Dwiczenie
nr 305
Data
wykonania:
26.03.2012
Adam Piotrowski
Krystian Rokosik
Wydział Elektryczny
Semestr II
Grupa E-7
Grupa E-1
Prowadzący: prof. dr hab. Alina Dudkowiak
Przygotowanie:
Wykonanie: Ocena:
Temat: Wyznaczanie promienia krzywizny soczewki za pomocą pierścieni Newtona.
Pierścienie Newtona
Kołowe pierścienie interferencyjne zwane pierścieniami Newtona, powstają, gdy
równoległa wiązka światła pada na układ złożony z dokładnie płaskiej płyty szklanej oraz
leżącej na niej soczewki o płasko-wypukłej (rys. 42.1).
Między soczewką i płytą znajduje się warstwa
powietrza o grubości d wzrastającej wraz ze
wzrostem odległości od osi układu. Promieo
krzywizny soczewki wynosi kilkadziesiąt centymetrów
i jest znacznie większy niż promienie pierścieni
Newtona; są one rzędu jednego milimetra.
Obraz interferencyjny powstaje w wyniku
nałożenia się promieni odbitych od dolnej
powierzchni soczewki i od górnej powierzchni płyty.
Na
rysunku
42.1
jest
przedstawiony
bieg
przypadkowo wybranego promienia. Częśd promienia
padającego pionowo z góry odbija się od górnej
powierzchni płyty (na rysunku w punkcie B) i biegnie z
powrotem ku górze. Druga częśd odbija się od
wewnętrznej powierzchni (sferycznej) soczewki (na
rysunku w punkcie A) i również biegnie w górę do
obiektywu mikroskopu.
Warto zauważyd, że promieo krzywizny soczewki na rysunku jest znacząco mniejszy
niż w rzeczywistości, aby umożliwid zaznaczenie wszystkich szczegółów istotnych dla
zjawiska. W skali rysunku powierzchnia soczewki powinna byd niemal równoległa do
powierzchni płytki, a promienie odbite - prawie pionowe.
Różnica dróg geometrycznych obu promieni wynosi 2d. Grubośd szczeliny d zmienia
się w miarę oddalania od punktu środkowego, więc możemy się spodziewad, iż dla
niektórych grubości będzie spełniony warunek wzmocnienia i promieo tam padający odbije
się jako jasny. Promienie padające w innych miejscach będą po odbiciu wygaszone.
Dla obliczenia dróg optycznych przyjmujemy, że współczynnik załamania powietrza
jest równy jedności, a także uwzględniamy fakt, że odbiciu od ośrodka gęstszego towarzyszy
zmiana fazy o
180
o
, czemu odpowiada dodatkowa różnica dróg
λ
2
.
Biorąc powyższe rozważania pod uwagę możemy napisad warunek powstania jasnego
pierścienia interferencyjnego:
2d+
λ
2
=mλ
(m=1,2,3...),
(42.1)
przy czym m nazywa się rzędem pierścienia; inaczej jest to numer pierścienia liczony od
środka. Na podstawie rys. 42.1 możemy wyrazid grubośd warstwy powietrznej przez promieo
pierścienia interferencyjnego α:
d=R- 𝑅
2
− 𝛼
2
=R-R
1 − (
𝛼
𝑅
)
2
.
(42.2)
Pamiętając, że
𝛼
𝑅
<<1, to możemy zastosowad rozwinięcie wyrażenia pierwiastkowego w
szereg, po czym uzyskamy postad:
d=R-R[1-
1
2
(
𝛼
𝑅
)
2
+...] ≈
𝛼
2
2𝑅
(42.3)
Łącząc powyższe równanie z równaniem (42.1) otrzymamy:
α= (𝑚 −
1
2
)λ𝑅
m=(1,2,3...)
(42.4)
Otrzymane równanie określa promienie jasnych prążków interferencyjnych.
W miejscu zetknięcia się soczewki z płytą tworzy się bardzo cienka warstewka
powietrza o grubości wielokrotnie mniejszej od długości fali. Różnica dróg optycznych
powstająca między promieniami w tym punkcie jest skutkiem jedynie straty połowy długości
fali przy odbiciu od płyty. W rezultacie wynosi ona
λ
2
; w środku obrazu interferencyjnego
obserwujemy ciemne pole.
Jeżeli układ oświetlamy światłem białym, powstają barwne pierścienie, które przy
wyższych rzędach zachodzą na siebie.
Pomiary i obliczenia
W celu wyznaczenia promieni pierścieni Newtona posługujemy się przystosowanym
do tego celu mikroskopem. Płytę z soczewką umieszczamy w polu widzenia mikroskopu na
stoliku przesuwanym w poziomie w dwóch kierunkach za pomocą śrub mikrometrycznych.
Aby umożliwid jednoczesne oświetlenie układu i
obserwację obrazu, na osi optycznej mikroskopu M (rys.
42.2) umieszczamy płytkę pół przeźroczystą P nachyloną
pod kątem 45
o
do kierunku biegu promieni. Płytka odbija
częśd promieni pochodzących ze źródła S i kieruje je do
układu, gdzie ulegają odbiciu i interferencji, po czym
przechodzą przez płytkę P do obiektywu mikroskopu.
