Analiza Matematyczna I ćwiczenia

Materiaªy do ¢wicze«

z Analizy Matematycznej I

2011/2012

Alfabet grecki

A α alfa B β beta

Γ γ

gamma

∆ δ

delta

E ε epsilon

Z ζ dzeta

H η eta Θ θ theta

I ι jota

K κ kappa Λ λ lambda M µ mi

N ν ni

Ξ ξ

ksi

O o omikron Π π pi

P % ro

Σ σ

sigma

T τ tau Y υ ypsilon Φ ϕ

X χ chi

Ψ ψ

psi

Ω ω

omega

Liczby rzeczywiste i ich podzbiory

1 Aksjomaty dziaªa«

wiczenie 1.1. Korzystaj¡c tylko z aksjomatów ciaªa, wykaza¢ »e

1. je±li x + y = x, to y = 0,

2. je±li x · y = x, to x = 0 lub y = 1,

3. x 6= y wtedy i tylko wtedy, gdy x + z 6= y + z,

4. je±li z 6= 0, to x 6= y wtedy i tylko wtedy, gdy x · z 6= y · z.

wiczenie 1.2. Wykaza¢, »e

2 6= 1; 2 + 2 = 4; 2 · 2 = 4; −0 = 0;

= 1;

je±li x 6= 0, to

6= 0;

je±li x 6= 0 i x 6= 1, to

6= 1.

wiczenie 1.3. Udowodni¢, »e

1. −(−x) = x,

2. (−x) + (−y) = −(x + y),

3. x · 0 = 0 · x = 0,

1
x

= x

dla x 6= 0,

5. je±li x · y = 0 to x = 0 lub y = 0 (brak dzielników zera w R),

6. −x = (−1) · x,

x
y

⇔ x · z = y · w

, gdzie y, z 6= 0,

1
y

x·y

, gdzie x, y 6= 0,

xz
yz

x
y

, gdzie y, z 6= 0,

10.

x
y

xz+yw

x
y

−

xz−yw

, gdzie y, z 6= 0,

11.

x
y

, gdzie y, z 6= 0,

x
y

, gdzie y, z, w 6= 0.

2 Aksjomaty nierówno±ci. Aksjomat ci¡gªo±ci. Moduª

wiczenie 2.1. Wykaza¢, »e

1. je±li x < y i z < w, to x + z < y + w,

2. je±li x < 0, to x 6= 0,

3. je±li x > 0, to −x < 0; je±li x < 0, to −x > 0; je±li x > 0 i y < 0, to x · y < 0; je±li x < 0 i y < 0,

to x · y > 0; je±li x > 0, to

1
x

> 0

4. je±li x < y, z < 0, to y · z < x · z.

wiczenie 2.2. Udowodni¢, »e

1. je±li x 6 y i y 6 x, to x = y,
2. je±li x > 0 i y > 0, to x · y > 0,
3. je±li x 6 y i z 6 w, to x + z 6 y + w,

4. je±li x 6= 0, to x · x 6= 0,

5. je±li 0 < x < y, to 0 <

1
y

wiczenie 2.3. Czy para zbiorów

1. A = {x ∈ R : x ≤ 1}, B = {x ∈ R : x > 1},

2. A = {1}, B = {2, 3}

jest przekrojem Dedekinda?

wiczenie

∗

2.4. Wykaza¢, »e równanie x · x = 2 ma rozwi¡zanie w zbiorze liczb rzeczywistych.

wiczenie 2.5. Udowodni¢, »e −|x| 6 x 6 |x|.

wiczenie 2.6. Udowodni¢, »e dla dowolnego a ∈ R:

1. |x| < a wtedy i tylko wtedy, gdy −a < x < a,

2. |x| > a wtedy i tylko wtedy, gdy x < −a lub x > a.

wiczenie 2.7. Udowodni¢, »e dla dowolnego a ∈ R:

1. |x| 6 a wtedy i tylko wtedy, gdy −a 6 x 6 a,

2. |x| > a wtedy i tylko wtedy, gdy x ≤ −a lub x > a.

wiczenie 2.8. Udowodni¢:

1. |x| > 0,

2. |x||y| = |xy|,

3. |

x
y

| =

|x|
|y|

, o ile y 6= 0,

4. |x + y| 6 |x| + |y|,

5. |x − y| > ||x| − |y||.

wiczenie 2.9. Rozwi¡za¢ równania:

1. |x| − |x − 1| = 2,

2. x + |2 − 3x| = 4,

3. |x − 1| + |x + 1| = x +

3
2

4. |x + 2| + |x − 1| = 3,

5. |x + |x + 1|| = 3,

6. x +

|x|

= |x|

wiczenie 2.10. Rozwi¡za¢ nierówno±ci

1. |x − 1| < 2x + 1,
2. |x − 2| < x + 2,
3. ||x − 2| − 3x| < 3,
4. |1 − 3x| − |x + 2| ≤ 1,

5. |5x − |x + 3|| ≥ 3,
6. |x| + 2x ≥ 2,
7. |x + 2| + 1 < x,
8. |2x + 1| + 1 ≥ x,

9. ||x − 1| + x| ≥ 2x + 1,

10. −3 ≤

|x+1|

x+1

|x|

|x−1|

x−1

≤ 3

3 Kresy I

wiczenie 3.1. Niech E = {x ∈ R : x > 3}. Czy zbiór E jest ograniczony z doªu, czy jest on

ograniczony z góry?

wiczenie 3.2. Udowodni¢, »e je»eli zbiór E ⊂ R posiada maksimum, to równie» posiada kres górny

i wtedy sup E = max E.

wiczenie 3.3. Udowodni¢, »e je»eli zbiór E ⊂ R posiada minimum, to równie» posiada kres dolny

i wtedy inf E = min E.

wiczenie 3.4. Poda¢ przykªady zbiorów E ⊂ R takich, »e

1. inf E = −2 i sup E = 5,

2. inf E = sup E.

wiczenie 3.5. Zbada¢, czy zbiór pusty ∅ posiada kresy.

wiczenie 3.6. Wykaza¢, »e dla przedziaªu (a, bi mamy max(a, bi = sup(a, bi = b, inf(a, bi = a oraz,

»e nie istnieje min(a, bi.

wiczenie 3.7. Je»eli zbiór E ⊂ R jest niepusty i ograniczony z góry, to inf(−E) = − sup E, gdzie
−E = {x ∈ R : −x ∈ E}.

wiczenie 3.8. Je»eli zbiór E ⊂ R jest niepusty i ograniczony, to

1. inf E 6 sup E,

2. równo±¢ inf E = sup E zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór E jest jednoelementowy.

wiczenie 3.9. Je»eli zbiory E, E

∗

⊂ R s¡ niepuste i ograniczone z góry i E ⊂ E

∗

, to sup E 6 sup E

∗

wiczenie 3.10. Je»eli zbiory E, E

∗

⊂ R s¡ niepuste i ograniczone z góry oraz dla dowolnego x ∈ E

istnieje y ∈ E

∗

, »e x 6 y, to sup E 6 sup E

∗

wiczenie 3.11.

1. Je»eli zbiór E ⊂ R jest niepusty i ograniczony z doªu, to − inf E = sup(−E).

2. Je»eli zbiory E, E

∗

⊂ R s¡ niepuste i ograniczone z doªu i E ⊂ E

∗

, to inf E

∗

6 inf E.

3. Je»eli zbiór E ⊂ R jest niepusty i ograniczony z góry i k > 0, to zbiór A = {ka : a ∈ E} posiada

kres górny i sup A = k · sup E.

4. Je»eli zbiór E ⊂ R jest niepusty i ograniczony z góry i k < 0, to zbiór B = {ka : a ∈ E} posiada

kres dolny i inf B = k · sup E.

5. Je»eli zbiór E ⊂ R jest niepusty i ograniczony z doªu i k ∈ R, to zbiór C = {k − a : a ∈ E}

posiada kres górny i sup C = k − inf E.

4 Kresy II

wiczenie 4.1.

1. Niech E ⊂ R b¦dzie zbiorem niepustym i ograniczonym z góry. Je»eli M jest

ograniczeniem górnym zbioru E, to sup E ≤ M.

2. Niech E ⊂ R b¦dzie zbiorem niepustym i ograniczonym z doªu. Je»eli m jest ograniczeniem

dolnym zbioru E, to m ≤ inf E.

wiczenie 4.2. Je»eli zbiory E, E

∗

⊂ R s¡ niepuste i ograniczone z góry oraz E + E

∗

= {x ∈ R :

∃

y∈E

∃

z∈E

∗

x = y + z}

, to sup(E + E

∗

) = sup E + sup E

∗

wiczenie 4.3. Je»eli zbiory E, E

∗

⊂ R

s¡ niepuste i ograniczone z góry oraz E · E

∗

= {x ∈ R :

∃

y∈E

∃

z∈E

∗

x = yz}

, to sup(E · E

∗

) = sup E sup E

∗

wiczenie 4.4.

1. Je»eli zbiory E, E

∗

⊂ R s¡ niepuste i ograniczone z doªu, to inf(E + E

∗

) =

inf E + inf E

∗

2. Je»eli E, E

∗

⊂ R

s¡ niepuste i ograniczone z doªu to inf(E · E

∗

) = inf E inf E

∗

3. Je»eli zbiory E, E

∗

⊂ R s¡ niepuste i ograniczone z góry, to zbiór E ∪ E

∗

posiada kres górny

i sup(E ∪ E

∗

) = max{sup E, sup E

∗

}

4. Je»eli zbiory E, E

∗

⊂ R s¡ niepuste i ograniczone z doªu, to zbiór E ∪ E

∗

posiada kres dolny

i inf(E ∪ E

∗

) = min{inf E, inf E

∗

}

wiczenie 4.5. Wyznaczy¢ o ile istniej¡ kresy nast¦puj¡cych zbiorów

1. A = {x ∈ R : x · x − 5x + 6 < 0},

2. B = {x ∈ R : |2x − 5| < 3},

3. C = {x ∈ R : 3 < |x − 1| 6 4},

4. D = {x · x − x : x ∈ R}

5. E = {|x − 1| + 3 : x ∈ R, −2 < x < 4},

6. F = {

1+|x|

: x ∈ R}.

