mgr Adam Marszałek

Zakład Inteligencji Obliczeniowej

Instytut Informatyki PK

Algebra z geometrią: Lista nr 3

Liczby zespolone

Zad.1. Wykonać działania na liczbach zespolonych:

a) (2, −1) + (1, 3) · (−1, 4),

b)

(2,9)

(−1,3)

,

c) (1 + 3i)(4 − 5i) + (2 − 3i)(4 + 5i),

d) (1 + 2i)

2

− (1 − 2i)

3

,

e)

(1−i)

5

−1

(1+i)

5

+1

,

f )

1+5i

2−i

+

−i

2+3i

− 4i.

Zad.2. Przedstawić liczby w postaci trygonometrycznej i wykładniczej:

a) 1 +

√

3i,

b)

1

√

2

−

1

√

2

i,

c) −4,

d) 2i,

e) i

2

,

f )

1−i
1+i

.

Zad.3. Wykazać następujące własności liczb zespolonych:

a) Re(z

1

+ z

2

) = Rez

1

+ Rez

2

,

b) Im(z

1

+ z

2

) = Imz

1

+ Imz

2

,

c) |z

1

z

2

| = |z

1

||z

2

|,

d)





z

1

z

2





=

|z

1

|

|z

2

|

,

z

2

6= 0,

e) arg(z

1

z

2

) = argz

1

+ argz

2

,

f ) arg

z

1

z

2

= argz

1

− argz

2

,

g) z

1

+ z

2

= z

1

+ z

2

,

h) z

1

z

2

= z

1

z

2

,

i) |z|

2

= z

z.

Zad.4. Obliczyć:

a) (2 + i)

1

0 − (1 + i)

6

,

b)

(1+

√

3i)

8

(−1−i)

5

,

c) (4i)

128

,

d) (1 − i)

79

,

e)



−

1
2

+

√

3

2

i



12

,

f )



(1−

√

3i)

5

√

3+i



4

.

1

Zad.5. Obliczyć i przedstawić w postaci a + bi pierwiastki:

a)

√

−4,

b)

√

−8i,

c)

√

3 − 4i,

d)

4

√

−4,

e)

3

√

i,

f )

6

√

−64.

Zad.6. Obliczyć:

a) Re

(1+3i)(1−i)

3

3+i

,

b) Im

(1+

√

3i)

5

(−1+i)

2

,

c)





−4

1+

√

3i





,

d) 3i + 2(4 − i)

3

.

Zad.7. Wyznaczyć wszystkie pierwiastki wielomianu w(z):

a) w(z) = z

2

+ (1 + 4i)z − (5 + i),

b) w(z) = z

3

− z + 6,

c) w(z) = z

3

+ z − 3z

2

− 3,

d) w(z) = z

4

− 30z

2

+ 289,

e) w(z) = z

4

− 2z

2

+ 2,

f ) w(z) = z

7

+ iz

4

− z

3

− i.

Zad.8. Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć zbiory punktów spełniające warunki:

a) |z + 5i| ¬ 1 ∧ Rez > 0,

b) |z − 2| = 2|z − i|,

c) zz + z + z = 0,

d) 0 < arg(z

3

) <

π

6

,

e)





z

i

+ 3





> 1 ∧ Imz ¬ −2,

f ) Re(z

2

+ z) = |z|

2

.

2