7
x−4
=
√
7
2−3x
,
g)
5
x
2
+
2
= 5
3x
,
h)
25
x
2
= 125
4x−6
,
i)
3
4
x−1
·
4
3
1
x
=
9
16
,
j)
3
7
3x−7
=
7
3
7x−2
,
k)
8
8x−5
= 0,125 ·
√
2
4
!
6−5x
,
l)
0,5
x
2
·
2
2x+2
=
1
64
,
m)
0,25
2−x
=
256
2
x+3
,
n)
1
8
√
2
x
= 8 · 4
3−2x
,
o)
6
x−5
·
36
x+3
= 30,
p)
2
x−4
·
8
3−2x
= 4
3x−3
.
Zadanie
2.
Rozwiąż następujące równania:
a)
3
x+2
− 3
x
= 72,
b)
2
x+3
− 2
x
= 112,
c)
2
x
− 2
x−4
= 15,
d)
3
2x+2
+ 3
2x
= 30,
e)
7 · 5
x
− 5
x+2
+ 450 = 0,
f)
2 · 16
x
− 2
4x
− 4
2x−2
= 15.
Zadanie
3.
Rozwiąż następujące równania:
a)
2 · 16
x
− 17 · 4
x
+ 8 = 0,
b)
3
x+1
+ 9
x
= 108,
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
89
c)
7
2x
+ 7
x
= 36 · 7
x
+ 686,
d)
2
x+1
+ 4
x
= 80,
e)
3
x+2
+ 9
x+1
= 810,
f)
4
x
− 9 · 2
x
+ 8 = 0.
Zadanie
4.
Rozwiąż następujące nierówności:
a)
4
x
> 16,
b)
2
x
< 8,
c)
3
x
27,
d)
1
3
x
< 9,
e)
1
5
x
0,04,
f)
0,5
x+1
x−1
>
1
32
,
g)
1
2
x
− 1
>
1
1 − 2
x−1
,
h)
1
2
x
−
1
2
−
1−x
1,
i)
3
x − 3
3x − 2 < 1
3
,
j)
32
x + 5
x − 7 > 0,25 · 128
x + 17
x − 3 ,
k)
0,5
x
·
2
2x+2
<
1
64
,
l)
1
2
4x
2
−
15x+13
<
1
2
4−3x
,
m)
5
x
2
−
7x+12
> 1.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
90
Wykład
18
Logarytmy
18.1.
Definicja i podstawowe własności logarytmów
Funkcja wykładnicza y = a
x
jest dla a 6= 1 funkcją różnowartościową, i zbiorem jej wartości
jest zbiór R
+
. Wynika stąd, że jeśli a, b ∈ R
+
i a 6= 1, to równanie a
x
= b ma dokładnie
jedno rozwiązanie.
Rozwiązanie tego równania przyjęło się nazywać logarytmem liczby b przy podstawie a
i oznaczać symbolem log
a
b.
Definicja logarytmu.
Logarytmem liczby dodatniej
b przy podstawie a ∈ R
+
\ { 1 } nazywamy
wykładnik potęgi, do której należy podnieść a, żeby otrzymać liczbę b.
Zatem przy powyższych założeniach mamy następującą zależność:
(A)
log
a
b = x wtedy i tylko wtedy, gdy a
x
= b.
Przykład
1.
a)
log
2
8 = 3,
ponieważ 2
3
= 8,
b)
log
0,5
8 = −3, ponieważ 0,5
−
3
= 8,
c)
log
3
1
9
= −2,
ponieważ 3
−
2
=
1
9
,
d)
log
0,3
0,09 = 2, ponieważ 0,3
2
= 0,09,
e)
log
5
1 = 0,
ponieważ 5
0
= 1,
f)
log
0,4
1 = 0,
ponieważ 0,4
0
= 1.
Z zależności
(A)
wynikają bezpośrednio dwie tożsamości.
(B)
log
a
a
x
= x, gdy a ∈ R
+
\ { 1 } i x ∈ R.
Przykład
2.
a)
log
0,1
0,01 = log
0,1
0,1
2
= 2,
b)
log
3/5
5
3
3
= log
3/5
3
5
−
3
= −3.
(C)
a
log
a
b
= b, gdy a ∈ R
+
\ { 1 } i b ∈ R.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
91
Przykład
3.
a)
4
log
2
5
=
2
2
log
2
5
= 2
2·log
2
5
=
2
log
2
5
2
= 5
2
= 25,
b)
3
log
3
5+log
3
2
= 3
log
3
5
·
3
log
3
2
= 5 · 2 = 10.
18.2.
Dalsze własności logarytmów
Twierdzenie
1.
Jeżeli
a ∈ R
+
\ { 1 } oraz x, y ∈ R
+
, to:
a)
log
a
(x · y) = log
a
x + log
a
y
(Logarytm iloczynu liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów czynników tego iloczynu),
b)
log
a
x
y
= log
a
x − log
a
y
(Logarytm ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów dzielnej i dzielnika),
c)
log
a
x
p
= p · log
a
x przy dowolnej wartości p ∈ R
(Logarytm potęgi o podstawie dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika potęgi i logarytmu
podstawy tej potęgi
).
Przykład
4.
a)
log
2
8
√
5 = log
2
2
3
·
5
1/2
= log
2
2
3
+ log
2
5
1/2
= 3 +
1
2
·
log
2
5;
b)
log
10
81
0,008
= log
10
81 − log
10
0,008 = log
10
3
4
− log
10
0,2
2
= 4 · log
10
3 − 3 · log
10
0,2 =
= 4 · log
10
3 − 3 · log
10
2 · 10
−
1
= 4 · log
10
3 − 3 · log
10
2 + (−1) · log
10
10
= 4 · log
10
3 +
− 3 · log
10
2 + 3.
Ze względu na to, że w rozważaniach teoretycznych używa się różnych podstaw logaryt-
mu, interesujący jest związek, jaki zachodzi pomiędzy logarytmami danej liczby przy różnych
podstawach. Problem ten rozstrzyga następująca równość, nazywana wzorem na zamianę pod-
stawy logarytmu
.
Twierdzenie
2.
Jeżeli
a, b ∈ R
+
\ { 1 } i c ∈ R
+
, to
log
a
c =
log
b
c
log
b
a
.
Przykład
5.
Wiedząc, że log
0,5
x = 4, oblicz log
2
x.
Rozwiązanie:
log
2
x =
log
0,5
x
log
0,5
2
=
4
log
0,5
0,5
−
1
=
4
−1
= −4.
Przykład
6.
Rozwiąż równanie a
x
= b, gdy a ∈ R
+
\ { 1 }, b ∈ R
+
.
Rozwiązanie:
Logarytmując to równanie logarytmem o podstawie a otrzymujemy log
a
a
x
= log
a
b.
Korzystając z zależności
(B)
doprowadzamy ją do postaci x = log
a
b.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
92
Przykład
7.
Rozwiąż równanie x
1−log
10
x
= 0,01.
Rozwiązanie:
Jest to równanie wykładniczo-logarytmiczne. Dziedziną tego równania jest zbiór R
+
.
Logarytmujemy obie strony równania logarytmem przy podstawie 10:
log
10
x
1−log
10
x
= log
10
0,01,
(1 − log
10
x) · log
10
x = −2,
log
10
x − log
2
10
x + 2 = 0.
Podstawiając log
10
x = z otrzymujemy równanie kwadratowe −z
2
+z+2 = 0, którego
pierwiastkami są liczby: z
1
= −1 i z
2
= 2.
Wracając do do zmiennej x otrzymujemy: log
10
x = −1 ⇒ x =
1
10
oraz
log
10
x = 2 ⇒ x = 100. Obie wartości należą do dziedziny równania, więc obie są
jego rozwiązaniami.
Przykład
8.
Wiedząc, że log
6
2 = a oraz log
6
5 = b, oblicz log
3
5.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
9.
Rozwiąż równanie 15
log
5
3
·
x
log
5
(
9x+1)
= 1.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
93
Zadania z wykładu
18.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Oblicz:
a)
log
2
16,
b)
log
3
27,
c)
log
1/3
9,
d)
log
2
1
4
,
e)
log
1/2
1
8
,
f)
log
√
2
2,
g)
log
10
0,01,
h)
log
27
3,
i)
log
25
5,
j)
log
64
16,
k)
log
5
5
√
5,
l)
log
1/9
3
3
√
3,
m)
log
√
2
2,
n)
log
6
1,
o)
log
27
3,
p)
log
3
√
3
27.