5 Liczby naturalne. Indukcja

wiczenie 5.1. Wykaza¢, »e

∀

n∈N

∀

16k6n

n + 1

k − 1

gdzie 0! = 1,

(n − k)!k!

wiczenie 5.2. Stosuj¡c twierdzenie o indukcji matematycznej wykaza¢, »e

∀

n∈N

∀

06k6n

∈ N.

wiczenie 5.3. Niech a b¦dzie dowoln¡ liczb¡ rzeczywist¡ i niech funkcja f

: N −→ R b¦dzie

okre±lona nast¦puj¡cymi warunkami indukcyjnymi:

1. f

(1) = a

2. f

(n + 1) = f

(n) · a

, dla ka»dego n ∈ N.

Wykaza¢, »e dla ka»dego n, m ∈ N

(n + m) = f

(n) · f

(m).

Wprowadzamy oznaczenie a

= f

(n)

wiczenie 5.4. Wykaza¢, »e

1. ∀

a,b∈R

∀

n∈N

(a · b)

= a

· b

2. ∀

a∈R

∀

n,m∈N

n+m

= a

· a

3. ∀

a,b∈R

∀

n,m∈N

)

= a

4. ∀

a,b∈R

∀

n∈N

(a + b)

n
k=0

n
k

n−k

5. ∀

a,b∈R

∀

n∈N

−b

= (a−b)

n−1
k=0

n−1−k

6. ∀

0<a<b

∀

n∈N

< b

7. ∀

a>1

∀

n,m∈N,n<m

< a

wiczenie 5.5. Stosuj¡c twierdzenie o indukcji matematycznej wykaza¢, »e

1. ∀

n∈N

1 + 2 + · · · + n =

n(n+1)

2. ∀

n∈N

1·2

2·3

+ · · · +

n(n+1)

n+1

3. ∀

n∈N

+ 2

+ · · · + n

n(n+1)(2n+1)

4. ∀

n∈N

+ 2

+ · · · + n

= (1 + 2 + · · · + n)

5. ∀

n∈N

liczba 10

− 4

jest podzielna przez 6,

6. ∀

n∈N

liczba 3

4n+2

jest podzielna przez 10,

7. ∀

n∈N

liczba 3

− 1

jest podzielna przez 5,

8. ∀

n∈N

liczba n

− n

jest podzielna przez 6,

9. ∀

n∈N

liczba n

+ 2n

jest podzielna przez 3.

wiczenie 5.6. Stosuj¡c twierdzenie o indukcji matematycznej wykaza¢, »e

1. ∀

n∈N

> 2n,

2. ∀

n∈N

> 3n,

3. ∀

n>3

> n2

4. ∀

n∈N

(2n)! < 2

(n!)

5. ∀

n≥2

2(n!) <

(2n)!

n+1

6. ∀

n∈N

n! ≥ 2

n−1

7. ∀

n>2

8. ∀

n∈N

1
2

3
4

· · ·

2n−1

2n+1

9. ∀

n∈N

3
2

5
4

· · ·

2n+1

≤

9
4

10. ∀

n∈N

2
1

4
3

· · ·

2n−1

≤ 4n

11. ∀

n>3

n+1

> (n + 1)

wiczenie 5.7. Wykaza¢, »e

1. ∀

n>2

je±li y

> 0, . . . , y

> 0

i y

+ y

+ · · · + y

= n

, to y

· y

· · · y

6 1,

2. ∀

n>2

je±li x

· x

· · · x

= 1

i x

> 0, x

> 0, . . . , x

> 0

, to x

+ x

+ · · · x

> n.

3. ∀

n>2

je±li x

> 0, x

> 0, · · · , x

> 0, to x

· x

· · · x

+···+x

4. ∀

n>2

je±li x

> 0, x

> 0, . . . , x

> 0

, to

+ · · · +

n−1

> n,

5. ∀

n>2

n! 6

n+1

Wskazówka: zob. [B] str. 13

wiczenie 5.8. Udowodni¢, »e dla dowolnych liczb x

, y

∈ R, k = 1, . . . , n zachodzi nierówno±¢

k=1

2
k

k=1

Wskazówka: zob. [B] rozdz. III, zad. 58.

6 Kresy III. Podzbiory zbioru liczb rzeczywistych

wiczenie 6.1. Wyznaczy¢, o ile istniej¡, kresy nast¦puj¡cych zbiorów

1. A = {

: n ∈ N},

2. B = {

n+1

: n ∈ N},

3. C = {1 +

: n ∈ N},

4. D = {

+2n−3

n+1

: n ∈ N},

5. E = {

1+n+k

: n, k ∈ N},

6. F = {

n+k

: n, k ∈ N},

7. G = {

k
n

: n, k ∈ N, k < n},

8. H = {

1
k

: n, k ∈ N},

9. I = {

−

1
k

: n, k ∈ N},

10. J =

4n−3k
2n+5k

: k, n ∈ N

11. K = {

n−2k

n+k

: n, k ∈ N},

12. L =

2n+3k

4n+k

: k, n ∈ N

13. M = (−1, 2) ∩ Q,

14. N = (−1, 1) ∩ (R \ Q).

wiczenie

∗

6.2. Wykaza¢, »e

4n − 3k

2n + 5k

: k, n ∈ N

−

, 2

∩ Q.

wiczenie 6.3. Wyznaczy¢, o ile istniej¡, kresy nast¦puj¡cych zbiorów

1. A = {

: n ∈ N},

2. B = {

: n ∈ N},

3. C = {

: n ∈ N},

4. D = {1 +

(−1)

: n ∈ N},

5. E = {(−1)

n : n ∈ N},

6. F = {

n!k!

1+n!+k!

: n, k ∈ N},

7. G = {

: n, k ∈ N}.

wiczenie 6.4. Udowodni¢, »e

1. je±li a ∈ Z, to a ∈ N albo −a ∈ N albo a = 0,

2. Z ∩ R

= N, Z ∩ R

−

= −N,

3. dla dowolnych a, b ∈ Z mamy a + b ∈ Z, ab ∈ Z, a − b ∈ Z,

1
2

∈ Z.

wiczenie 6.5. Wykaza¢, »e 2N = {2n : n ∈ N} oraz 2N − 1 = {2n − 1 : n ∈ N}.

wiczenie 6.6. Je±li n, m ∈ N oraz nm ∈ 2N, to n ∈ 2N lub m ∈ 2N.

wiczenie 6.7. Niech x ∈ R. Udowodni¢, »e je±li dla ka»dego n ∈ N istniej¡ q, r ∈ N oraz p ∈ Z, takie

»e r > n oraz

0 <

x −

to x jest liczb¡ niewymiern¡.

wiczenie 6.8. Udowodni¢, »e je»eli x ∈ R jest liczb¡ niewymiern¡, to dla ka»dego n ∈ N istniej¡
p ∈ Z, q ∈ N, takie »e q 6 n oraz

x −

wiczenie

∗

6.9. Udowodni¢, »e je±li x ∈ R jest liczb¡ niewymiern¡, to dla ka»dego n ∈ N istniej¡

p ∈ Z, q ∈ N, takie »e q > n oraz

x −

wiczenie 6.10. Udowodni¢, »e przedziaªy

1. (0, 1) i (−1, 3)

2. (a, b) i (c, d)

s¡ równoliczne.

wiczenie

∗

6.11. Udowodni¢, »e przedziaªy (0, 1i i (0, 1) s¡ równoliczne.

wiczenie 6.12. Udowodni¢, »e w R istniej¡ kresy sup ∅ i inf ∅, i »e zachodzi nierówno±¢ sup ∅ 6 inf ∅.

Funkcje elementarne

7 Pot¦ga o wykªadniku caªkowitym, wymiernym i rzeczywistym

wiczenie 7.1. Udowodni¢, »e dla dowolnego x ∈ R, x 6= 0 i dla dowolnego a ∈ Z zachodz¡ wzory

1. x

−a

2. x · x

= x

1+a

wiczenie 7.2. Udowodni¢, »e dla dowolnych x ∈ R, x 6= 0 i dla dowolnych m, n ∈ N zachodzi wzór

m−n

wiczenie 7.3. Udowodni¢, »e dla dowolnych x, y ∈ R, x, y 6= 0 i dla dowolnych a, b ∈ Z zachodz¡

wzory

1. x

· x

= x

a+b

= x

a−b

b−a

3. x

· y

= (x · y)

= (

x
y

)

5. (x

)

= x

wiczenie 7.4.

