ĆWICZENIE  NR 

12

 

 

POMIAR INDUKCYJNOŚCI I POJEMNOŚCI 

 

12.1. Cel ćwiczenia 

 

Celem ćwiczenia jest poznanie metod mostkowych pomiaru indukcyjności i 

dobroci cewek oraz  pomiaru pojemności i kąta stratności kondensatorów. 

 

12.2. Teoretyczne podstawy pomiaru 

 

12.2.1. Pomiar indukcyjności własnej cewek, ich dobroci oraz  

indukcyjności wzajemnej cewek 

 

Schemat zastępczy cewki rzeczywistej pokazano na rys.12.1. W schemacie 

zastępczym występuje indukcyjność  L , rezystancja  R

1

 reprezentująca 

rezystancję uzwojenia (dla prądu stałego), rezystancja R

2

 reprezentująca straty 

mocy w uzwojeniu (dla prądu zmiennego) oraz w rdzeniu ferromagnetycznym, 
pojemność C odpowiadająca pojemności między zwojami cewki. 

 

R

1

R

2

L

C

 

 

Rys.12.1. Schemat zastępczy cewki rzeczywistej  

 

Admitancja równoległego połączenia R

2

 , L i C  wynosi 

 













−

+

=

+

=

L

C

j

R

jB

G

Y

ω

ω

1

1

2

   

 

 

 

 

(12.1)

 

 

180

Dla bardzo małych wartości rezystancji R

1

  (R

1 

≈ 0) schemat zastępczy cewki 

(rys.12.1) można przedstawić w postaci równoległego połączenia indukcyjności 
L

r 

 i rezystancji R

r

  albo w postaci szeregowego połączenia indukcyjności L

s

 i 

rezystancji R

s

 ( rys.12.2).  

 

I

R

L

r

R

r

I

L

U

I

U

I

U

L

U

R

L

S

R

S

a)

b)

 

 

Rys.12.2. Zredukowany schemat zastępczy cewki  

a) równoległy; b) szeregowy 

 

Wykresy wektorowe dla schematu równoległego i szeregowego 

przedstawiono na rys.12.2. Kąt przesunięcia fazowego 

ϕ

  pomiędzy prądem I a 

napięciem U w cewce rzeczywistej określa występujące w niej straty .  

 

I

R

U

U

I

L

I

I

U

R

U

L

ϕ

ϕ

a)

b)

 

 

Rys.12.3. Wykresy wektorowe dla schematów zastępczych cewki (rys.12.2) 

a) równoległego ; b) szeregowego 

 
Współczynnik dobroci cewki Q można wyznaczyć ze wzoru (12.2) dla obwodu 
równoległego albo ze wzoru (12.3) dla obwodu szeregowego  

 

r

r

R

L

L

R

I

I

tg

Q

ω

ϕ

=

=

=

             

(12.2)

 

 

181 

s

s

R

L

R

L

U

U

Q

ω

ϕ

=

=

= tg

              

(12.3)

 

Wartości elementów obwodu równoległego; rezystancję oraz indukcyjność  
można wyznaczyć ze wzoru 

 

 

LC

L

L

r

2

1

ω

−

=

   , 

2

R

R

r

=

         

(12.4)

 

 

przy czym dla LC << 1/

ω

2

 otrzymuje się L

r  

≈ L. 

Pomiar indukcyjności wzajemnej dwóch uzwojeń cewki polega na 

pomierzeniu zastępczej indukcyjności obu uzwojeń połączonych w ten sposób, 
że a) strumienie magnetyczne obu uzwojeń  są skierowane zgodnie, b) 
strumienie są skierowane przeciwnie. Dla przypadku pierwszego (a) 
indukcyjność zastępcza L

zz

 wynosi 

 

M

L

L

L

zz

2

2

1

+

+

=

              

(12.5)

 
 

Dla przypadku (b) indukcyjność zastępczą L

zp

 można określić ze wzoru 

 

M

L

L

L

zp

2

2

1

−

+

=

  

      (12.6)

 

gdzie: 
 L

1

, L

2

 – indukcyjności własne uzwojeń , M – indukcyjność wzajemna. 

