Całki powierzchniowe

Płaty powierzchniowe

Niech D ⊂ R

2

będzie obszarem na płaszczyźnie.

Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni nazywamy odwzorowanie ~

r : D → R

3

.

Funkcję taką będziemy zapisywali w postaci

~

r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] , gdzie (u, v) ∈ D.

-

-



6

X

Y

Z

R

2

6

u

v

D



:

~

r(u, v)

u

v

p

R

3

~

r

O

O

Mówimy, że funkcja wektorowa ~

r jest różnowartościowa na obszarze D, gdy

∀(u

1

, v

1

), (u

2

, v

2

) ∈ D

[(u

1

, v

1

) 6= (u

2

, v

2

) ⇒ ~

r(u

1

, v

1

) 6= ~

r(u

2

, v

2

)].

Jeżeli funkcje x, y, z są ciągłe na obszarze D, to mówimy, że funkcja wektorowa ~

r jest ciągła na obszarze D.

Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze D, to mówimy, że
funkcja wektorowa ~

r jest różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D.

Niech D będzie prostokątem domkniętym oraz niech funkcja wektorowa ~

r : D → R

3

, ~

r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]

będzie ciągła i różnowartościowa na prostokącie D. Płatem prostym powierzchniowym nazywamy zbiór wartości
funkcji wektorowej ~

r

S = {~

r(u, v) : (u, v) ∈ D}.

Zbiór w przestrzeni, taki że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem prostym, nazywamy
płatem powierzchniowym .

/

-

6

X

Y

Z

O

/

-

6

X

Y

Z

O

S

Zbiór S jest płatem powierzchniowym

Zbiór S nie jest płatem powierzchniowym

S

Płat powierzchniowy S = {~

r(u, v) : (u, v) ∈ D}, gdzie D jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim,

a funkcja wektorowa ~

r(u, v) = [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na

obszarze D, nazywamy płatem gładkim , gdy na obszarze D spełniony jest warunek

∂~

r

∂u

×

∂~

r

∂v

6= ~0,

gdzie

∂~

r

∂u

=

h

∂x
∂u

,

∂y
∂u

,

∂z

∂u

i

oraz

∂~

r

∂v

=

h

∂x
∂v

,

∂y
∂v

,

∂z
∂v

i

. Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów kawałkami

gładkich, nazywamy płatem kawałkami gładkim .

1

/

-

6

X

Y

Z

O

/

-

6

X

Y

Z

O

S

S

Płat powierzchniowy gładki

Płat powierzchniowy kawałkami gładki

Twierdzenie 1 (równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych)

1. Płaszczyzna przechodząca przez punkt (x

0

, y

0

, z

0

) i rozpięta na wektorach ~a = [x

1

, y

1

, z

1

], ~b = [x

2

, y

2

, z

2

] ma

przedstawienie parametryczne

S :











x = x

0

+ x

1

· u + x

2

· v

y = y

0

+ y

1

· u + y

2

· v

z = z

0

+ z

1

· u + z

2

· v

, gdzie u ∈ R, v ∈ R.

2. Sfera o środku O(0, 0, 0) i promieniu r ma przedstawienie parametryczne

S :











x = r · cos u · cos v

y = r · sin u · cos v

z = r · sin v

, gdzie u ∈ h0, 2πi, v ∈

D

−

π

2

,

π

2

E

.

3. Powierzchnia stożka określona równaniem

z = k

p

x

2

+ y

2

, gdzie x

2

+ y

2

¬ r

2

ma przedstawienie parametryczne

S :











x = v · cos u

y = v · sin u

z = k · v

, gdzie u ∈ h0, 2πi, v ∈ h0, ri.

4. Powierzchnia paraboloidy obrotowej określona równaniem

z = k x

2

+ y

2

, gdzie x

2

+ y

2

¬ r

2

ma przedstawienie parametryczne

S :











x = v · cos u

y = v · sin u

z = k · v

2

, gdzie u ∈ h0, 2πi, v ∈ h0, ri.

5. Powierzchnia walcowa określona równaniem

x

2

+ y

2

= r

2

, gdzie 0 ¬ z ¬ H

ma przedstawienie parametryczne

S :











x = r · cos u

y = r · sin u

z = v

, gdzie u ∈ h0, 2πi, v ∈ h0, Hi.

