B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

1

6. Energia kinetyczna

Zmiana prędkości ciała wymaga wykonania

pracy.

r

t

m

r

F

W









d

d

d

d

d

v

Zapiszmy pracę elementarną i sprowadź-

my ją do postaci:

.

v

v

v

v









d

d

d

d

m

t

t

m

2

2

d

d

2

2

A

B

B

A

B

A

AB

m

m

m

r

F

W

v

v

v

v









Obliczmy teraz pracę na skończonej drodze od A do B:

Wielkość występującą po prawej stronie wyrażenia daną wzorem:

nazywamy

energią kinetyczną

ciała.

2

2

v

m

E

k

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

2

Energia kinetyczna jest zawsze dodatnia

lub równa zeru (ciała w spoczynku).

Zmiana energii kinetycznej wiąże się z pracą sił,

które rozpędzają (W>0) lub hamują (W<0) ciało.

Lądowanie promu

kosmicznego – jego

energia kinetyczna

maleje.

Przyspieszający pojazd

kosmiczny – energia

kinetyczna rośnie.

Energia kinetyczna jest tylko funkcją

prędkości ciała.

2

2

v

m

E

k

Położenie i prędkość określają stan
mechaniczny ciała – są to parametry stanu.

Energia kinetyczna zależy tylko od
prędkości, czyli jest funkcją stanu.

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

3

6. Energia potencjalna

Podczas podnoszenia kamienia ze stałą

prędkością jego energia kinetyczna nie

ulega zmianie, ale wykonana przez

sportowca praca zmienia jego stan

mechaniczny – zmienia się położenie

kamienia.

Podnosząc kamień działa on stałą siłą

równoważącą jego ciężar:

g

m

F





g

m



F



i wykonuje pracę:

r

d

g

m

r

d

F

W

B

A

B

A

AB









mgH

dr

mg

H

0

Uwaga: cosinus kąta między wektorami i jest równy 1.

g



r

d



Wyrażenie, które otrzymaliśmy po prawej stronie:

kojarzy się zapewne każdemu z

energią potencjalną

.

mgH

.

mgH

r

g

m

r

F

W

AB









Lub ze wzoru

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

4

Dokładniejsza i ogólniejsza definicja energii potencjalnej:

p

E

r

F

W

d

d

d





to funkcję nazywamy

energią potencjalną ciała

w

położeniu , w polu siły zachowawczej .

)

(r

E

E

p

p



)

(r

F



r



Z powyższej definicji widać, że zmiana energii potencjalnej

E

p

ciała jest równa ujemnej pracy wykonanej przez siłę

zachowawczą przy zmianie położenia cząstki z punktu A do B:

Jeśli praca wykonana przez siłę zachowawczą (będącą

jedynie funkcją położenia) przy przemieszczeniu cząstki o wektor

da się wyrazić w postaci:

r



d

)

(r

F

F





gdzie

E

p

jest jednoznaczną funkcją skalarną położenia , niezależną

od czasu, ciągłą i mającą ciągłe pochodne,

r



.

d

)

(

)

(

B

A

p

p

p

r

F

A

E

B

E

E





g

m



B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

5

)

(

d

)

(

A

E

r

F

P

E

p

P

A

p





.

cons

d

)

(

d

)

(

t

r

F

A

E

r

F

P

E

p

P

A

p









Zapamiętajmy

:

fizyczny sens mają jedynie zmiany E

p

;

addytywna stała, z dokładnością do której jest określona E

p

,

nie jest istotna !

W dowolnym punkcie P

Jeśli ustalimy punkt początkowy A to praca siły zachowawczej zależy tylko

od punktu końcowego B i jest tylko funkcją położenia tego punktu .

r



Czyli energia potencjalna ciała w położeniu B zależy od wyboru

punktu A i jest liczona względem tego punktu odniesienia.

i jeśli przyjmiemy, że w punkcie odniesienia , to:

const

)

( A

E

p

0

)

( A

E

p

Często punkt A wybieramy tak, żeby można było przyjąć, że .