Ze wzorów (12.5) i (12.6) wyznacza się indukcyjność wzajemną 

 

(

)

zp

zz

L

L

M

−

=

4

1

               

(12.7)

 

 

12.2.2. Metody mostkowe do pomiaru indukcyjności 

 

Do pomiaru indukcyjności bardzo często jest stosowany mostek Maxwella-

Wiena (rys.12.4), w którym badaną cewkę o szeregowym schemacie 
zastępczym umieszczono w gałęzi pierwszej.  

 

182

W

~

U

L

X

R

X

R

3

R

2

C

4

R

4

 

 

Rys.12.4. Mostek Maxwella-Wiena z szeregowym schematem zastępczym cewki 

 W- wskaźnik równowagi 

 

Dla zrównoważonego mostka można wyznaczyć indukcyjność L

x

 , rezystancję 

R

x

 oraz dobroć  Q

x

 cewki o szeregowym schemacie zastępczym korzystając z 

następujących wzorów 

 

,

4

3

2

C

R

R

L

x

=

   

4

3

2

R

R

R

R

x

=

,  

4

4

C

R

Q

x

ω

=

   

(12.8)

 

 

Mostek Maxwella-Wiena jest niezależny od częstotliwości i może być 

zrównoważony przez regulację elementami C

4

 i R

4 

,  R

2

 i R

4

 lub też  R

3

 i R

4

 

(równoważenie składowej rzeczywistej i urojonej jest niezależne). Mostek może 
być stosowany do pomiaru indukcyjności do kilkunastu henrów z błędem około 
0,1 %. Zakres stosowanych częstotliwości do około 1MHz. Dla cewek o dużych 
współczynnikach dobroci Q konieczne jest stosowanie rezystorów R

4

 o bardzo 

dużych wartościach. Dlatego do pomiaru cewek o dużej dobroci stosuje się 
mostek Haya. Na rys.12.5 pokazano schemat mostka Haya z badaną cewką o 
równoległym schemacie zastępczym umieszczoną w pierwszej gałęzi.

 

Mostek 

Haya może być stosowany również do pomiaru indukcyjności cewki,

 

przez 

którą

 

przepływa prąd stały. Mostek jest zasilany wówczas ze źródła prądu 

stałego i zmiennego. 

 

 

183 

W

~

U

L

X

R

X

R

3

R

2

C

4

R

4

 

 

Rys.12.5. Mostek Haya z równoległym schematem zastępczym cewki 

 

Dla układu zrównoważonego mostka można wyznaczyć indukcyjność  L

x

, 

rezystancję R

x

 oraz dobroć Q

x

 cewki o równoległym schemacie zastępczym  

 

4

3

2

C

R

R

L

x

=

,  

4

3

2

R

R

R

R

x

=

,    

4

4

1

C

R

Q

ω

=

   

(12.9)

 

 

Dokładność pomiaru indukcyjności i współczynnika dobroci będzie zależeć od: 
1) dokładności i rozdzielczości zastosowanych elementów R

2

, R

3

, R

4

, C

4

 , 

2) czułości wskaźnika równowagi, 
3) wpływu czynników zakłócających, np. sprzężeń indukcyjnych i 
pojemnościowych, zewnętrznych pól elektromagnetycznych. 

 

12.2.3. Pomiar pojemności i stratności kondensatorów 

 

Schemat zastępczy kondensatora rzeczywistego pokazano na rys.12.6. W 

schemacie zastępczym występuje pojemność C , indukcyjność L i rezystancja R

1 

 

reprezentujące indukcyjność i rezystancję doprowadzeń oraz rezystancja R 
określająca między innymi straty dielektryczne oraz straty związane z 
upływnością dielektryka. 

 

 

184

R

L

C

R

1

 

 

Rys.12.6. Schemat zastępczy kondensatora rzeczywistego 

 

Dla zakresu małych i średnich częstotliwości spełnione są zależności 

ω

L  << 1/

ω

C ,  R

1 

<< 1/

ω

C i wówczas schemat zastępczy kondensatora może 

być rozpatrywany w postaci szeregowego lub równoległego obwodu (rys.12.7). 
Moduł impedancji dla szeregowego układu zastępczego można wyznaczyć z 
zależności 

 

2

2

2

1

s

s

s

C

R

Z

ω

+

=

               

(12.10)

 

Natomiast dla układu równoległego moduł impedancji wynosi 

(

)

2

1

r

r

r

r

C

R

R

Z

ω

+

=

              

(12.11)

 

 

Współczynnik stratności określany jest za pomocą tangensa kąta stratności 

δ

. 