2

Twierdzenie 2 (o postaci płatów powierzchniowych)

Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych postaci:

1. S : z = f (x, y), (x, y) ∈ D

1

, gdzie D

1

jest obszarem na płaszczyźnie XOY ;

2. S : x = g(y, z), (y, z) ∈ D

2

, gdzie D

2

jest obszarem na płaszczyźnie Y OZ;

3. S : y = h(x, z) (x, z) ∈ D

3

, gdzie D

3

jest obszarem na płaszczyźnie XOZ.

Jeżeli funkcje f, g, h mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na odpowiednich obszarach, to płaty powierzch-
niowe są gładkie.

Niech S = {~

r(u, v) : (u, v) ∈ D} będzie gładkim płatem powierzchniowym. Wtedy pole tego płata wyraża się

wzorem:

|S| =

Z Z

D






∂~

r

∂u

×

∂~

r

∂v






dudv.

• Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, to jego pole wyraża się wzorem:

|S| =

Z Z

D

s

1 +

 ∂f

∂x



2

+

 ∂f

∂y



2

dxdy.

• Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji x = g(y, z), gdzie (y, z) ∈ D, to jego pole wyraża się wzorem:

|S| =

Z Z

D

s

1 +

 ∂g

∂y



2

+

 ∂g

∂z



2

dxdy.

• Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji y = h(x, z), gdzie (x, z) ∈ D, to jego pole wyraża się wzorem:

|S| =

Z Z

D

s

1 +

 ∂h

∂x



2

+

 ∂h

∂z



2

dxdy.

3

Całki powierzchniowe niezorientowane

Rozważmy gładki płat powierzchniowy S = {~

r(u, v) : (u, v) ∈ D}, gdzie D jest domknietym obszarem regularnym na

płaszczyźnie.

-

-



X

Y

Z

6

u

v

~

r

6

-

S

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

O

O

D

Oznaczenia w definicji całki powierzchniowej niezorientowanej:

• P = {∆D

1

, ∆D

2

, . . . , ∆D

n

}, – podział obszaru D na obszary regularne ∆D

k

(o rozłącznych wnętrzach), gdzie

1 ¬ k ¬ n;

• d

k

– śednica obszaru ∆D

k

, t.j kres górny odległości punktów zbioru ∆D

k

, gdzie 1 ¬ k ¬ n;

• δ(P) = max

1¬k¬n

d

k

- średnica podziału P;

• Ξ = {(u

∗

1

, v

∗

1

), (u

∗

2

, v

∗

2

), . . . , (u

∗

n

, v

∗

n

)}, gdzie (u

∗
k

, v

∗

k

)

∗

∈ ∆D

k

dla 1 ¬ k ¬ n – zbiór punktów pośrednich podziału

P

• ∆S

k

– część płata S odpowiadająca obszarowi ∆D

k

w podanej wyżej parametryzacji;

• |∆S

k

| – pole płata ∆S

k

, gdzie 1 ¬ k ¬ n;

• (x

∗
k

, y

∗

k

, z

∗

k

) – punkt płata ∆S

k

odpowiadający punktowi (u

∗
k

, v

∗

k

) ∈ ∆D

k

w podanej parametryzacji, gdzie 1 ¬

k ¬ n.

Definicja 3 (całka powierzchniowa niezorientowana)
Niech funkcja f będzie ograniczona na gładkim płacie S.
Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie S definiujemy wzorem

Z Z

S

f (x, y, z) dS :=

lim

δ(P)→0

n

X

k=1

f (x

∗
k

, y

∗

k

, z

∗

k

) · |∆S

k

| ,

o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależy od sposobu podziału P obszaru D ani od sposobu
wyboru punktów pośrednich Ξ.

Uwaga 4 Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie S oznaczamy też symbolem:

RR

S

f dS.

Definicja 5 (całka powierzchniowa niezorientowana po płacie kawałkami gładkim)
Niech S będzie płatem złożonym z płatów gładkich S

1

, S

2

, . . . S

m

oraz niech f będzie funkcją ograniczoną na płacie S.

Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie S definiujemy wzorem:

Z Z

S

f dS :=

Z Z

S

1

f dS +

Z Z

S

2

f dS + . . . +

Z Z

S

m

f dS,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.