Zadanie
2.
Oblicz:
a)
2
log
2
√
2
15
,
b)
2
log
2
32
,
c)
3
log
3
5
,
d)
10
2+2 log
10
7
,
e)
49
log
7
2
,
f)
16
log
2
3
,
g)
2
3−log
2
3
,
h)
8
1−log
2
3
,
i)
q
10
2+
1
2
·
log 16
,
j)
2
log
3
5
− 5
log
3
2
.
Zadanie
3.
Uprość wyrażenie x = log
2
3 · log
3
4 · log
4
5 · . . . · log
15
16.
Zadanie
4.
Wiedząc, że log
3
x = a, oblicz:
a)
log
9
x,
b)
log
1/81
x,
c)
log
1/3
x.
Zadanie
5.
Wiedząc, że log
6
2 = a i log
6
5 = b, oblicz:
a)
log
2
3 + log
36
5,
b)
log
3
2 − log
1/6
5.
Zadanie
6.
Korzystając z definicji logarytmu rozwiąż następujące równania:
a)
log
4
log
3
(log
2
x)
= 0,
b)
log
4
log
3
(log
2
x)
=
1
2
,
c)
log
7
log
4
log
2
3
(x − 7)
= 0,
d)
log
x−2
9 = 2,
e)
log
2
x
2
+ 6x + 17
= 3,
f)
log
x−2
x
3
− 14
= 3,
g)
log
3−x
x
2
+ 2x − 1
= 2.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
94
Wykład
19
Funkcja logarytmiczna i jej własności
Funkcję
f: x 7→ log
a
x,
gdzie a ∈ R
+
\ { 1 } i x ∈ R
+
, nazywamy funkcją logarytmiczną o podstawie a i oznaczamy
symbolem log
a
x.
Wykres.
Na rysunku 19.1. przedstawiamy wykresy kilku funkcji logarytmicznych: y = log
3
x,
y = log
2
x oraz y = log
1/2
x i y = log
1/3
x.
−1
1
2
3
4
5
x
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
y = log
2
x
y = log
3
x
y = log
1/2
x
y = log
1/3
x
Rysunek
19.1.
Wykresy kilku funkcji logarytmicznych
Własności.
Funkcja logarytmiczna ma następujące własności:
(A)
dla każdej liczby a > 1 funkcja y = log
a
x jest rosnąca w zbiorze R
+
,
(B)
dla każdej liczby a ∈ (0, 1) funkcja y = log
a
x jest malejąca w zbiorze R
+
,
(C)
dla każdej liczby a ∈ R
+
\ { 1 } funkcja y = log
a
x jest funkcją różnowartościową.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
95
Oto kilka dalszych własności funkcji logarytmicznej:
(D)
krzywe logarytmiczne o równaniach y = log
a
x i y = log
1/a
x są symetryczne wzglę-
dem osi OX dla każdego a ∈ R
+
\{ 1 }, co łatwo można uzasadnić, używając twierdzenia
o zamianie podstawy logarytmów (por. twierdzenie 2. z wykładu 18., ze strony 92):
log
a
x =
log
1/a
x
log
1/a
a
=
log
1/a
x
−1
= − log
1/a
x dla x ∈ R
+
,
(E)
funkcja y = log
a
x jest funkcją odwrotną do funkcji y = a
x
, a krzywa logarytmiczna
o równaniu y = log
a
x jest symetryczna do krzywej wykładniczej o równaniu y = a
x
względem prostej o równaniu y = x (patrz rysunek 19.2., wykres z lewej strony).
(F)
funkcja y = log
1/a
x jest funkcją odwrotną do funkcji y =
1
a
x
, a krzywa logaryt-
miczna o równaniu y = log
1/a
x jest symetryczna do krzywej wykładniczej o równaniu
y =
1
a
x
względem prostej o równaniu y = x (patrz rysunek 19.2., wykres z prawej
strony).
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
y = log
2
x
y = x
y = 2
x
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
−3
−2
−1
1
2
3
4
y
y = log
1/2
x
y = x
y =
1
2
x
Rysunek
19.2.
Wykresy funkcji wykładniczych i odwrotnych do nich funkcji logarytmicznych
Przykład
1.
Porównaj ze sobą liczby log
2
0,753 i log
2
(
√
2 − 1).
Rozwiązanie:
Funkcja y = log
2
x jest funkcją rosnącą. Ponadto 0,753 >
√
2 − 1. Wnioskujemy stąd, że
liczba 0,753 jest większa od liczby log
2
(
√
2 − 1).
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
96
Przykład
2.
Czym różni się wykres funkcji y = log
3
x
2
od wykresu funkcji y = 2 log
3
x?
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
3.
Naszkicuj wykres funkcji y = log
2
|x|. Wyznacz też jej dziedzinę, zbiór wartości
i przedziały monotoniczności.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
97
Przykład
4.
Rozwiąż graficznie następujące układy nierówności:
a)
y > log
2
x
y < 2
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
b)
y > log
2
x
y < 4
x
x < 1
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
98
Zadania z wykładu
19.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Naszkicuj wykresy funkcji. Wyznacz też ich dziedziny, zbiory wartości i prze-
działy monotoniczności:
a)
y = log
3
x,
b)
y = − log
1/3
x,
c)
y = log
3
(x − 2),
d)
y =
log
2
x
log
2
x
,
e)
y =
log
2
x
,
f)
y = 2 + log
2
x,
g)
y = log
3
(−x).
Zadanie
2.
Rozwiąż graficznie równania:
a)
log
2
x = −2x,
b)
log
2
x = −x
2
+ 1,
c)
log
1/2
x = −x
2
+ 3.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
99
Wykład
20
Równania i nierówności
logarytmiczne
Do rozwiązywania równań i nierówności logarytmicznych wykorzystuje się następujące wła-
sności wynikające z własności funkcji logarytmicznych (por. wykład 19.):
(G)
jeśli a ∈ R
+
\ { 1 } i x
1
, x
2
∈ R
+
, to log
a
x
1
= log
a
x
2
wtedy i tylko wtedy, gdy x
1
= x
2
(własność ta wynika z własności
(C)
ze strony 95).
(H)
jeśli a > 1 i x
1
, x
2
∈ R
+
, to log
a
x
1
< log
a
x
2
wtedy i tylko wtedy, gdy x
1
< x
2
(własność ta wynika z własności
(A)
ze strony 95).
(I)
jeśli 0 < a < 1 i x
1
, x
2
∈ R
+
, to log
a
x
1
< log
a
x
2
wtedy i tylko wtedy, gdy x
1
> x
2
(własność ta wynika z własności
(B)
ze strony 95).
Przykład
1.
Rozwiąż równanie log
2
x = log
2
3 + 1.
Rozwiązanie:
Dziedziną tego równania jest zbiór R
+
. Przekształcamy równanie w zbiorze R
+
w spo-
sób równoważny:
log
2
x = log
2
3 + log
2
2,
log
2
x = log
2
(3 · 2),
log
2
x = log
2
6,
x = 6.
Równanie powyższe ma zatem tylko jedno rozwiązanie; jest nim liczba 6.
Przykład
2.
Rozwiąż nierówność log
3
x < log
3
5.
Rozwiązanie:
Korzystając z własności
(H)
możemy powiedzieć, że nierówność ta jest równoważna
w zbiorze R
+
nierówności x < 5. Po uwzględnieniu dziedziny funkcji otrzymujemy
jako zbiór rozwiązań przedział (0, 5).
Przykład
3.
Rozwiąż nierówność log
0,5
x
2
− log
0,5
x log
0,5
3.
Rozwiązanie:
Dziedziną tej nierówności jest zbiór R
+
. W zbiorze R
+
nierówność ta jest równoważna
nierówności log
0,5
x
2
x
log
0,5
3, czyli nierówności log
0,5
x log
0,5
3.
Na mocy własności
(I)
możemy powiedzieć, że ostatnia nierówność jest równoważna
w zbiorze R
+
nierówności x ¬ 3. Uwzględniając dziedzinę nierówności stwierdzamy,
że zbiorem jej rozwiązań jest przedział (0, 3i.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
100
Przykład
4.