Dla szeregowego schematu zastępczego  

 

s

s

C

R

tg

ω

δ

=

                 

(12.12)

 

Dla równoległego schematu zastępczego  

 

r

r

C

R

ω

δ

1

tg

=

                 

(12.13) 

 

 

185 

I

C

I

R

U

I

U

I

U

R

a)

b)

R

S

C

S

U

C

C

R

R

r

 

 

Rys.12.7. Szeregowy (a) i równoległy (b) schemat zastępczy kondensatora 

 

Pomiędzy parametrami zastępczego obwodu szeregowego i równoległego 

istnieją następujące zależności 

 

(

)

δ

2

tg

1

1

+

=

s

r

R

R

, 

δ

2

1

1

tg

C

C

s

r

+

=

   

(12.14)

 

 

Na rys.12.7 pokazano wykresy wektorowe kondensatora dla zastępczych 

schematów szeregowego i równoległego. 

 

U

U

I

I

U

R

U

C

δ

δ

a)

b)

I

C

I

R

 

 

Rys.12.8. Wykresy wektorowe dla szeregowego (a) i równoległego (b) schematu zastępczego 

kondensatora 

 

12.2.4. Metody mostkowe do pomiaru pojemności 

 

Do pomiaru pojemności oraz kąta stratności kondensatorów stosuje się 

często mostek Wiena. Na rys.12.9 pokazano schemat mostka Wiena z 
szeregowym układem zastępczym badanego kondensatora umieszczonym w 
pierwszej gałęzi mostka.  

 

186

W

~

U

R

2

R

4

R

X

C

3

R

3

C

X

 

 

Rys.12.9.  Mostek Wiena z szeregowym schematem zastępczym kondensatora 

 

Dla zrównoważonego mostka i szeregowego układu zastępczego otrzymuje 

się następujące równania

 

2

4

3

R

R

C

C

x

=

,  

3

3

C

R

tg

ω

δ

=

       

(12.15)

 

W przypadku zastosowania równoległego schematu zastępczego w 

zrównoważonym mostku Wiena otrzymuje się następujące zależności 
wynikające ze wzorów (12.14) 

δ

2

2

4

3

tg

1

1

+

=

R

R

C

C

x

, 

3

3

C

R

tg

ω

δ

=

       

(12.16)

 

Jeżeli współczynnik stratności ma małą wartość (tg

δ

 < 0,01) to różnica między 

wartościami pojemności  C

r 

 i C

s

 (dla obwodu równoległego i szeregowego) 

(12.14) jest niewielka. Dla większych wartości tg

δ

  występują większe różnice 

wartości pojemności dla obwodu równoległego i szeregowego.  
Mostek Wiena jest mostkiem niezależnym od częstotliwości dla szeregowego 
(rys.12.15) układu zastępczego , natomiast dla układu równoległego występuje 
zależność od częstotliwości jak we wzorze (12.16). 
 

Na podstawie charakterystyki częstotliwościowej mostka możliwe jest 

ustalenie schematu zastępczego. Dla stanu równowagi mostka, należy 
zmieniając częstotliwość zasilania, obserwować odchylenie wskaźnika 
równowagi. Małe zmiany odchylenia wskaźnika oznaczają niezależność mostka 
od częstotliwości i możliwość przyjęcia szeregowego schematu zastępczego. 

 

187 

Dla przyjętego równoległego schematu zastępczego kondensatora 

wygodniejsze (ze względu na regulację) jest stosowanie mostka Nernsta 
(rys.12.10). Z warunków równowagi mostka Nernsta dla równoległego 
schematu zastępczego otrzymuje się

 

3

4

3

R

R

C

C

x

=

 ,   

4

3

1

C

R

tg

ω

δ

=

        

(12.17)

 

Dla większych wartości tg

δ

 istotna staje się analiza struktury kondensatora oraz 

przyjęcie odpowiedniego schematu zastępczego. Dokładność pomiaru 
pojemności i współczynnika stratności kondensatorów będzie zależeć od takich 
samych czynników jak w przypadku pomiaru indukcyjności. 
 

