Z6/1. Mimośrodowe działanie siły – zadanie 1

1

Z6/1.Mimośrodowe działanie siły – zadanie 1

Z6/1.1 Zadanie 1

W przekroju teowym przedstawionym na rysunku Z6/1.1 działa siła normalna o wartości +220,0 kN.

Siła ta jest przyłożona w punkcie A. Narysować wykres naprężeń normalnych w przekroju.

4

,0

20,0

28

,0

2,0

[cm]

A

Rys. Z6/1.1. Przekrój teowy obciążony mimośrodowo.

Z6/1.2 Środek ciężkości i główne momenty bezwładności przekroju teowego

Ponieważ przekrój teowy posiada jedną oś symetrii środek ciężkości znajduje się na tej osi.

Współrzędna z

C

środka ciężkości przekroju teowego wynosi zero. W celu wyznaczenia położenia środka

ciężkości teownika obieramy początkowy układ współrzędnych Y

P

Z

P

. Oś Y

P

jest osią symetrii przekroju

teowego. Przekrój teowy dzielimy na dwa prostokąty: półkę o wymiarach 20,0 cm na 4,0 cm oraz środnik o
wymiarach 28,0 cm na 2,0 cm. Rysunek Z6/1.2 przedstawia położenie środków ciężkości poszczególnych
figur składowych w układzie Y

P

Z

P

.

Środek ciężkości figury numer 1 posiada współrzędne

y

P1

=

4,0

2

=2,0 cm z

P1

=0,0 cm

.

(Z6/1.1)

Środek ciężkości figury numer 2 posiada współrzędne

y

P2

=4,0 

28,0

2

=18,0cm z

P2

=0,0 cm

.

(Z6/1.2)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z6/1. Mimośrodowe działanie siły – zadanie 1

2

10,0

10,0

20,0

4,

0

14

,0

1

4,

0

1

8,

0

Z

P

Y

0

=Y

P

sc

1

sc

2

[cm]

4,

0

28

,0

2,0

2

,0

Rys. Z6/1.2. Podział przekroju teowego na figury składowe.

Zgodnie ze wzorem (3.18) współrzędna y

C

środka ciężkości wynosi

y

C

=

20,0

⋅4,0⋅2,028,0⋅2,0⋅18,0

20,0

⋅4,028,0⋅2,0

=8,588 cm

.

(Z6/1.3)

Pole powierzchni przekroju teowego wynosi

A

=20,0⋅4,028,0⋅2,0=136,0 cm

2

.

(Z6/1.4)

Rysunek Z6/1.3 przedstawia położenie środka ciężkości przekroju teowego. Zgodnie z wzorami
transformacyjnymi (3.11) i (3.12) współrzędne środka ciężkości figury numer 1 w układzie osi środkowych
wynoszą

y

01

=2,0−8,588=−6,588cm z

01

=0,0 cm

.

(Z6/1.5)

Współrzędne środka ciężkości figury numer 2 w układzie osi środkowych wynoszą

y

02

=18,0−8,588=9,412 cm z

02

=0,0cm

.

(Z6/1.6)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z6/1. Mimośrodowe działanie siły – zadanie 1

3

10,0

10,0

20,0

4,

0

14

,0

1

4,

0

8,

5

88

Z

P

Y

0

=Y

P

sc

1

sc

2

[cm]

4,

0

28

,0

2,0

Z

0

23

,4

1

sc

Rys. Z6/1.3. Położenie środka ciężkości przekroju teowego.

10,0

10,0

20,0

4,

0

14

,0

1

4,

0

6,

58

8

Y

0

=Y

gl

sc

1

sc

2

[cm]

4,

0

28

,0

2,0

9,

41

2

sc

Z

0

=Z

gl

Z

01

Y

01

Z

02

Y

02

Rys. Z6/1.4. Współrzędne środków ciężkości figur składowych w układzie osi głównych.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z6/1. Mimośrodowe działanie siły – zadanie 1

4

Współrzędne (Z6/1.5) i (Z6/1.6) zostały pokazane na rysunku Z6/1.4. Na rysunku tym zaznaczono także fakt,
że osi środkowe Y

0

i Z

0

są także osiami głównymi, ponieważ oś Y

0

jest osią symetrii przekroju teowego, a jak

wiadomo dewiacyjny moment bezwładności w układzie, w którym jedna z osi jest osią symetrii wynosi zero.
Dewiacyjny moment bezwładności wynosi zero także w układzie osi głównych.

Zgodnie ze wzorem (3.48) moment bezwładności względem osi Y

0

=Y

gl

wynosi

I

Y0

=I

Ygl

=

4,0

⋅20,0

3

12





0,0



2

⋅20,0⋅4,0



28,0

⋅2,0

3

12





0,0



2

⋅28,0⋅2,0=2685,0 cm

4

.