Twierdzenie 6 (liniowość całki powierzchniowej niezorientowanej)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na kawałkami gładkim płacie S, to

Z Z

S

(f + g) dS =

Z

S

f dS +

Z

S

g dS

i

Z

S

(c · f ) dS = c ·

Z

S

f dS, gdzie c ∈ R.

4

Zamiana całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną

Twierdzenie 7 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na płacie gładkim S = {~

r(u, v) : (u, v) ∈ D}, gdzie obszar D ⊂ R

2

jest regularny, to

Z Z

S

f (x, y, z) dS :=

Z Z

D

f (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ·






∂~

r

∂u

×

∂~

r

∂v






dudv.

UWAGA:

• Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = g(x, y), gdzie (x, y) ∈ D oraz funkcja g jest ciągła na D, to wzór

na zamianę całek ma postać:

Z Z

S

f (x, y, z) dS =

Z Z

D

f (x, y, g(x, y))

s

1 +

 ∂g

∂x



2

+

 ∂g

∂y



2

dxdy.

• Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji x = ˆ

g(y, z), gdzie (y, z) ∈ D oraz funkcja ˆ

g jest ciągła na D, to wzór

na zamianę całek ma postać:

Z Z

S

f (x, y, z) dS =

Z Z

D

f (ˆ

g(y, z), y, z)

s

1 +

 ∂ˆ

g

∂y



2

+

 ∂ˆ

g

∂z



2

dydz.

• Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji y = h(x, z), gdzie (x, z) ∈ D oraz funkcja h jest ciągła na D, to wzór

na zamianę całek ma postać:

Z Z

S

f (x, y, z) dS =

Z Z

D

f (x, h(x, z), z)

s

1 +

 ∂h

∂x



2

+

 ∂h

∂z



2

dxdz.

5

Zastosowania całek powierzchniowych niezorientowanych

Pole płata

Pole kawałkami gładkiego płata S wyraża się wzorem:

|S| =

Z Z

S

dS.

Masa płata

Masa płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy % wyraża się wzorem:

M =

Z Z

S

%(x, y, z)dS.

Momenty statyczne

Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy
% wyrażają się wzorami:

M S

xy

=

Z Z

S

z · %(x, y, z) dS,

M S

xz

=

Z Z

S

y · %(x, y, z) dS,

M S

yz

=

Z Z

S

x · %(x, y, z) dS.

Współrzędne środka masy

Współrzędne środka masy płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy % wyrażają się wzorami:

x

C

=

M S

yz

M

,

y

C

=

M S

xz

M

,

z

C

=

M S

xy

M

.

Momenty bezwładności

Momenty bezwładności względem osi OX, OY , OZ płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy % wyrażają
się wzorami:

I

x

=

Z Z

S

(y

2

+ z

2

) · %(x, y, z) dS,

I

y

=

Z Z

S

(x

2

+ z

2

) · %(x, y, z) dS,

I

z

=

Z Z

S

(x

2

+ y

2

) · %(x, y, z) dS.

Moment bezwładności względem punktu O(0, 0, 0) płata materialnego S o gęstości powierzchniowej masy % wyraża się
wzorem:

I

O

=

Z Z

S

(x

2

+ y

2

+ z

2

) · %(x, y, z) dS.

6

Całki powierzchniowe zorientowane

Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono dwie strony: ujemną i dodatnią nazywamy płatem zorientowanym .
Powiemy wówczas, że płat S został zorientowany od strony nazywanej ujemną do strony nazywanej dodatnią.

Zorientowanie płata S powoduje ustalenie pewnego kierunku normalnej (od ujemnej do dodatniej strony płata) w
każdym jego punkcie. Jeżeli S oznacza płat zorientowany, to −S oznacza płat różniący się od S tylko zorientowaniem
(orientacją). Płaty S i −S są przeciwnie zorientowane.

Dla płatów, które są wykresami funkcji postaci z = f (x, y), x = g(y, z), y = h(x, z) za stronę dodatnią przyjmujemy
zwykle górną część takiego płata.

Niech płat gładki S ma przedstawienie parametryczne

S = {~

r(u, v) := [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] : (u, v) ∈ D} .