W

~

U

R

X

R

4

C

3

R

3

R

2

C

X

 

 

Rys.12.10. Mostek Nernsta z równoległym schematem zastępczym kondensatora 

 

12.3. Wykonanie ćwiczenia 

 

12.3.1. Pomiar indukcyjności mostkiem Haya 

 

Układ połączeń 

 

Do pomiaru indukcyjności własnej i indukcyjności wzajemnej dwóch uzwojeń 
cewki oraz dobroci cewki powietrznej zastosować układ mostka Haya. Mostek 
zasilany jest z generatora G; mierzone są: częstotliwość i napięcie zasilające 
mostek.  

 

188

W

~

G

L

X

R

X

R

3

R

2

C

4

R

4

 

 

Rys.12.11. Mostek Haya 

 

Oznaczenia  

 

L

x

, R

x

 – indukcyjność i rezystancja badanej cewki, 

R

2

, R

3

, R

4

 – rezystory dekadowe,  

C

4

 – kondensator dekadowy, 

W – wskaźnik równowagi, 
G – generator. 
Uwaga: podczas wykonywania ćwiczenia należy wpisać obok podanych 
oznaczeń określenia i wartości charakteryzujące użyte przyrządy.  

 

Postępowanie podczas pomiaru  

 

Pomierzyć indukcyjność  własną  L

x

 , indukcyjność wzajemną  M (dwóch 

uzwojeń cewki) oraz dobroć  Q cewki powietrznej doprowadzając mostek do 
równowagi przez dobór wartości R

4

, C

4

 przy R

2 

= const , R

3 

= const . Pomiary 

wykonać dla 3 par wartości R

2 

 i R

3

.  

Dla każdej pary wartości R

2 

 i R

3 

 wyznaczyć błąd czułości układu mostkowego: 

 

%

100

2

2

R

R

L

L

x

x

∆

=

∆

              

(12.17) 

Dla wartości 

R

2 

 i R

3 , 

przy której występuje najmniejszy błąd czułości wykonać 

serię pomiarów i wyznaczyć wartość średnią indukcyjności własnej.

 

 

189 

Wyniki pomiarów dla jednego uzwojenia cewki oraz wyniki obliczeń 
zanotować w tabeli 12.1. Dla dwóch uzwojeń cewki powietrznej wyznaczyć 
indukcyjność wzajemną M poprzez pomiar indukcyjności zastępczej L

zz

. i L

zp

 . 

Pomiary wykonać dla 3 par wartości R

2 

 i R

3

.  

Wyniki pomiarów oraz obliczeń zanotować w tabelach 12.2 i 12.3. 

 

Protokół wyników pomiaru 

 

f = ......[Hz],   U = .......[V] 

               

Tabela 12.1 

R

4

 

C

4

 

R

2

 

R

3

 

∆

R

2

 

∆

R

2

/R

2

 

Q L

x

 

Lp. 

Ω 

µF 

Ω 

Ω 

Ω 

% 

- 

mH 

1. 
2. 
3. 
. 
. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = ......[Hz],   U = .......[V] 

     

Tabela 12.2 

R

4

 

C

4

 

R

2

 

R

3

 

∆

R

2

 

∆

R

2

/R

2

 

L

zz

 

Lp. 

Ω 

 

µF 

Ω 

Ω 

Ω 

 % 

mH 

1. 
2. 
3. 

 

 

 

 

 

 

 

 

f = ......[Hz],   U = .......[V] 

     

Tabela 12.3

 

R

4

 

C

4

 

R

2

 

R

3

 

∆

R

2

 

∆

R

2

/R

2

 

L

zp

 

Lp. 

Ω 

µF 

Ω 

Ω 

Ω 

% mH 

1. 
2. 
3. 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wzory i przykłady obliczeń  

 

Podać wzory niezbędne do wykonania obliczeń oraz jednostki, w których 

powinny być wyrażone poszczególne wielkości występujące we

 

wzorach.