(Z6/1.7)

Zgodnie ze wzorem (3.49) moment bezwładności względem osi Z

0

=Z

gl

wynosi

I

Z0

=I

Zgl

=

20,0

⋅4,0

3

12





−6,588



2

⋅20,0⋅4,0



2,0

⋅28,0

3

12





9,412



2

⋅28,0⋅2,0=12200,0 cm

4

.

(Z6/1.8)

Z6/1.3 Wykres naprężeń normalnych

σ

X

w przekroju teowym

W przypadku przekroju teowego wykres naprężeń normalnych

σ

X

najprościej jest wyznaczyć w osiach

głównych. Współrzędne punktu przyłożenia siły normalnej wynoszą

y

N

=−8,588 cm z

N

=10,0 cm

.

(Z6/1.9)

Zgodnie z wzorem (6.3) moment zginający względem osi Y=Y

gl

wynosi

M

Y

=M

Ygl

=220,0⋅10,0=2200,0 kNcm

.

(Z6/1.10)

Zgodnie z wzorem (6.4) moment zginający względem osi Z=Z

gl

wynosi

M

Z

=M

Zgl

=220,0⋅



−8,588



=−1889,0 kNcm

.

(Z6/1.11)

Naprężenia normalne

σ

X

zgodnie ze wzorem (6.54) będą wynosiły



X

=

220,0
136,0



−1889,0

12200,0

⋅y

2200,0
2685,0

⋅z

.

(Z6/1.12)

Wzór (Z6/1.12) możemy zapisać w postaci

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z6/1. Mimośrodowe działanie siły – zadanie 1

5



X

=1,618−0,1548⋅y0,8194⋅z

.

(Z6/1.13)

Równanie osi obojętnej będzie miało postać

1,618

−0,1548⋅y0,8194⋅z=0

,

(Z6/1.14)

które można przedstawić w postaci

−0,1548⋅y0,8194⋅z=−1,618

.

(Z6/1.15)

Dzieląc obustronnie równanie (Z6/1.15) przez -1,618 otrzymamy

0,09567

⋅y−0,5064⋅z=1

.

(Z6/1.16)

Postać odcinkowa osi obojętnej wynosi

y

10,45



z

−1,975

=1

(Z6/1.17)

Współrzędne odcinkowe osi obojętnej wynoszą

y

0

=10,45 cm z

0

=−1,975 cm

.

(Z6/1.18)

Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z6/1.5. Jak widać oś obojętna przechodzi przez te ćwiartki
układu osi głównych Y

gl

Z

gl

, w których nie leży siła normalna +220,0 kN. Widać na nim także, że najdalej

oddalonymi punktami od osi obojętnej są punkty A i B. Współrzędne punktu A wynoszą

y

A

=−8,588 cm z

A

=10,0 cm

.

(Z6/1.19)

Naprężenie normalne

σ

X

w punkcie A wynosi



X

A

=1,618−0,1548⋅



−8,588



0,8194⋅10,0=11,14

kN

cm

2

=111,4 MPa

.

(Z6/1.20)

Współrzędne punktu B wynoszą

y

B

=−



8,588

−4,0



=−4,588 cm z

B

=−10,0 cm

.

(Z6/1.21)

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z6/1. Mimośrodowe działanie siły – zadanie 1

6

10,0

10,0

20,0

8,

5

88

[cm]

4,

0

28

,0

23

,4

1

sc

Y

0

=Y

gl

Z

0

=Z

gl

1,975

10

,4

5

A

B

Rys. Z6/1.5. Położenie osi obojętnej w przekroju teowym mimośrodowo zginanym.

sc

Y

0

=Y

gl

Z

0

=Z

gl

A

B



X

+

11

1,4

M

P

a

-5

8,6

6 M

P

a

+

16

,1

8 M

P

a

0,0

M

P

a

Rys. Z6/1.6. Wykres naprężeń normalnych

σ

X

w przekroju teowym obciążonym mimośrodowo.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ

Z6/1. Mimośrodowe działanie siły – zadanie 1

7

Naprężenie normalne

σ

X

w punkcie B wynosi



X

B

=1,618−0,1548⋅



−4,588



0,8194⋅



−10,0



=−5,866

kN

cm

2

=−58,66 MPa

.

(Z6/1.22)

Naprężenia normalne

σ

X

w środku ciężkości wynoszą



X

sc

=

220,0
136,0

=1,618

kN

cm

2

=16,18 MPa

.

(Z6/1.23)

Wykres naprężeń normalnych

σ

X

przedstawia rysunek Z6/1.6.

Dr inż. Janusz Dębiński

BZZ