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

6

Grawitacyjna energia
potencjalna (gdy g

const):

g

m



E

p

(A) = 0

h

P

p

g

p

E

r

F

P

E

)

(

d

)

(





Grawitacyjna energia potencjalna:

r

mM

G

P

E

p

)

(

r

r

r

r

mM

G





d

2

mgh

P

E

p

)

(

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

7

E

p

r

r

mM

G

E

p

Ujemna zmiana energii

potencjalnej jeźdźca

I dodatnia zmiana energii

potencjalnej promu

Grawitacyjna energia potencjalna przyjmuje zawsze

wartości ujemne. Jej zmiany mogą być dodatnie !

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

8

.

)

(

2

2

1

kx

P

E

p

Sprężysta energia potencjalna

.

)

0

(

d

)

(

)

(

2

2

1

0

kx

E

r

i

kx

P

E

p

x

p





i

kx

r

k

F

s







0

x

gdzie

r

jest wychyleniem z położenia

równowagi końca sprężyny.

Podczas rozciągania sprężyny i podczas jej ściskania energia

potencjalna rośnie. A kiedy maleje?

Siła sprężysta dana jest wzorem:

Obliczmy energię potencjalną siły sprężystej względem

położenia równowagi:

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

9

Zmiana energii potencjalnej ciała nastąpi również wówczas, gdy pracę

wykona siła zewnętrzna równoważąca w każdym punkcie siły pola.

.

d

)

(

)

(

B

A

zew

p

p

p

r

F

A

E

B

E

E





pola

zew

F

F





Zmiana energii potencjalnej ciała jest równa

dodatniej

pracy wykonanej przez

siły zewnętrzne

:

Zmiana energii potencjalnej a praca siły zewnętrznej

Przekonaliśmy się o tym obliczając pracę wykonaną

przez sportowca podnoszącego kamień:

g

m



zew

F



.

mgH

r

g

m

r

F

E

p









Rozciągając sprężynę wykonamy pracę i zmienimy

jej energię potencjalną o :

.

d

2

2

1

2

2

1

A

B

x

x

zew

AB

p

kx

kx

r

i

kx

W

E

B

A





B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

10

Zapamiętaj:

Wyrażenie na energię potencjalną:

nie definiuje energii potencjalnej w ogólności

!

Postać wzoru na energie potencjalną zależy od oddziaływania z

jakim mamy do czynienia. Np.:

.

)

(

2

2

1

kx

P

E

p

,

r

mM

G

E

p

mgh

E

p

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

11

Stajesz na szczycie góry.
Mocujesz deskę, zakładasz

gogle i zaczynasz szaleńczy

zjazd.…

W miarę jak twoja energia

potencjalna zamienia się w
energię kinetyczną rośnie twoja

szybkość

.

7. Zasada zachowania energii mechanicznej

Podczas ruchu ciał zmianie może ulegać nie tylko

ich energia kinetyczna, ale również potencjalna.

Energia mechaniczna ciała /układu ciał

to suma energii kinetycznej i potencjalnej :

.

k

p

m

E

E

E

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

12

Rozpatrzmy przypadek, kiedy na ciało oprócz siły

zachowawczej działa siła niezachowawcza .

F



P



v

v





b

P

g

m

F





Obliczmy pracę wykonaną przez te

siły na przemieszczeniu od A do B:

.

niezach

AB

zach

AB

cała

AB

W

W

W

Praca siły zachowawczej może być wyrażona

poprzez zmianę energii potencjalnej ciała:

.

niezach

AB

p

cała

AB

W

E

W

Całkowita praca wszystkich sił powoduje wzrost energii kinetycznej

ciała:

.

k

cała

AB

E

W

Dostajemy:

,

niezach

AB

B

p

A

p

A

k

B

k

W

E

E

E

E

.

niezach

AB

A

p

A

k

B

p

B

k

W

E

E

E

E

a stąd:

.

niezach

AB

A

m

B

m

W

E

E

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

13

.

niezach

AB

A

m

B

m

W

E

E

Jeśli i mamy:

0

to

,

0

niezach

AB

W

P





.

A

m

B

m

E

E

Doszliśmy do

(

można ją rozszerzyć

na układ ciał):

Całkowita energia mechaniczna ciała/układu ciał, na

które działają tylko siły zachowawcze, jest stała.

const

2

2

1

mgh

m

E

m

v

Powyższe prawo może posłużyć

do badania ruchu ciał wówczas,

gdy rozwiązanie równań ruchu

jest zbyt trudne.

Energia mechaniczna w polu

grawitacyjnym byłaby zachowana,

gdyby zaniedbać opory ruchu.