Porównaj ze sobą liczby: log
10
π i log
10
22
7
.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
5.
Rozwiąż równanie x
2 log
3
x−1,5 log x
=
√
10 .
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Przykład
6.
Rozwiąż nierówność log
2
x ¬ log
4
9 + log
2
3.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
101
Zadania z wykładu
20.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Rozwiąż równania logarytmiczne:
a)
log
6
x = log
6
5 − 1,
b)
log
5
x = log
5
7 + 2,
c)
log
2
x = log
4
5.
Zadanie
2.
Rozwiąż nierówności:
a)
log
2
(x + 1) > 3,
b)
log
1/2
(2x − 5) < −4,
c)
log
3
(x
2
+ 2) > 3,
d)
log
1/4
|x − 3| < −2,
e)
log
2
(x − 1) − 2 · log(x − 1) > 0,
f)
log
2x+3
x
2
< 1,
g)
3
log
1/2
(
x
2
−
5x+7)
< 1,
h)
|3 − log
2
x| < 1,
i)
log
2
(x + 14) + log
2
(x + 2) 6.
Zadanie
3.
Rozwiąż następujące równania logarytmiczne:
a)
log(x − 1) − log(4 − x) = 1 − log(13 − x),
b)
log
√
x − 5 + log
√
2x − 3 + 1 = log 30,
c)
log(0,5 + x) = log 0,5 − log x,
d)
1
1 + log x
+
5
3 − log x
= 3,
e)
log
2
(9 − 2
x
) = 3 − x,
f)
log
4
2 log
3
1 + log
2
(1 + log
2
x)
=
1
2
,
g)
3
log x
=
1
27
,
h)
2 log x
log(5x − 4)
= 1,
i)
2 log x + log(6 − x
2
) = 0,
j)
log
4
(x + 3) − log
4
(x − 1) = 2 − log
4
8,
k)
log(x − 5) − log 2 =
1
2
log(3x − 20),
l)
log(2x + 14) + log(x + 12) = 3.
Zadanie
4.
Dla jakich wartości parametru k równanie
log(kx)
log(x + 1)
= 2 ma tylko jeden pier-
wiastek?
Zadanie
5.
Dla jakich wartości parametru m równanie x
2
− 2x + log
0,5
m = 0 ma dwa różne
pierwiastki?
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
102
Wykład
21
Funkcje trygonometryczne
Miary kątów można wyrażać na kilka sposobów, m.in. w stopniach, np. α = 90
◦
lub w ra-
dianach (miara łukowa kątowa), np. x =
π
2
. Związek między miarą podaną w radianach (x)
a kątem podanym w stopniach (α) opisany jest zależnością
x = α ·
π
180
◦
.
Dla wybranych wartości kątów mamy:
α 0
◦
30
◦
45
◦
60
◦
90
◦
x 0
π
6
π
4
π
3
π
2
Trygonometria bierze swoje początki z badania związków między bokami trójkąta pro-
stokątnego. Zajmiemy się tzw. funkcjami trygonometrycznym, które kątom przypisują liczby
rzeczywiste. Wyróżnimy cztery podstawowe funkcje trygonometryczne:
•
dla funkcji sinus stosujemy oznaczenie y = sin x,
•
dla funkcji cosinus stosujemy oznaczenie y = cos x,
•
dla funkcji tangens stosujemy oznaczenie y = tg x,
•
dla funkcji cotangens stosujemy oznaczenie y = ctg x.
Definicja.
Jeśli α jest kątem skierowanym pomiędzy dodatnim kierunkiem osi OX a promie-
niem wodzącym punktu P(a, b), (patrz rysunek 21.1.), to
sin α =
b
c
, cos α =
a
c
, tg α =
b
a
, ctg α =
a
b
,
gdzie c =
√
a
2
+ b
2
.
x
y
P(a, b)
c
a
b
α
Rysunek
21.1.
Definicja funkcji trygonometrycznych
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
103
Funkcje okresowe.
Funkcja f: x 7→ y o dziedzinie D ∈ R jest funkcją okresową, jeżeli istnieje
taka liczba T ∈ R, że
^
x∈D
^
k∈C
x + kT ∈ D
∧
f(x + kT) = f(x).
Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Łatwo sprawdzić, że jeśli liczba T jest okresem, to
każda całkowita jej wielokrotność również. Najmniejszy dodatni okres nazywamy okresem
podstawowym
funkcji f.
Nietrudno zauważyć, że okresem podstawowym funkcji sinus i cosinus jest kąt 360
◦
(czyli
2π), zaś funkcji tangens i cotangens — kąt 180
◦
(czyli π).
Wykresy funkcji trygonometrycznych.
Wykresy funkcji trygonometrycznych w podstawo-
wych okresach zostały przedstawione na rysunku 21.2. Wykresy sinusa i cosinusa „nachodzą”
na siebie po przesunięciu o każdą wielokrotność kąta pełnego, a tangensa i cotangensa — kąta
półpełnego.
−1
1
2
3
4
5
6
x
−3
−2
−1
1
2
3
y
y = sin x
y = cos x
−2 −1
1
2
3
x
−3
−2
−1
1
2
3
y
y = tg x
−2 −1
1
2
3
x
−3
−2
−1
1
2
3
y
y = ctg x
Rysunek
21.2.
Wykresy funkcji trygonometrycznych
Można nietrudno stwierdzić, że wykres funkcji np. y = sin 2x ma okres podstawowy
T =
2π
2
= π, a przeciwdziedziną (zbiorem wartości) funkcji y = 3 sin x jest przedział h−3, 3i
(por. przekształcenia wykresów funkcji, wykład 9., str. 40).
Wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych kątów z I ćwiartki układu współ-
rzędnych przedstawiono w tabelce:
x
0
π
6
π
4
π
3
π
2
sin x
0
1
2
√
2
2
√
3
2
1
cos x 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0
tg x
0
√
3
3
1
√
3 —
ctg x —
√
3
1
√
3
3
0
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
104
Tożsamości trygonometryczne.
Z definicji funkcji trygonometrycznych wynikają następu-
jące związki mające charakter tożsamości:
(A)
sin
2
x + cos
2
x = 1,
(B)
tg x =
sin x
cos x
,
(C)
ctg x =
cos x
sin x
,
(D)
tg x · ctg x = 1.
Znając w danym punkcie wartość którejkolwiek z funkcji trygonometrycznych, możemy
wyznaczyć w tym punkcie wartości pozostałych funkcji.
Przykład
1.
Niech m = tg α, gdzie α ∈
D
3
2
π, 2π
E
. Wyznacz wartości pozostałych funkcji
trygonometrycznych kąta α.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
Do często używanych związków trygonometrycznych należą także:
(E)
sin 2x = 2 sin x cos x,
(F)
cos 2x = cos
2
x − sin
2
x,
(G)
tg(x − y) =
tg x − tg y
1 + tg x · tg y
.
Przykład
2.
Udowodnij, że
sin x
1 + cos x
+
1 + cos x
sin x
=
2
sin x
.
Rozwiązanie:
Miejsce na notatki
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
105
Uwaga:
Następujące wzory są fałszywe i nie wolno ich stosować:
•
nieprawda
, że sin(x + y) = sin x + sin y, bo np. dla x = y =
π
4
zachodzi 1 = sin
π
2
= sin
π
4
+
π
4
6
= sin
π
4
+ sin
π
4
= 2 ·
√
2
2
=
√
2;
•
nieprawda
, że sin(2x) = 2 sin x, bo np. dla x =
π
2
zachodzi 0 = sin π = sin
2
π
2
6
= 2 · sin
π
2
= 2 · 1 = 2.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
106
Zadania z wykładu
21.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Podane miary stopniowe kątów wyraź w radianach:
a)
360
◦
,
b)
90
◦
,
c)
18
◦
,
d)
5
◦
.
Zadanie
2.
Podane miary łukowe kątów wyraź w stopniach:
a)
3π,
b)
0,75π,
c)
π
3
,
d)
5
π
6
,
e)
π
18
.
Zadanie
3.
Określ znak każdej z liczb: sin x, tg x, ctg x, wiedząc, że:
a)
x ∈
0,
π
2
b)
x ∈ (2, 3)
c)
x ∈
π, 3
π
2
d)
x ∈ (5, 6).