1. Udowodni¢, »e je±li x > 0 i n ∈ N, to x > 1 wtedy i tylko wtedy, gdy x

> 1

2. Udowodni¢, »e je±li x > 1, a, b ∈ Z, to a < b wtedy i tylko wtedy, gdy x

< x

wiczenie 7.5. Udowodni¢, »e

√

x ·

√

y =

√

x · y

dla x > 0, y > 0,

1
x

√

dla x > 0,

√

x =

√

dla x > 0.

wiczenie 7.6. Je±li n ∈ 2N − 1, k ∈ 2N, to dla ka»dego x < 0,

√

x 6=

√

wiczenie 7.7. Udowodni¢, »e

√

2 ∈ R \ Q.

wiczenie 7.8. Udowodni¢, »e

√

x = x

dla x ∈ R,

2. |x| =

√

dla x ∈ R,

√

(

dla n ∈ 2N − 1

|x|

dla n ∈ 2N,

4. x

· x

= x

r+s

dla r, s ∈ Q, x > 0,

= x

r−s

s−r

dla r, s ∈ Q, x > 0,

6. x

· y

= (x · y)

dla r ∈ Q, x, y > 0,

= (

x
y

)

dla r ∈ Q, x, y > 0,

8. (x

)

= x

r·s

dla r, s ∈ Q, x > 0,

9. r < s wtedy i tylko wtedy, gdy x

< x

dla

r, s ∈ Q, x > 1,

wiczenie 7.9 (Zasada Archimedesa dla pot¦gowania). Udowodni¢, »e dla ka»dych a > 1, b ∈ R

istnieje n ∈ N, takie »e a

> b

Wskazówka: Skorzysta¢ z nierówno±ci Bernoulliego.

wiczenie 7.10. Korzystaj¡c z denicji pot¦gi o wykªadniku rzeczywistym, wykaza¢, »e dla ka»dego
x > 1

, y ∈ R i r ∈ Q

1. r < y ⇔ x

< x

2. y < r ⇔ x

< x

wiczenie 7.11. Udowodni¢, »e je±li y, z ∈ R i 0 < x < 1, to y < z wtedy i tylko wtedy, gdy x

> x

wiczenie 7.12. Udowodni¢, »e dla x > 1 i y ∈ R

= inf{x

: r ∈ Q,

r > y}.

wiczenie 7.13. Uzasadni¢, »e istniej¡ x, y ∈ R \ Q, takie »e x

∈ Q.

wiczenie

∗

7.14. Rozwa»my równanie x

= y

, gdzie x, y s¡ liczbami wymiernymi, dodatnimi, x < y.

Wówczas liczby x = 1 +

, y = 1 +

n+1

, speªniaj¡ to równanie. Uzasadni¢, »e s¡ to wszystkie

wymierne rozwi¡zania równania, takie »e x < y.

8 Funkcje elementarne

wiczenie 8.1. Je±li x > 0 to istnieje dokªadnie jedna liczba y, taka »e 2

= x

wiczenie 8.2. Udowodni¢, »e

1. log

(x · y) = log

x + log

dla a > 0, a 6= 1, x, y > 0,

2. log

) = y log

, dla a > 0, a 6= 1, x > 0,

3. log

b =

log

, dla a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 1,

4. log

x =

log

, dla a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 1, x > 0.

wiczenie 8.3. Udowodni¢, »e

1. je±li a > 1 i 0 < x < y, to log

x < log

2. je±li 0 < a < 1 i 0 < x < y, to log

x > log

wiczenie 8.4. Poda¢ przykªady funkcji f i g, takich »e f ◦ g = g ◦ f oraz f ◦ g 6= g ◦ f.

wiczenie 8.5. Wyznaczy¢ zbiór warto±ci funkcji f(x) = [

√

, x ∈ h1, 10i, gdzie symbol [a] oznacza

cz¦±¢ caªkowit¡ z liczby a.

wiczenie 8.6. Zbada¢ parzysto±¢ i okresowo±¢ funkcji f(x) = x − [x], x ∈ R.

wiczenie 8.7. Zbada¢ okresowo±¢ funkcji Dirichleta

f (x) =

(

dla x ∈ Q

dla x ∈ R \ Q

wiczenie 8.8. Omówi¢ w jaki sposób z wykresu dowolnej funkcji y = f(x) powstaje wykres funkcji
y = f (−x)

, y = −f(x), y = f(x/2), y = f(2x), y = f(|x|), y = |f(x)|.

wiczenie 8.9. Udowodni¢, »e funkcja pot¦gowa f(x) = x

dla x > 0 jest:

1. ±ci±le rosn¡ca dla α > 0,

2. ±ci±le malej¡ca dla α < 0,

3. staªa dla α = 0.

wiczenie 8.10. Rozªo»y¢ wielomian x

+ 1

na iloczyn wielomianów stopni dodatnich.

wiczenie 8.11. Niech f(x) = a

+ a

x + · · · + a

, x ∈ R. Je±li a

6= 0

, to dla ka»dego pierwiastka

∈ R wielomianu f mamy

| 6 2 max

n−k

: k = 0, . . . , n − 1

wiczenie 8.12. Liczb¦ a ∈ R nazywamy algebraiczn¡, gdy istnieje niezerowy wielomian f o wspó-

ªczynnikach wymiernych, taki »e f(a) = 0. Liczb¦, która nie jest algebraiczna nazywamy przest¦pn¡.

Udowodni¢, »e

1. istniej¡ liczby przest¦pne,

∗

zbiór liczb algebraicznych speªnia ukªady Aksjomatów I, II, III lecz nie speªnia Aksjomatu IV.

wiczenie

∗

8.13. Udowodni¢, »e ka»dy wielomian daje si¦ przedstawi¢ jako iloczyn funkcji liniowych

i kwadratowych.

wiczenie

∗

8.14. Naszkicowa¢ wykres funkcji x

w R

9 Funkcja odwrotna. Wykres funkcji

wiczenie 9.1. Wyznaczy¢, o ile istnieje, funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji:

1. f(x) =

x−3
x+1

, x ∈ (1, 3i,

2. f(x) = x +

1
x

, x ∈ h1, +∞)

3. f(x) =

1+|x|

, x ∈ R,

4. f(x) = x|x|, x ∈ R,
5. f(x) = x

+ 2x − 3

, x ∈ (−5, −2i,

6. f(x) = −x

+ x + 6, x ∈ h−3, −1)

7. f(x) = −x

+ x + 6, x ∈ h−3, 1)

8. f(x) = x

+ 4x + 1, x ∈ h−6, −4)

9. f(x) = x

− 3x

+ 3x + 27, x ∈ R,

10. f(x) = −

√

x + 1, x ∈ h0, +∞)

11. f(x) = 2 −

√

x − 4, x ∈ h4, +∞)

12. f(x) =

√

, x ∈ R,

13. f(x) =

1
2

(1 − 5

), x ∈ (−∞, 0i

14. f(x) =

, x ∈ (−∞, 1)

15. f(x) = 4

x−1

, x ∈ h0, 1)

16. f(x) = 2

x+1
x−1

, x 6= 1,

17. f(x) = log

, x 6= 0,

18. f(x) = log

(4 − x

), x ∈ (−2, 2)

19. f(x) = 1 +

log

, x ∈ h3, 9)

20. f(x) = log

x+1

, x ∈ (0, +∞)

wiczenie 9.2. Poda¢ wykresy funkcji z ¢wiczenia 9.1 oraz wykresy funkcji odwrotnych (o ile te

funkcje istniej¡).

wiczenie 9.3. Poda¢ wykresy funkcji

1. f(x) = x − [x], x ∈ R,

2. f(x) = px − [x], x ∈ R,

3. f(x) = [x] + px − [x], x ∈ R,

4. f(x) = |x| − [x], x ∈ R.

10 I kolokwium odb¦dzie si¦ w dniach 21.11.2011 − 25.11.2011.

Ci¡gi liczbowe

11 Podstawowe wªasno±ci ci¡gów liczbowych. Granice ci¡gów I

wiczenie 11.1. Udowodni¢, »e ci¡g (a

)

jest rosn¡cy (malej¡cy) wtedy i tylko wtedy, gdy a

n+1

> a

n+1

6 a

) dla ka»dego n ∈ N.

wiczenie 11.2. Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gów

1. a

= log

n+1

2. a

n+1

3. a

√

4. a

√

1 + 6

5. a

= n

− n + 1

6. a

2n+1

n+2

7. a

8. a

n!(2n)!

(3n)!

9. a

= (−1)

n 1−n

10. a

n+1

n+2

+ · · · +

11. a

+ · · · +

(n+1)!

12. ci¡gu okre±lonego warunk-

ami indukcyjnymi
a

√

, a

n+1

√

2 + a

wiczenie 11.3. Zbada¢, czy nast¦puj¡ce ci¡gi s¡ monotoniczne, ograniczone, czy posiadaj¡ kresy

oraz elementy najwi¦ksze i najmniejsze

1. a

4n+1

n+1

2. a

n−1
n+2

3. b

(−1)

4. c

= n +

5. d

6. g

log

(n)−1

log

(n)+5

7. e

1 +

8. f

1 +

n+1

wiczenie

∗

11.4. Poda¢ wzór na ci¡g Fibonacciego.

Wskazówka: Ci¡g Fibonacciego okre±lony jest warunkami indukcyjnymi: a

= 1

, a

= 1

, a

n−1

+ a

n−2

, n = 3, 4, . . . Wykaza¢, »e

√

1 +

√

−

1 −

√

wiczenie 11.5. Korzystaj¡c z denicji granicy ci¡gu wykaza¢, »e

1. lim

n→∞

2n−5

n+1

= 2

2. lim

n→∞

−n

+3n−2

4+2n

= −

1
2

3. lim

n→∞

3n+5
2n−1

3
2

4. lim

n→∞

4−n

= −1

5. lim

n→∞

−2n

−5n

= 0

6. lim

n→∞

−2n

+n−8

−2

= 3

7. lim

n→∞

= 0

8. lim

n→∞

log

(n)−1

log

(n)+5

= 1

9. lim

n→∞

3n+5
2n−1

6= −1

12 Granice ci¡gów II

wiczenie 12.1. 1. Je±li lim

n→∞

= g

i a

6 A dla prawie wszystkich n, to g 6 A.

2. Je±li lim

n→∞

= g, lim

n→∞

= g

i a

6 b

dla prawie wszystkich n, to g 6 g

wiczenie 12.2. Wykaza¢, »e je»eli a

> 0 i lim

n→∞

= a

, to lim

n→∞

√

wiczenie 12.3. Obliczy¢, o ile istniej¡, granice ci¡gów

1. lim

n→∞

+3n

−5

(n−1)(n

+2)

2. lim

n→∞

(n+1)!−n!
(n+1)!+n!

