Konspekt nr 1 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
1
Wybrane zagadnienia z rachunku prawdopodobieństwa
Uwagi w
stępne
Opracowanie zawiera wybrane zagadnienia z rachunku prawdopodobieństwa, które Stu-
dent musi o
panować. Na zajęciach będą robione zadania podobne do tych znajdujących się w
przyk
ładach. Wzory oznaczone gwiazdką po lewej stronie są ważne, i należy umieć z nich
korzysta
ć.
1. Permutacje
Mamy pewien zbiór Z
zawierający n różnych elementów. Oznaczmy je a
1
, a
2
, ..., a
n
. Ele-
menty te można uporządkować w różny sposób. Każdy z układów tych n elementów przy
różnym ich uporządkowaniu nazywać będziemy permutacją elementów zbioru Z.
Przykładowo dla zbioru trójelementowego (n = 3) wszystkie permutacje są następujące
2
3
1
2
1
3
1
2
3
1
3
2
3
1
2
3
2
1
,
,
,
,
,
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
(1).
Zamiast permutacji elementów a
1
, a
2
, ..., a
n
można zapisywać permutacje ich wskaźników
(indeksów dolnych) 1, 2, ..., n
, a więc zamiast (1) zapisujemy
2
3
1
,
2
1
3
,
1
2
3
,
1
3
2
,
3
1
2
,
3
2
1
.
Liczbę wszystkich możliwych i różnych permutacji P
n
z n elementów zbioru Z wyliczamy
jako
*
!
n
P
n
=
(2).
Symbol ! oznacza n-
silnię, czyli iloczyn kolejnych liczb naturalnych
I
2. Kombinacje
.
Załóżmy, że nasz zbiór Z zawiera n różnych elementów i że wybieramy z tego zbioru po k
elementów (0 < k
≤ n). Nie zwracając uwagi na uporządkowanie wybranych elementów na-
zywać będziemy każdy taki układ z k elementów kombinacją z n po k elementów. Jeśli kom-
binacje różnią się jakością elementów, a nie ich uporządkowaniem, to będziemy je odróżniać
od siebie.
PRZYKŁAD 1. Mamy zbiór czteroelementowym {1, 2, 3, 4}, czyli n = 4. Wybieramy z niego trzy przypad-
kowe kombinacje dwuelementowe (k = 2), które zapisujemy {1, 3}, {2, 4}, {4, 2}.
Zauważmy, że wybrane kom-
binacje {2, 4} i {4, 2} różnią się względem siebie tylko uporządkowaniem a nie ich jakością (w obu występują te
same elementy -
liczby 2 i 4), czyli będziemy uważać je za jednakowe. Ostatecznie w naszym przykładzie wy-
braliśmy tylko dwie różne kombinacje {1,3} oraz jedną z dwóch {2, 4} lub {4, 2}.
Aby obliczyć liczbę wszystkich możliwych i różnych kombinacji k-elementowych ze
zbioru Z
zawierającego n elementów, którą oznaczymy symbolem
k
n
C
,
posługujemy się wzo-
rem
II
I
W matematyce przyjęto, że 0! = 1.
II
Liczba
k
n
C
równa jest symbolowi
k
n
spotykanemu w matematyce, który czytamy n po k.
Konspekt nr 1 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
2
*
(
)
=
−
=
k
n
k
n
k
n
C
k
n
!
!
!
(3).
PRZYKŁAD 2. Aby obliczyć liczbę wszystkich kuponów jakie należy skreślić w Dużego Lotka, żeby mieć
stuprocentową pewność wygranej, posługujemy się wzorem (3). Wstawiamy do niego k = 6, ponieważ przy
zwykłym zakładzie skreślamy 6 liczb spośród 49, czyli n = 49
(
)
816
983
13
!
43
!
6
49
48
47
46
45
44
!
43
!
6
49
!
6
!
49
6
49
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
−
=
C
.
PRZYKŁAD 3. Ile kombinacji z 52 kart po 4 nie zawiera ani asa, ani króla?