Zadanie
4.
Sprowadź wyrażenia do najprostszej postaci:
a)
ctg α · sin α,
b)
(1 + sin β) · (1 − sin β),
c)
cos
2
x · sin x + sin
3
x,
d)
1 + tg x
1 + ctg x
,
e)
1 − 2 · cos
2
x
2 · sin
2
x − 1
,
f)
sin
2
x
1 − cos x
.
Zadanie
5.
Sprawdź, czy podane równości mają charakter tożsamości trygonometrycznych:
a)
(sin x + cos x)
2
+ (sin x − cos x)
2
= 2,
b)
1 + tg
2
x = 1,
c)
cos
2
x − 1
sin
2
x − 1
,
d)
tg x
tg x + ctg x
= sin
2
x,
e)
cos
4
x − sin
4
x = cos
2
x − sin
2
x.
Zadanie
6.
W przedziale h0, 2πi naszkicuj wykresy funkcji:
a)
y = 3 sin x,
b)
y = |tg x|,
c)
y = cos 2x,
d)
y = cos x − 1,
e)
y = ctg
x
2
,
f)
y = |sin 2x| .
Zadanie
7.
Oblicz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeżeli wiadomo, że:
a)
sin x = −
1
3
, x ∈
π, 3
π
2
,
b)
ctg x = −2, x ∈
3
π
2
, 2π
.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
107
Wykład
22
Wzory redukcyjne. Równania
i nierówności trygonometryczne
22.1.
Wzory redukcyjne
Przypomnijmy sobie, co to są wzory redukcyjne. Są to zależności, które pozwalają obliczyć
wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnych kątów na podstawie wartości tych funkcji
dla kątów z I ćwiartki.
Jak to należy robić? Dla ustalenia znaku opieramy się na tzw. „wierszyku trygonome-
trycznym”:
„w pierwszej wszystkie są dodatnie,
w drugiej tylko sinus,
w trzeciej — tangens i cotangens,
a w czwartej — cosinus.”
Przedstawiając dowolny kąt β w postaci β = k·
π
2
±
α, gdzie α należy do I ćwiartki, otrzymamy
zależność
f(β) = ±cf(α),
gdzie: f — rozważana funkcja trygonometryczna, cf jest równa f przy k parzystych i równa
się kofunkcji funkcji f przy k nieparzystych. Znak wynika z „wierszyka”.
funkcja
kofunkcja
sin
cos
tg
ctg
cos
sin
ctg
tg
Przykład
1.
sin
11
6
π
= sin
3
2
π +
π
3
= − cos
π
3
= −
1
2
.
Rozwiązanie:
Znak minus wynika z „wierszyka”, bo w IV ćwiartce sinus jest ujemny, zaś sinus za-
mienił się na cosinus, bo
3
2
π = 3 ·
π
2
(3 jest liczbą nieparzystą).
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
108
Przykład
2.
a)
sin
5
4
π
= sin
π +
π
4
= − sin
π
4
= −
√
2
2
,
b)
tg
11
6
π
= tg
2π −
π
6
= − tg
π
6
= −
√
3
3
.
Przejdźmy do wyliczania wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Tutaj na-
leży sobie przypomnieć, że funkcje trygonometryczne są okresowe. Funkcje: sinus i cosinus
mają okres podstawowy równy 2π, a tangens i cotangens — równy π.
Jak to wyliczać?
Przykład
3.
a)
sin
2009
4
π
= sin
502π +
π
4
= sin
251 · 2π +
π
4
= sin
π
4
=
√
2
2
.
b)
cos
95
3
π = cos
31π + 2
π
3
= cos
30π + 5
π
3
= cos
5
π
3
= cos
2π −
π
3
=
= cos
π
3
=
1
2
.
c)
tg
103
4
π = tg
25π + 3
π
4
= tg
25π + 3
π
4
= tg 3
π
4
= tg
π −
π
4
= − tg
π
4
= −1.
22.2.
Równania trygonometryczne
Elementarnym równaniem trygonometrycznym
nazywamy równania:
sin mx = a
lub
cos mx = a,
gdzie a ∈ h−1, 1i,
lub
tg mx = a
lub
ctg mx = a,
gdzie a ∈ R.
Każde równanie trygonometryczne w końcowym etapie sprowadza się do równania elemen-
tarnego.
Przykład
4.
Jak rozwiązać równanie sin 2x =
1
2
?
Rozwiązanie:
Należy na to równanie spojrzeć jak na układ równań
y = sin 2x
y =
1
2
Należy narysować wykres funkcji y = sin α oraz prostą y =
1
2
. Widać, że w podstawo-
wym okresie prosta przecina wykres funkcji sinus w dwóch punktach. Z tabelki wiemy,
że pierwszym kątem jest α =
π
6
. Drugi kąt natomiast wynosi α = π −
π
6
= 5
π
6
.
Rozwiązania są więc następujące: α = 2x =
π
6
+ 2kπ, skąd x =
π
12
+ kπ
oraz α = 2x = 5
π
6
+ 2kπ, skąd x = 5
π
12
+ kπ.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
109
Uwaga:
Następujące rozumowanie zawiera poważny błąd: sin 2x =
1
2
, więc sin 2x = sin 30
◦
, więc
2x = 30
◦
, więc x = 15
◦
. Funkcja sin jest w nim traktowana, jakby była różnowartościowa.
Przykład
5.
Rozwiąż równanie 3 cos x = 2 sin
2
x.
Rozwiązanie:
3 cos x = 2 1 − cos
2
x
. Podstawiając cos x = t (skąd od razu wynika warunek t ∈
h
−1, 1i), otrzymamy 3t = 2 − 2t
2
, i po przekształceniu 2t
2
+ 3t − 2 = 0. Stąd t
1
=
1
2
lub t
2
= −2. Rozwiązanie t
2
odrzucamy, gdyż nie mieści się w dziedzinie. Ostatecznie
dostajemy elementarne równanie cos x =
1
2
.
Jego rozwiązanie odczytamy z wykresu funkcji cosinus:
x =
π
3
+ 2kπ lub x = 2π −
π
3
+ 2kπ =
5π
3
+ 2kπ.
22.3.
Nierówności trygonometryczne
Nierówności rozwiązuje się podobnie, jak równania trygonometryczne. Odpowiedź należy
odczytywać z wykresów.
Przykład
6.
Rozwiąż nierówności:
a)
tg x > 1
Rozwiązanie:
Wiedząc, że tg
π
4
= 1 odczytujemy z wykresu odpowiedź dla podstawowego okresu:
x ∈
π
4
,
π
2
. Ostateczna odpowiedź będzie ponadto uwzględniać okresowość funkcji
tangens: x ∈
π
4
+ kπ,
π
2
+ kπ
, gdziek ∈ C.
b)
cos 2x −
1
2
Rozwiązanie:
Z wykresu odczytujemy, że jeśli cos α = −
1
2
, to α =
2π
3
lub α =
4π
3
. Stąd dla
nierówności mamy 2x ∈
2π
3
,
4π
3
w podstawowym okresie. Ogólnie, po uwzględ-
nieniu okresowości, 2x ∈
2π
3
+ 2kπ,
4π
3
+ 2kπ
, gdzie k ∈ C. Ostatecznie, po
nieskomplikowanych przekształceniach,
x ∈
π
3
+ kπ,
2π
3
+ kπ
, gdzie k ∈ C.
Uwaga:
Następujące rozumowanie zawiera poważny błąd:
ctg x > 1, czyli ctg x > ctg
π
4
, więc x >
π
4
bądź x >
π
4
+ kπ.
Traktuje ono funkcję ctg, jakby była ona funkcją rosnącą (w rzeczywistości jest to funkcja
okresowa, malejąca w każdym przedziale, w którym jest określona).
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
110
Zadania z wykładu
22.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Oblicz
a)
cos
1234
4
π,
b)
sin
124
3
π,
c)
tg
2009
4
π,
d)
ctg
100
3
π,
e)
cos
1111
3
π,
f)
sin
777
3
π.
Zadanie
2.
Rozwiąż równania trygonometryczne
a)
cos 3x = 1 dla x ∈ (0, π),
b)
tg 2x =
√
3 dla x ∈ h−π, πi,
c)
tg
2
x + tg x = 2,
d)
sin
2
x =
1
2
dla x ∈ (−π, π).