3. lim

n→∞

n +

√

n −

√

4. lim

n→∞

√

(1+(−1)

)

n+1

5. lim

n→∞

(−1)

−

6n+1

6. lim

n→∞

√

+ 5 − n

7. lim

n→∞

1+2+···+n

8. lim

n→∞

√

1+2+···+n

9. lim

n→∞

1+3+5···+(2n−1)

2+4+6+···+2n

10. lim

n→∞

1
2

+···+

1
3

+···+

11. lim

n→∞

−2

−3

12. lim

n→∞

log

(n+1)

log

(n+1)

13. lim

n→∞

√

2 · · ·

√

14. lim

n→∞

log

wiczenie 12.4. Niech (a

)

b¦dzie dowolnym ci¡giem, takim »e a

> 0

dla n ∈ N i niech

lim

n→∞

n+1

= g

. Udowodni¢, »e

1. je±li g < 1, to lim

n→∞

= 0

2. je±li g > 1, to lim

n→∞

= 0

wiczenie 12.5. Obliczy¢ granice ci¡gów

1. lim

n→∞

(2n)!

2. lim

n→∞

(n!)

(2n)!

3. lim

n→∞

wiczenie 12.6. Poda¢ przykªad ci¡gów (a

)

, (b

)

takich, »e a

− b

→ 0

oraz

→ 0

→ 2

→ +∞

nie posiada granicy.

wiczenie 12.7. Poda¢ przykªad ci¡gów rozbie»nych (a

)

i (b

)

takich, »e ci¡gi a

+ b

oraz

s¡

zbie»ne.

wiczenie 12.8. Udowodni¢, »e ka»da liczba rzeczywista jest granic¡ ci¡gu liczb wymiernych.

13 Granice ci¡gów III

wiczenie 13.1. Wykaza¢, »e ci¡g a

(n!)

(2n)!

jest monotoniczny i ograniczony. Obliczy¢ granic¦ tego

ci¡gu.

wiczenie 13.2. Wykaza¢, »e lim

n→∞

= g

wtedy i tylko wtedy, gdy lim

n→∞

n+3

= g

wiczenie 13.3. Obliczy¢ granice ci¡gów okre±lonych indukcyjnie

1. a

√

, a

n+1

√

2 + a

n ∈ N,

2. a

= 3

n+1

√

+ 6

, n ∈ N,

3. a

= 2

, a

n+1

3+a

n ∈ N,

4. a

= 2

, a

n+1

1+a

n ∈ N,

5. a

√

, a

n+1

1
2

)

n ∈ N

6. a

= x

, a

n+1

= a

(2 − a

)

n ∈ N,

∈ (0, 1)

wiczenie 13.4. Niech a > b > 0. Udowodni¢, »e dla ci¡gów okre±lonych indukcyjnie: a

:= a, b

b, a

n+1

, b

n+1

√

mamy lim

n→∞

= lim

n→∞

wiczenie 13.5. Niech E b¦dzie niepustym i ograniczonym z góry zbiorem w R. Udowodni¢, »e liczba
M

jest kresem górnym E wtedy i tylko wtedy, gdy

1. x 6 M dla ka»dego x ∈ E.

2. Istnieje ci¡g (a

)

, a

∈ E,

»e lim

n→∞

= M.

wiczenie

∗

13.6. Niech (a

)

b¦dzie dowolnym ci¡giem. Udowodni¢, »e

1. Je±li lim

n→∞

= g

, to lim

n→∞

+...+a

= g.

2. Je±li lim

n→∞

n+1

− a

) = g

, to lim

n→∞

= g.

Wskazówka: zob. [Ki] str. 35

wiczenie

∗

13.7. Niech (a

)

b¦dzie dowolnym ci¡giem takim, »e a

> 0

dla n ∈ N. Udowodni¢, »e

1. Je±li lim

n→∞

= g

, to lim

n→∞

√

· · · a

= g.

2. Je±li lim

n→∞

n+1

= g

, to lim

n→∞

√

= g.

Wskazówka: zob. [Ki] str. 36

14 Podci¡gi. Granice ci¡gów IV

wiczenie 14.1. Wykaza¢, »e nie istnieje granica ci¡gu

+ (−1)

wiczenie 14.2. Poda¢ przykªad ci¡gu

1. zbie»nego do 2,

2. posiadaj¡cego dwa podci¡gi zbie»ne do ró»nych granic,

3. posiadaj¡cego trzy podci¡gi zbie»ne do ró»nych granic,

4. posiadaj¡cego niesko«czenie wiele podci¡gów zbie»nych do ró»nych granic.

wiczenie 14.3. Dany jest ci¡g (a

)

, taki »e lim

n→∞

= g

i lim

n→∞

2n+1

= g

. Wykaza¢, »e

lim

n→∞

= g

wiczenie 14.4. Udowodni¢, »e je±li dla ci¡gu (a

)

zbie»ne s¡ podci¡gi (a

), (a

2n+1

)

, to

zbie»ny jest ci¡g (a

)

wiczenie 14.5. Czy ze zbie»no±ci wszystkich podci¡gów ci¡gu (a

)

postaci (a

)

, s > 1 wynika

zbie»no±¢ ci¡gu (a

)

wiczenie 14.6. Udowodni¢, »e je±li ci¡g (a

)

jest ograniczony i je»eli wszystkie jego podci¡gi zbie»ne

s¡ zbie»ne do tej samej granicy, to ci¡g (a

)

równie» jest zbie»ny do tej granicy.

wiczenie 14.7. Dany jest ci¡g (a

)

, a

= n

, n ∈ N oraz ci¡gi m

= (2 + (−1)

i l

= k + (−1)

k+1

Czy ci¡gi (a

)

k∈N

oraz (a

)

k∈N

s¡ podci¡gami ci¡gu (a

)

n∈N

wiczenie 14.8. Czy zbie»ny jest ci¡g

1. a

= 1 +

(−1)

2. a

[

√

2n]

3. a

2+(−1)

4. a

(n+(−1)

)(−1)

5. a

((−1)

n+1)(−1)

wiczenie 14.9. Obliczy¢, o ile istniej¡, granice ci¡gów

1. lim

n→∞

(

1
2

)

+ (

3
4

)

2. lim

n→∞

√

+ n + 5

3. lim

n→∞

√

− 3 · 2

+ 3

4. lim

n→∞

√

2 · 5

− 3 · 2

5. lim

n→∞

√

+ 5

− 3

n+2

6. lim

n→∞

1 + 2

7. lim

n→∞

1
2

2
3

3
4

+ · · · +

n+1

8. lim

n→∞

√

+ 1

9. lim

n→∞

log

+1)

log

+1)

10. lim

n→∞

3n+(−1)

5n+1

11. lim

n→∞

√

+ · · · +

√

12. lim

n→∞

(n+1)!

(n+2)1

+ · · · +

(2n)!

13. lim

n→∞

14. lim

n→∞

1
2

3
4

· · ·

2n−1

15. lim

n→∞

[nx]

, x ∈ R,

16. lim

n→∞

]

, gdzie symbol [x] oznacza

cz¦±¢ caªkowit¡ z liczby x,

15 Granice niewªa±ciwe. Ci¡gi Cauchy'ego

wiczenie 15.1. Korzystaj¡c z denicji granicy niewªa±ciwej ci¡gu wykaza¢, »e

1. lim

n→∞

= +∞

2. lim

n→∞

3n−1

= +∞

3. lim

n→∞

+2n

+3n+5

= +∞

4. lim

n→∞

√

− n + 3 = +∞

5. lim

n→∞

−13n

+5n−2

+2n−5

= +∞

6. lim

n→∞

(5 − 2

) = −∞

7. lim

n→∞

log

= −∞

8. lim

n→∞

log

1
2

n = −∞

9. lim

n→∞

n−n

2n+1

= −∞

10. lim

n→∞

1−3n

= −∞

wiczenie 15.2. Poda¢ przykªady ci¡gów a

, b

→ +∞

takich, »e

1. a

− b

→ 2

2. a

− b

→ +∞

→ 2

→ 0

wiczenie 15.3. 1. Udowodni¢, »e z dowolnego nieograniczonego ci¡gu (a

)

mo»na wybra¢ podci¡g

posiadaj¡cy granic¦ niewªa±ciw¡.

2. Udowodni¢, »e z dowolnego ci¡gu (a

)

mo»na wybra¢ podci¡g posiadaj¡cy granic¦ wªa±ciw¡ lub

niewªa±ciw¡.

3. Udowodni¢, »e je±li ci¡g (a

)

jest ograniczony i nie jest zbie»ny, to istniej¡ dwa jego podci¡gi

zbie»ne do ró»nych granic.

wiczenie 15.4. Je±li ci¡g (a

)

jest zbie»ny do g oraz ci¡g liczb naturalnych (m

)

k∈N

jest zbie»ny do

+∞

, to równie» lim

k→∞

= g.

wiczenie 15.5. Udowodni¢, »e je±li lim

n→∞

= +∞

, a ci¡g (b

)

jest ograniczony z doªu, to

lim

n→∞

+ b

) = +∞.

wiczenie 15.6. Udowodni¢, »e je±li lim

n→∞

= +∞

, oraz a

6 b

dla prawie wszystkich n, to

lim

n→∞

= +∞.

wiczenie 15.7. Udowodni¢, »e

1. je±li lim

n→∞

= a

, a > 0 oraz lim

n→∞

= +∞

, to lim

n→∞

= +∞

2. je±li lim

n→∞

= −∞

oraz lim

n→∞

= +∞

, to lim

n→∞

= −∞

wiczenie 15.8. Obliczy¢, o ile istniej¡, granice ci¡gów

1. lim

n→∞

(n −

√

2. lim

n→∞

+ (−1)

· n)

3. lim

n→∞

− 6

− 5

)

4. lim

n→∞

(1 +

√

+ · · · +

√

)

5. lim

n→∞

(2n+1)3

n(2

+1)

6. lim

n→∞

√

[

√

+1]

gdzie symbol [x] oznacza

cz¦±¢ caªkowit¡ z liczby x,

7. lim

n→∞

√

8. lim

n→∞

√

wiczenie 15.9. Udowodni¢, »e ci¡g (a

)

jest ci¡giem Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolnego ε > 0 istnieje liczba naturalna n

, taka »e dla dowolnego m > n

zachodzi nierówno±¢

− a

| < ε.

wiczenie 15.10. Udowodni¢, »e je±li (a

)

jest ci¡giem Cauchy'ego, to (a

n+1

− a

) → 0

, gdy n → ∞.

wiczenie 15.11. Poda¢ przykªad ci¡gu (a

)

nie b¦d¡cego ci¡giem Cauchy'ego i takiego, »e

n+1

− a

→ 0

wiczenie 15.12. Wykaza¢ zbie»no±¢ ci¡gu

= 1 +

+ · · · +

16 Liczba e. Granica dolna i górna.

wiczenie 16.1. Obliczy¢, o ile istniej¡, granice ci¡gów

1. lim

n→∞

2. lim

n→∞

3. lim

n→∞

1 −

−n+3

4. lim

n→∞

3n−4
3n+1

2n+1

5. lim

n→∞

5n−(−1)

·7

5n+2

6. lim

n→∞

n−5
n+3

7. lim

n→∞

8. lim

n→∞

1 +

2n+3

9. lim

n→∞

4n+1

10. lim

n→∞

(n+1)

2n2+4n

+2n)

n2+2n

wiczenie 16.2. Wykaza¢, »e dla ka»dego n ∈ N

< n! < e ·

wiczenie 16.3. Udowodni¢, »e:

1. lim sup

n→∞

= inf{x ∈ R : dla prawie wszystkich n, a

6 x}.