Okular mikroskopu jest zaopatrzony w krzyż z nitek
pajęczych, dzięki czemu możemy precyzyjnie ustawid
wybrany fragment obrazu w polu widzenia. Przesuwając
stolik wzdłuż linii przechodzącej przez środek obrazu tylko
w kierunku X, można znaleźd położenia jasnych pierścieni
po prawej a
p
i po lewej a
L
stronie od środka. Promieo
prążka rzędu m obliczymy jako połowę średnicy:
a
m
=
𝑎
𝑃
−𝑎
𝐿
2
.
Jeżeli związek (42.4) przekształcimy do postaci:
𝑎
𝑚
2
= λ𝑅(𝑚 −
1
2
),
to widad, że pożyteczne będzie sporządzenie wykresu we współrzędnych y=𝑎
𝑚
2
, x=(m-
1
2
),
ponieważ wykresem będzie wówczas linia prosta. Współczynnik nachylenia wynosi λ𝑅.
Wartośd tego współczynnika znajdziemy z regresji liniowej, oznaczmy ją a
r
(tutaj r nie jest
promieniem prążka). Z przyrównania otrzymamy ostatecznie wartośd szukanego promienia
krzywizny soczewki:
R=
𝑎
𝑟
λ
.
(42.6)
Wartośd λ wynosi 589 [nm]= 0,000589 [mm]
Przebieg dwiczenia
1. Należy załączyd lampę sodową (lub dowolną inną, dającą widmo dyskretne) i oświetlid
układ.
2. Za pomocą śrub przesuwu stolika doprowadzid do pokrycia się skrzyżowania nici pajęczych
ze środkiem ciemnego prążka zerowego rzędu. Przesuwając stolik tylko w kierunku X znaleźd
położenia co najmniej 5 jasnych pierścieni po prawej a
P
i po lewej a
L
stronie. Pomiary należy
wykonad dla wszystkich dających się zmierzyd pierścieni.
Analiza wyników:
Nr prążka a
P
[mm]
Δa
P
a
L
[mm]
Δ
a
L
a
m
[mm]
Δ
a
m
R
Δ
R
1
29,80
0,84
31,50
0,86
0,85
0,25
1443,12
0,308707
2
29,55
0,25
31,75
0,25
1,10
0,25
893,61
0,421902
3
29,35
0,20
31,95
0,20
1,30
0,20
859,76
0,896784
4
29,15
0,20
32,15
0,20
1,50
0,20
843,07
0,914676
5
28,98
0,17
32,30
0,15
1,66
0,16
845,50
0,935474
6
28,81
0,17
32,45
0,15
1,82
0,16
846,90
0,934328
7
28,68
0,13
32,57
0,12
1,95
0,12
824,88
0,908533
8
28,52
0,16
32,70
0,13
2,09
0,15
823,64
0,931388
9
28,43
0,09
32,82
0,12
2,20
0,10
821,65
0,930527
10
28,30
0,13
32,96
0,14
2,33
0,14
840,19
0,953835
11
28,26
0,04
33,06
0,10
2,40
0,07
854,34
0,948499
średnia
892,70
0,83
Wykres 𝑎
𝑚
2
=(m -
1
2
):
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
0,5
1,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
10,5
a^2
[
m
m
]
(m-1/2)
Przykładowe obliczenia (dla prążka nr 1):
a
m
=
𝑎
𝐿
−𝑎
𝑃
2
a
1
=
31,50−29,80
2
=0,85[mm]
Stosując regresję liniową można wyliczyd współczynnik nachylenia a
r
=λ𝑅, wynosi on
0,999088661100814 natomiast jego błąd Δa
r
=
0,0516401581312289
Stąd:
R=
0,999088661100814
0,000589
= 848,1228023 𝑚𝑚
Dyskusja błędów
Błąd popełniany przy wyznaczaniu promienia krzywizny soczewki można obliczyd ze wzoru:
ΔR=R(
Δ𝑎
𝑟
𝑎
𝑟
+
Δλ
λ
)
ΔR=848,1228023
0,0516401581312289
0,999088661100814
+
0,000001
589
=
43,8515
𝑚𝑚
Wynik koocowy
Promieo krzywizny soczewki: R=(848,12±43,8515)mm
Wnioski:
Porównawszy wyznaczoną wartośd promienia krzywizny soczewki, możemy
zauważyd, iż mieści się ona w granicy błędu soczewki zastosowanej w doświadczeniu
(848,12±43,8515) mm. Z obliczeo umieszczonych w tabeli widad, że błąd pomiaru soczewki
zwiększa się wraz ze wzrostem rzędu prążka. Może to byd spowodowane faktem, iż prążki
niższych rzędów są stosunkowo szerokie, co wpływa negatywnie na możliwośd precyzyjnego
określenia położenia ich środka. Błąd pomiaru ponadto może wynikad z subiektywnej oceny
środka obrazu interferncyjnego.
Bibliografia:
Stanisław Szuba, Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki, Poznao 2011