Całkowanie funkcji
trygonometrycznych
metodÄ… podstawienia
Przygotowała Klaudia Wrzask
Niech R(u,v) będzie funkcją dwóch zmiennych.
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,vźą=-Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
Niech R(u,v) będzie funkcją dwóch zmiennych.
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,vźą=-Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
t=cos x
Niech R(u,v) będzie funkcją dwóch zmiennych.
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,vźą=-Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
t=cos x
Przykład sin3śą xźącos6śąxźądx
+"
Niech R(u,v) będzie funkcją dwóch zmiennych.
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,vźą=-Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
t=cos x
Przykład sin3śą xźącos6śąxźądx
+"
Rśąu , vźą=u3 v6
W tym przypadku funkcja
zatem możemy skorzystać z tego podstawienia
Niech R(u,v) będzie funkcją dwóch zmiennych.
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,vźą=-Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
t=cos x
Przykład sin3śą xźącos6śąxźądx
+"
Rśąu , vźą=u3 v6
W tym przypadku funkcja
zatem możemy skorzystać z tego podstawienia
sin3śą xźącos6śąxźądx= sinśą xźąśą1-cos2śą xźąźącos6śą xźądx= t=cosśą xźą , dt=-sinśą xźądx
{ }
+" +"
cos9śąxźą cos7śąxźą
t9 t7
śąt2-1źąt6śą xźą dt= - ƒÄ…C= - ƒÄ…C
+"
9 7 9 7
Rśąsin x , cos xźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśąu ,-vźą=-Rśąu , vźą
gdy stosujemy podstawienie
Rśąsin x , cos xźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśąu ,-vźą=-Rśąu , vźą
gdy stosujemy podstawienie
t=sin x
Rśąsin x , cos xźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśąu ,-vźą=-Rśąu , vźą
gdy stosujemy podstawienie
t=sin x
Przykład cos5 x dx
+"
Rśąsin x , cos xźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśąu ,-vźą=-Rśąu , vźą
gdy stosujemy podstawienie
t=sin x
Przykład cos5 x dx
+"
Rśąu , vźą=v5
W tym przypadku funkcja
zatem możemy skorzystać z tego podstawienia
Rśąsin x , cos xźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśąu ,-vźą=-Rśąu , vźą
gdy stosujemy podstawienie
t=sin x
Przykład cos5 x dx
+"
Rśąu , vźą=v5
W tym przypadku funkcja
zatem możemy skorzystać z tego podstawienia
cos5 x dx= cos xśą1-sin2 xźą2 dx={t=sin x , dt=cos x dx}
+" +"
2t3 t5ƒÄ…C=sin x- 2sin3 x sin5 x
śą1-t2źą2dt= śą1-2t2ƒÄ…t4źądt=t- ƒÄ… ƒÄ… ƒÄ…C
+" +"
3 5 3 5
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,-vźą=Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,-vźą=Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
t=tg x
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,-vźą=Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
t=tg x
1
1
t
cos x=
d x= dt
sin x=
przy czym
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
ćą
1ƒÄ…t2
ćą
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,-vźą=Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
t=tg x
1
1
t
cos x=
d x= dt
sin x=
przy czym
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
ćą
1ƒÄ…t2
ćą
1
Przykład
dx
+"
sin x cos x
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,-vźą=Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
t=tg x
1
1
t
cos x=
d x= dt
sin x=
przy czym
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
ćą
1ƒÄ…t2
ćą
1
Przykład
dx
+"
sin x cos x
1
Rśąu , vźą=
W tym przypadku funkcja
u v
zatem możemy skorzystać z tego podstawienia
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
Do obliczenia całki postaci:
Rśą-u ,-vźą=Rśąu , vźą
gdy możemy zastosować podstawienie
t=tg x
1
1
t
cos x=
d x= dt
sin x=
przy czym
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
ćą
1ƒÄ…t2
ćą
1
Przykład
dx
+"
sin x cos x
1
Rśąu , vźą=
W tym przypadku funkcja
u v
zatem możemy skorzystać z tego podstawienia
1 dt
dx= =ln tƒÄ…C=lnśątg xźąƒÄ…C
+" +"
sin x cos x t
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
Do obliczenia całki postaci:
+"
Rśąu , vźą
gdy
jest dowolną funkcją możemy zastosować podstawienie
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
Do obliczenia całki postaci:
+"
Rśąu ,vźą
gdy
jest dowolną funkcją możemy zastosować podstawienie
x
t=tg
2
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
Do obliczenia całki postaci:
+"
Rśąu ,vźą
gdy
jest dowolną funkcją możemy zastosować podstawienie
x
t=tg
2
2t
2
1-t2
sin x=
d x= dt
cos x=
przy czym
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
Do obliczenia całki postaci:
+"
Rśąu ,vźą
gdy
jest dowolną funkcją możemy zastosować podstawienie
x
t=tg
2
2t
2
1-t2
sin x=
d x= dt
cos x=
przy czym
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
1
dx
+"
Przykład
sin x
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
Do obliczenia całki postaci:
+"
Rśąu ,vźą
gdy
jest dowolną funkcją możemy zastosować podstawienie
x
t=tg
2
2t
2
1-t2
sin x=
d x= dt
cos x=
przy czym
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
1
dx
+"
Przykład
sin x
1
Rśąu ,vźą=
W tym przypadku funkcja
u
Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
Do obliczenia całki postaci:
+"
Rśąu ,vźą
gdy
jest dowolną funkcją możemy zastosować podstawienie
x
t=tg
2
2t
2
1-t2
sin x=
d x= dt
cos x=
przy czym
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
1ƒÄ…t2
1
dx
+"
Przykład
sin x
1
Rśąu ,vźą=
W tym przypadku funkcja
u
1 dt x
dx= =ln tƒÄ…C=ln śątg źąƒÄ…C
+" +"
sin x t 2
Podsumowanie
Niech R(u,v) będzie funkcją dwóch zmiennych.