Wtedy wersor normalny ~

n płata S w punkcie (x

0

, y

0

, z

0

) tego płata, odpowiadającym punktowi (u

0

, v

0

) obszaru D,

wyraża się wzorem:

~

n = ±

∂~

r

∂u

×

∂~

r

∂v




∂~

r

∂u

×

∂~

r

∂v




,

gdzie wektory

∂~

r

∂u

,

∂~

r

∂v

są obliczone w punkcie (u

0

, v

0

). Znak ”±” ustala się na podstawie orientacji płata S. Przymu-

jemy, że wersor normalny płata zorientowanego jest skierowany od jego strony ujemnej do dodatniej.

UWAGA: Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, to wersor normalny ~

n tego płata

w punkcie (x

0

, y

0

, z

0

), gdzie z

0

= f (x

0

, y

0

) wyraża się wzorem:

~

n =







−

∂f
∂x

r

1 +



∂f
∂x



2

+



∂f
∂y



2

,

−

∂f
∂y

r

1 +



∂f
∂x



2

+



∂f
∂y



2

,

1

r

1 +



∂f
∂x



2

+



∂f
∂y



2







.

Wersor normalny ~

n można przedstawić w postaci ~

n = [cos α, cos β, cos γ], gdzie α, β, γ oznaczają kąty między tym

wersorem, a dodatnimi częściami odpowiednio osi OX, OY , OZ.

-



X

Y

Z

6

S

XX

XX

X

X

 ~

n

-

I p

p

-



X

Y

Z

6



>

k

~

~

n = [cos α, cos β, cos γ]

O

O

Definicja 8 (całka powierzchniowa zorientowana)
Niech ~

F = [P, Q, R] będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym S .

Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego ~

F po płacie S definiujemy wzorem

Z Z

S

P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy :=

Z Z

S

 ~

F (x, y, z) ◦ ~

n(x, y, z)



dS =

=

Z Z

S

(P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ) dS,

gdzie ~

n(x, y, z) = [cos α, cos β, cos γ] oznacza wersor normalny płata zorientowanego S wystawiony w punkcie (x, y, z)

tego płata.

UWAGA: W zapisie wektorowym powyższa definicja przyjmuje postać:

Z Z

S

~

F (~

r) ◦ d ~

S :=

Z Z

S

 ~

F (~

r) ◦ ~

n(~

r)



dS,

gdzie d ~

S := [dydz, dzdx, dxdy].

7

Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego ~

F po płacie S oznaczamy też krótko:

Z Z

S

P dydz + Q dzdx + R dxdy,

a w notacji wektorowej

Z Z

S

~

F ◦ d ~

S

-



X

Y

Z

6

S



M



~

n(~

r)

~

r

~

F (~

r)

O

Definicja 9 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim)
Niech S będzie kawałkami gładkim płatem powierzchniowym zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich S

1

, S

2

, . . . , S

m

,

o orientacjach pokrywających się z orientacją płata S. Niech ~

F będzie polem wektorowym na płacie S.

Całkę powierzchniową z pola wektorowego ~

F po płacie S definiujemy wzorem:

Z Z

S

~

F ◦ d ~

S :=

Z Z

S

1

~

F ◦ d ~

S +

Z Z

S

2

~

F ◦ d ~

S + . . . +

Z Z

S

m

~

F ◦ d ~

S,

o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.

UWAGA: Jeżeli S jest płatem zorientowanym zamkniętym, to wtedy piszemy:

Z

Z

S

w miejsce

Z Z

S

.

Twierdzenie 10 (liniowość całki powierzchniowej zorientowanej)
Jeżeli istnieją całki powierzchniowe zorientowane z pól wektorowych ~

F i ~

G po kawałkami gładkim płacie powierzchnio-

wym zorientowanym S, to

Z Z

S

 ~

F + ~

G



◦ d~

S =

Z Z

S

~

F ◦ d ~

S +

Z

S

~

G ◦ d ~

S

i

Z Z

S



c · ~

F



◦ d~

S = c ·

Z Z

S

~

F ◦ d ~

S, gdzie c ∈ R.

Ponadto

Z Z

−S

~

F ◦ d ~

S = −

Z

S

~

F ◦ d ~

S,

gdzie −S jest płatem o orientacji przeciwnej do płata S.