Zadanie rozwiązujemy poprzez odrzucenie z talii 52 kart wszystkich asów i królów. Zostają nam wówczas
44 karty, a więc należy obliczyć wartość
4
44
. Daje to wynik 135 751.
3.
Zdarzenia pewne, możliwe, niemożliwe
W rachunku prawdopodobieństwa wprowadza się pojęcie zdarzenia, o którym można po-
wiedzieć, że jest mniej lub bardziej prawdopodobne. O zdarzeniu A mówimy, że jest pewne,
jeżeli zajść musi, oraz że jest niemożliwe jeżeli zajść nie może. Zdarzenie niemożliwe ozna-
czać będziemy przez
∅
. Inne zdarzenie zajść mogą, ale nie muszą.
PRZYKŁAD 1. Rzucając jednokrotnie sześcienną kostką do gry za zdarzenie pewne uznamy wypadnięcie
liczby oczek od 1 do 6. Zdarzeniem niemożliwym
∅
będzie wypadnięcie liczby oczek np. 0 albo 7 (nie istnieją
ścianki z taką liczbą oczek). Innym zdarzeniem niemożliwym może być wypadnięcie jednocześnie parzystej i
nieparzystej liczby oczek, bo rzucamy tylko jeden raz
. Zdarzenie polegające na wypadnięciu np. 3 w jednym
rzucie może zajść ale nie musi.
4.
Suma zdarzeń. Zdarzenia wyłączające się
Jeżeli weźmiemy pod uwagę dwa zdarzenia A, B to możemy rozpatrzyć przypadek, że
zajdzie przynajmniej jed
no z nich, a więc, że zajdzie zdarzenie A lub B. Takie nowe zdarzenie
(że zajdzie A lub B) nazywać będziemy sumą (lub alternatywą) zdarzeń A, B. Zapisywać to
będziemy symbolem
B
A
∪
(4).
Mogą zajść dwa przypadki. Jeden przypadek, że zdarzenia A, B, będące składnikami sumy
B
A
∪ , mogą zachodzić obydwa jednocześnie, albo drugi przypadek, że zdarzenia nie mogą
zajść jednocześnie. O tym drugim przypadku powiemy, że zdarzenia A, B wyłączają się (wy-
kluczają się).
Definicję sumy zdarzeń uogólnia się na ich dowolną ilość. Przyjmuje się dodatkowo
A
A
A
=
∪
∅
=
∅
∪
.
PRZYKŁAD 1. Oznaczmy przez A zdarzenie, że wyrzucimy kostką do gry 5 oczek, oraz zdarzenie B, że
wyrzucimy parzystą liczbę oczek. Zdarzenia te wyłączają się nawzajem. Natomiast jeśli przez C oznaczymy
zdarzenie, że wypadnie nieparzysta liczba oczek, a więc {1, 3, 5}, to zdarzenia A i C nie wyłączają się. Można
zauważyć, że z zajścia zdarzenia A wynika zdarzenie B (bo jeśli wypadnie 5 to jest jednocześnie nieparzystą
liczbą oczek), ale niekoniecznie na odwrót tzn. jeśli wypadnie któraś z nieparzystych liczby oczek to nie musi
być nią 5.
Konspekt nr 1 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
3
5.
Iloczyn zdarzeń. Zdarzenia przeciwne
Rozważmy przypadek, że przy danych zdarzeniach A, B zajść może każde z nich. Możli-
we jest zatem zdarzenie jednoczesnego zajścia zdarzeń A i B. To nowe zdarzenie (że zajdzie A
i B
) nazywać będziemy iloczynem (lub koniunkcją) zdarzeń A, B i oznaczać będziemy jako
B
A
∩ .
Zauważyć należy, że jeżeli dwa zdarzenia A, B wyłączają się, to ich iloczyn jest zdarze-
niem niemożliwym, i odwrotnie, gdy
B
A
∩ jest zdarzeniem niemożliwym, to zdarzenia A, B
wyłączają się. Tak więc poniższa równość
∅
=
∩ B
A
oznacza, że zdarzenia A, B wyłączają się.