Zadanie
3.
Rozwiąż nierówności trygonometryczne w przedziale h−π, πi:
a)
ctg 2x < 1,
b)
cos
2
x > 1,
c)
cos
2
x ¬ 1 + sin
2
x,
d)
|sin 2x| <
1
2
.
Zadanie
4.
W trójkącie prostokątnym dana jest przeciwprostokątna c = 4 i jeden z kątów
α = 30
◦
. Oblicz pozostałe boki i kąty.
Zadanie
5.
Stojąc 20 m od wieży widokowej widzę ją pod kątem 60
◦
. Jaka jest wysokość
wieży?
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
111
Wykład
23
Kombinatoryka
23.1.
Wprowadzenie
Jeśli ktoś ma choć troszeczkę duszę hazardzisty, to na pewno zastanawiał się dlaczego tak
mało „szóstek” pada w Dużym Lotku. Przecież wystarczy skreślić wszystkie możliwości,
a mówiąc inaczej — wszystkie kombinacje, i wygrana jest pewna. Albo: na ile sposobów
można rozsadzić 8 gości przy okrągłym stole. Albo jeszcze inaczej: będzie 8 gości, ale Adam
i Ewa muszą siedzieć obok siebie, więc ile jest takich możliwości?
Na te wszystkie pytania można odpowiedzieć używając pojęć i metod kombinatoryki.
Zacznijmy więc od początku. Co to jest zbiór? Zbiór jest to pojęcie pierwotne niede-
finiowalne (tak samo, jak liczba czy punkt). W zbiorze nie rozróżnia się porządku (czyli
kolejności) tak więc zbiory: A = { a, b, c } i B = { b, a, c } są identyczne. Natomiast ciąg jest
to „uporządkowany zbiór”. Do oznaczenia ciągów stosujemy nawiasy okrągłe: (a, b, c) oraz
(c, a, b).
23.2.
Podstawowe pojęcia kombinatoryki
Permutacja
zbioru A = { 1, 2, 3, . . . , n } jest to dowolny ciąg utworzony z wszystkich elementów
zbioru A, czyli np. (1, 2, 3, . . . , n), (2, 3, . . . , n, 1) albo (n, n − 1, . . . , 3, 2, 1).
Ilość wszystkich permutacji zbioru n-elementowego wynosi P
n
= n! (wykrzyknik oznacza
funkcję silnia — patrz wykład 5., str. 19). Przypomnimy, że 0! = 1, a (n + 1)! = n! · (n + 1).
Kombinacją
k-elementową na zbiorze n-elementowym nazywamy dowolny podzbiór k-
-elementowy złożony z elementów n-elementowego zbioru A, czyli np. { 1, 2, 3, . . . , k }.
Ilość wszystkich kombinacji k-elementowych na zbiorze n-elementowym jest równa
C
k
n
=
n
k
!
(symbol Newtona, por. wykład 5., str. 19).
Przypomnimy, że
n
k
!
=
n!
k! · (n − k)!
.
Przykład
1.
8 osób możemy posadzić na 8 siedzeniach na 8! sposobów, a to się równa 40 320
(dziwne, ale prawdziwe. . . ). Jeżeli ponadto zażądamy, by Adam siedział przy Ewie, to otrzy-
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
112
mamy 6!·2·7 = 10 080 możliwości (jest to liczba uporządkowań 6 osób × liczba uporządkowań
2 osób × liczba ulokowań wyróżnionej pary).
Wiele ciekawych z praktycznego punktu widzenia sytuacji prowadzi do rozważań, w któ-
rych korzysta się i z permutacji, i z kombinacji. Rozważmy następujące zadanie:
Przykład
2.
Ze zbioru liczb A = { 1, 2, 3, 4, 5 } wybieramy 3 liczby i ustawiamy je w ciąg. Ile
mamy możliwości?
Rozwiązanie:
5
3
·
3! = 60.
W matematyce są to tak zwane wariacje bez powtórzeń. Ich liczbę podaje wzór
V
k
n
=
n
k
!
·
k!
A Totolotek? Wybieramy 6 spośród 49 różnych liczb (czyli chcemy wiedzieć, ile jest 6-elemen-
towych podzbiorów zbioru 49-elementowego). Z definicji kombinacji wynika, że jest ich
C
6
49
=
49
6
!
=
49!
6! · 43!
= 13 983 816,
czyli prawie 14 milionów.
Przykład
3.
W klasie jest 20 chłopców i 10 dziewcząt. Nauczyciel w sposób losowy ma wybrać
3-osobowy zespół stworzony z dwóch chłopców i z jednej dziewczyny. Ile ma możliwości?
Rozwiązanie:
Odpowiedź jest prosta:
20
2
·
10
1
= 190.
Jest wiele innych ciekawych zadań. Będziemy je rozwiązywać na ćwiczeniach.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
113
Zadania z wykładu
23.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Rozwiąż równania:
a)
n
2
!
−
n
3
!
= 0,
b)
4 ·
n
4
!
= 15 ·
n
3
!
.
Zadanie
2.
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 pań i 4 panów, tak by pani stała
pierwsza?
Zadanie
3.
Na ile sposobów można ustawić na półce 6-tomową encyklopedię, tak by:
a)
tomy: I i II stały obok siebie;
b)
tomy: I i II nie stały obok siebie?
Zadanie
4.
Ile różnych liczb pięciocyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 tak, by żadna
cyfra w liczbie się nie powtarzała?
Zadanie
5.
Liczba permutacji n + 1 elementów jest cztery razy większa od liczby permutacji
n elementów. Wyznacz n.
Zadanie
6.
Ze schroniska A do schroniska B prowadzi pięć dróg nadających się do wejścia
i zejścia. Ile jest różnych sposobów odbycia wycieczki ze schroniska A do schroniska B
i z powrotem do schroniska A?
Zadanie
7.
W turnieju szachowym rozegrano 66 partii, przy czym każdy szachista rozegrał
z każdym po jednej partii. Ilu szachistów uczestniczyło w turnieju?
Zadanie
8.
W stadninie koni jest 15 klaczy i 12 ogierów. Właściciel chce sprzedać na aukcji
5 klaczy albo 3 ogiery. Ile jest możliwości takiej sprzedaży?
Zadanie
9.
W pewnej grze liczbowej losuje się jednocześnie 5 spośród 35 liczb. Ile jest moż-
liwych różnych wyników losowania?
Zadanie
10.
W Dużym Lotku losuje się 6 spośród 49 liczb. Ile jest możliwych typowań,
w których:
a)
będzie dokładnie 5 liczb wygrywających;
b)
będą dokładnie 3 liczby wygrywające?
Zadanie
11.
Na przyjęciu goście witają się każdy z każdym. Ilu gości przybyło na spotkanie,
jeśli odbyło się 28 przywitań?
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
114
Wykład
24
Indukcja matematyczna
Każde zadanie matematyczne rozpoczynające się od słów „udowodnij” lub „wykaż” budzi
u uczniów czy studentów (w przeszłości u mnie też budziło) grozę. Zazwyczaj nawet dalej
nie czyta się takiego zadania. Ale czy nie jest dużą satysfakcją, jeżeli samemu rozwiąże
się zadanie lub problem, a już na pewno, jeżeli się samemu coś udowodni — pokaże się, że
postawiona teza jest prawdziwa.
Przykład
1.
Oblicz wartość wyrażenia
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+
1
3 · 4
+
1
4 · 5
.
Rozwiązanie:
Przypuszczam, że zdecydowana większość będzie liczyć
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
= . . .
(uff! dodawanie ułamków, sprowadzanie do wspólnego mianownika itd. — zgroza. . . )
Gdybyśmy wiedzieli, że równość
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ · · · +
1
n · (n + 1)
=
n
n + 1
jest prawdziwa dla wszystkich n ∈ N , otrzymalibyśmy wynik natychmiast: suma wy-
nosi
4
5
.
Tak. . . tylko że tę równość trzeba by wcześniej udowodnić.
Przy dowodzeniu twierdzeń orzekających o tożsamościach prawdziwych dla wszystkich
liczb naturalnych przydaje się pewna ogólna zasada (można powiedzieć „przepis”), zwana
zasadą indukcji matematycznej.