8

Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną

Twierdzenie 11 (o zamianie całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną)
Jeżeli pole wektorowe ~

F = [P, Q, R] jest ciągłe na gładkim i zorientowanym płacie

S = {~

r(u, v) := [x(u, v), y(u, v), z(u, v)] : (u, v) ∈ D} ,

gdzie D jest obszarem regularnym na płaszczyźnie, to

Z Z

S

P (x, y, z) dydz + Q(x, y, z) dzdx + R(x, y, z) dxdy =

= ±

Z Z

D



P (x(u, v), y(u, v), z(u, v))






∂y
∂u

∂y
∂v

∂z

∂u

∂z
∂v






+ Q(x(u, v), y(u, v), z(u, v))






∂z

∂u

∂z
∂v

∂x
∂u

∂x
∂v






+ R(x(u, v), y(u, v), z(u, v))






∂x
∂u

∂x
∂v

∂y
∂u

∂y
∂v








dudv.

znak „±” ustala się na podstawie orientacji płata S.

UWAGA: W zapisie wektorowym wzór ma postać:

Z Z

S

~

F (~

r) ◦ d ~

S = ±

Z Z

D

~

F (~

r(u, v)) ◦

 ∂~r

∂u

×

∂~

r

∂v



dudv

Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, oraz pole wektorowe ~

F jest ciągłe na S, to

Z Z

S

P (x, y, z) dydz+Q(x, y, z) dzdx+R(x, y, z) dxdy =

Z Z

D



P (x, y, f (x, y))



−

∂f
∂x



+ Q(x, y, f (x, y))



−

∂f

∂y



+ R(x, y, f (x, y))



dxdy.

Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji x = g(y, z), gdzie (x, y) ∈ D, oraz pole wektorowe ~

F jest ciągłe na S, to

Z Z

S

P (x, y, z) dydz+Q(x, y, z) dzdx+R(x, y, z) dxdy =

Z Z

D



P (g(y, z), y, z) + Q(g(y, z), y, z))



−

∂g
∂y



+ R(g(y, z), y, z)



−

∂g
∂z





dydz.

Jeżeli płat gładki S jest wykresem funkcji y = h(x, z), gdzie (x, y) ∈ D, oraz pole wektorowe ~

F jest ciągłe na S, to

Z Z

S

P (x, y, z) dydz+Q(x, y, z) dzdx+R(x, y, z) dxdy =

Z Z

D

h

P (x, h(x, z), z)



−

∂h
∂x



+ Q(x, h(x, z), z)) + R(x, h(x, z), z)



−

∂h

∂z

i

dxdz.

Definicja 12 (strumień pola wektorowego ~

F przez powierzchnię zorientowaną S)

Strumień pola wektorowego ~

F przez powierzchnię zorientowaną S (ze strony ujemnej na dodatnią, to jest w kierunku

wersora ~

n) określamy wzorem:

Φ :=

Z Z

S

~

F ◦ d ~

S.

9

Elementy analizy wektorowej

Jeżeli każdemu punktowi M pewnego obszaru przyporządkowana jest określona wartość pewnej skalarnej wielkości fizycznej
u = u(M ), to mówimy, że w tym obszarze określone jest pole skalarne.

Zbiór punktów płaszczyzny, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości nazywamy liniami równych wartości
(poziomicami albo izoliniami) płaskiego pola skalarnego.

Zbiór punktów przestrzeni, w których funkcja pola przybiera jednakowe wartości nazywamy powierzchnią równych wartości
(warstwicą) przestrzennego pola skalarnego.

Jeżeli każdemu punktowi M pewnego obszaru przyporządkowany jest pewien wektor ~

F (M ), to mówimy, że w tym obszarze

określone jest pole wektorowe.

Linia pola wektorowego jest to krzywa, która w każdym swoim punkcie jest styczna do wektora odpowiadającego temu
punktowi.



-

~

F

M

p

Definicja 13 (operator Hamiltona - nabla)
Operator Hamiltona (nabla) określany jest wzorem:

∇ := ~i

∂

∂x

+ ~j

∂

∂y

+ ~

k

∂

∂z

.

