ELEMENTY TEORII PLASTYCZNOŚCI

Jednoosiowy stan naprężeń – wykres

σ ε

−

. Przykład stal – miękka

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 1

Stosowane są uproszczone jednoosiowe modele materiałowe

Zadaniem teorii plastyczności jest opis następujących zjawisk:

• powstanie uplastycznienia – pojawienie się procesów

plastycznych – warunki plastyczności, kurs WM – hipotezy
wytrzymałościowe.

• rozwój odkształceń plastycznych (po przekroczeniu granicy

uplastycznienia)

• warunki wzmocnienia i osłabienia plastycznego

• opis odkształceń odwracalnych (jak w Teorii Sprężystości)
Bieżący kurs – jedynie warunki plastyczności.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 2

Założenie: Istnieje funkcja skalarna określająca granicę obszaru
sprężystego.

1

2

( , , , ...)

ij

F

k k

0

σ

=

W ogólnym przypadku parametry mogą zależeć od stanu
odkształcenia i współrzędnych punktu:

i

k

( , )

i

i

k

k

x

ε

=

 

Możliwe są następujące uproszczenia
1) materiał jednorodny

( )

i

i

ij

k

k

ε

→

=

2) materiał izotropowy

1

2

3

1

2

( ,

, , , , ...) 0

F

k k

σ σ σ

→

=

,

gdzie

1

2

,

,

3

σ σ σ

są naprężeniami głównymi

3) parametry - wartości liczbowe

i

k

4) redukcja zagadnienia do jednego parametru

0

k

σ

=

stąd sformułowanie tzw. hipotezy jednoparametrowej

1

2

3

0

( ,

, ,

) 0

F

σ σ σ σ

=

lub

1

2

3

0

( ,

, )

0

f

σ σ σ

σ

−

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 3

HIPOTEZY JEDNOPARAMETROWE

WARUNEK TRESKI (Treski – Guesta - TG)
Granice obszaru sprężystego (obszaru bezpiecznego) określają
ekstremalne naprężenia styczne.
Przypomnienie:

max

1

2

3

max( , , )

τ

τ τ τ

=

2

1

2

3

σ

σ

τ

−

=

,

3

1

2

2

σ σ

τ

−

=

,

1

2

3

2

σ σ

τ

−

=

W stanie jednoosiowym – rozciąganie/ściskanie naprężeniem

0

σ

jest

1

0

0

2

2

σ

σ

τ

=

=

.

Warunek obszaru bezpiecznego – układ nierówności

1

0

2

3

2

0

3

1

3

0

1

2

0

0

0

τ τ

σ

σ

σ

τ

τ

σ σ

σ

τ

τ

σ σ

σ

≤

−

≤

⎧

⎧

⎪

⎪

≤ ⇒

−

≤

⎨

⎨

⎪

⎪

≤

−

≤

⎩

⎩

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 4

Określenie granicy obszaru bezpiecznego – odpowiednie równania
Interpretacja geometryczna:
W stosunku do układu

1 2

3

σ σ σ

tworzymy układ obrócony o

wersorach

1

1

[1 1

2]

6

e

=

−



,

2

1

[ 1 1 0]

2

e

=

−



,

3

1

[1 1 1]

3

e

=



J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 5

Na osi spełniony jest warunek

1

2

3

σ

σ

σ

=

=

Płaszczyzna prostopadła do

Π

3

σ

(określona jest przez osie

1

σ

i

2

σ

) jest zbiorem punktów o równaniu

1

2

3

0

σ σ

σ

+

+

=

Jest to tzw. płaszczyzna dewiatorowa – każdy stan naprężeń będący
punktem tej płaszczyzny spełnia warunek

tr

0

σ

=



(istnieje jedynie

dewiator)
Transformacja warunków powierzchni granicznej Treski-Guesta
(równania) do układu

1 2

3

σ σ σ

:

1

2

2

2

0

σ σ

σ

−

= −

= ±

σ

2

3

1

2

3

1

2

2

0

σ

σ

σ

σ

−

=

+

= ±

σ

3

1

1

2

3

1

2

2

0

σ σ

σ

σ

−

= −

+

= ±

σ

Równania sześciu płaszczyzn równoległych do osi

3

σ

, tworzą one

nieskończony graniastosłup.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 6

Hipoteza Treski – płaski stan naprężenia (

3

0

σ

=

)