Twierdzenie
1.
(zasada indukcji matematycznej).
Jeżeli dane twierdzenie jest prawdziwe dla
pewnej liczby naturalnej
n = n
0
oraz z prawdziwości twierdzenia dla dowolnej liczby
k ∈ N wynika
jego prawdziwość dla
k + 1 (czyli liczby następnej), to dane twierdzenie jest prawdziwe dla każdej
liczby naturalnej
n n
0
.
Jest to zasada bardzo logiczna. Jeżeli przy założeniu, że twierdzenie jest prawdziwe dla
n = k udowodnimy tezę, że jest ono prawdziwe dla n = k + 1, to podstawiając za k = n
0
udowodniliśmy dla liczby następnej czyli n
0
+1. Wycofując się do założenia wstawiamy teraz
n
0
+1. W ten sposób udowodnimy twierdzenie dla n
0
+2 itd. Więc tym sposobem przejdziemy
przez cały zbiór liczb rzeczywistych począwszy od n
0
. Proste? Proste!
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
115
W zapisie matematycznym zasada indukcji wygląda następująco:
_
n
0
∈N
T(n
0
)
∧
^
k∈N
T(k) ⇒ T(k + 1)
⇒
^
nn
0
T(n),
gdzie T(i) oznacza zdanie logiczne „twierdzenie jest prawdziwe dla liczby i”.
Przykład
2.
Udowodnimy wzór z przykładu 1.
Rozwiązanie:
Krok I — sprawdzenie.
Dla n = 1:
L =
1
1 · 2
=
1
2
,
P =
1
1 + 1
,
czyli L = P.
Krok II — założenie indukcyjne.
Dla n = k:
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ · · · +
1
k · (k + 1)
=
k
k + 1
.
Krok III — teza indukcyjna.
Dla n = k + 1:
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ · · · +
1
(k + 1) · (k + 2)
=
k + 1
k + 2
.
Krok IV — dowód tezy indukcyjnej.
Weźmy lewą stronę równości z tezy indukcyjnej i zasto-
sujmy założenie indukcyjne.
L =
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ · · · +
1
k · (k + 1)
+
1
(k + 1) · (k + 2)
=
=
k
k · (k + 1)
+
1
(k + 1) · (k + 2)
=
=
k · (k + 2) + 1
(k + 1) · (k + 2)
=
(k + 1)
2
(k + 1) · (k + 2)
=
=
k + 1
k + 2
= P.
Wniosek.
Teza została udowodniona, więc twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby
naturalnej.
Przykład
3.
Udowodnij, że 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n
2
.
Rozwiązanie:
Krok I — sprawdzenie.
Dla n = 1:
L = 1,
P = 1
2
= 1,
L = P.
Krok II — założenie indukcyjne.
Dla n = k:
1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k
2
.
Krok III — teza indukcyjna.
Dla n = k + 1:
1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1 = (k + 1)
2
.
Krok IV — dowód tezy indukcyjnej.
Weźmy lewą stronę równości z tezy indukcyjnej i zasto-
sujmy założenie indukcyjne.
L = 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + (2k + 1) = k
2
+ (2k + 1) = (k + 1)
2
= P.
Wniosek.
Teza jest prawdziwa, więc twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby natu-
ralnej.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
116
Zadania z wykładu
24.
do rozwiązania na ćwiczeniach
Zadanie
1.
Udowodnij, że suma n kolejnych liczb parzystych, począwszy od liczby 2, jest
równa n
2
+ n.
Zadanie
2.
Udowodnij, że dla n ∈ N zachodzi równość
1
1 · 3
+
1
3 · 5
+ · · · +
1
(2 · n − 1) · (2 · n + 1)
=
n
2 · n + 1
.
Czy potrafisz udowodnić tę równość nie znając indukcji matematycznej? Jak to zrobić?
Zadanie
3.
Wykaż, że każda liczba postaci n
3
− n, gdzie n ∈ N , jest podzielna przez 6.
Zadanie
4.
Wykaż, że każda liczba postaci 10
n
− 1 jest podzielna przez 9.
Zadanie
5.
Pokaż, że dla każdej liczby naturalnej n 4 zachodzi nierówność 2
n
n
2
.
Zadanie
6.
Udowodnij nierówność Bernoullego: dla dowolnego x ∈ h−1, +∞) i dla dowol-
nego n ∈ N zachodzi
(1 + x)
n
1 + n · x.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
117
Test końcowy
Zgodnie z normami programu „Kapitał Ludzki” każdy kurs kończy się obowiązkowym
sprawdzianem.
Ostatnia godzina wykładu przeznaczona jest zatem na test sprawdzający nabytą wiedzę.
W teście przewidujemy około 20 pytań do rozwiązania w czasie 45 minut. Oceny z testu
będą uwzględniane przy zaliczaniu ćwiczeń z matematyki w pierwszym semestrze.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
118
Alfabet grecki
Wielka
litera
Mała
litera
Nazwa
polska
A
α
alfa
B
β
beta
Γ
γ
gamma
∆
δ
delta
E
, ε
epsilon
Z
ζ
dzeta
H
η
eta
Θ
θ, ϑ
theta
I
ι
jota
K
κ
kappa
Λ
λ
lambda
M
µ
mi
N
ν
ni
Ξ
ξ
ksi
O
o
omikron
Π
π
pi
P
ρ
rho
Σ
σ,
&
sigma
T
τ
tau
Y
υ
ypsilon
Φ
φ, ϕ
phi
X
χ
chi
Ψ
ψ
psi
Ω
ω
omega
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
119
Oprogramowanie do kreślenia
wykresów funkcji
Podczas analizowania zależności funkcyjnych warto posłużyć się automatycznymi systemami
rysującymi wykresy funkcji. Nie wyręczą one nas w myśleniu, ale odciążą — przynajmniej
częściowo — od wykonywania żmudnych rachunków, i pozwolą skupić się na istocie proble-
mu.
Uwaga:
Samodzielne konstruowanie wykresów funkcji w oparciu o własną wiedzę matema-
tyczną, bez posługiwania się narzędziami pomocniczymi, jest zajęciem pożytecznym
i pouczającym. Zachęcamy do podejmowania takich działań.
Przed przystąpieniem do technicznych opisów korzystania z oprogramowania trzeba za-
strzec, że rysunek otrzymany za pomocą programu graficznego czy też matematycznego nie
jest wykresem funkcji. W najlepszym wypadku dostaniemy coś, co jest bardzo podobne do
pożądanego przez nas wykresu. Może się jednak zdarzyć, że nawet bardzo dobry program
nakreśli coś, co nie przypomina wykresu, który pragniemy otrzymać.
Jest tak z kilku powodów. Wykres funkcji f jest zbiorem punktów postaci
{ (x, y) : x ∈ X, y = f(x) },
gdzie X jest dziedziną funkcji f lub jej podzbiorem. Znaczy to, że wykres funkcji określo-
nej na przedziale osi liczbowej składa się z nieskończonej liczby punktów. Żaden system
automatyczny nie jest w stanie przygotować ani przetworzyć nieskończonej liczby danych.
Dlatego przy automatycznym tworzeniu wykresu korzysta się z kilku, kilkunastu, kilku-
dziesięciu bądź kilkuset punktów (więcej nie ma sensu, jeżeli weźmiemy pod uwagę roz-
dzielczość urządzeń ekranowych), zwanych punktami węzłowymi, które następnie łączy się
odcinkami prostych lub odcinkami ustalonego typu linii krzywych.
Jeżeli punkty węzłowe zostaną ustalone zbyt rzadko, to otrzymana linia nie będzie przy-
pominać wykresu analizowanej funkcji, i to pomimo, iż wszystkie wartości w punktach wę-
złowych będą wyznaczone poprawnie.
Na koniec trzeba wspomnieć, że jeżeli nakreślony wykres ma zostać zapamiętany w pliku
graficznym, trzeba zadbać, by był to plik w formacie wektorowym. Popularne formaty zapisu
grafiki rastrowej: BMP, PNG, GIF, JPEG, itp. nie nadają się do przechowywania wykresów.