Definicja 14 (gradient funkcji)
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze V ∈ R

3

. Gradient funkcji f określony jest wzorem:

gradf := ∇f =



∂f
∂x

,

∂f

∂y

,

∂f

∂z



Twierdzenie 15 (własności gradientu) Niech funkcje wektorowe f i g mają gradienty na obszarze V ∈ R

3

. Wtedy:

1. grad(f + g) = gradf + gradg,

2. grad(af ) = agradf , gdzie a ∈ R,

3. grad(f · g) = g · gradf + f · gradg

4. grad

f
g

=

g·gradf −f ·gradg

g

2

5. gradh(f ) = h

0

(f ) · gradf

6. f ≡ const ⇐⇒ gradf ≡ ~0

7.

∂f
∂~

v

= (gradf ) ◦ ~

v,

gdzie ~

v jest wersorem.

Definicja 16 (pole wektorowe potencjalne)
Pole wektorowe ~

F nazywamy potencjalnym na obszarze V ⊂ R, jeżeli istnieje funkcja u : V → R, taka że

~

F = grad u.

Funkcję u nazywamy potencjałem pola wektorowego ~

F .

Powierzchnią równopotencjalną nazywamy zbiór wszystkich punktów, dla których potencjał pola u(x, y, z) ma stałą wielkość.

Definicja 17 (rotacja (wirowość) pola wektorowego)
Niech ~

F = [P, Q, R] będzie różniczkowalnym polem wektorowym określonym na obszarze V ⊂ R

3

.

Rotację (wirowość) pola wektorowego ~

F określamy wzorem:

rot ~

F := ∇ × ~

F =








~i

~j

~

k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P

Q

R








Pole wektorowe o tej własności, że w każdym jego punkcie rotacja jest równa ~0 nazywamy polem potencjalnym albo bezwirowym .

10

Twierdzenie 18 (własności rotacji)
Niech funkcja f ma gradient na obszarze V ⊂ R

3

oraz niech pola wektorowe ~

F i ~

G będą różniczkowalne na tym obszarze. Wtedy:

1. rot ( ~

F + ~

G) = rot ~

F + rot ~

G,

2. rot (a ~

F ) = a rot ~

F , gdzie a ∈ R,

3. rot (f ~

F ) = (gradf ) × ~

F + f · rot ~

F .

Ponadto dla funkcji u dwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągły na V mamy

4. rot (gradu) = ~0.

Definicja 19 (dywergencja (rozbieżność) pola wektorowego)
Niech ~

F = [P, Q, R] będzie polem wektorowym różniczkowalnym w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R

3

.

Dywergencję (rozbieżność) pola wektorowego ~

F określamy wzorem:

div ~

F := ∇ ◦ ~

F =

∂P

∂x

+

∂Q

∂y

+

∂R

∂z

.

Twierdzenie 20 (własności dywergencji)
Niech funkcja f oraz pola wektorowe ~

F i ~

G będą różniczkowalne sposób ciągły na obszarze V ⊂ R

3

. Wtedy:

1. div ( ~

F + ~

G) = div ~

F + div ~

G,

2. div (a ~

F ) = a div ~

F , gdzie a ∈ R,

3. div (f ~

F ) = (gradf ) ◦ ~

F + f · div ~

F ,

4. div ( ~

F × ~

G) = ~

G ◦ rot ~

F − ~

F ◦ rot ~

G.

Ponadto jeżeli pole wektorowe ~

F dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły na V , to

5. div rot ~

F

= 0.

Jeżeli div ~

F (M

0

) > 0, to punkt M

0

nazywamy źródłem , a jeżeli div ~

F (M

0

) < 0, to punkt M

0

nazywamy upustem

(ujściem lub ściekiem). W przypadku gdy div ~

F (M

0

) > 0, to w dowolnym nieskończenie małym obszarze otaczającym

punkt M

0

ciecz jest wytwarzana, a w przypadku gdy div ~

F (M

0

) < 0 – ciecz znika.

Wartość bezwzględna dywergencji charakteryzuje natężenie źródła lub upustu.

Pole wektorowe, w którego każdym punkcie dywergencja jest równa zeru nazywamy polem solenoidalnym (lub bezźródłowym ).

∇ · u = grad u,

∇ ◦ ~

F = div ~

F ,

∇ × ~

F = rot ~

F .