2. lim inf

n→∞

= sup{x ∈ R : dla prawie wszystkich n, a

> x}.

wiczenie 16.4. Niech (a

)

n∈N

b¦dzie ci¡giem liczbowym. Wówczas

1. lim sup

n→∞

= inf{sup{a

: k > n} : n ∈ N},

2. lim inf

n→∞

= sup{inf{a

: k > n} : n ∈ N}.

wiczenie 16.5. Obliczy¢ granic¦ górn¡ i doln¡ nast¦puj¡cych ci¡gów

1. a

= 1 + 2 · (−1)

n+1

+ 3 · (−1)

n(n−1)

2. a

1 +

(−1)

3. a

−

4. a

−

5. a

1 + 2

n(−1)

6. a

√

n − [

√

∗

= nr − [nr]

, r ∈ Q,

∗

= nr − [nr]

, r ∈ R \ Q.

17 Punkty skupienia

wiczenie 17.1. Udowodni¢, »e punkt x

jest punktem skupienia zbioru E wtedy i tylko wtedy, gdy

w dowolnym przedziale otwartym zawieraj¡cym x

le»y niesko«czenie wiele punktów zbioru E.

wiczenie 17.2. Zbiór E ⊂ R nazywamy domkni¦tym , gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.

Udowodni¢, »e zbiór punktów skupienia dowolnego zbioru E jest zbiorem domkni¦tym.

wiczenie 17.3. Niech dany b¦dzie ci¡g ró»nowarto±ciowy (a

)

n∈N

. Poªó»my X = {a

: n ∈ N}.

Udowodni¢, »e E jest zbiorem punktów skupienia zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy E jest zbiorem

granic cz¦±ciowych ci¡gu (a

)

n∈N

wiczenie 17.4. Znale¹¢ punkty skupienia nast¦puj¡cych zbiorów

1. E = {

(−1)

: n ∈ N},

2. E = {(−1)

2n+1

: n ∈ N},

3. E = {

: n ∈ N},

4. E = {

(−2)

: n ∈ N},

5. E = {(−1)

(1 +

) : n ∈ N},

6. E = {

4+(−1)

n+1

: n ∈ N},

7. E = {

3n+2
5n+1

: n ∈ N},

8. E = {

1−(−1)

: n ∈ N},

9. E = {x ∈ R : 1 < x 6 2},

10. E = {1 +

: n ∈ N},

11. E = {

3n−2

n+2

: n ∈ N},

12. E = {

2n+4m

: n, m ∈ N},

13. E =

3m−2k

4m+k

: m, k ∈ N

wiczenie 17.5. Wykaza¢, »e dla zbioru E »aden punkt z przedziaªu I nie jest punktem skupienia

zbioru E

1. E = {(−1)

3n+1

n−1

: n ∈ N \ {1}},

I = (4, +∞)

2. E = {(−1)

5n+1

: n ∈ N},

I = (6, +∞)

3. E = {(−1)

3n+1

: n ∈ N},

I = (2, 4)

wiczenie 17.6. Wykaza¢, »e

√

jest punktem skupienia zbioru E = {(−

√

2, 2) ∩ Q}

2. 1 jest punktem skupienia zbioru E = {(−

√

2, 2) ∩ (R \ Q)}.

wiczenie 17.7. Zbada¢, który z punktów x

∈ {0, 1,

1
2

, 3}

jest punktem skupienia przedziaªu (0, 1).

wiczenie 17.8. Czy nast¦puj¡ce zbiory mog¡ by¢ zbiorami granic cz¦±ciowych pewnego ci¡gu liczbowego

1. odcinek [0, 1],

2. odcinek (0, 1),

3. zbiór liczb wymiernych Q.

Szeregi liczbowe

18 Szeregi liczbowe, podstawowe wªasno±ci

wiczenie 18.1. Udowodni¢, »e przykªadami szeregów rozbie»nych, lecz speªniaj¡cych warunek konieczny

zbie»no±ci szeregów s¡

∞

n=1

ln(1 +

)

∞

n=1

√

wiczenie 18.2. Poda¢ trzy inne dowody rozbie»no±ci szeregu harmonicznego, korzystaj¡c z nast¦pu-

j¡cych wskazówek:

1. Korzystaj¡c z nierówno±ci (1 +

)

< e

uzasadni¢, »e ln(1 +

) <

dla n ∈ N i skorzysta¢ z

¢wiczenia 18.1.

2. Zauwa»y¢, »e lim

n→∞

ln(1+

)

= 1.

3. Przypu±ci¢, »e szereg harmoniczny jest zbie»ny do A i rozwa»y¢ wtedy szeregi P

∞
n=1

2n−1

równie» wtedy zbie»ne do pewnych liczb B i C. Wykaza¢, »e wtedy A = B + C

i 2B = A, co daje B = C. Nast¦pnie wykaza¢, »e ostatnia równo±¢ jest niemo»liwa.

wiczenie 18.3. Znale¹¢, o ile istniej¡, sumy nast¦puj¡cych szeregów

1. P

∞
n=1

2. P

∞
n=1

10n+1

3. P

∞
n=1

n(n+1)

4. P

∞
n=1

n(n+1)(n+2)

5. P

∞
n=1

+n+1

n(n+1)

6. P

∞
n=1

(2n−1)

(2n+1)

7. P

∞
n=1

8. P

∞
n=1

(−1)

9. P

∞
n=1

(

√

n + 1 −

√

10. P

∞
n=1

√

n(n+1)(

√

n+1)

11. P

∞
n=1

(

√

n + 2 − 2

√

n + 1 +

√

wiczenie 18.4. Zamieni¢ uªamek okresowy 1, 3(27) na uªamek zwykªy.

19 Kryteria zbie»no±ci szeregów

(porównawcze, graniczne, Cauchy'ego, d'Alemberta)

wiczenie 19.1. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych szeregów

1. P

∞
n=1

−n+

√

2. P

∞
n=1

√

n+1−

√

3. P

∞
n=1

1+n

4. P

∞
n=1

5. P

∞
n=1

(

− ln

n+1

)

6. P

∞
n=1

(1 +

)

7. P

∞
n=1

n−1

8. P

∞
n=1

1+ 1

9. P

∞
n=1

ln n

10. P

∞
n=1

11. P

∞
n=1

(2n)!

12. P

∞
n=1

(2n)!
(n!)

13. P

∞
n=1

(2+

)

14. P

∞
n=1

n−1

15. P

∞
n=1

16. P

∞
n=1

√

n−n)

17. P

∞
n=1

√

(2n−1)(2n+1)

18. P

∞
n=1

−4n+5

19. P

∞
n=1

√

20. P

∞
n=1

√

21. P

∞
n=2

(ln n)

ln n

22. P

∞
n=2

n(ln n)

23. P

∞
n=1

a+bn

, a, b, s > 0.

Wskazówka. Do przykªadu 5. oraz 6. skorzysta¢ z nierówno±ci

n+1

< ln(1 +

) <

wiczenie 19.2. Wykaza¢, »e dla szeregu P

∞
n=1

(−1)

−n

kryterium d'Alemberta nie rozstrzyga zbie-

»no±ci, za± kryterium Cauchy'ego rozstrzyga.

wiczenie 19.3. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych szeregów

1. P

∞
n=1

(

√

n − 1)

2. P

∞
n=1

3. P

∞
n=1

n−1
n+1

n(n−1)

4. P

∞
n=1

5. P

∞
n=1

(n!)

(2n)!

6. P

∞
n=1

(n+1)!