PRZYKŁAD 1. W rzucie kostką do gry oznaczmy przez A zdarzenie polegające na wypadnięciu liczby
oczek większej lub równej od 4, czyli {4, 5, 6}, a przez B zdarzenie, że wypadnie parzysta liczba oczek, a więc
{2, 4, 6}. Wtedy d
o iloczynu zdarzeń
B
A
∩
należą tylko dwa elementy tj. {4, 6}. Natomiast jeśli oznaczymy
sobie przez C
zdarzenie polegające na wypadnięciu liczby oczek mniejszej od 2, to iloczyn
C
B
∩
jest zbiorem
pustym
∅
, ponieważ żaden element ze zbioru B lub C nie należy jednocześnie do nich obu.
Podobnie jak w przypadku sumy zdarzeń, definicję iloczynu zdarzeń można uogólnić na
ich dowolną ilość, przyjmując dodatkowo
∅
=
∩
∅
=
∩
A
B
A
.
Zdarzenie oznaczone symbolem A
nazywać będziemy zdarzeniem przeciwnym względem
zdarzenia A
, jeżeli
∅
=
∩ A
A
, a oprócz tego suma
A
A
∪ jest zdarzeniem pewnym.
PRZYKŁAD 2. Rzucając jednokrotnie kostką do gry oznaczmy przez A zdarzenie polegające na wypadnię-
ciu liczby oczek mniejszej lub równej od 4, czyli {1, 2, 3, 4}, to zdarzeniem przeciwnym
A
względem A będzie
wypadnięcie pozostałej liczby oczek 4 tj. {5, 6}.
PRZYKŁAD 3. Jeżeli A jest zdarzeniem, że wyrzucę kostką do gry parzystą ilość oczek, a B jest zdarze-
niem, że wyrzucę ilość oczek podzieloną przez 3, to
B
A
∩
jest zdarzeniem, że wyrzucę 6 oczek.
Zdarzeniem przeciwnym względem zdarzenia A, tj.
A
,
jest zdarzenie wyrzucenia nieparzystej ilości oczek,
B
jest zdarzeniem wyrzucenia ilości oczek niepodzielnej przez 3,
B
A
∩
–
zdarzeniem wyrzucenia ilości
oczek od 1 do 5.
6. Zdarzenia losowe
Zdarzenie uzależnione bywa od zespołu warunków, w których ono zachodzi. W zależno-
ści od nich mówimy, że zdarzenie jest możliwe, niemożliwe lub zajść może. W ostatnim
przypadku porównując nieraz dwa zdarzenia możemy dojść do przekonania o jednakowej ich
możliwości, lub inaczej mówiąc, że są one jednakowo prawdopodobne. Można też próbować
ustalić liczbowo „miarę” prawdopodobieństwa pojawienia się zdarzenia. Tak otrzymaną licz-
bę – prawdopodobieństwo zdarzenia A – oznaczać będziemy przez P(A).
Zdarzenie, o którym da się ustalić, czy może ono zajść, i dla którego będzie można mówić
o prawdopodobieństwie jego zachodzenia, nazywać będziemy zdarzeniem losowym.
Przy rozważaniach pewnego zagadnienia losowego interesują nas związane z nim wszyst-
kie zdarzenia elementarne. Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych nazywać będziemy prze-
strzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać będziemy przez Ω. Zdarzenie elementarne, ozna-
czane przez
ω, jest pojęciem pierwotnym, którego nie definiuje się. Można jedynie powie-
Konspekt nr 1 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
4
dzieć, że dotyczy ono zdarzenia najprostszego, dla którego rozkład w danym polu zdarzeń
III
PRZYKŁAD 1. W rzucie kostką do gry za zdarzenie elementarne uznamy pojedynczy wynik, którego nie da
się z góry przewidzieć. Takim wynikiem oczywiście będzie liczba oczek jaka wypadnie. Zbiór wszystkich moż-
liwych wyników w pojedynczym rzucie kostką tworzy przestrzeń Ω. Do zbioru tego należą następujące zdarze-
nia elementarne:
Ω = {ω
1
, ω
2
, ω
3
, ω
4
, ω
5
, ω
6
}. Zdarzenie A
polegające na wypadnięciu np. parzystej liczby
oczek, nie jest już zdarzeniem elementarnym, ponieważ składają się na nie trzy zdarzenia elementarne A = { ω
2
,
ω
4
, ω
6
}.
już nie jest możliwy.