Oprogramowanie do graficznej prezentacji zależności matematycznych jest kategorią bar-
dzo obszerną, obejmującą m.in. aplikacje typowo dydaktyczne, większość ogólnych narzędzi
do graficznej prezentacji danych z arkuszami kalkulacyjnymi włącznie, aż po specjalistyczne
środowiska obliczeniowe, z jakich korzystają profesjonaliści.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
120
Wybierając oprogramowanie dla uzupełnienia niniejszych materiałów, kierowano się na-
stępującymi przesłankami:
•
winno to być oprogramowanie ściśle graficzne, ukierunkowane na konstrukcję wykre-
sów. Z tego powodu nie wzięto pod uwagę np. graficznych modułów arkuszy kalkula-
cyjnych, których przeznaczeniem jest prezentacja graficzna uprzednio przygotowanych
tabel liczbowych;
•
winno ono być możliwie proste do użycia, tzn. w typowej sytuacji winno wystarczyć
krótkie pojedyncze polecenie lub skorzystanie z jednego formularza;
•
powinno ono pozwalać na utrwalenie wyników w podstawowych formatach grafiki
wektorowej;
•
utworzony wykres winien cechować się wysoką jakością typograficzną;
•
oprogramowanie winno być dostępne bez ponoszenia dodatkowych kosztów licencyj-
nych;
•
oprogramowanie winno dać się używać niezależnie od tego, jakim systemem opera-
cyjnym posługuje się czytelnik.
Nawet te dość restrykcyjne warunki spełniane są przez obszerną klasę programów. Osta-
tecznie wybrano dwie aplikacje: program graficzny o nazwie Gnuplot oraz system obliczeń
matematycznych Maxima. Zostaną one krótko przedstawione poniżej.
Gnuplot
Charakterystyka.
Gnuplot jest ogólnodostępnym programem przeznaczonym do rysowania
wykresów funkcji i prezentacji graficznej danych na dwu- i trójwymiarowych wykresach.
Jego pierwsza wersja została opracowana w roku 1986, bieżąca wersja 4.2.5 pochodzi z marca
2009 r.
Gnuplot może być używany nieodpłatnie do dowolnych zastosowań.
Gnuplota da się uruchomić pod nadzorem systemów operacyjnych: Windows, Linux,
Mac OS, Unix/BSD i kilku innych. Pakiet instalacyjny najnowszej wersji Gnuplota można
pobrać z witryny http://www.gnuplot.info.
Gnuplot ma bogatą dokumentację, w tym opis podręczny (help) w języku angielskim.
Gnuplot tworzy wykresy funkcji w oparciu zbiór punktów węzłowych tworzących ciąg
arytmetyczny. Liczbę węzłów można zadać dowolnie, jednak program sam jej nie dobiera.
Opis użycia.
Podstawowy sposób korzystania z Gnuplota polega na pisaniu tekstowych po-
leceń. Wykonanie polecenia następuje po wciśnięciu klawisza <Enter>. Niektóre wersje (np.
dla systemu Windows) są wyposażone w menu i przyciski pomocnicze, pozwalające wybrać
czynność do wykonania zamiast wpisywać jej nazwę. Okno robocze Gnuplota przedstawiono
na rysunku B.1.
Sesję programu kończy się zamykając okno lub wydając polecenie quit.
Podstawowym poleceniem kreślenia wykresu jest plot. Jego wynikiem jest osobne okno
z wykresem jednej lub wielu funkcji.
W dalszym toku przedstawiamy kilka przykładów ilustrujących podstawowe użycie Gnu-
plota do kreślenia wykresów funkcji matematycznych.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
121
Rysunek
B.1.
Okno robocze programu Gnuplot
Przykład
1.
Dla narysowania wykresu funkcji danej „wzorem matematycznym” wystarczy
polecenie plot z deklaracją tego wzoru. Dla zmiennej niezależnej domyślnie zarezerwowany
jest symbol x.
plot 2*x*x + 3
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
-10
-5
0
5
10
2*x*x + 3
Cztery podstawowe działania arytmetyczne oznaczamy symbolami + - * /. Dla potęgo-
wania zarezerwowany jest symbol **. Kolejność działań jest zgodna z tradycyjną notacją;
w razie potrzeby można używać nawiasów (ale tylko okrągłych). W liczbach dziesiętnych
część ułamkową oddzielamy od części całkowitej znakiem kropki.
Tak więc ten sam przykład można przepisać w postaci
plot 2.0*x**2 + 3
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
-10
-5
0
5
10
2.0*x**2 + 3
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
122
Przykład
2.
Domyślnie oś OX obejmuje zakres od −10 do 10. Inny zakres wartości określamy
następująco:
plot [x=0:10] 2*x**2 + 3
0
50
100
150
200
250
0
2
4
6
8
10
2*x**2 + 3
Podobnie wymusza się zakresy wartości dla obu osi:
plot [x=0:10] [-20:120] 2*x**2 + 3
-20
0
20
40
60
80
100
120
0
2
4
6
8
10
2*x**2 + 3
Jeżeli mamy potrzebę nadania zmiennej niezależnej innej nazwy, możemy to zrobić w na-
stępujący sposób: plot [t=0:10] [-20:120] 2*t**2 + 3
Przykład
3.
Przybliżenie liczby π jest dostępne pod nazwą pi. Mamy możliwość używa-
nia najważniejszych funkcji elementarnych (uwaga: pierwiastek to sqrt, logarytm dziesiętny
to log10, zaś log oznacza logarytm naturalny) i trygonometrycznych (uwaga: tangens nosi
nazwę tan). Argumenty funkcji obowiązkowo umieszczamy w nawiasach okrągłych.
plot [x=0:4] log(x)
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
log(x)
plot [x=-2*pi:2*pi] sin(x)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-6
-4
-2
0
2
4
6
sin(x)
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
123
Przykład
4.
Na jednym wykresie da się przedstawić wiele funkcji. Ich deklaracje należy
oddzielać przecinkami. Opcja title ustala niestandardowy wpis w legendzie.
plot [x=0:4*pi] [-4:4] sin(x), cos(x), tan(x) title "tg(x)"
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
2
4
6
8
10
12
sin(x)
cos(x)
tg(x)
Przykład
5.
Rysowana funkcja może zależeć od zadeklarowanego uprzednio parametru lub
parametrów. Deklaracja stałej ma postać nazwa = warto±¢
a = 2
b = 3
plot [x=0:4] (x-a)**2 + b
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
(x-a)**2 + b
Przykład
6.
Możemy też nadać funkcji nazwę za pomocą deklaracji nazwa(argument) = wzór
f(x) = sin(a*x)
g(x) = sin(a*x + b)
a = 2
b = pi/2
plot [x=0:4*pi] [-2:2] f(x), g(x)
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0
2
4
6
8
10
12
f(x)
g(x)
Przykład
7.
Miłą właściwością Gnuplota jest, że w sytuacji, kiedy oś OX obejmuje obszar
spoza dziedziny funkcji, jest on pomijany przy rysowaniu (niektóre inne programy łączą linią
punkty z obu stron takiego obszaru, zgłaszają błąd, a nawet wstawiają na wykres wartość 0).
plot [x=-4:4] [-0.5:4] sqrt(x**2-1)
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
sqrt(x**2-1)
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
124
Przykład
8.
Jeżeli punkty węzłowe są rozmieszczone zbyt rzadko, możemy wymusić ich
liczbę poleceniem set samples.
set samples 11
plot [x=-pi:pi] cos(x)
-1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
cos(x)
set samples 51
plot [x=-pi:pi] cos(x)
-1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
cos(x)
Położenie punktów węzłowych zobaczymy podając opcję with linespoints:
set samples 11
plot [x=-pi:pi] cos(x) with linespoints
-1
-0.5
0
0.5
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
cos(x)
Przykład
9.
Otrzymanie przy użyciu Gnuplota wykresu ciągu jest proste: wymaga doboru
punktów węzłowych tak, by przypadały w kolejnych liczbach naturalnych, oraz usunięcia
linii łączących węzły na wykresie za pomocą opcji with points.
m=20
set samples m
a(n) = (3 - 1.8/(n+1)**1.1)
plot [n=1:m] [0:4] a(n) with points, 3 title "granica"
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
a(n)
granica
Przedstawione przykłady dotyczą jedynie najprostszych wykresów. Gnuplot dobrze się
sprawdza nie tylko przy kreśleniu wykresów funkcji, ale i przy prezentacji graficznej zbiorów
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
125
danych — także w sytuacjach, w których moduły graficzne arkuszy kalkulacyjnych okazują
się niewystarczające.