– przecięcie graniastosłupa płaszczyzną

1 2

σ σ

Granice obszaru sprężystego

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 7

1

2

1

0

2

0

0

σ σ

σ

σ

σ

σ

σ

−

≤

⎧

⎪

≤

⎨

⎪

≤

⎩

Hipoteza Treski – płaski stan odkształcenia
(

3

3

1

0

(

2

)

ε

σ

ν σ σ

= ⇒

=

+

)

1

2

0

1

1

2

2

1

2

(

)

(

)

σ σ

σ

0

0

σ ν σ σ

σ

σ ν σ σ

σ

−

≤

⎧

⎪

−

+

≤

⎨

⎪

−

+

≤

⎩

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 8

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 9

WARUNEK HUBERA – MISESA - HENCKY (H-M-H)
Granicę obszaru sprężystego określa wartość energii właściwej
odkształcenia postaciowego

1

1

(

)(

2

2

3

1

2

2

ij ij

M ij

ij

M ij

ij

M M

ij ij

V

W

s

s e

W

W

γ

σ ε

σ δ

ε δ

σ ε

=

=

+

+

=

+

=

+

)

e

=

Ponieważ

1 2

M

M

E

σ

ε

ν

=

−

więc

1 2

M

M

E

ν

ε

σ

−

=

więc

2

3

3 1 2

2

2

V

M M

W

M

E

ν

σ ε

σ

−

=

=

Zachodzi

1

2

2

ij

ij

ij

ij

S

Ge

e

G

=

⇒

=

S

więc

1

4

ij ij

W

S

G

γ

=

S

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 10

Drugi niezmiennik dewiatora naprężeń

1
2

S

ij ij

II

S

= −

S

więc

1

2

S

W

I

G

γ

=

I

Rozwinięcie

2

2

11

22

22

33

33

11

2

2

2

12

23

31

2

2

2

1

2

2

3

3

1

1

1

[(

)

(

)

(

)

4

12

6(

)]

1

[(

)

(

)

(

) ]

12

ij ij

W

S S

G

G

G

γ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ σ

σ

σ

σ σ

=

=

−

+

−

+

−

+

+

=

=

−

+

−

+

−

2

+

Stan jednoosiowy

2

1

0

2

3

1

,

0)

12

W

G

γ

0

2

σ

σ σ

σ

σ

=

=

=

→

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 11

Stąd warunek H-M-H:

2

2

2

2

2

2

11

22

22

33

33

11

12

23

31

0

(

)

(

)

(

)

6(

)]

2

2

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

−

+

−

+

−

+

+

+

=

σ

2

0

2

2

2

1

2

2

3

3

1

(

)

(

)

(

)

2

σ σ

σ σ

σ σ

−

+

−

+

−

=

σ

0

Inny zapis:

zależność jedynie od drugiego

niezmiennika dewiatora tensora naprężeń.

2

0

3

S

II

σ

+

=

Interpretacja geometryczna w przestrzeni

1 2

3

σ σ σ

powierzchnią

graniczna H-M-H jest nieskończony walec kołowy o osi

3

σ

i

promieniu

0

2
3

R

σ

=

Równanie

2

2

1

2

2

( )

( )

3

2

0

σ

σ

σ

+

=

Jest to więc walec opisany na graniastosłupie T-G

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 12

Płaski stan naprężenia (

3

0

σ

=

)

2

2

2

11

22

11 22

12

0

3

2

σ

σ

σ σ

σ

σ

+

−

+

=

lub

2

2

1

2

1 2

2

0

σ

σ

σ σ

σ

+

−

=

- elipsa opisana równaniem na sześciokącie T-G

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 13

Płaski stan odkształcenia (

3

0

ε

=

)

3

1

(

)

2

σ

ν σ σ

=

+

Stąd wynika ogólne równanie

2

2

2

1

2

1 2

(

)(1

)

[1 2 (1

)]

2

0

σ

σ

ν ν

σ σ

ν

ν

+

− +

−

+

−

=

σ

przy

0

ν

=

identycznie jak w PSN

0

ν

>

rozszerzenie obszaru sprężystego

1
2

ν

=

graniczny przypadek, dwie proste styczne do elipsy

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 14

1

2

0

1

2

2

3

2

3

0

σ σ

σ

σ σ

σ

⎧

−

=

⎪⎪

⎨

⎪ − = −

⎪⎩

Hipotezy T-G i H-M-H

jednoparametrowe, jedna wartość

→

0

σ

materiały o jednakowej granicy plastyczności przy rozciąganiu i
ściskaniu

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 15

Porównać wartość T-G i H-M-H w stanie czystego ścinania.
Znaleźć w obu przypadkach graniczną wartość naprężenia
stycznego

