EiT sem.III, studia zaoczne, 2006/07.
Ca lki powierzchniowe.
1. Obliczyć ca lki powierzchniowe niezorientowane: Z Z
p
a)
(x2 + y2)dS, gdzie S :
x2 + y2 ≤ z ≤ 1,
S
Z Z
b)
(8 − 2z)dS, gdzie S : z = 4 − 1 x2 − 1 y2 dla z > 0, 2
2
S
Z Z
p
c)
x2y2dS, gdzie S : z =
R2 − x2 − y2.
S
Z Z
2. Obliczyć ca lk¸
e
(x + y + z)dS, jeżeli S jest trójk¸
atem o wierzcho lkach A(a, 0, 0), B(0, a, 0), C(0, 0, a), a > 0, traktuj¸
ac
S
go jako g ladki p lat powierzchniowy wzgl¸
edem p laszczyzny: a) OXY , b) OY Z, c) OXZ.
3. Obliczyć pole p lata S określonego poniżej: a) S = {z = 2xy dla x2 + y2 ≤ a2}
b) S = {z = x2 + y2 dla x2 + y2 ≤ a2}
c) S = {z = x2 − y2 dla x2 + y2 ≤ a2}
p
d) S = {z =
x2 + y2 dla x2 + y2 ≤ a2}
p
e) S = {z =
1 − x2 − y2 dla x2 + y2 ≤ 1}
4. Obliczyć pole tej cz¸
eści walca x2 + z2 = R2, która leży wewn¸
atrz walca x2 + y2 = R2.
5. Obliczyć pole powierzchni, jak¸
a ze sfery x2 + y2 + z2 = R2 wycina walec x2 + y2 = Rx.
6. Obliczyć ca lki powierzchniowe zorientowane: Z Z
a)
(x dy dz + y dz dx + z dx dy)dS po powierzchni kuli x2 + y2 + z2 = R2, zorientowanej wewn¸
etrznie,
S
Z Z
1
b)
(x2 dy dz +y2 dz dx+z2 dx dy)dS, jeżeli S jest zewn¸
etrzn¸
a cz¸
eści¸
a paraboloidy z =
−x2 −y2, która leży w pierwszej 4
S
ósemce przestrzeni.