Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu
Damian Kozioł i Damian Huderek
10 grudnia 2012
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 1 / 21
Spis treści
1
Baza macierzy
2
Wymiar macierzy
3
Baza rozwiązania równania różniczkowego
4
Rząd macierzy
5
Przykład macierzy pierwszego rzędu
6
Wymiar i baza przestrzeni zerowej
7
Rozwiązania specjalne równania Ax = 0
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 2 / 21
Bazy macierzy
Definicja bazy
Bazą przestrzeni liniowej jest maksymalny zbiór wektorów liniowo
niezależnych w danej przestrzeni
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 3 / 21
Bazy macierzy
Definicja bazy
Bazą przestrzeni liniowej jest maksymalny zbiór wektorów liniowo
niezależnych w danej przestrzeni
1
Wykorzystując wektory bazowe, mnożąc je przez skalary i dodając do
siebie jesteśmy w stanie uzyskać każdy wektor leżący w tej przestrzeni
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 3 / 21
Bazy macierzy
Definicja bazy
Bazą przestrzeni liniowej jest maksymalny zbiór wektorów liniowo
niezależnych w danej przestrzeni
1
Wykorzystując wektory bazowe, mnożąc je przez skalary i dodając do
siebie jesteśmy w stanie uzyskać każdy wektor leżący w tej przestrzeni
Jako bazę można też rozumieć zbiór wektorów niezależnych. Dodanie do
niego jakiegokolwiek wektora spowoduje, że układ ten stanie się zależny.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 3 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
�ł łł
1 0 0
�ł śł
0 0 0
�ł �ł
0 0 0
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
�ł łł �ł łł
1 0 0 0 1 0
�ł śł �ł śł
0 0 0 0 0 0
�ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
�ł łł �ł łł �ł łł
1 0 0 0 1 0 0 0 1
�ł śł �ł śł �ł śł
0 0 0 0 0 0 0 0 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
�ł łł �ł łł �ł łł
1 0 0 0 1 0 0 0 1
�ł śł �ł śł �ł śł
...
0 0 0 0 0 0 0 0 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0 0 0 0
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
...
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
...
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
9 dlatego, że żeby opisać jakąkolwiek macierz 3x3 potrzebujemy 9 liczb
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 4 / 21
Bazy macierzy
1
Dla każdej macierzy 3x3 baza naturalna składa się z 9 macierzy
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
...
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
9 dlatego, że żeby opisać jakąkolwiek macierz 3x3 potrzebujemy 9 liczb
1
Stąd dimM=9 �!wszystkich macierzy kwadratowych 3x3
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 4 / 21
Bazy macierzy
Dla macierzy górno trójkątnych tylko 6 elementów bazy naturalnej dla
macierzy 3x3 będzie bazą, stąd dimU=6. Macierze górno trójkątne 3x3
posiadają 6 elementów niezerowych, dlatego do ich opisania wystarczy 6
liczb.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 5 / 21
Bazy macierzy
Dla macierzy górno trójkątnych tylko 6 elementów bazy naturalnej dla
macierzy 3x3 będzie bazą, stąd dimU=6. Macierze górno trójkątne 3x3
posiadają 6 elementów niezerowych, dlatego do ich opisania wystarczy 6
liczb.
Przykład
�ł łł
1 2 3
�ł śł
U = 0 4 5
�ł �ł
0 0 6
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 5 / 21
Bazy macierzy
Podobnie w przypadku macierzy symetrycznych, dlatego i tu dimS=6.
Niestety baza macierzy symetrycznej nie należy do naturalnej bazy
macierzy 3x3, jak w poprzednim przykładzie.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 6 / 21
Bazy macierzy
Podobnie w przypadku macierzy symetrycznych, dlatego i tu dimS=6.
Niestety baza macierzy symetrycznej nie należy do naturalnej bazy
macierzy 3x3, jak w poprzednim przykładzie.
Przykład
�ł łł
a d e
�ł śł
S = d b f = ST
�ł �ł
e f c
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 6 / 21
Bazy macierzy
Podobnie w przypadku macierzy symetrycznych, dlatego i tu dimS=6.
Niestety baza macierzy symetrycznej nie należy do naturalnej bazy
macierzy 3x3, jak w poprzednim przykładzie.
Przykład
�ł łł
a d e
�ł śł
S = d b f = ST
�ł �ł
e f c
Mimo iż możemy nie posiadać elementów zerowych, do opisania macierzy
symetrycznej wystarczy 6 liczb. Widać to na powyższym przykładzie.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 6 / 21
Bazy macierzy
Zagadka
Jaka macierz jest symetryczna i górno trójkątna?
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 7 / 21
Bazy macierzy
Zagadka
Jaka macierz jest symetryczna i górno trójkątna?
Odpowiedz

Macierz diagonalna.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 7 / 21
Bazy macierzy
Zagadka
Jaka macierz jest symetryczna i górno trójkątna?
Odpowiedz