7.
Prawdopodobieństwo zdarzenia
Wyobraźmy sobie rzut monetą. Przy założeniu, że moneta jest symetryczna, żaden z
dwóch możliwych wyników nie jest bardziej uprzywilejowany od drugiego. Innymi słowy,
możemy przyjąć, iż jest stosunkowo prawdopodobne, że wypadnie orzeł, jak i reszka. Posłu-
gując się językiem teorii prawdopodobieństwa powiemy, że prawdopodobieństwo wyrzucenia
orła P(o) jest równe prawdopodobieństwu wyrzucenia reszki P(r). Przyjęto umowę, że suma
prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń równa się jedności. Jest to tylko umowa.
Na przykład, przy obliczaniu procentów obowiązuje inna umowa. Ta suma wynosi 100. Dla
rzutu monetą jedynymi możliwymi zdarzeniami są wyrzucenie orła i wyrzucenie reszki. Ze
względu, że żaden z wyników nie jest wyróżniony oraz, że suma prawdopodobieństw wynosi
1, to oba prawdopodobieństwa P(o) i P(r) muszą być równe 1/2. Wobec tego można zdefi-
niować prawdopodobieństwo jako liczbę z przedziału od zera do jedności przyporządkowaną
zdarzeniu losowemu. Licz
ba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie.
W prostym przypadku rzutu monetą udało się nam odgadnąć prawdopodobieństwo dwóch
możliwych zdarzeń – wyrzucenia orła i reszki – na podstawie rozważań o symetrii.
PRZYKŁAD 1. W rzucie symetryczną kostką do gry, na podstawie symetrii, możemy powiedzieć, że praw-
dopodobieństwo wypadnięcia każdej ze ścianek wynosi 1/6.
PRZYKŁAD 2. Za inny przykład, w którym na podstawie rozważań o symetrii dochodzi się do liczbowego
określenia prawdopodobieństwa zajścia jakiegoś zdarzenia, może posłużyć gra w Dużego Lotka. W przykładzie
2
z rozdziału 2 wyliczyliśmy, że ilość kombinacji w tej grze wynosi 13 983 816. Wbrew powszechnym opiniom
wszystkie one są równie prawdopodobne. Przykładowo, kombinacja składająca się kul o numerach 1, 2, 3, 4, 5 i
6 jest równie prawdopodobna jak każda inna. Prawdopodobieństwo wylosowania takiej kombinacji, w jednym
losowaniu,
wynosi 1/13983816. Innym błędnym przekonaniem jest to, iż obstawianie ciągle tych samych liczb w
kolejnych losowaniach zwiększa szansę wygrania. Nie jest to prawda. Wynik kolejnego losowania nie jest uza-
leżniony od tego co zostało wcześniej wylosowane. Aby to było bardziej zrozumiałe posłużmy się następującą
analogią. Rzucamy dwukrotnie symetryczną kostką do gry. W obu rzutach obstawiamy wypadnięcie jedynki.
Oczywiście szansa jej wypadnięcia w pojedynczym rzucie wynosi 1/6. Wykonujemy rzut i np. wypadła dwójka.
To teraz rzucając drugi raz, czy możemy powiedzieć, że prawdopodobieństwa wypadnięcia jedynki jest inne niż
1/6 bo nie wypadła ona w pierwszym rzucie? Oczywiście, że nie. Dalej wynosi ono 1/6. Kostka nie „zapamiętu-
je” tego
co wypadło w poprzednim rzucie.