Maxima
Charakterystyka.
Maxima jest kontynuacją eksperymentalnego systemu obliczeń symbolicz-
nych MACSYMA, tworzonego w latach 1968–1982 w Massachusetts Institute of Technology.
W 1998 r. jego kod źródłowy został opublikowany na licencji otwartej pod nazwą Maxima.
Bieżąca wersja, opatrzona numerem 5.19.2, pochodzi z sierpnia 2009 r.
Maxima jest systemem do przekształcania wyrażeń matematycznych. Tym różni się od
przeważającej większości oprogramowania inżynieryjnego i naukowego, które potrafi jedynie
obliczać wartości wyrażeń. Maxima ma wbudowane moduły graficzne, które pozwalają m.in.
na kreślenie wykresów funkcji jednej zmiennej.
Maximę można uruchomić pod nadzorem systemów: Windows, Linux, Mac OS X oraz
Unix/BSD. Pakiety instalacyjne można pobrać z witryny http://maxima.sourceforge.net.
Opis użycia.
Maxima posiada kilka interfejsów użytkowych. Ich okna są przedstawione na
rysunku B.2. Najbardziej przyjazny dla użytkownika jest interfejs wxMaxima.
Rysunek
B.2.
Okna robocze interfejsów Maximy: tekstowego, xmaxima, wxMaxima
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
126
Korzystanie z Maximy polega na pisaniu poleceń. Polecenia kończymy znakiem ; (wxMa-
xima nie wymaga go). Wykonanie polecenia następuje po wciśnięciu klawisza <Enter> (w naj-
nowszych wersjach programu wxMaxima <Ctrl+Enter>). Sesję kończy polecenie quit(); lub
zamknięcie okna programu.
Podstawowym poleceniem kreślenia wykresu w interfejsie wxMaxima jest wxplot2d. Jego
wynikiem jest wykres wstawiony do głównego okna roboczego. Podobne polecenie plot2d,
dostępne także w innych interfejsach, generuje wykres w osobnym oknie.
Ciekawostką jest, że do generowania grafiki Maxima używa. . . programu Gnuplot (lub
alternatywnie kilku innych programów).
Przykład
10.
W najprostszym przypadku dotyczącym nakreślenia wykresu funkcji danej
„wzorem” użyjemy polecenia
wxplot2d(2*x*x + 3, [x, -2, 3]);
Pierwsze wyrażenie w nawiasie opisuje funkcję do narysowania, drugie — zakres osi OX.
Nazwę zmiennej niezależnej można ustalić dowolnie.
Cztery podstawowe działania arytmetyczne oznaczamy symbolami + - * /. Dla potę-
gowania zarezerwowany jest symbol ^. Kolejność działań jest zgodna z tradycyjną notacją;
w razie potrzeby można używać nawiasów (ale tylko okrągłych). W liczbach dziesiętnych
część ułamkową oddzielamy od części całkowitej znakiem kropki.
Tak więc ten sam przykład można przepisać w postaci
wxplot2d(2.0*x^2 + 3, [x, -2.0, 3.0]);
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
127
Przykład
11.
Możemy wymusić inne niż domyślne skalowanie osi OY.
wxplot2d(2.0*x^2 + 3, [x, -2.0, 3.0], [y, -2.0,
25.0]);
Przykład
12.
Liczba π jest dostępna pod nazwą %pi. Możemy korzystać z wielu funkcji
elementarnych (uwaga: pierwiastek to sqrt, log oznacza logarytm naturalny) i trygonome-
trycznych (uwaga: tangens nosi nazwę tan, cotangens to cot).
wxplot2d(log(x), [x, 0, 4]);
wxplot2d(sin(x), [x, -2*%pi, 2*%pi]);
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
128
Przykład
13.
Na jednym wykresie da się przedstawić wiele funkcji. Ich deklaracje oddzielone
przecinkami trzeba objąć nawiasem kwadratowym.
wxplot2d([sin(x), cos(x), tan(x)], [x, 0,
4*%pi], [y, -4, 4]);
Przykład
14.
Rysowana funkcja może zależeć od zadeklarowanego uprzednio parametru lub
parametrów. Deklaracja stałej ma postać nazwa : warto±¢;
a : 2;
b : 3;
wxplot2d((x-a)^2 + b, [x, 0, 4]);
Przykład
15.
Możemy też zadeklarować funkcję nadając jej nazwę. Deklaracja funkcji danej
„wzorem” ma postać nazwa(argument) := wzór;
f(x) := sin(a*x);
g(x) := sin(a*x + b);
a : 2;
b : %pi/2;
wxplot2d([f(x), g(x)], [x, 0, 4*%pi], [y, -2,
2]);
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
129
Przykład
16.
Podobnie jak Gnuplot, także Maxima automatycznie pomija węzły przypadające
poza dziedziną funkcji. Nigdy też nie łączy węzłów rozdzielonych punktem lub przedziałem
nienależącym do dziedziny.
wxplot2d(sqrt(x^2-1), [x,-4,4], [y,-0.5,4]);
Przykład
17.
W przeciwieństwie do Gnuplota, Maxima automatycznie wyznacza położenie
punktów węzłowych, tak by zapewnić odpowiednią jakość wykresu. Odległości pomiędzy
węzłami na ogół nie są jednakowe.
wxplot2d(sin(1/x), [x, 0, 0.5]);
Otrzymanie przy użyciu Maximy wykresu ciągu jest możliwe, lecz wymaga deklaracji
wykraczających poza elementarny charakter tego opracowania.
Uzupełniającym sposobem otrzymania wykresu jest użycie dostępnej w menu wxMaximy
opcji Kreślenie/Wykres 2d... i wypełnienie formularza.
Przedstawione przykłady dotyczą jedynie najprostszych przypadków. Maxima jest narzę-
dziem przydatnym nie tylko do kreślenia wykresów, ale przede wszystkim do przekształcania
wyrażeń matematycznych.
„Program Uniwersytetu Przyrodniczego we Wrocławiu dotyczący zwiększenia liczby absolwentów kierunków przyrodniczo-technicznych
o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na wiedzy”. Projekt realizowany w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
współfinansowanego ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego.
130
Document Outline
- Wprowadzenie
- Elementy logiki i teorii zbiorów
- Zbiory liczbowe.Dzialania w zbiorach liczbowych
- Przeksztalcanie wyrazen algebraicznych
- Dwumian Newtona.Wartosc bezwzgledna
- Geometria analityczna.Wektory
- Geometria analityczna.Równanie prostej
- Geometria analityczna.Trójkat. Okrag
- Funkcje. Podstawowe wlasnosci
- Ciagi liczbowe
- Równania i nierównosci liniowe.Uklady równan i nierównosci
- Równania i nierównosci kwadratowe.Uklady równan i nierównosci
- Wielomiany. Twierdzenie Bézouta.Dzielenie wielomianów
- Równania i nierównosciwyzszych rzedów
- Równania i nierównosci wymierne
- Funkcja wykladnicza
- Równania i nierównosci wykladnicze
- Logarytmy
- Funkcja logarytmiczna i jej wlasnosci
- Równania i nierównosci logarytmiczne
- Funkcje trygonometryczne
- Wzory redukcyjne. Równaniai nierównosci trygonometryczne
- Kombinatoryka
- Indukcja matematyczna
- Test koncowy
- Alfabet grecki
- Oprogramowanie do kreslenia wykresów funkcji
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Kurs matematyki dla chemikow Wyd 5 popr
Shvedov I A Kompaktnyj kurs matematicheskogo analiza Chast 2 (Novosibirsk, 2003)(ru)(88s) MCet
[lekcja 10] Operacje matematyczne Kurs C++ » Poziom 1
Besov O V Kurs lekcij po matematicheskomu analizu (MFTI, 2004)(ru)(65s) MCet
Kombinatoryka matematyka
KURS ETYKI
Choroba hemolityczna p odu na kurs
zapotrzebowanie ustroju na skladniki odzywcze 12 01 2009 kurs dla pielegniarek (2)
kurs
wady postawy kurs
ostre białaczki 24 11 2008 (kurs)
WYKLAD ANALIZA MATEMATYCZNA
więcej podobnych podstron