11

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego i Stokesa

Jeżeli S jest powierzchnią zamkniętą, to całkę po zewnętrznej stronie powierzchni S będziemy oznaczali symbolem

ZZ

S

+

,

zaś całkę po wewnętrznej stronie powierzchni S będziemy oznaczali symbolem

ZZ

S

−

,

Twierdzenie 21 (wzór Gaussa-Ostrogradskiego)
Jeżeli

• S jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem zamkniętym, który jest brzegiem obszaru domkniętego V ⊂ R

3

,

• pole wektorowe ~

F = (P, Q, R) jest różniczkowalne sposób ciągły na obszarze V ,

to

ZZ

S

+

~

F ◦ d ~

S =

Z Z Z

V

div ~

F dV.

Po rozwinięciu powyższa równość (tzn. wzór Gaussa-Ostrogradskiego) przyjmuje postać:

ZZ

S

+

P dydz + Q dzdx + R dxdy =

Z Z Z

V



∂P

∂x

+

∂Q

∂y

+

∂R

∂z



dxdydz.

-



X

Y

Z

6

O

V

K

+

U

z



Y

~

F

Twierdzenie 22 (wzór Stokesa)
Jeżeli

• S jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem, którego brzeg L jest łukiem kawałkami gładkim skierowanym zgodnie z

orientacją płata S,

• pole wektorowe ~

F = (P, Q, R) jest różniczkowalne sposób ciągły na płacie S (łącznie z brzegiem L),

to

I

L

~

F ◦ d~

r =

Z Z

S

rot ~

F

◦ d~

S.

Po rozwinięciu powyższa równość (tzn. wzór Stokesa) przyjmuje postać:

I

L

P dx + Q dy + R dz =

Z Z

S



∂R

∂y

−

∂Q

∂z



dydz +



∂P

∂z

−

∂R

∂x



dzdx +



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



dxdy.

-



X

Y

Z

6

O

+

U

z

Y



9

o

U

-

9

y

:

z

L

~

F

Uwaga 23 Wzór Greena jest szczególnym przypadkiem wzoru Stokesa. Rzeczywiście, przyjmując, że S ⊂ XOY jest płatem
zorientowanym o brzegu L oraz, że pole wektorowe ~

F określone na tym płacie ma postać ~

F = [P, Q, 0], przy czym funkcje P i Q

zależą tylko od zmiennych x, y, otrzymamy:

I

L

P (x, y) dx + Q(x, y) dy =

Z Z

D



∂Q

∂x

−

∂P

∂y



dxdy.

12

Zastosowania całek powierzchniowych zorientowanych

Objętość obszaru V

Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym S zorientowanym na zewnątrz wyraża się wzorami:

|V | =

1

3

ZZ

S

+

x dydz + y dzdx + z dxdy =

ZZ

S

+

z dxdy =

ZZ

S

+

x dydz =

ZZ

S

+

y dzdx

Strumień pola wektorowego

Ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany S (ze strony ujemnej na dodatnią) wyraża
się wzorem:

Φ =

Z Z

S

~

v(x, y, x) ◦ d ~

S,

(1)

gdzie ~

v(x, y, z) oznacza prędkość cieczy w punkcie (x, y, z) tego płata.

Jeżeli S jest powierzchnią zamkniętą, ograniczającą pewien obszar V , a całka (1) jest brana po zewnętrznej stronie powierzch-
ni S, to wielkość Φ nazywamy strumieniem wektora ~

v od wewnątrz powierzchni S (tj. w kierunku normalnej zewnętrznej

do tej powierzchni).

Całka

ZZ

S

+

~

v(x, y, x) ◦ d ~

S

jest równa różnicy między ilością cieczy jaka wypłynęła z obszaru V w jednostce czasu a ilością cieczy, jaka w tej samej jednostce
czasu wpłynęła do obszaru V .

Zgodnie ze wzorem Stokesa cyrkulacja pola wektorowego i jego rotacja są związane zależnością

I

L

~

F ◦ d~

r =

Z Z

S

rot ~

F

◦ d~

S

oznaczającą, że cyrkulacja wektora po konturze zamkniętym L jest równa strumieniowi rotacji tego wektora przez powierzchnię
S, ograniczoną tym konturem.

13