  

 

1) Indukcyjność własna i wzajemna 

 

190

n

L

L

x

xsr

∑

=

   

(

)

zp

zz

L

L

M

−

=

4

1

 

2) Niepewność pomiaru indukcyjności własnej, przy uwzględnieniu składowej 
B (rozkład prostokątny)  

 

=













∂

∂

+













∂

∂

+













∂

∂

=

2

4

2

4

2

3

2

3

2

2

2

2

C

x

R

x

R

x

Lx

B

u

C

L

u

R

L

u

R

L

u

 

(

) (

) (

)

3

3

3

2

4

2

3

2

2

C

R

R

g

g

g

∆

∆

∆

+

+

 

gdzie : 

∆

g

R

2

, 

∆

g

R

3

 - błąd graniczny rezystorów R

2

 i R

3

 wynikający z klasy dokładności, 

∆

g

C

4

 - 

błąd graniczny kondensatora C

4

 wynikający z klasy dokładności 

 
3) Niepewność wynikająca z ograniczonej czułości układu do pomiaru 
indukcyjności własnej (rozkład prostokątny) 

2

2

'

3

3

R

L

R

L

u

xsr

x

cLx

∆

=

∆

=

 

 

4) Niepewność całkowita pomiaru indukcyjności własnej 
 

(

) (

)

2

2

cLx

BLx

Lx

u

u

k

u

+

=

α

 

 

gdzie: k

α

 – współczynnik rozszerzenia  

 
5) Wynik pomiaru indukcyjności własnej 

 

Lx

r

xś

x

u

L

L

±

=

 

 
 
 
 

12.3.2. Pomiar indukcyjności mostkiem Maxwella-Wiena 

 

191 

Układ połączeń 

 

Do pomiaru indukcyjności własnej oraz dobroci cewki z rdzeniem  zastosować 
układ mostka Maxwella-Wiena. Mostek zasilany jest z generatora G; mierzone 
są: częstotliwość i napięcie zasilające mostek.  
 

W

~

G

L

X

R

X

R

3

R

2

C

4

R

4

 

 

Rys.12.12. Mostek Maxwella-Wiena 

 

Oznaczenia  

 

L

x

, R

x

 – indukcyjność i rezystancja badanej cewki, 

R

2

,, R

3

,, R

4

 – rezystory dekadowe,  

C

4

 – kondensator dekadowy, 

W – wskaźnik równowagi, 
G - generator. 

 

Uwaga: podczas wykonywania ćwiczenia należy wpisać obok podanych 
oznaczeń określenia i wartości charakteryzujące użyte przyrządy.  

 
 
 
 
 
 

 

192

Postępowanie podczas pomiaru  

 

Pomierzyć indukcyjność  własną  L

x

 oraz dobroć  Q cewki z rdzeniem 

ferromagnetycznym doprowadzając mostek do równowagi przez dobór wartości 
R

4

, C

4

 przy R

2

=const , R

3

=const . Pomiary wykonać dla 3 par wartości R

2 

 i R

3

 

oraz dwóch wartości częstotliwości.  
Dla każdej pary wartości R

2 

 i R

3 

 wyznaczyć błąd czułości układu mostkowego: 

 

%

R

R

L

L

x

x

100

2

2

∆

∆

=

 

Dla wartości 

R

2 

 i R

3 , 

przy której występuje najmniejszy błąd czułości wykonać 

serię pomiarów i wyznaczyć wartość średnią indukcyjności własnej.

 

Wyniki pomiarów oraz wyniki obliczeń zanotować w tabeli 12.4 i 12.5. 

 

Protokół wyników pomiaru 

 

f

1 

= ......[Hz], U = .......[V] 

   

Tabela 12.4 

R

4

 

C

4

 

R

2

 

R

3

 

∆

R

2

 

∆

R

2

/R

2

 

Q L

x

 

Lp. 

Ω 

µF 

Ω 

Ω 

Ω 

 % 

 

mH 

1. 
2. 
. 
. 
. 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

2 

= ......[Hz], U = .......[V] 

   

Tabela 12.5 

R

4

 

C

4

 

R

2

 

R

3

 

∆

R

2

 

∆

R

2

/R

2

 

Q L

x

 

Lp. 