W praktyce przy wyznaczaniu prawdopodobieństw nie zawsze możemy skorzystać z roz-
ważań o symetrii. Przykładowo, rzucając niesymetryczną monetą nie możemy już powie-
dzieć, że prawdopodobieństwo wypadnięcia np. orła równe jest 1/2. W takim przypadku przy-
chodzi nam z pomocą tzw. częstościowa definicja prawdopodobieństwa. Została ona poda-
na przez austriackiego matematyka i mechanika Richarda von Misesa
. Według tej definicji
prawdopodobieństwo P(A) zajścia zdarzenia A określamy jako granicę
*
N
N
A
A
N
∞
→
= lim
)
(
P
.
III
Pojęcie pola zdarzeń w niniejszym opracowaniu nie będzie definiowane.
Konspekt nr 1 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
5
We wzorze tym N
A
oznacza liczbę zdarzeń z wynikiem A, które wystąpiły w trakcie wy-
konania N prób.
Przy stosowaniu tej definicji, granicy nie należy oczywiście rozumieć w ści-
słym matematycznym sensie, ponieważ nigdy nie jesteśmy w stanie wykonać nieskończenie
wiele prób. Mamy tu na myśli dużą liczbę prób.
Częstościowa definicja prawdopodobieństwa jest krytykowana przez matematyków jako
niedająca się wyrazić w sposób ścisły. Ma ona jednak duże znaczenie w naukach empirycz-
nyc
h, gdzie dane doświadczalne są jedynym źródłem wiedzy. Można by przyjąć tzw. kla-
syczną definicję prawdopodobieństwa, zaproponowaną przez francuskiego matematyka,
fizyka i astronoma Pierre-
Simona Laplace’a, która mówi, że prawdopodobieństwo P(A) jest
równe
stosunkowi liczby przypadków sprzyjających wystąpieniu zdarzenia A do wszystkich
możliwych przypadków. Definicja ta jednak nic nie mówi w jaki sposób wyznaczyć „liczbę
przypadków sprzyjających” wystąpieniu zdarzenia A w przypadku gdy nie mamy gruntownej
w
iedzy o zdarzeniach i nie możemy korzystać z symetrii.
Okazuje się, że nie jest znana ścisła definicja liczenia prawdopodobieństwa, którą mogli-
byśmy zastosować do każdego zjawiska losowego. Do rozważań w matematyce na temat
prawdopodobieństwa w zupełności wystarczą podane przez rosyjskiego matematyka Andrie-
ja Nikołajewicza Kołmogorowa następujące trzy aksjomaty
−
prawdopodobieństwo zdarzenia A jest liczbą z przedziału od 0 do 1
*
0
)
(
P
1
≥
≥
A
−
prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego Ω wynosi 1
*
1
)
(
P
=
Ω
−
prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się jest równe sumie prawdopo-
dobieństw tych zdarzeń
*
)
(
P
...
)
(
P
)
(
P
)
...
(
P
2
1
2
1
n
n
A
A
A
A
A
A
+
+
+
=
∪
∪
∪
(5).
Wyobraźmy sobie następujący eksperyment myślowy. Na dno kolistego walca opada
drobna kulka, przy czym na podstawie wytworzonych technicznych warunków może ona z
równym prawdopodobieństwem osiągnąć każdy punkt na dnie, które oznaczymy przez Ω.
Załóżmy, że część dna zamalowana jest białą farbą. Pytamy jakie jest prawdopodobieństwo
zd
arzenia, że kulka spadnie na zamalowany obszar oznaczony przez A? Zdarzenie to oznacz-
my, podobnie jak biały obszar, literą A, a zdarzenie pewne, że kulka osiągnie którykolwiek
punkt dna, przez
Ω.