Macierz diagonalna.
Do opisania takiej macierzy potrzeba 3 liczb dlatego dimD=3.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 7 / 21
Bazy macierzy
Zagadka
Jaka macierz jest symetryczna i górno trójkątna?
Odpowiedz

Macierz diagonalna.
Do opisania takiej macierzy potrzeba 3 liczb dlatego dimD=3.
S )" U= symetryczna i górno trójkątna
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 7 / 21
Bazy macierzy
Zagadka
Jaka macierz jest symetryczna i górno trójkątna?
Odpowiedz

Macierz diagonalna.
Do opisania takiej macierzy potrzeba 3 liczb dlatego dimD=3.
S )" U= symetryczna i górno trójkątna
To jak przecięcie przestrzeni tych macierzy, wynik zawiera wektory, które
znajdują się w macierzy S i w macierzy U jednocześnie.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 7 / 21
Bazy macierzy
Sumując macierz górno trójkątną z macierzą symetryczną możemy
otrzymać dowolną macierz.
Dlatego
dim(S+U)=dimM=9
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 8 / 21
Bazy macierzy
Sumując macierz górno trójkątną z macierzą symetryczną możemy
otrzymać dowolną macierz.
Dlatego
dim(S+U)=dimM=9
Sprawa wygląda nieco gorzej w przypadku mnożenia macierzy
symetrycznej i górnotrójkątnej. To jak wziąć 2 linie, które zmierzają w
zupełnie innych kierunkach, z ich połączenia nie uzyskamy podprzestrzeni.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 8 / 21
Bazy macierzy
Zgodnie ze wzorem w przypadku 2 podprzestrzeni wymiar jednej, plus
wymiar drugiej równa się wymiarowi ich punktu przecięcia plus wymiarowi
ich sumy
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 9 / 21
Bazy macierzy
Zgodnie ze wzorem w przypadku 2 podprzestrzeni wymiar jednej, plus
wymiar drugiej równa się wymiarowi ich punktu przecięcia plus wymiarowi
ich sumy
Dlatego
dimS+dimU=dim(S )" U)+dim(S+U)
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 9 / 21
Bazy macierzy
Zgodnie ze wzorem w przypadku 2 podprzestrzeni wymiar jednej, plus
wymiar drugiej równa się wymiarowi ich punktu przecięcia plus wymiarowi
ich sumy
Dlatego
dimS+dimU=dim(S )" U)+dim(S+U)
Przykład
dimS=6
dimU=6
6+6=3+9=12
dim(S )" U)
dim(S+U)
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 9 / 21
Bazy macierzy
Sprawdz
my to na przykładzie równania różniczkowego drugiego rzędu
O wzorze
d2y
+ y = 0
dx2
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 10 / 21
Bazy macierzy
Sprawdz
my to na przykładzie równania różniczkowego drugiego rzędu
O wzorze
d2y
+ y = 0
dx2
Rozwiązaniami tego równania jest y=sinx i y=cosx.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 10 / 21
Bazy macierzy
Sprawdz
my to na przykładzie równania różniczkowego drugiego rzędu
O wzorze
d2y
+ y = 0
dx2
Rozwiązaniami tego równania jest y=sinx i y=cosx.
Kompletnym rozwiązaniem tego równania jest
y = c1cosx + c2sinx
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 10 / 21
Bazy macierzy
1
Bazą rozwiązania jest cosx, sinx
Nie wyglądają jak wektory, bardziej jak funkcje, ale możemy je pomnożyć
przez skalar lub dodać do siebie.
Dzięki temu możemy je nazwać wektorami.
2
Wymiar przestrzeni rozwiązania dim(przestrzen ) = 2
rozwiazania
W takich przypadkach wymiar zawsze będzie równy 2, ponieważ
rozpatrujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 11 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Rząd macierzy nie może być większy niż liczba kolumn lub wierszy
macierzy
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 12 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Rząd macierzy nie może być większy niż liczba kolumn lub wierszy
macierzy
Przykład macierzy pierwszego rzędu

1 4 5
A =
2 8 10
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 12 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Rząd macierzy nie może być większy niż liczba kolumn lub wierszy
macierzy
Przykład macierzy pierwszego rzędu

1 4 5
A =
2 8 10
Rząd macierzy
Rank(A) = 1
Rząd mcierzy wynosi 1, ponieważ drugi wiersz jest wielokrotnością
pierwszego.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 12 / 21
Macierze pierwszego rzędu
2
Wymiar przestrzeni kolumnowej równa się rzędowi macierzy i jest
równy wymiarowi przestrzeni kolumnowej macierzy transponowanej.
Wzór:
Rank(A) = dimC (A) = dimC(AT )
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 13 / 21
Macierze pierwszego rzędu
2
Wymiar przestrzeni kolumnowej równa się rzędowi macierzy i jest
równy wymiarowi przestrzeni kolumnowej macierzy transponowanej.
Wzór:
Rank(A) = dimC (A) = dimC(AT )
3
Macierz A można zapisać jako mnożenie dwóch wektorów
Przykład