Ω 

µF 

Ω 

Ω 

Ω 

 % 

 

mH 

1. 
2. 
. 
. 
. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wzory i przykłady obliczeń  

 

Podać wzory niezbędne do wykonania obliczeń oraz jednostki, w których 

powinny być wyrażone poszczególne wielkości występujące we wzorach. 

 

193 

1)  Wartość średnia indukcyjności własnej  
 

n

L

L

x

xsr

∑

=

 

 

2) Niepewność pomiaru indukcyjności własnej, przy uwzględnieniu składowej 
B (rozkład prostokątny) 

 

=













∂

∂

+













∂

∂

+













∂

∂

=

2

4

2

4

2

3

2

3

2

2

2

2

C

x

R

x

R

x

BLx

u

C

L

u

R

L

u

R

L

u

 

(

) (

) (

)

3

3

3

2

4

2

3

2

2

C

R

R

g

g

g

∆

∆

∆

+

+

 

gdzie: 

∆

g

R

2

, 

∆

g

R

3

 –błąd graniczny rezystorów R

2

 i R

3

 wynikający z klasy dokładności, 

∆

g

C

4

 - błąd graniczny kondensatora C

4

 wynikający z klasy dokładności. 

 
3) Niepewność wynikająca z ograniczonej czułości układu do pomiaru 
indukcyjności własnej (rozkład prostokątny) 

 

2

2

'

3

3

R

L

R

L

u

r

xś

x

cLx

=

∆

=

∆

=

 

 

4) Niepewność całkowita pomiaru indukcyjności własnej 

 

(

) (

)

2

2

cLx

BLx

Lx

u

u

k

u

+

=

α

 

 

gdzie: k

α

 – współczynnik rozszerzenia  

5) Wynik pomiaru indukcyjności własnej 
 

Lx

r

xś

x

u

L

L

±

=

 

 
 
 

12.3.3. Pomiar pojemności i współczynnika stratności mostkiem Wiena 

 

194

 

Układ połączeń 

 

Do pomiaru pojemności oraz współczynnika stratności kondensatora 

zastosować układ mostka Wiena. Mostek zasilany jest z generatora G; mierzone 
są: częstotliwość i napięcie zasilające mostek. 

 

W

~

G

R

2

R

4

R

X

C

3

R

3

C

X

 

 

Rys.12.13. Mostek Wiena 

 

Oznaczenia 

 

C

x

, R

x

 – pojemność i rezystancja badanego kondensatora, 

R

2

, R

3

,, R

4

 – rezystory dekadowe,  

C

3

 – kondensator dekadowy, 

W – wskaźnik równowagi, 
G – generator. 

Uwaga: podczas wykonywania ćwiczenia należy wpisać obok podanych 

oznaczeń określenia i wartości charakteryzujące użyte przyrządy. 

 

Postępowanie podczas pomiaru  

 

Pomierzyć pojemność  C

x

 oraz współczynnik stratności tg

δ

  kondensatora, 

doprowadzając mostek do równowagi przez dobór wartości  R

3

 i C

3

 przy 

R

2

=const , R

4

=const . Pomiary wykonać dla 3 par wartości  R

2 

 i R

4

 i dwóch 

różnych częstotliwości napięcia zasilania.  
Dla każdej pary wartości R

2 

 i R

4 

 wyznaczyć błąd czułości układu mostkowego: 

 

195 

 

%

100

2

2

R

R

C

C

x

x

∆

∆

=

 

 

%

100

tg

tg

4

4

R

R

∆

δ

δ

∆

=

 

Dla wartości 

R

2 

 i R

4 , 

przy której występuje najmniejszy błąd czułości wykonać 

serię pomiarów i wyznaczyć wartość  średnią pojemności oraz współczynnika 
stratności tg

δ

  kondensatora.

 

Wyniki pomiarów oraz obliczeń zanotować w tabeli 12.6. 

 

Protokół wyników pomiaru 

 

U =.....[V] 

                                                                                                        

Tabela 12.6 

f R

3

 

C

3

 

R

2

 

R

4

 

∆

R

2

 

∆

R

2

/R

2

 

∆

R

4

 

∆

R

4

/R

4

 tg

δ

 

C

x

 

Lp 

Hz 

Ω 

F 

Ω 

Ω 

Ω 

% 

Ω 

%  

F 

1. 
2. 
. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 
. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wzory i przykłady obliczeń  

 

Podać wzory niezbędne do wykonania obliczeń oraz jednostki, w których 

powinny być wyrażone poszczególne wielkości występujące we wzorach. 

