1. Oblicz:

(a) RR

T

(x + y)dxdy,

gdzie T jest trójk¡tem o wierzchoªkach (0, 0), (2, 2), (−1, 1),

(b) RR

K

(x

2

+ y

2

)dxdy,

gdzie K jest koªem x

2

+ y

2

− 2y = 3,

(c) RRR

V

dxdydz

, gdzie V := {(x, y, z) ∈ R

3

: 1 ≤ x ≤ e, ln x ≤ y ≤

√

x, 0 ≤ z ≤ xy}

,

(d) RR

D

xy

2

dxdy,

gdzie D jest obszarem ograniczonym parabol¡ y

2

= x

i x = 1,

(e) RR

D

(4x + 2y

3

)dxdy,

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi x = 1 − y

2

, y = −2 + 2x,

(f) RRR

V

z

px

2

+ y

2

dxdydz

, gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami x

2

+ y

2

= z, x

2

+

y

2

= 1 − z

,

(g) RR

D

y

2

sin

xy

2

dxdy,

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi x = 0, y =

√

π, y =

x
2

,

(h) RR

D

(x

3

y + y

2

)dxdy,

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi y = |x|, y =

√

9 − x

2

,

(i) RR

D

p1 − x

2

− y

2

dxdy,

gdzie D jest koªem x

2

+ y

2

≤ 1,

(j) RR

D

ln(1 + x

2

+ y

2

)dxdy,

gdzie D jest koªem x

2

+ y

2

≤ 1,

(k) RR

K

2xydxdy,

gdzie K jest elips¡

x

2

9

+

y

2

4

≤ 1,

(l) RRR

V

p64 − x

2

− y

2

− z

2

dxdydz,

gdzie V jest kul¡ x

2

+ y

2

+ z

2

≤ 64,

(m) RRR

K



x

2

4

+ y

2



dxdydz,

gdzie K jest obszarem ograniczonym powierzchniami

x

2

4

+ y

2

= 1, z = 0, z = x + 2y + 5.

(n) RRR

V

px

2

+ y

2

+ z

2

3

dxdydz

,

gdzie

V

jest

obszarem

ograniczonym

powierzchni¡

(x

2

+ y

2

+ z

2

)

3

= xyz.

2. Oblicz obj¦to±¢ bryªy ograniczonej powierzchniami

(a) x + y + z = 3, 3x + y = 3, 3x + 2y = 6, y = 0, z = 0,

(b) x

2

+ y

2

+ z

2

= 4,

x

2

+ y

2

+ z

2

= 1,

x

2

+ y

2

= z

2

z ≥ 1,

(c) x

2

+ y

2

= z

2

,

x

2

+ y

2

= 4x,

(d)

x

2

4

+

y

2

9

+ z = 1,

z = 0,

(e) z = 3px

2

+ y

2

,

z = 10 − x

2

− y

2

,

(f)

x

2

4

+ y

2

= z,

z =

q

x

2

4

+ y

2

,

(g) x + y + z = 1, x + y + z = 2, x = 0, y = 0, z = 0,

(h) z = 10(x

2

+ y

2

) + 1,

z = 1 − 20y.

3. Oblicz pole cz¦±ci powierzchni

(a) z = px

2

+ y

2

wyci¦tej walcem x

2

+ (y − 1)

2

= 4,

(b) z = 4 − px

2

+ y

2

dla x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0,

1

(c) x

2

+ y

2

+ z

2

= 25

wyci¦tej walcem eliptycznym

x

2

25

+

y

2

9

= 1.

4. Oblicz caªki powierzchniowe

(a) RR

S

x

2

y

2

zdxdy

po wewn¦trznej stronie póªkuli z = −p9 − x

2

− y

2

,

(b) RR

S

x

2

y

2

+ y

2

z

2

+ x

2

z

2

dS

je»eli S jest cz¦±ci¡ powierzchni z = px

2

+ y

2

wyci¦t¡ walcem x

2

+

y

2

− 2ax = 0,

(c) RR

S

ydS

je»eli S jest cz¦±ci¡ powierzchni x

2

+ z

2

= 2y

wyci¦t¡ powierzchni¡ x

2

+ z

2

= y

2

,

(d) RR

S

py

2

+ z

2

dS

je»eli S jest powierzchni¡ boczn¡ sto»ka x = 4y

2

+ 4z

2

,

(e) RR

S

x

2

dydz + y

2

dzdx + z

2

dxdy,

gdzie S jest kul¡ x

2

+ y

2

+ z

2

= 1

zorientowan¡ na zewn¡trz,

(f) RR

S

(xy

2

)dydz + (y +

2
3

x

2

y

3

)dzdx + zxdxdy,

gdzie S jest powierzchni¡ zadan¡ równaniem

z = 1 −

px

2

+ y

2

zorientowan¡ na zewn¡trz,

(g) RR

S

(x + y + z)dS

je»eli S jest powierzchni¡ kuli x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

,

(h) RR

S

x

2

dydz + xdxdz + xzdxdy

, gdzie S jest cz¦±ci¡ paraboloidy φ(r, α) = (r cos α, r

2

, r sin α),

dla

0 ≤ r ≤ 1,

0 ≤ α ≤

π

2

,

(i) RR

S

(x − z)dydz + (z

2

− y

2

)dxdz + (x + z)dxdy,

gdzie S jest powierzchni¡ walca x

2

+ y

2

= 4

le»¡c¡

pomi¦dzy pªaszczyznami z = 0 i z = 4 zorientowan¡ do wewn¡trz,

(j) RR

S

xyzdydz

gdzie S jest wewn¦trzn¡ cz¦±ci¡ powierzchni sto»ka x

2

+ y

2

= z

2

dla x ≥ 0,

y ≥ 0,

b ≥ z ≥ a > 0.

(k) RR

S

1
3

zx

3

+ xzy

2

+ sin y

dydz +



x

2

y +

y

3

3



dzdx + (zx

2

+ zy

2

) dxdy,

gdzie S jest powierzchni¡

cz¦±ci walca x

2

+ y

2

= 1,

z ∈ h−1, 1i

zorientowan¡ do wewn¡trz.

2