1 4 5 1
A = = 1 4 5
2 8 10 2
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 13 / 21
Macierze pierwszego rzędu
2
Wymiar przestrzeni kolumnowej równa się rzędowi macierzy i jest
równy wymiarowi przestrzeni kolumnowej macierzy transponowanej.
Wzór:
Rank(A) = dimC (A) = dimC(AT )
3
Macierz A można zapisać jako mnożenie dwóch wektorów
Przykład


1 4 5 1
A = = 1 4 5
2 8 10 2
Wzór
T
A = U � V
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 13 / 21
Macierze pierwszego rzędu
4
Mając pierwszy wiersz lub kolumnę macierzy pierwszego rzędu
możemy zbudować całą macierz
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 14 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Mając przykładową macierz M=5x17 rzędu czwartego
Podzbiór rzędu czwartego może, ale nie musi być podprzestrzenią macierzy
M.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 15 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Mając przykładową macierz M=5x17 rzędu czwartego
Podzbiór rzędu czwartego może, ale nie musi być podprzestrzenią macierzy
M.
2
Dodając dwie macierze rzędu czwartego rząd otrzymanej macierzy nie
może być większy niż osiem
Dla naszej macierzy M nie może być większy niż pięć, ponieważ rząd nie
może być większy od liczby wierszy i kolumn.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 15 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Mamy wektor R4 z elementami v1, v2, v3, v4 oraz macierz
S= wszystkie v w R4 których v1 + v2 + v3 + v4 = 0
Wektor
�ł łł
v1
�ł śł
v2
�ł śł
R4 = �ł śł
�ł v3 �ł
v4
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 16 / 21
Macierze pierwszego rzędu
1
Mamy wektor R4 z elementami v1, v2, v3, v4 oraz macierz
S= wszystkie v w R4 których v1 + v2 + v3 + v4 = 0
Wektor
�ł łł
v1
�ł śł
v2
�ł śł
R4 = �ł śł
�ł v3 �ł
v4
2
S jest podprzestrzeniąR4 ponieważ w przypadku mnożenia wektora
przez jakąkolwiek liczbę otrzymamy 0
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 16 / 21
Macierze pierwszego rzędu
3
Zastosowanie równania A � v = 0
Macierz A

A = 1 1 1 1
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 17 / 21
Macierze pierwszego rzędu
3
Zastosowanie równania A � v = 0
Macierz A

A = 1 1 1 1
4
A � v zawsze będzie 0, dlatego S= przestrzeń zerowa A.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 17 / 21
Macierze pierwszego rzędu
3
Zastosowanie równania A � v = 0
Macierz A

A = 1 1 1 1
4
A � v zawsze będzie 0, dlatego S= przestrzeń zerowa A.
Rząd macierzy A
RankA = 1 = r
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 17 / 21
Macierze pierwszego rzędu
5
Wymiar macierzy:
Formalny wzór:
dimN(A) = n - r
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 18 / 21
Macierze pierwszego rzędu
5
Wymiar macierzy:
Formalny wzór:
dimN(A) = n - r
W naszym przypadku
N = 4, r = 1
więc
dimN(A) = 3
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 18 / 21
Macierze pierwszego rzędu
6
Szukjąc bazy dla S, szukamy rozwiązania specjalnego. Najpierw
szukamy wolnych zmiennych:
Pierwsza zmienna jest osiową, więc wolne są zmienne 2, 3 i 4.
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 19 / 21
Macierze pierwszego rzędu
6
Szukjąc bazy dla S, szukamy rozwiązania specjalnego. Najpierw
szukamy wolnych zmiennych:
Pierwsza zmienna jest osiową, więc wolne są zmienne 2, 3 i 4.
7
Bazą dla S są 3 wektory:
�ł łł �ł łł �ł łł
-1 -1 -1
�ł śł �ł śł �ł śł
1 0 0
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�ł 0 �ł �ł 1 �ł �ł 0 �ł
0 0 1
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 19 / 21
Macierze pierwszego rzędu
8
Przestrzeń kolumnowa macierzy A
m = 1 więc C(A) = 1 więc C(A) = R1
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 20 / 21
Macierze pierwszego rzędu
8
Przestrzeń kolumnowa macierzy A
m = 1 więc C(A) = 1 więc C(A) = R1
9
Przestrzeń zerowa AT
Jedyne rozwiązanie, które daje 0, to rozwiązanie zerowe:
N(AT ) = {0}
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 20 / 21
Macierze pierwszego rzędu
8
Przestrzeń kolumnowa macierzy A
m = 1 więc C(A) = 1 więc C(A) = R1
9
Przestrzeń zerowa AT
Jedyne rozwiązanie, które daje 0, to rozwiązanie zerowe:
N(AT ) = {0}
10
Sprawdzenie:
dimN(A) = 3
rank = 1 dimN(A) + rank = 4 = n
dimC(A) = 1 dimC(A)+dimN(AT ) = 1 = m
dimN(AT ) = 0
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 20 / 21
Koniec
Dziękuję za uwagę
Damian Kozioł i Damian Huderek Bazy macierzy i macierze pierwszego rzędu 10 grudnia 2012 21 / 21