7. P

∞
n=1

1·3···(2n−1)

8. P

∞
n=1

1+x

x > 0,

∗

∞
n=1

1 −

ln n

20 Szeregi o wyrazach dowolnych. Mno»enie szeregów

wiczenie 20.1. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych szeregów

1. P

∞
n=1

(−1)

n (1−n

)

2. P

∞
n=1

(−1)

n+1

3. P

∞
n=1

(−1)

n+1

n(n+1)

4. P

∞
n=1

(−1)

n+1

n ln(n+1)

5. P

∞
n=1

(−1)

n 1+n

6. P

∞
n=2

(−1)

n−1

7. P

∞
n=1

(−1)

(

√

3 − 1),

8. P

∞
n=1

(−1)

n ln n

9. P

∞
n=1

(−1)

n 2+(−1)

10. P

∞
n=1

(−1)

n 2+(−1)

11. P

∞
n=1

(−1)

n−(−1)

√

12. P

∞
n=2

(−1)

√

n+(−1)

13. P

∞
n=1

(−1)

n+1

14. P

∞
n=1

(−1)

n (n+1)

n+1

15. P

∞
n=1

a ∈ R,

16. P

∞
n=1

α 6= 0,

∗

∞
n=1

(−1)

[log

n] 1

∗

∞
n=1

(−1)

[

√

Wskazówka. Do przykªadu 15. skorzysta¢ z nierówno±ci

< n! < e

wiczenie 20.2. Wykaza¢, »e je»eli szereg P

∞
n=1

jest zbie»ny, to zbie»ny jest szereg P

∞
n=1

wiczenie 20.3. Wykaza¢, »e je»eli szereg P

∞
n=1

o wyrazach dodatnich jest zbie»ny, to szereg

∞
n=1

jest zbie»ny.

wiczenie 20.4. Poda¢ przykªad ci¡gu (a

)

n∈N

takiego, »e szereg P

∞
n=1

jest zbie»ny za± szereg

∞
n=1

jest rozbie»ny.

wiczenie 20.5. Wykaza¢, »e je»eli szereg P

∞
n=1

o wyrazach dodatnich jest zbie»ny, to szereg

∞
n=1

1+a

jest zbie»ny.

wiczenie 20.6. Wykaza¢, »e je±li szereg P

∞
n=1

o wyrazach dodatnich jest zbie»ny, to szereg

∞
n=1

ln(1 + a

)

równie» jest zbie»ny.

wiczenie 20.7.

1. Wykaza¢, »e je±li ci¡g (a

)

o wyrazach dodatnich jest ograniczony, to szereg

∞
n=1

jest rozbie»ny.

2. Wykaza¢, »e szereg P

∞
n=1

√

jest rozbie»ny.

wiczenie 20.8. Dany jest szereg zbie»ny P

∞
n=1

o wyrazach dodatnich. Niech S

b¦dzie ciagiem

sum cze±ciowych tego szeregu. Wykaza¢, »e szereg P

∞
n=1

jest zbie»ny.

wiczenie 20.9. Wykaza¢, ze je»eli szereg P

∞
n=1

jest bezwzgl¦dnie zbie»ny a ci¡g (b

)

ograniczony,

to P

∞
n=1

jest bezwzgl¦dnie zbie»ny.

wiczenie

∗

20.10. Udowodni¢, »e je»eli szereg P

∞
n=1

jest warunkowo zbie»ny, to istnieje szereg

∞
n=1

ró»ni¡cy si¦ od pierwszego porz¡dkiem wyrazów taki, »e jego suma jest dowoln¡, z góry

ustalon¡ liczb¡ rzeczywist¡ ˜

wiczenie 20.11. Udowodni¢, »e iloczyn Cauchy'ego dwóch szeregów zbie»nych nie musi by¢ sz-

eregiem zbie»nym. Zauwa»y¢, »e szereg P

∞
n=0

(−1)

√

n+1

jest zbie»ny na mocy kryterium Leibniza, lecz

pomno»ony przez siebie w sensie Cauchy'ego daje w wyniku szereg rozbie»ny.

wiczenie 20.12. Udowodni¢, »e dla | q |< 1 mamy P

∞
n=1

n−1

(1−q)

Wskazówka. Wymno»y¢ przez siebie szereg P

∞
n=0

wiczenie 20.13. Wykaza¢, »e dla ka»dego x ∈ R

∞

k=0

∞

k=0

(−x)

= 1.

wiczenie 20.14. Wykaza¢, »e je±li α + β < 1, α > 0, β > 0, to iloczyn Cauchy'ego szeregów

∞
n=0

(−1)

(n+1)

, P

∞
n=0

(−1)

(n+1)

jest rozbie»ny.

wiczenie 20.15. Dane s¡ szeregi rozbie»ne P

∞
n=1

, P

∞
n=1

, gdzie

(

dla n = 1

−

3
2

n−1

dla n 6= 1

oraz

n−2

n−1

Wykaza¢, »e iloczyn Cauchy'ego szeregów P

∞
n=1

i P

∞
n=1

jest zbie»ny.

21 Szeregi pot¦gowe

wiczenie 21.1. Okre±li¢ promie« i przedziaª zbie»no±ci nast¦puj¡cych szeregów pot¦gowych.

W szczególno±ci zbada¢ ich zachowanie na kra«cach przedziaªu zbie»no±ci.

1. P

∞
n=1

2. P

∞
n=1

n!x

3. P

∞
n=1

4. P

∞
n=1

, p ∈ R,

5. P

∞
n=1

n+1

6. P

∞
n=1

(1 +

)

7. P

∞
n=1

(n!)

(2n)!

8. P

∞
n=1

(−1)

(

)

9. P

∞
n=1

10. P

∞
n=1

11. P

∞
n=1

n!x

12. P

∞
n=1

n10

n−1

13. P

∞
n=1

(n+1)

14. P

∞
n=1

(x − 2)

15. P

∞
n=1

1+3

16. P

∞
n=1

n+1

(x + 1)

Wskazówka: Do przykªadu 8. skorzysta¢ ze wzoru Stirlinga: n! =

√

2πn(

)

12n

0 < θ < 1,

lim

n→∞

√

2πnn

−n

= 1

, ([F], p.406) i nierówno±ci (

)

< n! < e(

)

wiczenie 21.2. Korzystaj¡c z teorii szeregów pot¦gowych poda¢ zbiory, w których podane szeregi

s¡ zbie»ne

1. P

∞
n=1

1
3

(2x + 10)

2. P

∞
n=1

(6 − 3x)

3. P

∞
n=0

(1 − x)

4. P

∞
n=1

22 Funkcje trygonometryczne

wiczenie 22.1. Obliczy¢, o ile istniej¡, nast¦puj¡ce granice

1. lim

n→∞

1−cos

sin

2. lim

n→∞

sin

n+4n

3n−1

3. lim

n→∞

(5+cos n)

4. lim

n→∞

1 + sin

∗

lim

n→∞

1 +

cos nπ

∗

lim

n→∞

cos(π

√

7. lim

n→∞

sin

√

n+1

sin

√

8. lim

n→∞

√

n cos(n+1)

n+1

9. lim

n→∞

sin n

wiczenie 22.2. Wykaza¢ zbie»no±¢ ci¡gu a

sin 1

sin 2

+ · · · +

sin n

wiczenie 22.3. Zbada¢ zbie»no±¢ nast¦puj¡cych szeregów

1. P

∞
n=1

cos

n+2

2. P

∞
n=1

cos sin

3. P

∞
n=1

sin

4. P

∞
n=1

sin

x
n

x ∈ (0, 1)

5. P

∞
n=1

sin

cos

6. P

∞
n=1

2 1

7. P

∞
n=1

√

8. P

∞
n=1

sin

9. P

∞
n=1

(

sin

1
2

)

10. P

∞
n=1

cos n

11. P

∞
n=1

2+cos n!

√

12. P

∞
n=1

1 − cos

13. P

∞
n=1

sin

√

2n+1

4n+1

14. P

∞
n=1

sin

15. P

∞
n=1

sin n

Wskazówka: Do dwóch ostatnich przykªadów skorzysta¢ ze wzorów:

k=1

sin kx =

sin

n+1

x sin

sin

x
2

k=1

cos kx =

cos

n+1

x sin

sin

x
2

o ile sin

6= 0.

wiczenie 22.4. Udowodni¢, »e je±li szereg P

∞
n=1

jest zbie»ny, to szereg P

∞
n=1

cos a

jest rozbie»ny.

wiczenie 22.5. Udowodni¢, »e je±li szereg P

∞
n=1

o wyrazach dodatnich jest zbie»ny, to szeregi

∞
n=1

sin a

, P

∞
n=1

sin 3a

oraz P

∞
n=1

tg a

s¡ zbie»ne.

wiczenie 22.6. Udowodni¢, »e je±li szereg P

∞
n=1

o wyrazach dodatnich jest zbie»ny, to szereg

∞
n=1

sin(na

)

nie musi by¢ zbie»ny.

wiczenie

∗

22.7. Udowodni¢, »e funkcja f(x) := lim

n→∞

(lim

k→∞

(cos n!πx)

), x ∈ R, jest funkcj¡

Dirichleta.

wiczenie

∗

22.8.

1. Udowodni¢, »e ci¡g (sin n)

n∈N

nie ma granicy.

2. Udowodni¢, »e ci¡g (sin nx)

n∈N

nie ma granicy dla x 6= kπ, k ∈ Z.

Wskazówka: zob. [B]

Funkcje ci¡gªe

23 Granica funkcji I

wiczenie 23.1. Poda¢ przykªad funkcji f : R → R takiej, »e

1. lim

x→0

f (x) = 3

2. lim

x→−1

f (x) = 2

3. lim

x→3

f (x) = −

1
2

wiczenie 23.2. Korzystaj¡c z denicji granicy funkcji w sensie Cauchy'ego wykaza¢, »e

1. lim

x→2

3x = 6

2. lim

x→3

= 9

3. lim

x→4

3
4

4. lim

x→4

x−3
x+2

1
6

5. lim

x→0

+3x+1

x−1

= −1

6. lim

x→1

x+2

= 2

7. lim

x→2

−4

x−2

= 4

8. lim

x→−1

−3x

−4

= −2

9. lim

x→−2

x+3
x−5

= −

1
7

wiczenie 23.3. Udowodni¢, twierdzenie o dziaªaniach arytmetycznych na granicach i twierdzenie

o granicach trzech funkcji.

wiczenie 23.4. Niech f, g : E → R i x

b¦dzie punktem skupienia zbioru E. Je±li zachodzi nierówno±¢

f (x) 6 g(x)

dla x ∈ E \ {x

}

oraz lim

x→x

f (x) = a

i lim

x→x

g(x) = b

, to a 6 b.

wiczenie 23.5. Niech f : E → R i x

b¦dzie punktem skupienia zbioru E. Je±li lim

x→x

f (x) = g

i λ > g, to istnieje przedziaª (a, b), taki »e x

∈ (a, b)

i f(x) < λ dla x ∈ (a, b) ∩ E i x 6= x

wiczenie 23.6. Udowodni¢, »e je±li f : E → R, x

∈ E

jest punktem skupienia zbioru E

i lim

x→x

|f (x)| = 0,

to lim

x→x

f (x) = 0.

wiczenie 23.7. Poda¢ przykªad funkcji f : R → R takiej, »e

1. lim

x→3

f (x) = +∞

2. lim

x→1

−

f (x) = −∞

3. lim

x→−2

f (x) = +∞

wiczenie 23.8. Korzystaj¡c z denicji granicy niewªa±ciwej w sensie Cauchy'ego wykaza¢, »e

1. lim

x→0

= +∞

2. lim

x→2

x+5
x−2

= +∞

3. lim

x→2

−

x+5
x−2

= −∞

4. lim

x→2

−x

+x−2

−4x+4

= +∞

5. lim

x→2

−

−x

+x−2

−4x+4

= +∞

6. lim

x→0

√

x+1−1

= +∞

7. lim

x→0

1 +

= +∞

wiczenie 23.9. Poda¢ denicj¦ Heinego granicy niewªa±ciwej funkcji w punkcie i udowodni¢ jej

równowa»no±¢ z denicj¡ Cauchy'ego.