Zdarzeniem elementarnym
ω
A
sprzyjającym zdarzeniu A jest pewien punkt na dnie walca,
który to punkt należy do zamalowanego obszaru. Natomiast zdarzeniem elementarnym ogól-
nie możliwym ω
Ω
sprzyjającym zdarzeniu Ω jest jakiś dowolny punkt na dnie walca (może on
również leżeć na obszarze zamalowanym). Liczba tych i tamtych zdarzeń elementarnych
(punktów na odpowiednich obszarach) jest oczywiście nieskończona. Poszukiwane przez nas
prawdopodobieństwo należy zatem wyrazić w inny sposób niż dotąd, a mianowicie stosun-
kiem pól a do u odpowiednich obszarów A,
Ω. Zatem
*
u
a
A
=
)
(
P
.
Geometryczną ilustrację rozważanego przypadku znajdziemy na rys. 1.
Konspekt nr 1 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
6
Rys. 1. Stosunek pól a, u obszarów A,
Ω wyraża prawdopodobieństwo A
Posługując się geometryczną interpretacją prawdopodobieństwa, a właściwie operacjami
na zbi
orach, łatwiej będzie nam zilustrować i zrozumieć takie pojęcia jak: wynikanie zdarzeń
(zawieranie się zbiorów), wyłączanie się zdarzeń (rozłączność zbiorów), sumę zdarzeń (zbio-
rów) oraz iloczyn zdarzeń (zbiorów).
8.
Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
Weźmy dwa zdarzenia A, B, które nie wyłączają się, a więc gdy
∅
≠
∩ B
A
. Przedstawmy
tez zdarzenia jako zbiory, które pokazane są na rys. 2.
Rys. 2.
Prawdopodobieństwo sumy niewyłączających się zdarzeń A, B. – Część wspólna zbiorów A i B
odpowiada iloczynowi tych zdarzeń
Stosunek pól a, b obszarów A, B do pola u obszaru
Ω przedstawia odpowiednio prawdo-
podobieństwa zdarzeń A, B, a więc
u
a
A
=
)
(
P
,
u
b
B
=
)
(
P
(6).
Stosunek pola s
części wspólnej (najciemniejszej) obszarów A, B do pola u obszaru Ω
przedstawia prawdopod
obieństwo iloczynu zdarzeń
B
A
∩ . A więc
u
s
B
A
=
∩ )
(
P
(7).
Jeżeli zdarzenia A, B wyłączają się (zbiory A, B nie mają części wspólnej), to s=0 i wtedy
0
)
(
P
=
∩ B
A
(8).
Obszar łączny odpowiadający na rys. 2 sumie zdarzeń
B
A
∪ ma pole a+b–s. Stosunek
tego pola do pola u obszaru
Ω przedstawia prawdopodobieństwo sumy zdarzeń
B
A
∪ . Wo-
bec t
ego uwzględniając równania (6) i (7) otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo sumy
zdarzeń
*
)
(
P
)
(
P
)
(
P
)
(
P
B
A
B
A
B
A
∩
−
+
=
∪
(9).
B
A
∩
Ω
A
B
Ω
A
Konspekt nr 1 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
7
W przypadku, gdy zdarzenia A, B
wyłączają się, tzn. gdy zachodzi wzór (8), otrzymujemy
ze wzoru (9) wzór (5)
. Wtedy prawdopodobieństwo sumy zdarzeń równa się sumie prawdo-
podobieństw tych zdarzeń.
Wzór na
prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego ma postać
*
)
(
P
1
)
(
P
A
A
−
=
co zilustrowane jest na rys. 3.
Rys. 3. Obszar
A
o polu
a
równy jest u–a
PRZYKŁAD 1. Należy znaleźć prawdopodobieństwo wyrzucenia w dwóch rzutach kostką do gry za pierw-
szym razem jedynki lub za drugim razem dwójki.