12

0

σ

>

12

12

0

0

σ

σ

σ

⎡

⎤

= ⎢

⎥

⎣

⎦



Naprężenia główne przy czystym ścinaniu:

1

12

,

σ

σ

=

2

12

σ

σ

= −

Hipoteza TG:

1

2

12

0

max

12

2

2

2

2

σ σ

σ

σ

τ

σ

τ

−

=

=

=

≤ =

Stąd graniczna wartość

12

0

0,5

σ

σ

=

Hipoteza H-M-H:

2

2

2

11

22

11 22

12

0

3

2

σ

σ

σ σ

σ

σ

+

−

+

≤

2

2

0

12

0

12

3

3

σ

σ

σ

σ

≤

⇒

≤

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 16

lub ze wzoru

2

2

2

1

2

1 2

12

3

2

0

σ

σ

σ σ

σ

σ

+

−

=

≤

wartość graniczna

0

12

0

0,577

3

σ

σ

σ

=

≈

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 17

Określić zapas bezpieczeństwa wg TG i HMH przy
jednoparametrowym wzroście składowej

11

σ

15 10

0

10

0

0

[MPa]

0

0

25

σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦



,

0

50 MPa

σ

=

Sprawdzenie czy dany stan jest bezpieczny (wg obu hipotez)

TG: naprężenia główne:

2

1

2

1,2

2

20

15 0

15 0

10

7,5 12,5

[MPa]

5

2

2

σ

σ

σ

=

⎧

+

−

⎛

⎞

=

±

+

=

±

= ⎨

⎜

⎟

− =

⎝

⎠

⎩

3

25 MPa

σ

= −

1

3

0

max

22,5 MPa

25 MPa

2

2

σ σ

σ

τ

−

=

=

<

=

stan bezpieczny

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 18

Obliczenie zapasu bezpieczeństwa:

15

10

0

10

0

0

[MPa]

0

0

25

z

σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

−

⎢

⎥

⎣

⎦



TG:

2

2

2

1,2

15

15

10

7,5

56,25

100 [MPa]

2

2

z

z

z

z

σ

⎛

⎞

=

±

+

=

±

+

⎜

⎟

⎝

⎠

3

25 MPa

σ

= −

Można wykazać, że dla wszystkich

jest

0

z

>

min

3

σ

σ

=

stąd

1

3

2

max

1

7,5

56,25

100 25

2

2

z

z

σ σ

τ

−

=

=

+

+

+

warunek

2

0

max

0

56,25

100 25 50

2

z

σ

τ

τ

=

=

⇒

+

+

=

1,4

z

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 19

HMH:

( ) (

) ( )

2

2

2

2

2

15

15

25

25

(6)(10)

450

750

1850

L

z

z

z

=

+

+

+

+

=

+

+

2

2

0

2

5000 MPa

P

σ

=

=

2

450

750

3150 0

1,94

L P

z

z

z

=

⇒

+

−

= ⇒ =

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 20

Obliczyć dopuszczalną wartość m, wg TG i HMH, gdy dane jest

0

σ

0

0

0

0 4
0

m m

m

m

σ

⎡

⎤

⎢

⎥

= ⎢

⎥

⎢

⎥

⎣

⎦



TG:

2

1

2

1,2

2

4,305

4

4

5

3

0,695

2

2

2

2

m

m m

m m

m

m m

m

σ

σ

σ

=

⎧

+

−

⎛

⎞

=

±

+

=

±

= ⎨

⎜

⎟

=

⎝

⎠

⎩

3

0

σ

=

stąd

1

3

0

0

max

0

4,305

0,232

2

2

2

4,305

m

m

σ σ

σ

σ

τ

σ

−

=

=

=

⇒

=

=

HMH:

( ) ( )

2

2

2

2

0

4

3

6

2

m

m

m

m

2

σ

+

+

+

=

stąd

2

2

0

0

0

32

2

0,25

4

m

m

σ

σ

σ

=

⇒

=

=

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann

• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 21