Do obliczenia całki postaci: Rśąsinśą xźą ,cosśą xźąźądx
+"
gdy stosujemy podstawienie
Rśą-u , vźą=-Rśąu , vźą
t=cos x
Rśąu ,-vźą=-Rśąu , vźą
t=sin x
Rśą-u ,-vźą=Rśąu , vźą
t=tg x
x
Rśąu , vźą t=tg
dowolna funkcja
2
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
sin2 x cos5 x dx
+"
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
sin2 x cos5 x dx
+"
t=sin x
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
sin3 x cos5 x dx
+"
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx
+"
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
8
sin4 x sin6 x
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx odp.
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
4 3 8
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
8
sin4 x sin6 x
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx odp.
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
4 3 8
cos x
dx
+"
sin2 x
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
8
sin4 x sin6 x
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx odp.
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
4 3 8
cos x
dx
+" t=sin x
sin2 x
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
8
sin4 x sin6 x
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx odp.
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
4 3 8
1
cos x
dx odp. - ƒÄ…C
+" t=sin x
sin x
sin2 x
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
8
sin4 x sin6 x
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx odp.
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
4 3 8
1
cos x
dx odp. - ƒÄ…C
+" t=sin x
sin x
sin2 x
1
dx
+"
sin2 x cos2 x
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
8
sin4 x sin6 x
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx odp.
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
4 3 8
1
cos x
dx odp. - ƒÄ…C
+" t=sin x
sin x
sin2 x
1
dx
+" W tym przykładzie nie potrzeba
sin2 x cos2 x
używać metody podstawienia.
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
8
sin4 x sin6 x
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx odp.
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
4 3 8
1
cos x
dx odp. - ƒÄ…C
+" t=sin x
sin x
sin2 x
1
dx
+" W tym przykÅ‚adzie nie potrzeba odp. tg x-ctg xƒÄ…C
sin2 x cos2 x
używać metody podstawienia.
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
8
sin4 x sin6 x
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx odp.
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
4 3 8
1
cos x
dx odp. - ƒÄ…C
+" t=sin x
sin x
sin2 x
1
dx
+" W tym przykÅ‚adzie nie potrzeba odp. tg x-ctg xƒÄ…C
sin2 x cos2 x
używać metody podstawienia.
1
dx
+"
1ƒÄ…sin x
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
8
sin4 x sin6 x
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx odp.
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
4 3 8
1
cos x
dx odp. - ƒÄ…C
+" t=sin x
sin x
sin2 x
1
dx
+" W tym przykÅ‚adzie nie potrzeba odp. tg x-ctg xƒÄ…C
sin2 x cos2 x
używać metody podstawienia.
1 x
dx
+"
t=tg
1ƒÄ…sin x
2
A teraz mały sprawdzian wiadomości. Jakiego podstawienia
można użyć do obliczenia następujących całek?
7
sin3 x 2sin5 x
odp.
sin2 x cos5 x dx
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
t=sin x
3 5 7
8
sin4 x sin6 x
lub
t=sin x
t=cos x
sin3 x cos5 x dx odp.
- ƒÄ…sin x ƒÄ…C
+"
4 3 8
1
cos x
dx odp. - ƒÄ…C
+" t=sin x
sin x
sin2 x
1
dx
+" W tym przykÅ‚adzie nie potrzeba odp. tg x-ctg xƒÄ…C
sin2 x cos2 x
używać metody podstawienia.
1 x 2
dx - ƒÄ…C
+" odp.
t=tg
1ƒÄ…sin x x
2
1ƒÄ…tg
2