24 Granica funkcji II

wiczenie 24.1. Poda¢ przykªad funkcji f : R → R takiej, »e

1. lim

x→−∞

f (x) = 1

2. lim

x→+∞

f (x) = −3

3. lim

x→+∞

f (x) =

3
4

wiczenie 24.2. Korzystaj¡c z denicji granicy w +∞ b¡d¹ w −∞ w sensie Cauchy'ego wykaza¢, »e

1. lim

x→+∞

−4x+1

−x

= 2

2. lim

x→−∞

−4x+1

−x

= 2

3. lim

x→+∞

−3

5
3

4. lim

x→−∞

cos

1
x

= 1

wiczenie 24.3. Poda¢ denicj¦ Heinego granicy funkcji w +∞ i −∞ i udowodni¢ jej równowa»no±¢

z denicj¡ Cauchy'ego.

wiczenie 24.4. Udowodni¢, »e je±li f : (a, b) → R jest funkcj¡ rosn¡c¡ i ograniczon¡ z góry, to

istnieje lim

x→b

−

f (x).

wiczenie 24.5. Niech f : (a, +∞) → R, a ∈ R, b¦dzie dowoln¡ funkcj¡. Je±li funkcja f jest rosn¡ca

i ograniczona z góry, to f ma granic¦ w punkcie +∞.

wiczenie 24.6. Poda¢ przykªad funkcji f : R → R takiej, »e

1. lim

x→−∞

f (x) = +∞

2. lim

x→−∞

f (x) = −∞

3. lim

x→+∞

f (x) = −∞

4. lim

x→+∞

f (x) = +∞

wiczenie 24.7. Korzystaj¡c z denicji granicy niewªa±ciwej w +∞, b¡d¹ w −∞ w sensie Cauchy'ego

wykaza¢, »e

1. lim

x→+∞

x−1

= +∞

2. lim

x→−∞

1−x

−1

= −∞

3. lim

x→−∞

√

1 − x = +∞

wiczenie 24.8. Poda¢ denicj¦ Heinego granicy niewªa±ciwej funkcji w +∞ i −∞ i udowodni¢ jej

równowa»no±¢ z denicj¡ Cauchy'ego.

wiczenie 24.9. Sformuªowa¢ i udowodni¢ twierdzenie, analogiczne do twierdzenia o granicach trzech

funkcji w przypadku granic niesko«czonych.

25 Granica funkcji III

wiczenie 25.1. Obliczy¢, o ile istniej¡, nast¦puj¡ce granice funkcji

1. lim

x→0

sin x

2. lim

x→a

sin x

, a ∈ R,

3. lim

x→+∞

sin x

wiczenie 25.2. Obliczy¢ granice funkcji (o ile istniej¡):

1. lim

x→0

sin 3x

2. lim

x→0

tg 5x

3. lim

x→

cos x−sin x

cos 2x

4. lim

x→

−

cos x

ctg x

5. lim

x→

cos x

x−

6. lim

x→0

√

cos x−1

7. lim

x→0

√

1−cos x

sin x

8. lim

x→0

sin

1−cos x

9. lim

x→+∞

+sin x

−cos x

10. lim

x→0

sin x

|5x|

11. lim

x→0

sin 5x−sin 7x

12. lim

x→+∞

√

x · sin(

√

x + 1 −

√

13. lim

x→10

√

x−10

√

x−10

14. lim

x→0

√

1+mx−1

, m ∈ R,

15. lim

x→2

√

x−1−

√

−3

x−2

16. lim

x→0

1 −

√

1 + x

17. lim

x→0

−9

−3

18. lim

x→0

−1

19. lim

x→0

1
x

20. lim

x→1

−

1−x2

21. lim

x→1

1−x2

22. lim

x→0

ln(1+x)

23. lim

x→0

−1

24. lim

x→2

−x

x−2

25. lim

x→0

1−e

tg x

26. lim

x→10

log x−1

x−10

27. lim

x→+∞

ln(1+e

)

28. lim

x→+∞

ln(2+e

)

ln(3+e

)

29. lim

x→0

(x+1)

−1

, n ∈ N,

30. lim

x→1

x+x

+···+x

−n

x−1

, n ∈ N,

31. lim

x→0

(1+x)(1+2x)···(1+nx)−1

, n ∈ N,

32. lim

x→0

−

1
x

33. lim

x→0

1
x

34. lim

x→+∞

[3x]

[x]

35. lim

x→0

(1 + sin x)

1
x

36. lim

x→0

(cos x)

1
x

37. lim

x→0

(cos x)

38. lim

x→+∞

x(x −

√

− 1)

39. lim

x→−∞

(x +

√

− 3x)

40. lim

x→+∞

(

√

x + 3 −

√

x + 1)

41. lim

x→+∞

(x −

√

+ x)

42. lim

x→−∞

(x +

√

+ x)

43. lim

x→−∞

√

44. lim

x→+∞

x sin

45. lim

x→0

x sin

1
x

46. lim

x→0

sin

1
x

47. lim

x→1

cos

x−1

48. lim

x→+∞

cos x

49. lim

x→π

ctg x

50. lim

x→+∞

3x−4
3x+2

x+1

51. lim

x→+∞

x+1
x−2

2x−1

26 Ci¡gªo±¢ w sensie Cauchy'ego i Heinego

wiczenie 26.1. Korzystaj¡c z denicji ci¡gªo±ci funkcji w sensie Cauchy'ego wykaza¢, »e funkcja
f

jest ci¡gªa w punkcie x

1. f(x) = x

− 2x

, x

= 0

2. f(x) =

x−1

, x

= 2

3. f(x) =

, x

= 1

4. f(x) =

√

, x

= 4

5. f(x) =

−x

x−2

, x

= 3

6. f(x) =

−x

−3x+6

, x

= 1

wiczenie 26.2. Udowodni¢, »e funkcja warto±¢ bezwzgl¦dna |·| : R → R jest ci¡gªa.

wiczenie 26.3.
Udowodni¢, »e je±li funkcja f : E → R jest ci¡gªa w punkcie x

∈ E,

to istnieje przedziaª otwarty P

zawieraj¡cy punkt x

, taki »e funkcja f|(E ∩ P ) jest ograniczona.

Udowodni¢, »e je±li funkcja f : E → R jest ci¡gªa w punkcie x

∈ E

i f(x

) > 0

, to istnieje przedziaª

otwarty P zawieraj¡cy punkt x

, taki »e funkcja f|(E ∩ P ) jest dodatnia.

wiczenie 26.4. Korzystaj¡c z denicji ci¡gªo±ci w sensie Heinego zbada¢, czy nast¦puj¡ce funkcje

s¡ ci¡gªe w punkcie x

1. f(x) =

√

2 − x

, x

= 1

2. f(x) =

(

−4

x+2

x 6= −2

−4

x = −2

= −2,

3. f(x) =

(

sin

1
x

x 6= 0

x = 0

= 0,

4. f(x) =

(

x sin

1
x

x 6= 0

x = 0

= 0.

wiczenie 26.5. Korzystaj¡c z denicji Heinego udowodni¢ twierdzenie o zªo»eniu funkcji ci¡gªych

oraz twierdzenia o sumie, iloczynie, ró»nicy i ilorazie funkcji ci¡gªych.

wiczenie 26.6. Udowodni¢, »e je±li f, g : E → R s¡ funkcjami ci¡gªymi w punkcie x

∈ E

, to funkcja

max(f, g)

okre±lona wzorem max(f, g)(x) = max(f(x), g(x)) jest ci¡gªa w x

Analogiczne twierdzenie

wykaza¢ dla funkcji min(f, g).