 

1) Wartość średnia pojemności C

x

 i współczynnika stratności tg

δ

  kondensatora  

n

C

C

x

xsr

∑

=

 

n

tg

tg

sr

δ

δ

∑

=

 

2) Niepewność pomiaru pojemności, przy uwzględnieniu składowej B (rozkład 
prostokątny) 

 

 

196

=













∂

∂

+













∂

∂

+













∂

∂

=

2

3

2

3

2

4

2

4

2

2

2

2

C

x

R

x

R

x

BCx

u

C

C

u

R

C

u

R

C

u

 

(

) (

) (

)

3

3

3

2

3

2

4

2

2

C

R

R

g

g

g

∆

∆

∆

+

+

 

 

gdzie : 

∆

g

R

2

, 

∆

g

R

4

 –błąd graniczny rezystorów R

2

 i R

4

 wynikający z klasy dokładności, 

∆

g

C

3

 - błąd graniczny kondensatora C

3

 wynikający z klasy dokładności. 

 
3) Niepewność wynikająca z ograniczonej czułości układu do pomiaru 
pojemności (rozkład prostokątny) 

 

2

2

'

3

3

R

C

R

C

u

xsr

x

cCx

∆

=

∆

=

 

4) Niepewność całkowita pomiaru pojemności 

 

(

) (

)

2

2

cCx

BCx

Cx

u

u

k

u

+

=

α

 

gdzie: k

α

 – współczynnik rozszerzenia  

 

5) Wynik pomiaru pojemności 

 

Cx

xsr

x

u

C

C

±

=

 

 

6) Niepewność pomiaru współczynnika stratności tg

δ

, przy uwzględnieniu 

składowej B (rozkład prostokątny) 
 

=













∂

∂

+













∂

∂

+













∂

∂

=

2

3

2

3

2

3

2

3

2

2

C

R

f

tg

B

u

C

tg

u

R

tg

u

f

tg

u

δ

δ

δ

δ

 

( ) (

) (

)

3

3

3

2

3

2

3

2

C

R

f

g

g

g

∆

∆

∆

+

+

 

gdzie : 

∆

g

f  - błąd graniczny stabilności częstotliwości generatora wynikający z klasy 

dokładności, 

 

197 

∆

g

R

3

 –błąd graniczny rezystora R

3

 wynikający z klasy dokładności, 

∆

g

C

3

 - błąd graniczny kondensatora C

3

 wynikający z klasy dokładności. 

 
7) Niepewność wynikająca z ograniczonej czułości układu do pomiaru 
współczynnika stratności (rozkład prostokątny) 
 

4

4

'

ctg

tg

3

3

tg

R

R

u

δ

δ

δ

∆

=

∆

=

 

 

8) Niepewność całkowita pomiaru współczynnika stratności 

 

(

) (

)

2

2

δ

δ

α

δ

ctg

tg

B

tg

u

u

k

u

+

=

 

 

gdzie: k

α

 – współczynnik rozszerzenia  

 
9) Wynik pomiaru współczynnika stratności 
 

δ

δ

δ

tg

tg

tg

u

r

ś

±

=

 

 

12.4. Uwagi o wynikach pomiaru  

 

12.5. Literatura  

 

[1]  Dusza J.,Gortat G., Leśniewski A.: Podstawy miernictwa. WPW, 

Warszawa 1998. 

[2]  Kalus-Jęcek B.,Nowicki R.: Podstawy miernictwa elektrycznego dla 

elektryków. Skrypty dla Szkół Wyższych. PŁ, Łódź 1995. 

[3]  Kuśmierek Z.: Podstawy metrologii elektrycznej. Wzorce i teoria 

pomiarów. Skrypty dla Szkół Wyższych. PŁ, Łódź 1990. 

[4]  Praca zbiorowa pod red.  Jędrzejewski K.: Laboratorium podstaw 

miernictwa . WPW, Warszawa 1997.