B. Oleś

i PK,

2009/10

14

E

x

–A

+A

.

const

2

2

1

2

2

1

v

m

kx

E

E

E

k

p

m

i

x



s

F



k

P

0

t

A

m

t

A

k

E

m

2

2

2

2

1

2

2

2

1

sin

cos

E

m

=kA

2

/2

E

p

=k

x

2

/2

E

k

E

p

Prześledźmy przemiany energii w

ruchu harmonicznym wywołanym siłą:

Oznacza to, że energia mechaniczna w

ruchu harmonicznym jest zachowana:

Ruch harmonicznym wykonuje

klocek przymocowany do końca

sprężyny o współczynniku

sprężystości k, gdy zaniedbamy

opory ruchu. Wychylenie z

położenia równowagi:
gdzie A- amplituda, -

częstotliwość ruchu i

2

= k/m.

t

A

t

x

cos

)

(

t

E

E

k

E

p

.

2

2

2

1

2

2

1

A

m

A

k

Przykład

Możemy to sprawdzić:

.

r

k

F





Jest to siła centralna, zatem zachowawcza.

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

15

x

F

E

x

p

d

d

x

E

F

p

x

d

d

.

)

,

,

(

grad

z

y

x

E

z

E

k

y

E

j

x

E

i

F

p

p

p

p









Uogólniając powyższe wyrażenie na trzy wymiary, otrzymujemy wzór

pozwalający znaleźć siłę , jeśli znana jest funkcja E

p

(x,y,z):

F



Jak znaleźć siłę, jeśli znana E

p

?

Przypomnijmy sobie, że

p

E

r

F

W

d

d

d





Energię potencjalną ciała

E

p

,

w polu siły zachowawczej , zdefiniowaliśmy

jako jednoznaczną funkcję skalarną położenia , niezależną od

czasu, ciągłą i mającą ciągłe pochodne, spełniającą zależność:

)

(r

E

E

p

p

 )

(r

F



Dla przypadku jednowymiarowego (np. oscylatora harmonicznego z

ostatniego przykładu):

i stąd:

Czyli F

x

jest równa ujemnej pochodnej funkcji E

p

!

z

E

y

E

x

E

p

p

p

,

,

- pochodne cząstkowe

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

16

.

ˆ

ˆ

ˆ

grad

z

k

y

j

x

i

Jeśli energia potencjalna oscylatora

dwuwymiarowego dana jest wzorem:

)

(

)

,

(

2

2

2

1

y

x

k

y

x

E

p

z

E

k

y

E

j

x

E

i

z

y

x

E

F

p

p

p

p









)

,

,

(

grad

to siła:

)

(

]

0

)

2

(

)

2

(

[

2

1

j

y

i

x

k

k

y

j

x

i

k











.

r

k

F





Jeśli E

p

= E

p

(r), to

.

grad

)

(

grad

r

r

dr

dE

r

dr

dE

r

E

F

p

p

p





Powyższy wzór można zastosować do znalezienia siły w każdym

polu centralnym, jeśli tylko znamy E

p

. Np.:

Gradient:

Dostaliśmy siłę sprężystą:

.

,

2

r

r

r

Mm

G

r

r

dr

dE

F

r

Mm

G

E

p

p







B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

17

Jeśli podczas ruchu ciała występuje

siła

tarcia (lub inna siła niezachowawcza)

,

to

energia mechaniczna ulega rozproszeniu.

A

m

B

m

niezach

AB

E

E

W

Stracona energia mechaniczna zamieniana jest na energię

wewnętrzną przesuwanego ciała i podłoża (sumę energii

kinetycznych i potencjalnych cząsteczek).

Praca wykonana przez siłę niezachowawczą:

jest

ujemna

, bo zwrot siły, np. tarcia,

przeciwny do kierunku ruchu !

Jeśli uwzględnimy wzrost energii wewnętrznej ciał, to energia

całkowita izolowanego układu jest zawsze zachowywana.

B

A

r



Silnik wyłączony !