Udowodni¢ analogiczne twierdzenie dla sko«czonej ilo±ci funkcji, tzn. dla max(f

, . . . , f

)

min(f

, . . . , f

wiczenie

∗

26.7. Udowodni¢, »e twierdzenie w powy»szym zadaniu nie zachodzi dla przeliczalnej

ilo±ci funkcji nawet z zamian¡ max i min na sup i inf.

wiczenie 26.8. Wykaza¢, »e funkcja Dirichleta nie jest ci¡gªa w »adnym punkcie x ∈ R.

wiczenie 26.9. Zbada¢ ci¡gªo±¢ nast¦puj¡cych funkcji w ka»dym punkcie dziedziny:

1. f(x) =

(

x ∈ Q

x ∈ R \ Q,

2. f(x) =

(

0 6 x 6 1

2 − x

1 < x 6 2,

3. f(x) = sgn(sin x), x ∈ R,

4. f(x) = [x] sin πx, x ∈ R,

5. f(x) = lim

n→∞

1+x

, x ∈ (−1, +∞).

wiczenie 26.10. Poda¢ przykªad funkcji f : R → R nieci¡gªej w punktach

1. x

= 1

2. x

= 1

, x

= 2

3. x

= k

, k ∈ N.

wiczenie 26.11. Poda¢ przykªad funkcji f : R → R, która jest ci¡gªa

1. w jednym punkcie,

2. w dwóch punktach,

3. w k punktach, k ∈ N.

wiczenie 26.12. Udowodni¢, »e funkcja f(x) = [x], x ∈ R, jest prawostronnie ci¡gªa w R, ale nie

jest lewostronnie ci¡gªa w punktach zbioru Z.

wiczenie 26.13. Czy mo»na dobra¢ warto±ci parametrów a, b, c tak, aby funkcja f : R → R dana

wzorem:

1. f(x) =

(

cos

πx

|x| 6 1

a|x − 1|

|x| > 1,

2. f(x) =











2 + e

1
x

x < 0

sin ax

x > 0

x = 0,

3. f(x) =











sin ax

x < 0

−1

+x−2

0 6 x < 1

x = 1

+(b−1)x−b

x−1

x > 1,

4. f(x) =

(

x−2

x 6= 2

x = 2,

byªa ci¡gªa?

wiczenie 26.14. Wykaza¢, »e jedynymi funkcjami ci¡gªymi f : R → R speªniaj¡cymi warunek f(x+
y) = f (x) + f (y)

dla x, y ∈ R, s¡ funkcje liniowe postaci f(x) = ax, gdzie a ∈ R.

wiczenie

∗

26.15. Udowodni¢, »e funkcja f : [0, 1] → R okre±lona wzorem

f (x) =











gdy

jest liczb¡ niewymiern¡,

1
q

gdy

x =

p
q

, p ∈ Z, q ∈ N i

uªamek

p
q

nie jest skracalny,

jest ci¡gªa w ka»dym punkcie niewymiernym i nieci¡gªa w ka»dym punkcie wymiernym przedziaªu
[0, 1]

27 Warunek Lipschitza. Jednostajna ci¡gªo±¢

wiczenie 27.1. Zbada¢, czy funkcja f : A → R speªnia na zbiorze A warunek Lipschitza

1. f(x) = x

, A = [1, 5],

2. f(x) = x

, A = (−∞, 0),

3. f(x) = x

, A = (0, +∞),

4. f(x) =

, A = [ε, +∞), ε > 0,

5. f(x) =

, A = (0, ε), ε > 0,

6. f(x) =

−1

, A = R,

7. f(x) =

, A = R,

8. f(x) =

, A = [1, 5],

9. f(x) =

, A = R,

10. f(x) =

, A = [−2, 5],

11. f(x) = sin x, A = R.

wiczenie 27.2. Wykaza¢, »e funkcja jednostajnie ci¡gªa nie musi speªnia¢ warunku Lipschitza.

Wskazówka: Rozwa»y¢ funkcj¦ f(x) =

√

, x ∈ [0, 1].

wiczenie 27.3. Udowodni¢, »e je±li funkcja f : A → R, gdzie A ⊂ R, jest jednostajnie ci¡gªa i zbiór
A

jest ograniczony, to funkcja f jest ograniczona.

28 Jednostajna ci¡gªo±¢.

wiczenie 28.1. Zbada¢, czy funkcja f : A → R jest jednostajnie ci¡gªa na zbiorze A

1. f(x) = sin

π
x

, A = (0, 1),

2. f(x) = x sin x, A = [0, +∞),

3. f(x) = x + sin x, A = R,

4. f(x) = tg x, A = −

5. f(x) =

, A = (0, 1],

6. f(x) =

2−x

, A = (1, 2),

7. f(x) = a

, A = [0, +∞), a ∈ (0, 1),

8. f(x) = 2

, A = [0, +∞),

9. f(x) =

√

, A = (0, 1),

10. f(x) =

√

, A = [2, +∞),

11. f(x) = ln x, A = (0, 1), A = [1, +∞),

12. f(x) =

1
x

, A = [a, +∞), a > 0,

13. f(x) = x

, A = R,

14. f(x) =

|x|

|x|+2

, A = R,

15. f(x) = sin x, A = R,

16. f(x) = 3x + cos 5x, A = R,

17. f(x) = sin(sin x), A = R

18. f(x) = sin(x sin x), A = R,

19. f(x) = sin x

, A = R,

20. f(x) = x sin

1
x

, A = [1, +∞); A = (0, 1],

∗

f (x) = x ln x

, A = (0, 1].

wiczenie 28.2. Czy suma i iloczyn funkcji jednostajnie ci¡gªych jest funkcj¡ jednostajnie ci¡gª¡?

29 Wªasno±¢ Darboux. Rodzaje nieci¡gªo±ci. Funkcje cyklometryczne

wiczenie 29.1. Udowodni¢, »e funkcja

f (x) =

sin

1
x

gdy x ∈ (0, 1],

gdy x = 0

nie jest ci¡gªa w przedziale [0, 1], ale ma tam wªasno±¢ Darboux.
wiczenie 29.2. Udowodni¢, »e je±li funkcja f : P → R, P dowolny przedziaª (sko«czony lub

niesko«czony), jest funkcj¡ ci¡gª¡ oraz m = inf

x∈P

f (x), M = sup

x∈P

f (x)

(kresy obliczone w rozszer-

zonym zbiorze liczb rzeczywistych), to (m, M) ⊂ f(P ).
wiczenie

∗

29.3. Udowodni¢, »e je±li funkcja f : [a, b] → R jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡ i ma

wªasno±¢ Darboux, to jest ci¡gªa.
wiczenie 29.4. Pokaza¢, »e równanie

ln x + cos πx + 2 = 0

posiada co najmniej jedno rozwi¡zanie.
wiczenie 29.5. Udowodni¢, »e je±li funkcja f : [a, b] → [a, b], gdzie a < b, jest ci¡gªa, to istnieje
x

∈ [a, b]

, »e f(x

) = x

wiczenie

∗

29.6. Poda¢ przykªad funkcji maj¡cej wªasno±¢ Darboux i nieci¡gªej w »adnym punkcie.

Wskazówka: zob. [S] str. 166

wiczenie 29.7. Niech f : R → R b¦dzie funkcj¡ speªniaj¡c¡ warunek f(f(x)) = −x, x ∈ R. Wykaza¢,

»e f nie mo»e by¢ funkcj¡ ci¡gª¡.
wiczenie 29.8. Poda¢ przykªad funkcji ci¡gªej f : R → R przyjmuj¡cej ka»d¡ swoj¡ warto±¢ dokªad-

nie trzy razy. Czy istnieje funkcja ci¡gªa f : R → R przyjmuj¡ca ka»d¡ swoj¡ warto±¢ dokªadnie dwa

razy?
wiczenie 29.9. Niech f : R → [0, +∞) b¦dzie funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡ przeksztaªcaj¡c¡ R na
[0, +∞)

. Wykaza¢, »e f ma niesko«czenie wiele punktów nieci¡gªo±ci.

wiczenie

∗

29.10. Wykaza¢, »e wykresy funkcji f(x) = x, g(x) =

maj¡ przynajmniej jeden

punkt wspólny.

wiczenie

∗

29.11. Wykaza¢, »e wykresy funkcji

f (x) = log

i g(x) =

posiadaj¡ przynajmniej trzy punkty wspólne.

Wskazówka: Obliczy¢ warto±ci funkcji f i g dla x =

1
2

oraz x =

1
4

wiczenie 29.12. Zbada¢ rodzaj nieci¡gªo±ci funkcji f w punkcie x

1. f(x) = x − [x],

∈ Z,

2. f(x) =

(

1−x

x 6= 1

x = 1

= 1,

3. f(x) =

(

sin x

x 6= 0

x = 0

= 0,

4. f(x) =

(

(x+1)

x 6= −1

x = −1

= −1,

5. f(x) =

(

cos

1
x

x 6= 0

x = 0

= 0,

6. f(x) =

(

− 3) sin

x 6= 0

x = 0

= 0

7. f(x) =

(

arctg

x 6= 0

x = 0

= 0.

wiczenie 29.13. Poda¢ zbiory okre±lono±ci oraz wykresy nast¦puj¡cych funkcji

1. f(x) = arcsin(x + 1),
2. f(x) = | arcsin x|,

3. f(x) = sin(arcsin x),
4. f(x) = arcsin(sin x),

5. f(x) = [sin x].

wiczenie 29.14. Wykaza¢, »e 4 arctg

1
5

− arctg

239

wiczenie 29.15. Rozwi¡za¢ równanie arcsin x + arcsin 2x =

wiczenie 29.16. Udowodni¢, »e

1. arcsin x + arccos x = π/2, x ∈ [−1, 1],

2. arcsin x = arctg(

√

1−x

), x ∈ (−1, 1)

wiczenie 29.17. Obliczy¢:

1. lim

x→0

arccos

−1

2. lim

x→−1

(1 + x) arctg

1−x

3. lim

x→0

arcsin 3x

4. lim

x→π

x − arcctg

x−π

II kolokwium odb¦dzie si¦ w dniach 02.01.2012 − 06.01.2012.

Poprawa I i II kolokwium odb¦dzie si¦ w dniach 16.01.2012 − 20.01.2012.

Literatura

[B] J. Bana±, S. W¦drychowicz Zbiór zada« z analizy matematycznej, WNT, Warszawa 1997.

[D] B. P. Demidowicz Zbiór zada« i ¢wicze« z analizy matematycznej, Nauka, Moskwa 1977, (w j¦zyku

rosyjskim).

[F] G. M. Fichtenholz Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, t. 1, 2, 3, PWN, Warszawa 1962.

[K] T. Krasi«ski Analiza matematyczna, WU, ód¹ 2001.

[Ki] K. Kuratowski Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa 1973.

[L] F. Leja Rachunek ró»niczkowy i caªkowy, PWN, Warszawa 1969.

[S] W. Sierpi«ski Dziaªania niesko«czone, Spóªdzielnia Wydawnicza Czytelnik, 1948.