Przestrzeń zdarzeń elementarnych zawierać będzie 6
2
elementów, czyli wszystkie możliwe wyniki jakie mo-
gą pojawić się przy dwukrotnym rzucie. Zbiór ten zawiera następujące elementy: Ω = {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6,
2 1, 2 2, 2 3, 2 4
, 2 5, 2 6, ... , 6 1, 6 2, 6 3, 6 4, 6 5, 6 6}, gdzie pierwsza cyfra oznacza liczbę oczek w pierw-
szym rzucie, a druga cyfra odpowiednio w drugim rzucie. Oznaczmy przez A zdarzenie wyrzucenia w pierw-
szym rzucie jedynki, a przez B zdarzenie wyrzucenia w dru
gim rzucie dwójki. Zbiory te mają następującą po-
stać: A = {1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6}, B = {1 2, 2 2, 3 2, 4 2, 5 2, 6 2}. Zdarzenia A, B nie wyłączają się, ponie-
waż
B
A
∩
= {1 2}, czyli nie jest zbiorem pustym. Wobec tego do obliczenia prawdopodobieństwa sumy zda-
rzeń A i B stosujemy wzór (9)
36
11
36
1
36
6
36
6
)
(
P
)
(
P
)
(
P
)
(
P
=
−
+
=
∩
−
+
=
∪
B
A
B
A
B
A
.
W powyższym przykładzie w miejsce odpowiednich składników sumy i różnicy podstawi-
liśmy moc odpowiednich zbiorów, czyli liczbę elementów jakie należą do danego zbioru.
9.
Prawdopodobieństwo warunkowe i prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń
Symbol A|B
będziemy czytać: zdarzenie A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, lub kró-
cej: A pod warunkiem B
. Oznacza to, że będziemy brać pod uwagę tylko te ze zdarzeń ele-
mentarnych należących do zdarzenia A, które należą również do B, czyli ich część wspólną
B
A
∩
.
Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe, przy założeniu, że P(B) ≠ 0, ma następują-
cą postać
*
)
(
P
)
(
P
)
|
(
P
B
B
A
B
A
∩
=
(10).
PRZYKŁAD 1. Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że suma oczek z
dwóch rzutów będzie parzysta pod warunkiem, że w obu rzutach wypadła tylko raz czwórka?
Oznaczmy przez A
zdarzenie, że suma oczek z obu rzutów jest parzysta, a przez B, że w obu rzutach wypa-
dła tylko raz czwórka. Zdarzenia te zawierają następujące elementy: A = {1 1, 1 3, 1 5, 2 2, 2 4, 2 6, 3 1, 3 3, 3 5,
4 2, 4 4, 4 6, 5 1, 5 3, 5 5, 6 2, 6 4, 6 6}, B
= {1 4, 2 4, 3 4, 4 1, 4 2, 4 3, 4 5, 4 6, 5 4, 6 4}, a ich część wspólna
B
A
∩
= {2 4, 4 2, 4 6, 6 4}. Wobec tego szukane prawdop
odobieństwo warunkowe wynosi
A
A
Ω
Konspekt nr 1 z laboratoriów „Statystyka i rachunek prawdopodobieństwa”
8
10
4
)
(
P
)
(
P
)
|
(
P
=
∩
=
B
B
A
B
A
.
Wzór na prawdopodobie
ństwo iloczynu zdarzeń wynika bezpośrednio z równania (10)
*
)
|
(
P
)
(
P
)
(
P
B
A
B
B
A
⋅
=
∩
.
10. Niezale
żność zdarzeń
Mówimy,
że zdarzenia A, B są niezależne, gdy zachodzi poniższy wzór
)
(
P
)
(
P
)
(
P
B
A
B
A
⋅
=
∩
.
Równo
ść ta nie wyklucza sytuacji, gdy P(A) = 0 lub P(B) = 0.
LITERATURA
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dysza, K. Królikowska, M. Wasilewska: Rachunek prawdopo-
dobie
ństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warsza-
wa 2005.
A. Iwasiewicz, A. Paszek: Statystyka z elementami statystycznych metod monitorowania
procesów. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej w Krakowie, Kraków 2004.
W. Kordecki: Rachunek prawdopodobie
ństwa i statystyka matematyczny. Oficyna Wy-
dawnicza GiS, Wroc
ław 2003.
Document Outline