8. Siły niezachowawcze a zasada zachowania energii

tarcia

F



B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

18

W przypadku samochodu zjeżdżającego z górską drogą, jeśli

H

jest różnicą wysokości położeń A i B, energia mechaniczna :

B

A

r



Silnik wyłączony !

tarcia

F



Przykład

,

2

2

1

A

A

m

m

mgH

E

v

,

tarcia

AB

A

m

B

m

W

E

E

,

2

2

1

B

B

m

m

E

v

(energię potencjalną liczymy względem położenia B)

Chcemy znaleźć prędkość samochodu w położeniu B, znając jego

prędkość w A, współczynnik tarcia kół o nawierzchnię i kąt nachylenia

drogi:

AB

AB

t

tarcia

AB

s

fmg

s

fmg

r

F

W

cos

cos

)

cos

(





,

cos

2

2

1

2

2

1

AB

A

B

s

fmg

mgH

m

m

v

v

.

)

sin

/

cos

1

(

2

)

cos

(

2

2

2

f

gH

s

f

H

g

A

AB

A

B

v

v

v

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

9. Pęd. Zasada zachowania pędu

Drugą zasadę dynamiki:

,

F

dt

d

m





v

możemy zapisać w postaci:

,

F

dt

d





p

gdzie jest

pędem cząstki

(ciała).

v





m

p

v





m

p

19

,

)

(

F

dt

m

d





v

Postać jest

bardziej ogólna

i można ją również stosować w przypadku

ruchu cząstek relatywistycznych, gdy masa zależy od szybkości.

Zauważmy, że gdy (otoczenie nie oddziałuje na cząstkę lub siła

wypadkowa jest równa zeru), to

0





F

0





dt

d

p

czyli pęd cząstki nie ulega zmianie:

const

p



Powyższa

jest

słuszna również w fizyce relatywistycznej.

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

20

i

p



układ

20

,

d

d

iw

iz

i

F

F

t

p







.

Zasadę zachowania pędu możemy rozszerzyć na układ wielu cząstek.

Dla cząstki i –tej: gdzie

iz

F



iw

F



siła zewnętrzna,

siła wewnętrzna,

,

d

d

iw

iz

i

F

F

t

p







Z trzeciego prawa Newtona wynika, że suma sił

wewnętrznych jest równa zeru:

Sumujemy po wszystkich cząstkach układu:

.

0





iw

F

A zatem:

.

d

d

iz

i

F

p

t





Pęd całkowity układu jest sumą pędów

wszystkich cząstek:

.

1

n

i

i

p



.

d

d

d

d

t

p

p

t

i

i





.

0





iw

F

Oznacza to, że za zmianę pędu układu

odpowiedzialne są siły zewnętrzne.

21

.

Pęd układu (podobnie jak pojedynczej cząstki), na który

nie działa żadna wypadkowa siła zewnętrzna jest stały:

0

iz

z

F

F





.

const

i

p

p





B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

Przykład :

usuwanie awarii satelity. Po ukończeniu naprawy

kosmonauta odpycha się od satelity.

Rozpatrujemy układ izolowany ( )

kosmonauta-satelita.

0





z

F

jest równy sumie pędów kosmonauty i

naprawionego satelity :

Pęd początkowy układu , kiedy kosmonau-

ta połączony z satelitą wykonuje naprawę

B. Oleś

Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

22

Przykład:

Zderzenie sprężyste (elastyczne) kul

2

1

02

01

p

p

p

p









.

sin

sin

0

,

cos

cos

0

2

2

1

1

2

2

1

1

01

1

v

v

v

v

v

m

m

m

m

m

Zasada zachowania pędu

:

pęd kulek przed

…

i po zderzeniu

czyli

Zasada zachowania energii kinetycznej

:

2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

2

01

1

2

1

0

v

v

v

m

m

m

W zderzeniach sprężystych zachowywana

jest energia kinetyczna i pęd układu.

B. Oleś Wykład 5 Wydz.Chemii PK, 2009/10

10. Moment pędu. Zasada zachowania momentu pędu

.

p

r

L







Iloczyn wektorowy wektora i pędu cząstki
nazywamy

momentem pędu (krętem)

cząstki:

r



p



,

sin

|

||

|

|

|

p

r

L







Jego wartość:

Jest on z definicji prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory i , a
zwrot jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej (regułę prawej dłoni).

r



p



23

W układzie współrzędnych kartezjańskich możemy obliczyć
moment pędu obliczając wyznacznik:

z

y

x

p

p

p

z

y

x

k

j

i

L









k

yp

xp

j

xp

zp

i

p

z

yp

x

y

z

x

y

z







x

y

z

p



r



L

